第8章 四边形 四边形综合问题 2025-2026学年 苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点4 四边形综合问题 动点问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，BD⊥AC于点D，且BD=16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题： （1）线段AD=12cm； （2）求证：PB=PQ； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 2.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=10cm，BC=15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）． （1）设当P，Q两点同时出发t秒后，CQ的长为s，请写出s与t之间的函数关系式； （2）线段PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，t为何值时 所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 第八章 四边形 动点问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B-C的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？ （2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由． 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． （1）若PE⊥BC，求BQ的长； （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的 值；若不存在，请说明理由． 3.如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=9cm，点E、F分别在AD、BC上，且BF=DE=3cm，连接AF、CE． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P 自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：已知点P的速度为每秒5cm， 点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 求t的值． 第八章 四边形 动点问题（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连结PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t s． （1） 当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由； （2） 当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由． 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度（AE=CF）向C、A运动，其速度为0.5cm/s． （1）当E与F不重合时，求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）点E，F在AC上运动过程中，求当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 3.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB=10，AC=12，BD=16． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第八章 四边形 存在性问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC （1）求C点的坐标． （2）如图2，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，四边形OABC中，点O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、 （8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动， 点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也 停止运动．设运动时间为t秒． （1）请用t（t＞5）表示点Q的坐标为 ； （2）是否存在某个时间t，使得P、Q两点和四边形OABC中的任意两个顶点为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第八章 四边形 存在性问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 3.如图，平面直角坐标系中，已知点A（-3，1），B（4，3），且CD是x轴上一条长度为3的线段． （1）求AC+CD+DB的最小值，并求出此时点D的坐标； （2）在（1）的条件下，当AC+CD+DB取得最小值时，平面直角坐标系内是否存在一点E，使得点B，C，D，E构成的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4.已知在平面直角坐标系中有A、B、C三点，且A（3，0）、B（0，3）、C（1，4） （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（请直接写出结果） 5.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F． （1）求证：AE=EP； （2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 第八章 四边形 存在性问题（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 6.已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1） t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2） 在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 7.如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（-6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F． （1）求点D的坐标； （2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8.如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：4，AC=5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒． （1）求AB与BC的长； （2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值； 若不存在，说明理由． 日期： 第八章 四边形 阅读理解型问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.阅读材料：平面直角坐标系中点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]=|x|+|y|，其中的“+”是四则运算中的加法，例如点P（1，2）的折线距离[P]=|1|+|2|=3． 【解决问题】 （1）已知点A（-3，4），B（+，-），直接写出[A]，[B]的折线距离； （2）若点M满足[M]=2， ①当点M在x轴的上方时，且横坐标为整数，求点M的坐标； ②正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t+1，0），当正方形EFGH上存在点M时，直接写出t的取值范围． 2.请阅读下列材料，并完成相应的任务．三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF=2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线． 证明：如图2取EF的中点G，连接AG… 任务：（1）完成材料中的证明过程． （2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF=AC，求∠F的度数． 第八章 四边形 阅读理解型问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.阅读下列材料：小金遇到了这样的一个问题：如图1，O是等边三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，求∠AOB的度数．小金的思路是：如图2，构造△ABO′，使△AO′B≌△COB，再用勾股定理的逆定理和等边三角形的性质，求出∠AOB的度数． 解：将线段BO绕点B逆时针旋转60°，得到线段BO′，连接O′A，OO′． ∴BO=BO′，∠OBO′=… （1）请你按小金的思路将本题的解答过程补充完整； （2）“如图3，点P为正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数”．请你根据（1）的解题思路完成： ①给出辅助线作法，并画出对应的图形（不必写出解答过程）； ②直接写出∠APB的度数． 2.阅读下面材料： 如图1，P是∠MON的平分线上一点，A、B分别在边OM和ON上，且∠AOB+∠APB=180°，求证PA=PB 小宇通过探究，为同学提供了解题的想法 想法1：在边OB上截取OE，使得OE=OA，可得△AOP≌△EOP，进而证明△PEB是等腰三角形，由此可得到PA=PB； 想法2：过点P作PF⊥OM，PD⊥ON，由角平分线性质可得PF=PD，进而可得△PFA≌△PBD，由此可得到线段PA=PB； （1）请回答：请选择一种方法，证明PA=PB； （2）请参考小宇解决问题的方法解决下面问题 如图2，正方形ABCD中，点E在BC延长线上，连接AE，EA平分∠BEP，延长CD交EP于点F，FN⊥AE于N，若正方形边长为6，CE=3，求FN的长． 动点问题（一）参考答案 1 1.（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12（cm）， （2）证明：如图1所示： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C， ∵PQ∥AC， ∴∠PQB=∠C， ∴∠PBQ=∠PQB， ∴PB=PQ； （3）解：分两种情况： ①当点M在点D的上方时，如图2所示： 由题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12， ∴MD=AD-AM=12-4t， ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形， 即：当t=12-4t时，四边形PQDM是平行四边形， 解得：t＝（s）； ②当点M在点D的下方时，如图3所示： 根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12， ∴MD=AM-AD=4t-12， ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形， 即：当t=4t-12时，四边形PQDM是平行四边形， 解得：t=4（s）； 综上所述，当t=s或t=4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形． 2.解：（1）∵点P从点A向点D以1cm/s的速度运动， ∴点P到达点D的时间t=101=10（s）， ∴当0≤t＜5时，CQ=s=3t， 当5≤t≤10时，CQ=s=30-3t； （2）当0≤t＜5时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ， ∴10-t=3t， ∴t=， 若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ， ∴t=15-3t， ∴t=， 当5≤t≤10时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ， ∴10-t=30-3t， ∴t=10（不合题意舍去）， 若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ， ∴t=3t-15， ∴t=， 综上所述：t的值为或或． 动点问题（二）参考答案 1.解：（1） 第一次相遇时间=（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时： ∵四边形ANDM为平行四边形， ∴DM=AN DM∥AN ∵△ABC为等边三角形，△BMD和△NCD是等边三角形， ∴BM+CN=CN+AN=8， ∴2t+3t=8， ∴t=， 此时BD=； 如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时： 同理△BND和△MCD是等边三角形，AM=3t-8，AN=2t-8， ∴AM+AN=AC=8， 3t-8+2t-8=8， t=， 此时BD=． 如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时， 同理△BMN和△MCD是等边三角形 CM=3t-16AN=2t-8 ∴CM=AN． 3t-16=2t-8． t=8＞7.5（不合题意，舍去）． 综上所述：运动了或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=或． 2.解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示： ∵∠BAC=90°，∠B=45°， ∴∠C=45°=∠B， ∴AB=AC， ∴BM=CM， ∴AM=BC=5， ∵AD∥BC， ∴∠PAN=∠C=45°， ∵PE⊥BC， ∴PE=AM=5，PE⊥AD， ∴△APN和△CEN是等腰直角三角形， ∴PN=AP=t，CE=NE=5-t， ∵CE=CQ-QE=2t-2， ∴5-t=2t-2， 解得：t=， 所以BQ=BC-CQ=10-2×=； （2）存在，t=4或12；理由如下： 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP=BE， ∴t=10-2t+2或t=2t-2-10 解得：t=4或12 ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12． 3.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥CB， ∵BF=DE， ∴AD-DE=CB-BF， ∴AE=FC， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形（如图）， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵AB=4cm，BF=3cm， ∴AF==5（cm），FC=9-3=6（cm）， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t-5+6，QA=13-4t， ∴5t-5+6=13-4t， 解得t=， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒． 动点问题（三）参考答案 1.解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP， 即：t=8-t， 解得t=4． 答：当t=4时，四边形ABQP是矩形； （3） 设t秒后，四边形AQCP是菱形 当AQ=CQ，即时，四边形AQCP为菱形． 解得：t=． 答：当t=时，四边形AQCP是菱形． 2.（1）证明：∵E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB，OA=OC， ∴OA-AE=OC-CF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形能为矩形，理由如下： 分为两种情况： ①∵四边形DEBF是矩形， ∴BD=EF=12cm， 即AE=CF=0.5tcm， 则16-0.5t-0.5t=12， 解得：t=4； ②当E到F位置上，F到E位置上时， AE=AF=0.5tcm， 则0.5t-12+0.5t=16， 解得：t=28， 即当运动时间t为4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 3.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=16，AB=10， ∴AO=CO=AC=6，BO=DO=BD=8， ∵62+82=102， ∴AO2+BO2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：是定值，连接OP，过B作BH⊥DA于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=10， S△ABD=S菱形ABCD=×AC•BD=×12×16=48， ∵S△ABD=S△ABO+S△ADO=AB•PE+AD•PF=AD（PE+PF）=AD•BH， ∴PE+PF=BH， ∵S△ABD=AD•BH=×10•BH=48， ∴BH=， ∴PE+PF=． 故PE+PF定值为． 存在性问题（一）参考答案 1.解：（1）过点C作CD⊥x轴， ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴AC=AB，∠CAB=90° ∵∠DAC+∠DCA=90°，∠DAC+∠OAB=90° ∴∠DAC=∠OAB， 且AC=AB，∠CDA=∠AOB=90° ∴△ACD≌△BAO（AAS） ∴OA=CD=2，AD=OB=4 ∴OD=6 ∴点C（-6，-2） （2）设点H（x，y） ∵OA=2，OB=4， ∴A（-2，0），点B（0，-4）， 若四边形ABHC是平行四边形， ∴AH与BC互相平分 ∴x=-4，y=-6 ∴点H坐标（-4，-6） 若四边形ABCH是平行四边形 ∴AC与BH互相平分 ∴x=-8，y=2 ∴点H坐标（-8，2） 若四边形CAHB是平行四边形 ∴AB与CH互相平分 ∴x=4，y=-2 ∴点H坐标（4，-2） 综上所述：点H坐标为（-4，-6）或（-8，2）或（4，-2） 2.解：（1）过C作CD⊥OA于D，如图所示： ∵A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、（8，6）， ∴OA=16，OD=8，CD=6，BC=AD=OA-OD=8，OA∥BC， ∴OC==10， ∴OC+BC=18， 由题意得：总时间t=18÷2=9（s）， 当t＞5时，2t＞10，此时点Q在CB上， 则CQ=2t-10， ∴Q（2t-2，6）， （2）分四种情况： ①P、Q与O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则OP=CQ， ∵OP=t，CQ=2t-10， ∴t=2t-10， 解得t=10，与t≤9矛盾（舍去）， ②P、Q与A、B为顶点的四边形为平行四边形时，则PA=QB， ∵PA=16-t，QB=18-2t， ∴16-t=18-2t， 解得t=2，此时Q在OC上，矛盾； ③P、Q与O、B为顶点的四边形为平行四边形时，则OP=QB， ∵OP=t，QB=18-2t， ∴t=18-2t，解得t=6，符合题意； ④P、Q与C、A为顶点的四边形为平行四边形时，则PA=CQ， ∵PA=16-t，CQ=2t-10， ∴16-t=2t-10， 解得t＝，符合题意； 综上所述，t的值为6或． 存在性问题（二）参考答案 1.解：（1）如图，把点A（-3，1）向右平移3个单位，得到点A'（0，1）． 点B关于x轴的对称点B'（4，-3），连接A'B'，与x轴的交点为D． 此时AC+CD+DB取得最小值，最小值为CD+A'B'， 即最小值为CD+A'B'=， 过点B'作B'F⊥y轴，垂足为F，则B'F=A'F=4， ∴∠OA'D=45°， ∵OD⊥A'O， ∴∠A'OD=90°， ∴A'O=DO=1， ∴D（1，0）； （2）存在， 理由：当CD=BE=3，CD∥BE，点B，C，D，E构成的四边形为平行四边形， ∵B（4，3）， ∴E点的坐标为（7，3）或（1，3）． 当CD为对角线，即E（-5，-3）， 综上所述，点E的坐标为（7，3）或（1，3）或（-5，-3）． 2.解：（1）∵A（3，0）、B（0，3）、C（1，4） ∴AB=3，AC=2，BC= ∵AB2+BC2=20，AC2=20， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形 （2）设点D坐标（a，b） 若以AB，BC为边，则 ∴a=4，b=1 若以AC，AB为边，则 ∴a=-2，b=7 若以BC，AC为边，则 ∴a=2，b=-1 ∴点D坐标为（4，1）或（-2，7）或（2，-1） 3.（1）证明：在AB上截取BN=BE，如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠B=90°． ∴AN=EC，∠1=∠2=45°． ∴∠4=135°． ∵CP为正方形ABCD的外角平分线， ∴∠PCE=135°． ∴∠PCE=∠4． ∵∠AEP=90°， ∴∠BEA+∠3=90°． ∵∠BAE+∠BEA=90°， ∴∠3=∠BAE． ∴△ANE≌△ECP． ∴AE=EP （2）解：存在点M使得四边形DMEP是平行四边形． 理由如下：过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连接ME、DP． ∴∠AKD=∠AEP=90°． ∵∠BAD=90°， ∴∠ADM+∠AMD=90°，∠MAK+∠AMD=90°． ∴∠ADM=∠MAK． ∵AD=AB，∠B=∠DAB， ∴△AMD≌△BEA． ∴DM=AE． ∴DM=EP． ∴四边形DMEP为平行四边形． 存在性问题（三）参考答案 1.解：（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2）， ∴BC=OA=5，AB=OC=2， ∵点D时OA的中点， ∴OD=OA=2.5， 由运动知，PC=2t， ∴BP=BC-PC=5-2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB=OD=2.5， ∴5-2t=2.5， ∴t=1.25； （2）①当Q点在P的右边时，如图， ∵四边形ODQP为菱形， ∴OD=OP=PQ=2.5， 在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=1.5， ∴2t=1.5； ∴t=0.75， ∴Q（4，2）； ②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图， 同①的方法得出t=2， ∴Q（1.5，2）， ③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图， 同①的方法得出，t=0.5， ∴Q（-1.5，2） 2.解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（-6，8）． ∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8， ∴BO=10； 由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD， ∴OE=BO-BE=10-6=4，∠OED=90°， 设D（0，a），则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a， 在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2， 即（8-a）2+42=a2， 解得：a=5， ∴D（0，5）； （2）存在，点M的坐标为（4，0）或（-4，0）或（，0）或（，0）；理由如下： ①当OM、OE都为菱形的边时，OM=OE=4， ∴M的坐标为（4，0）或（-4，0）； ②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示： 则OG=OE=2， ∵OA=8，OD=5， ∴AD=DE=3， ∴E到y轴的距离=， ∴OH=， ∵EM2-MH2=42-（）2， ∴OM2-（OM-）2=42-（）2， 解得：OM=， ∴M（，0）； ③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示： 同②得：M（，0）； 综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（-4，0）或（-，0）或（，0）． 3.解：（1）设AB=3x，BC=4x 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴AC=5x，5x=5，x=1 ∴AB=3，BC=4， （2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，理由如下： 当P1D=P1C即P为对角线AC中点时，△CDP是等腰三角形， ∵AB=3，BC=4， ∴AC＝5， ∴CP1＝AC＝2.5， ∴t＝(3+4+2.5)÷1＝9.5（秒） 当CD=P2C时，△CDP是等腰三角形， ∴t＝(3+4+3)÷1＝10（秒）， AB的中点也是，此时t=1.5； CP=CD，P在BC线段上，此时，t=4； DP=DC，P在线段AC上，此时t=10.6； 综上可知当t=9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时△CDP是等腰三角形． 菱形的判定（一）参考答案 1.证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°， 在△AED与△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF， ∴AD⊥EF； （2）△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形， 理由：∵∠AED=∠AFD=∠BAC=90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∵EF⊥AD， ∴矩形AEDF是正方形． 2.证明：（1）∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线， ∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°， ∵AE⊥CE，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是矩形． （2）当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形， 理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，且∠AEC=90°， ∴∠EAC=45°=∠ACE， ∴AE=CE， ∵四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形． 3.证明：（1）连接BD，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点， ∴点O是对角线AC，BD的交点， ∴OB=OD， ∵G是AD的中点， ∴EG是△AOD的中位线， ∴EG∥OD，EG=OD， 同理：FH∥OB，FH=OB， ∴EG=HF，EG∥HF， ∴四边形GEHF是平行四边形； （2）∵四边形GEHF是平行四边形， ∴GH=AB， ∵AC=2AB， ∴AB=AC=EF， ∴GH=EF， ∴四边形GEHF是矩形； 故答案为：矩； （3）∵四边形GEHF是平行四边形， ∴GH=AB， ∵AC=2AB， ∴AB=AC=EF， ∴GH=EF， ∴四边形GEHF是矩形， ∵AC⊥AB， ∴EG⊥EH， ∴矩形GEFH是正方形． 故答案为：AC=2AB，AC⊥AB． 4.（1）证明：在△ABC和△BAD中， ∴△ABC≌△BAD（SAS）； （2）解：∵AH∥GB，BH∥GA， ∴四边形AHBG是平行四边形． ∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABD=∠BAC， ∴GA=GB， ∴平行四边形AHBG是菱形． ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAG=45°， 又∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABG=∠BAG=45°， ∴∠AGB=90°， ∴菱形AHBG是正方形． 菱形的判定（二）参考答案 1.（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°， ∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△EBF和△ABC中， ∴△EBF≌△ABC（SAS）； （2）证明：∵△EBF≌△ABC， ∴EF=AC， 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴AB=AE=DF， ∴四边形AEFD是平行四边形； （3）解：当AB=AC，∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形． 理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形， ∴AB=AE，AC=AD，∠EAB=∠DAC=60°， ∵AB=AC， ∴AE=AD， ∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形， ∵∠BAC=150°， ∴∠EAD=360°-60°-60°-150°=90°， ∴平行四边形ADEF是正方形， 故答案为：AB=AC，∠BAC=150°． 2.解：（1）过点P作PH⊥CD于点H， ∴HQ=16-5t， ∴PQ2=PH2+HQ2， 即102=（16-5t）2+62， 解得：t1＝，t2＝， 答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm； （2）假设四边形PBCQ是正方形， ∴BP=CQ，即16-3t=2t， 解得：t=， ∵CQ＝2t＝≠6， ∴不成立． 3.（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形， ∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°． ∴∠ABC=∠EBD． 在△BDE和△BAC中， ∴△BDE≌△BAC（SAS）， （2）∵△BDE≌△BAC， ∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE． ∵AD是正方形ABDI的对角线， ∴∠BDA=∠BAD=45°． ∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD=360°-90°-∠BAC-45°=225°-∠BAC ∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180° ∴DE∥AG， ∴四边形ADEG是平行四边形 （3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°． 则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°， 即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形； ②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD． 由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°． ∵四边形ABDI是正方形， ∴AD=AB． 又∵四边形ACHG是正方形， ∴AC=AG， ∴AC=AB． ∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形． 阅读理解型问题（一）参考答案 1，解：（1）∵点A（-3，4），B（+，-）， ∴[A]=|-3|+|4|=3+4=7，[B]=|+|+|-|=++=2； （2）①∵点M在x轴的上方，其横坐标为整数，且[M]=2， ∴x=±1时，y=1或x=0时，y=2， ∴点M的坐标为（-1，1）或（1，1）或（0，2）； ②∵正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t-1，0）， ∴EF=1， 若M（-1，1）在正方形EFGH上时， ∴t≤-1≤t+1， ∴-2≤t≤-1， 若M（1，1）在正方形EFGH上时， ∴t≤1≤t+1， ∴0≤t≤1， 若M（2，0）在正方形EFGH上时， ∴t≤2≤t+1， ∴1≤t≤2， 若M（-2，0）在正方形EFGH上时， ∴t≤-2≤t+1， ∴-3≤t≤-2， 综上所述：t的取值范围为-3≤t≤-2或0≤t≤2． 2.（1）证明：如图2，取EF的中点G，连接AG， ∵四边形BCAD是矩形， ∴AD∥BC，∠DAC=90°， ∴∠F=∠CBF，∠EAF=90°， ∵点G是EF的中点， ∴AG=EF=FG， ∴∠F=∠GAF， ∵EF=2AB， ∴AG=AB， ∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF， ∴∠ABC=3∠CBF， ∴射线BF是∠ABC的一条三等分线； （2）解：取AC的中点H，连接BH，如图2所示： ∵四边形BCAD是矩形， ∴∠CBA=∠CBE=90°， ∵BF是∠CBE的角平分线， ∴∠FBE=∠CBE=1×90°=45°， ∵∠FBE=∠FAB+∠F， ∴∠FAB+∠F=45°， ∵∠CBA=90°，点H是AC的中点， ∴BH=AH=BF=AC， ∴∠HAB=∠HBA，∠BHF=∠F， ∴∠BHF=2∠HAB， ∴∠F=2∠HAB， ∴∠FAB=∠F， ∴∠F+∠F=45°， ∴∠F=30°． 阅读理解型问题（二）参考答案 1.解：（1）如图1中， ∵将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'， ∴∠OBO'=60°，AO'=CO=5， ∵△BOB'是等边三角形， ∴∠BOO'=60°， ∵AO2+OO2=25=O'A2， ∴∠AOO'=90°， ∴∠AOB=150°； （2）①将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE，然后连接PE，图形如图2所示． ②∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE． ∴BP=BE，PC=AE， ∴∠BPE=∠BEP=45°． 又PA=1，PB=2，PC=3，PE=PB=2， ∴AE2=AP2+PE2， ∴∠APE=90°， ∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°． 2.（1）证明： 方法一：在边OB上截取OE，使得OE=OA， 可得△AOP≌△EOP， ∴∠OAP=∠OEP，PA=PE， ∵∠OAP+∠OBP=180°，∠OEP+∠PEB=180°， ∴∠PEB=∠PBE， ∴PE=PB， ∴PA=PB． 方法二：过点P作PF⊥OM，PD⊥ON， 由角平分线性质可得PF=PD， ∵∠OAP+∠PBD=180°，∠OAP+∠PAF=180°， ∴∠PAF=∠PBD， ∵∠PFA=∠PDB=90°， ∴△PFA≌△PBD， ∴PA=PB． （2）如图2中，作AP⊥EF于P，FN⊥AE于N，连接AF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD=CD=BC=6， ∵AE=AE，∠AEB=∠AEP， ∴△AEB≌△AEP， ∴AB=AP，BE=EP=9， ∴AP=AD， ∵AF=AF，∠P=∠ADF=90°， ∴Rt△AFP≌Rt△AFD， ∴PF=DF， 设PF=FD=x， 在Rt△EFC中，（9-x）2=32+（6+x）2， ∴x=， ∵△AEB∽△FEN， ∴， ∴FN=． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $