小升初奥数培优讲义专题20 鸡兔同笼问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题20 鸡兔同笼问题 知识梳理 1. 基本模型与数量关系 (1)已知条件：鸡和兔的总头数、总脚数。 (2)隐含条件：鸡有1个头、2只脚；兔有1个头、4只脚。 (3)核心等量关系： ①　鸡的只数 + 兔的只数 = 总头数 ②　鸡的脚数 + 兔的脚数 = 总脚数 2. 常用解题方法 (1)假设法（核心方法）： ①　假设全是鸡：假设笼子里全是鸡，则总脚数应为 总头数。实际脚数与假设脚数的差，是因为把兔子当成了鸡。每只兔子少算了 只脚。 兔的只数 = (实际总脚数 - 总头数) 2 ②　假设全是兔：假设笼子里全是兔，则总脚数应为 总头数。假设脚数与实际脚数的差，是因为把鸡当成了兔子。每只鸡多算了 只脚。 鸡的只数 = ( 总头数 - 实际总脚数) 2 (2)方程法（代数方法）： ①　设鸡有 只，兔有 只，根据题意列出二元一次方程组求解。此法思路直接，适用于所有此类问题。 ②　设鸡有 只，则兔有 (总头数 - ) 只，根据脚数列出一元一次方程求解。 (3)抬腿法（金鸡独立法）： ①　想象让所有动物都抬起一半的腿（或抬起2条腿）。此时，鸡剩下1条腿（或0条），兔剩下2条腿。脚的总数与头的总数的差值，就对应兔子的数量。公式为：兔的只数 = 总脚数 2 - 总头数。 3. 问题变形与应用 “鸡兔同笼”问题的本质是“两类对象，两种属性”的计数问题。它可以变形为多种实际问题，如： (1)得分扣分问题：做对得分，做错扣分。 (2)大小车/船问题：大车坐多人，小车坐少人。 (3)好坏物品问题：好品重/贵，次品轻/便宜。 (4)不同票价问题：成人票贵，儿童票便宜。 解题关键是识别出问题中的“两类对象”和“两种属性”，并将其对应到“鸡”和“兔”上。 例题讲解 【典型例题1】 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？ 【跟踪训练1】 某次数学竞赛共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明全部做完，最后得了79分。他答对了多少道题？ 【典型例题2】 四年级同学分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。科技类每5人一组，艺术类每3人一组，共有37名学生报名，正好分成9个组。参加科技类和艺术类的学生各有多少人？ 【跟踪训练2】 停车场停着汽车（四轮）和摩托车（两轮）共20辆，这些车一共有56个轮子。汽车和摩托车各有多少辆？ 【典型例题3】 动物园有一些龟和鹤，共有80只眼睛和112条腿。问龟和鹤各几只？ 【跟踪训练3】 明明的存钱罐里有1角和5角的硬币共19枚，一共是55角。1角和5角的硬币各有多少枚？ 提升练习 1.笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有30个头，从下面数，有88只脚。问鸡和兔各有几只？ 2.某次数学竞赛共有10道题，规定答对一题得10分，答错一题扣2分。小红全部做完，最后得了64分。她答对了几道题？ 3.停车场停着三轮车和小轿车（4个轮子）共15辆，这些车一共有52个轮子。三轮车和小轿车各有多少辆？ 4.明明的存钱罐里有1元和2元的纸币共20张，一共有33元。1元和2元的纸币各有多少张？ 5.学校买来篮球（4人玩一个）和排球（6人玩一个）若干个，共20个球，正好够96人同时玩。篮球和排球各买了多少个？ 6.笼子里有鸡和兔共40只，脚共有112只。鸡和兔各有几只？ 7.学校组织春游，共租了10条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，正好坐满48人。大船和小船各租了几条？ 8.工人搬运1000个玻璃瓶，规定搬一个完好的瓶子得搬运费3角，打碎一个瓶子不仅不给搬运费，还要赔偿5角。工人运完后得到260元（2600角）。他在搬运过程中打碎了多少个瓶子？ 9.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿。现在这两种昆虫共有18只，腿共有118条。蜘蛛和蜻蜓各有多少只？ 10.笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有20个头，从下面数，有54只脚。用抬腿法求鸡和兔各有几只？ 11.动物园里有一些龟（4条腿）和鹤（2条腿），共有50只眼睛和70条腿。问龟和鹤各几只？ 12.停车场停着汽车（4个轮子）和三轮车（3个轮子）共12辆，共有42个轮子。汽车有多少辆？ 13.笼子里有鸡和兔共30只，脚共有80只。用抬腿法求兔有多少只？ 14.明明的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总价值是18.5元（185角）。5角硬币有多少枚？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 鸡兔同笼问题 知识梳理 1. 基本模型与数量关系 (1)已知条件：鸡和兔的总头数、总脚数。 (2)隐含条件：鸡有1个头、2只脚；兔有1个头、4只脚。 (3)核心等量关系： ①　鸡的只数 + 兔的只数 = 总头数 ②　鸡的脚数 + 兔的脚数 = 总脚数 2. 常用解题方法 (1)假设法（核心方法）： ①　假设全是鸡：假设笼子里全是鸡，则总脚数应为 总头数。实际脚数与假设脚数的差，是因为把兔子当成了鸡。每只兔子少算了 只脚。 兔的只数 = (实际总脚数 - 总头数) 2 ②　假设全是兔：假设笼子里全是兔，则总脚数应为 总头数。假设脚数与实际脚数的差，是因为把鸡当成了兔子。每只鸡多算了 只脚。 鸡的只数 = ( 总头数 - 实际总脚数) 2 (2)方程法（代数方法）： ①　设鸡有 只，兔有 只，根据题意列出二元一次方程组求解。此法思路直接，适用于所有此类问题。 ②　设鸡有 只，则兔有 (总头数 - ) 只，根据脚数列出一元一次方程求解。 (3)抬腿法（金鸡独立法）： ①　想象让所有动物都抬起一半的腿（或抬起2条腿）。此时，鸡剩下1条腿（或0条），兔剩下2条腿。脚的总数与头的总数的差值，就对应兔子的数量。公式为：兔的只数 = 总脚数 2 - 总头数。 3. 问题变形与应用 “鸡兔同笼”问题的本质是“两类对象，两种属性”的计数问题。它可以变形为多种实际问题，如： (1)得分扣分问题：做对得分，做错扣分。 (2)大小车/船问题：大车坐多人，小车坐少人。 (3)好坏物品问题：好品重/贵，次品轻/便宜。 (4)不同票价问题：成人票贵，儿童票便宜。 解题关键是识别出问题中的“两类对象”和“两种属性”，并将其对应到“鸡”和“兔”上。 例题讲解 【典型例题1】 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？ 【分析】 这是最经典的“鸡兔同笼”问题。我们可以使用假设法或方程法来解决。这里以假设法为例，先假设全是鸡，计算出脚的总数，再与实际脚数比较，找出差异的原因，从而求出兔子的数量。 【详解】 方法一：假设法 1. 假设全是鸡：如果35只全是鸡，那么脚的总数应该是 （只）。 2. 比较差异：实际有94只脚，比假设多了 （只）脚。 3. 分析原因：为什么会多出24只脚呢？因为把兔子当成了鸡。每只兔子比每只鸡多 （只）脚。 4. 求出兔数：多出的24只脚，是由 （只）兔子造成的。所以，兔有12只。 5. 求出鸡数：鸡的数量就是 （只）。 方法二：方程法 1. 设未知数：设兔有 只，则鸡有 只。 2. 列方程：根据脚的总数列方程： 。 3. 解方程： 4. 求鸡数：鸡有 （只）。 【答案】 鸡有23只，兔有12只。 【跟踪训练1】 某次数学竞赛共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明全部做完，最后得了79分。他答对了多少道题？ 【分析】 这道题是“鸡兔同笼”问题的变形。我们可以把“答对的题”看作“兔”（得5分），“答错或不答的题”看作“鸡”（扣2分，相当于得-2分）。总题数是“总头数”，总得分是“总脚数”。 【详解】 方法一：假设法 1. 假设全对：假设小明20道题全答对，应得 （分）。 2. 比较差异：实际得了79分，比假设少了 （分）。 3. 分析原因：为什么会少21分？因为把答错或不答的题当成了答对的题。每错一道题，不仅得不到5分，还要倒扣2分，所以里外里相差 （分）。 4. 求出错题数：错题或不答的题数为 （道）。 5. 求出对题数：答对的题数为 （道）。 方法二：方程法 1. 设未知数：设答对了 道题，则答错或不答的有 道。 2. 列方程： 。 3. 解方程： 【答案】 他答对了17道题。 【典型例题2】 四年级同学分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。科技类每5人一组，艺术类每3人一组，共有37名学生报名，正好分成9个组。参加科技类和艺术类的学生各有多少人？ 【分析】 这道题的本质也是“鸡兔同笼”。两类对象是“科技类小组”和“艺术类小组”，两种属性是“组数”和“人数”。我们可以把“科技类小组”看作“兔”（每组5人），“艺术类小组”看作“鸡”（每组3人）。总组数是“总头数”，总人数是“总脚数”。 【详解】 方法一：假设法 1. 假设全是科技类：假设9个组全是科技类，那么总人数应为 （人）。 2. 比较差异：实际有37人，比假设多了 （人）。 3. 分析原因：为什么会多8人？因为把艺术类小组当成了科技类小组。每个科技类小组比艺术类小组多 （人）。 4. 求出艺术类组数：艺术类小组有 （组）。 5. 求出艺术类人数：艺术类学生有 （人）。 6. 求出科技类人数：科技类学生有 （人）。 方法二：方程法 1. 设未知数：设科技类有 组，则艺术类有 组。 2. 列方程： 。 3. 解方程： 4. 求人数：科技类有 （人），艺术类有 （人）。 【答案】 参加科技类的学生有25人，参加艺术类的学生有12人。 【跟踪训练2】 停车场停着汽车（四轮）和摩托车（两轮）共20辆，这些车一共有56个轮子。汽车和摩托车各有多少辆？ 【分析】 这道题是典型的“鸡兔同笼”问题。两类对象是“汽车”和“摩托车”，两种属性是“车辆数”和“轮子数”。汽车是“兔”（4个轮子），摩托车是“鸡”（2个轮子）。 【详解】 方法一：假设法 1. 假设全是摩托车：假设20辆车全是摩托车，那么轮子总数应为 （个）。 2. 比较差异：实际有56个轮子，比假设多了 （个）。 3. 分析原因：为什么会多16个轮子？因为把汽车当成了摩托车。每辆汽车比摩托车多 （个）轮子。 4. 求出汽车数：汽车有 （辆）。 5. 求出摩托车数：摩托车有 （辆）。 方法二：方程法 1. 设未知数：设汽车有 辆，则摩托车有 辆。 2. 列方程： 。 3. 解方程： 4. 求摩托车数：摩托车有 （辆）。 【答案】 汽车有8辆，摩托车有12辆。 【典型例题3】 动物园有一些龟和鹤，共有80只眼睛和112条腿。问龟和鹤各几只？ 【分析】 这道题是“鸡兔同笼”问题的一个巧妙变形。关键在于“80只眼睛”。因为龟和鹤都只有2只眼睛，所以动物的总只数就是 （只）。这样，问题就转化为了标准的“鸡兔同笼”问题：总头数40，总腿数112。龟有4条腿（兔），鹤有2条腿（鸡）。 【详解】 1. 求总只数：龟和鹤的总只数为 （只）。 2. 使用假设法： 假设全是鹤：如果40只全是鹤，那么腿的总数应为 （条）。 比较差异：实际有112条腿，比假设多了 （条）。 分析原因：为什么会多32条腿？因为把龟当成了鹤。每只龟比鹤多 （条）腿。 求出龟数：龟有 （只）。 求出鹤数：鹤有 （只）。 【答案】 龟有16只，鹤有24只。 【跟踪训练3】 明明的存钱罐里有1角和5角的硬币共19枚，一共是55角。1角和5角的硬币各有多少枚？ 【分析】 这道题是“鸡兔同笼”问题的又一常见变形。两类对象是“1角硬币”和“5角硬币”，两种属性是“硬币枚数”和“总钱数（角）”。5角硬币是“兔”，1角硬币是“鸡”。 【详解】 方法一：假设法 1. 假设全是1角硬币：假设19枚全是1角硬币，那么总钱数应为 （角）。 2. 比较差异：实际有55角，比假设多了 （角）。 3. 分析原因：为什么会多36角？因为把5角硬币当成了1角硬币。每枚5角硬币比1角硬币多 （角）。 4. 求出5角硬币数：5角硬币有 （枚）。 5. 求出1角硬币数：1角硬币有 （枚）。 方法二：方程法 1. 设未知数：设5角硬币有 枚，则1角硬币有 枚。 2. 列方程： 。 3. 解方程： 4. 求1角硬币数：1角硬币有 （枚）。 【答案】 1角硬币有10枚，5角硬币有9枚。 提升练习 1.笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有30个头，从下面数，有88只脚。问鸡和兔各有几只？ 【详解】 假设全是鸡：如果30只全是鸡，脚的总数应为 （只）。 比较差异：实际有88只脚，比假设多了 （只）。 分析原因：多出的脚是因为把兔子当成了鸡。每只兔子比鸡多 （只）脚。 求出兔数：多出的28只脚是由 （只）兔子造成的。 求出鸡数：鸡的数量为 （只）。 【答案】 鸡有16只，兔有14只。 2.某次数学竞赛共有10道题，规定答对一题得10分，答错一题扣2分。小红全部做完，最后得了64分。她答对了几道题？ 【详解】 假设全对：假设10道题全对，应得 （分）。 比较差异：实际得了64分，比假设少了 （分）。 分析原因：少得分是因为把错题当成了对题。每错一题，不仅得不到10分，还要倒扣2分，里外里相差 （分）。 求出错题数：错题数为 （道）。 求出对题数：答对题数为 （道）。 【答案】 她答对了7道题。 3.停车场停着三轮车和小轿车（4个轮子）共15辆，这些车一共有52个轮子。三轮车和小轿车各有多少辆？ 【详解】 假设全是小轿车：如果15辆全是小轿车，轮子总数应为 （个）。 比较差异：实际有52个轮子，比假设少了 （个）。 分析原因：少轮子是因为把三轮车当成了小轿车。每辆三轮车比小轿车少 （个）轮子。 求出三轮车数：三轮车有 （辆）。 求出小轿车数：小轿车有 （辆）。 【答案】 三轮车有8辆，小轿车有7辆。 4.明明的存钱罐里有1元和2元的纸币共20张，一共有33元。1元和2元的纸币各有多少张？ 【详解】 假设全是1元：如果20张全是1元，总钱数应为 （元）。 比较差异：实际有33元，比假设多了 （元）。 分析原因：多出的钱是因为把2元当成了1元。每张2元比1元多 （元）。 求出2元数：2元纸币有 （张）。 求出1元数：1元纸币有 （张）。 【答案】 1元纸币有7张，2元纸币有13张。 5.学校买来篮球（4人玩一个）和排球（6人玩一个）若干个，共20个球，正好够96人同时玩。篮球和排球各买了多少个？ 【详解】 假设全是排球：如果20个全是排球，能玩的人数为 （人）。 比较差异：实际有96人，比假设少了 （人）。 分析原因：少人数是因为把篮球当成了排球。每个篮球比排球少 （人）。 求出篮球数：篮球有 （个）。 求出排球数：排球有 （个）。 【答案】 篮球有12个，排球有8个。 6.笼子里有鸡和兔共40只，脚共有112只。鸡和兔各有几只？ 【详解】 设未知数：设兔有 只，则鸡有 只。 列方程：根据脚的总数列方程： 解方程： 求鸡数：鸡有 （只）。 【答案】 鸡有24只，兔有16只。 7.学校组织春游，共租了10条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，正好坐满48人。大船和小船各租了几条？ 【详解】 设未知数：设大船有 条，则小船有 条。 列方程：根据总人数列方程： 解方程： 求小船数：小船有 （条）。 【答案】 大船租了4条，小船租了6条。 8.工人搬运1000个玻璃瓶，规定搬一个完好的瓶子得搬运费3角，打碎一个瓶子不仅不给搬运费，还要赔偿5角。工人运完后得到260元（2600角）。他在搬运过程中打碎了多少个瓶子？ 【详解】 设未知数：设打碎了 个瓶子，则完好搬运的瓶子有 个。 列方程：根据总费用列方程（单位统一为角）： (注：完好得钱，打碎扣钱) 解方程： 【答案】 他在搬运过程中打碎了50个瓶子。 9.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿。现在这两种昆虫共有18只，腿共有118条。蜘蛛和蜻蜓各有多少只？ 【详解】 设未知数：设蜘蛛有 只，则蜻蜓有 只。 列方程：根据腿的总数列方程： 解方程： 求蜻蜓数：蜻蜓有 （只）。 【答案】 蜘蛛有5只，蜻蜓有13只。 10.笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有20个头，从下面数，有54只脚。用抬腿法求鸡和兔各有几只？ 【详解】 抬腿：让所有动物都抬起2条腿（金鸡独立）。 计算剩余腿数：剩下的腿数为 （只）。 分析剩余：剩下的14只腿全是兔子的（鸡的腿抬光了）。此时每只兔子还剩 （只）腿。 求出兔数：兔的只数为 （只）。 求出鸡数：鸡的只数为 （只）。 【答案】 鸡有13只，兔有7只。 11.动物园里有一些龟（4条腿）和鹤（2条腿），共有50只眼睛和70条腿。问龟和鹤各几只？ 【详解】 求总只数：每只动物都有2只眼睛，总只数为 （只）。 抬腿：让所有动物都抬起2条腿。 计算剩余腿数：剩下的腿数为 （只）。 分析剩余：剩下的腿全是龟的（鹤的腿抬光了）。此时每只龟还剩 （只）腿。 求出龟数：龟的只数为 （只）。 求出鹤数：鹤的只数为 （只）。 【答案】 龟有10只，鹤有15只。 12.停车场停着汽车（4个轮子）和三轮车（3个轮子）共12辆，共有42个轮子。汽车有多少辆？ 【详解】 抬轮：假设每辆车都抬起3个轮子。 计算剩余轮数：剩下的轮子数为 （个）。 分析剩余：剩下的轮子全是汽车的（因为三轮车抬起3个就没了，汽车抬起3个还剩1个）。 求出汽车数：汽车有 （辆）。 【答案】 汽车有6辆。 13.笼子里有鸡和兔共30只，脚共有80只。用抬腿法求兔有多少只？ 【详解】 抬腿：让所有动物都抬起2条腿。 计算剩余腿数：剩下的腿数为 （只）。 分析剩余：剩下的腿全是兔子的，且每只兔子剩2条腿。 求出兔数：兔的只数为 （只）。 【答案】 兔有10只。 14.明明的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总价值是18.5元（185角）。5角硬币有多少枚？ 【详解】 单位换算：总价值18.5元 = 185角。 抬角：假设每枚硬币都“抬起”5角。 计算剩余价值：剩下的总价值为 （角）。 分析剩余：剩下的价值全是1元（10角）硬币贡献的。因为1元硬币抬起5角后，还剩 （角）。 求出1元硬币数：1元硬币有 （枚）。 求出5角硬币数：5角硬币有 （枚）。 【答案】 5角硬币有13枚。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $