小升初奥数培优讲义专题19 比例法解行程问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题19 比例法解行程问题 知识梳理 1. 时间一定，路程与速度成正比 (1)场景：两人或两车同时出发，同时停止（或相遇），运动的时间相同。 (2)结论： 。 (3)应用：已知速度比，即可直接得出路程比。例如，甲乙速度比为 ，在相同时间内，甲走的路程与乙走的路程之比也是 。 2. 路程一定，速度与时间成反比 (1)场景：同一段路程，不同的物体去走；或者同一个物体往返（如上山下山、顺水逆水）。 (2)结论： 。 (3)应用：已知速度比，时间比是速度比的反比。例如，去时与回时的速度比为 ，则去时与回时的时间比为 。 3. 速度一定，路程与时间成正比 (1)场景：同一个物体以恒定速度运动。 (2)结论： 。 (3)应用：路程的比等于时间的比。 4. 常用解题技巧 (1)份数法：将比例看作份数。例如速度比为 ，则路程分别为 份和 份，总路程为 份。 (2)差量法：利用路程差或时间差对应的实际数值，求出一份代表的实际量。例如，路程比是 ，实际路程差是 千米，则 份对应 千米，每份是 千米。 例题讲解 【典型例题1】 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行。甲、乙两车的速度比是 ，两车在距离中点 千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？ 【跟踪训练1】 甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，3小时后在离A、B两地中点 千米处相遇。已知甲、乙两车的速度比是 。求A、B两地相距多少千米？ 【典型例题2】 小星从甲地到乙地，去时的速度为 米/分，返回的速度为 米/分，往返共用了 分钟。求甲、乙两地相距多少米？ 【跟踪训练2】 一架飞机油箱加满油最多够飞行 小时。它顺风每小时飞行 千米，逆风飞行的速度是顺风飞行速度的 。飞机顺风飞行多少千米就需返航？ 【典型例题3】 小刚、小明进行了 米短跑比赛（假定二人速度均不变）。当小刚跑了 米时，小明距离终点还有 米。那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？ 【跟踪训练3】 甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙距离终点还有 米。如果甲在起跑线后面 米，与乙同时跑，谁先到达终点？这时另一个人距离终点还有几米？ 提升练习 1. 甲、乙两车从相距600千米的两地同时出发，相向而行。甲车的速度是乙车的1.5倍。相遇时，两车各行驶了多少千米？ 2. 小明和小红进行400米赛跑，当小明到达终点时，小红跑了320米。已知小明的速度是每秒5米，求小红的速度。 3. 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，速度比为4:5，在距离中点18千米处相遇。求A、B两地的距离。 4. 两辆汽车同时从东站开往西站，快车速度为90千米/时，慢车速度为60千米/时。当快车到达西站时，慢车距离西站还有45千米。求东西两站的距离。 5. 小张和小王进行200米赛跑。当小张跑了160米时，小王跑了140米。如果两人速度不变，当小张到达终点时，小王距离终点还有多少米？ 6. A、B两车同时从学校出发去郊游，A车速度是B车的 。当B车到达目的地时，A车距离目的地还有12千米。求学校到目的地的距离。 7. 一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行40千米，返回时每小时行60千米。往返共用了6小时。求甲、乙两地的距离。 8. 一架飞机加满油最多能飞8小时。顺风飞行时每小时飞1500千米，逆风返回时每小时飞1000千米。这架飞机最多飞出多少千米就必须返回？ 9. 从山脚到山顶的路程是2400米。小李上山每分钟走40米，下山每分钟走60米。他往返一趟平均每分钟走多少米？ 10. 甲、乙两人走同一段路，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米。甲比乙少用10分钟。求这段路的长度。 11. 一辆汽车从A地到B地，如果速度提高 ，则可以提前1小时到达。求原计划从A到B需要多少小时？ 12. 小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到5分钟；如果每分钟走70米，就可以提前3分钟到校。求小明家到学校的距离。 13. 一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶。如果它行驶了2小时，那么它行驶了多少千米？ 14. 小华骑自行车从家去图书馆，前15分钟骑了3千米。照这样的速度，他再骑10分钟，一共骑了多少千米？ 15. 甲、乙两人进行游泳比赛。当甲游了全程的 时，乙游了全程的 。已知此时甲比乙多游了10米，求游泳池的全长。 16. 两列火车从同一车站出发，沿同一条铁路线行驶。快车每小时行90千米，慢车每小时行60千米。当快车行驶了270千米时，慢车行驶了多少千米？ 17. 小明和小红同时从学校出发去少年宫。小明每分钟走60米，小红每分钟走50米。当小明到达少年宫时，小红距离少年宫还有150米。求学校到少年宫的距离。 18. A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。A车速度是B车的 。相遇时，A车比B车少行了30千米。求甲、乙两地的距离。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 比例法解行程问题 知识梳理 1. 时间一定，路程与速度成正比 (1)场景：两人或两车同时出发，同时停止（或相遇），运动的时间相同。 (2)结论： 。 (3)应用：已知速度比，即可直接得出路程比。例如，甲乙速度比为 ，在相同时间内，甲走的路程与乙走的路程之比也是 。 2. 路程一定，速度与时间成反比 (1)场景：同一段路程，不同的物体去走；或者同一个物体往返（如上山下山、顺水逆水）。 (2)结论： 。 (3)应用：已知速度比，时间比是速度比的反比。例如，去时与回时的速度比为 ，则去时与回时的时间比为 。 3. 速度一定，路程与时间成正比 (1)场景：同一个物体以恒定速度运动。 (2)结论： 。 (3)应用：路程的比等于时间的比。 4. 常用解题技巧 (1)份数法：将比例看作份数。例如速度比为 ，则路程分别为 份和 份，总路程为 份。 (2)差量法：利用路程差或时间差对应的实际数值，求出一份代表的实际量。例如，路程比是 ，实际路程差是 千米，则 份对应 千米，每份是 千米。 例题讲解 【典型例题1】 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行。甲、乙两车的速度比是 ，两车在距离中点 千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？ 【分析】 1. 判断比例关系：两车同时出发、相向而行直到相遇，说明两车行驶的时间相同。根据“时间一定，路程与速度成正比”，甲、乙两车行驶的路程比等于它们的速度比，即 。 2. 分析路程差：两车在距离中点 千米处相遇。这意味着快车（甲）超过了中点 千米，而慢车（乙）还差 千米到中点。因此，甲车比乙车多行驶了 千米。 3. 利用份数求解：路程比是 ，路程差是 份。这 份对应的实际距离是 千米。 【详解】 甲、乙两车行驶的时间相同， 所以，甲、乙两车行驶的路程比 甲、乙两车的速度比 。 两车行驶的路程差为： （千米） 路程的份数差为： （份） 每一份对应的路程为： （千米） A、B两地的总路程为（共 份）： （千米） 答：A、B两地相距 千米。 【跟踪训练1】 甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，3小时后在离A、B两地中点 千米处相遇。已知甲、乙两车的速度比是 。求A、B两地相距多少千米？ 【分析】 1. 两车同时出发到相遇，时间相同，路程比等于速度比，即 。 2. 相遇点离中点 千米，说明快车比慢车多走了 千米。 3. 路程比是 ，差 份，这 份对应 千米。总路程是 份。 【答案】 （千米）。 答：A、B两地相距 千米。 【典型例题2】 小星从甲地到乙地，去时的速度为 米/分，返回的速度为 米/分，往返共用了 分钟。求甲、乙两地相距多少米？ 【分析】 1. 判断比例关系：往返的路程是相同的。根据“路程一定，速度与时间成反比”，去时和返回的时间比等于返回和去时的速度比。 2. 求时间比：去时速度:返回速度 。所以，去时时间:返回时间 。 3. 按比例分配总时间：往返总时间是 分钟，按 的比例分配，可以求出去时和返回各自的时间。 4. 求路程：路程 去时速度 去时时间。 【详解】 去时速度:返回速度 。 因为路程一定，所以时间与速度成反比。 去时时间:返回时间 。 去时所用的时间为： （分钟） 甲、乙两地的距离为： （米） 答：甲、乙两地相距 米。 【跟踪训练2】 一架飞机油箱加满油最多够飞行 小时。它顺风每小时飞行 千米，逆风飞行的速度是顺风飞行速度的 。飞机顺风飞行多少千米就需返航？ 【分析】 1. 往返路程相同，速度与时间成反比。 2. 顺风速度为 千米/时，逆风速度为 千米/时。 3. 顺风速度:逆风速度 。 4. 所以，顺风时间:逆风时间 。 5. 总飞行时间是 小时，按 分配，求出顺风飞行的时间，再乘以顺风速度即可。 【答案】 逆风速度： （千米/时） 顺风速度:逆风速度 顺风时间:逆风时间 顺风飞行的时间为： （小时） 顺风飞行的路程为： （千米） 答：飞机顺风飞行 千米就需返航。 【典型例题3】 小刚、小明进行了 米短跑比赛（假定二人速度均不变）。当小刚跑了 米时，小明距离终点还有 米。那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？ 【分析】 1. 求速度比：两人在相同时间内跑的路程比就是他们的速度比。小刚跑 米时，小明跑了 米。所以小刚与小明的速度比（也是路程比）为 。 2. 分析第二阶段：小刚从 米处跑到终点，又跑了 米。 3. 按比例计算：在小刚跑这 米的时间里，小明跑的路程与小刚跑的路程之比也是 。可以求出小明这段时间跑了多少米，进而求出他距离终点的距离。 【详解】 小刚跑 米时，小明跑了： （米） 小刚与小明的速度比（路程比）为： 小刚到达终点还需跑： （米） 在小刚跑这 米的时间里，小明跑的路程为： （米） 此时小明距离终点的距离为： （米） 答：当小刚到达终点时，小明距离终点还有 米（或 米）。 【跟踪训练3】 甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙距离终点还有 米。如果甲在起跑线后面 米，与乙同时跑，谁先到达终点？这时另一个人距离终点还有几米？ 【分析】 1. 求速度比：第一次比赛，甲跑 米时，乙跑了 米。所以甲、乙的速度比（路程比）为 。 2. 分析第二次比赛：甲要跑 米，乙要跑 米。 3. 比较谁先到：可以比较甲跑完 米时，乙跑了多少米。如果乙跑的距离小于 米，则甲先到；反之则乙先到。 4. 计算距离：根据速度比 ，当甲跑 米时，乙跑的路程是 。 【答案】 甲、乙的速度比为： 。 第二次比赛，甲跑的路程为 米。 当甲跑完 米时，乙跑的路程为： （米） 因为 ，所以甲先到达终点。 此时乙距离终点还有： （米） 答：甲先到达终点，这时乙距离终点还有 米。 提升练习 1. 甲、乙两车从相距600千米的两地同时出发，相向而行。甲车的速度是乙车的1.5倍。相遇时，两车各行驶了多少千米？ 【详解】 判断关系： 两车同时出发到相遇，时间相同。路程比等于速度比。 确定比例： 甲速:乙速 = 1.5:1 = 3:2。所以，甲路程:乙路程 = 3:2。 计算份数： 总份数 = 3 + 2 = 5份。 求每份： 每份路程 = 600 ÷ 5 = 120千米。 求结果： 甲行驶 120 × 3 = 360千米；乙行驶 120 × 2 = 240千米。 【答案】 甲行驶了360千米，乙行驶了240千米。 2. 小明和小红进行400米赛跑，当小明到达终点时，小红跑了320米。已知小明的速度是每秒5米，求小红的速度。 【详解】 判断关系： 两人跑的时间相同（从小明起跑到小明到达终点）。路程比等于速度比。 计算路程比： 小明路程:小红路程 = 400:320 = 5:4。 确定速度比： 速度比也是 5:4。 求小红速度： 小明速度是5份对应5米/秒，所以每份是1米/秒。小红速度是4份，即 4 × 1 = 4米/秒。 【答案】 小红的速度是4米/秒。 3. 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，速度比为4:5，在距离中点18千米处相遇。求A、B两地的距离。 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比 4:5。 分析差量： 速度比 4:5，说明乙车比甲车多走了 5-4=1份。相遇点距离中点18千米，说明乙比甲多走了 18×2=36千米。 对应份数： 1份路程对应36千米。 求总路程： 总份数 = 4 + 5 = 9份。总路程 = 36 × 9 = 324千米。 【答案】 A、B两地相距324千米。 4. 两辆汽车同时从东站开往西站，快车速度为90千米/时，慢车速度为60千米/时。当快车到达西站时，慢车距离西站还有45千米。求东西两站的距离。 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比 90:60 = 3:2。 分析差量： 快车走了3份，慢车走了2份，差1份。这1份对应实际距离45千米。 求总路程： 东西两站距离对应快车的路程（即3份）。距离 = 45 × 3 = 135千米。 【答案】 东西两站相距135千米。 5. 小张和小王进行200米赛跑。当小张跑了160米时，小王跑了140米。如果两人速度不变，当小张到达终点时，小王距离终点还有多少米？ 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比。 计算比例： 160:140 = 8:7。 分析后续： 小张到达终点还需跑 200-160=40米。 按比例计算： 在小张跑40米的时间里，小王跑的路程与小张跑的路程比也是7:8。 小王跑的距离 = 米。 求剩余距离： 小王原本跑了140米，又跑了35米，共跑了175米。距离终点还有 200-175=25米。 【答案】 小王距离终点还有25米。 6. A、B两车同时从学校出发去郊游，A车速度是B车的 。当B车到达目的地时，A车距离目的地还有12千米。求学校到目的地的距离。 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比 4:5。 分析差量： B车走了5份，A车走了4份，差1份。这1份对应12千米。 求总路程： 目的地距离对应B车的路程（即5份）。距离 = 12 × 5 = 60千米。 【答案】 学校到目的地的距离是60千米。 7. 一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行40千米，返回时每小时行60千米。往返共用了6小时。求甲、乙两地的距离。 【详解】 判断关系： 往返路程相等，速度与时间成反比。 求时间比： 去时速度:返回速度 = 40:60 = 2:3。所以，去时时间:返回时间 = 3:2。 分配总时间： 总份数 = 3 + 2 = 5份。每份时间 = 6 ÷ 5 = 1.2小时。 去时时间 = 1.2 × 3 = 3.6小时。 求路程： 距离 = 速度 × 时间 = 40 × 3.6 = 144千米。 【答案】 甲、乙两地相距144千米。 8. 一架飞机加满油最多能飞8小时。顺风飞行时每小时飞1500千米，逆风返回时每小时飞1000千米。这架飞机最多飞出多少千米就必须返回？ 【详解】 判断关系： 往返路程相等，速度与时间成反比。 求时间比： 顺风速度:逆风速度 = 1500:1000 = 3:2。所以，顺风时间:逆风时间 = 2:3。 分配总时间： 总份数 = 2 + 3 = 5份。总时间8小时。 顺风飞行时间 = 小时。 求路程： 飞出距离 = 1500 × 3.2 = 4800千米。 【答案】 这架飞机最多飞出4800千米就必须返回。 9. 从山脚到山顶的路程是2400米。小李上山每分钟走40米，下山每分钟走60米。他往返一趟平均每分钟走多少米？ 【详解】 计算时间： 此题虽然求平均速度，但可以利用比例法辅助计算时间。 上山时间 = 2400 ÷ 40 = 60分钟。 下山时间 = 2400 ÷ 60 = 40分钟。 (注：速度比40:60=2:3，时间比为3:2，符合60:40=3:2) 计算平均速度： 总路程 ÷ 总时间。 总路程 = 2400 × 2 = 4800米。 总时间 = 60 + 40 = 100分钟。 平均速度 = 4800 ÷ 100 = 48米/分。 【答案】 他往返一趟平均每分钟走48米。 10. 甲、乙两人走同一段路，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米。甲比乙少用10分钟。求这段路的长度。 【详解】 判断关系： 路程相同，速度与时间成反比。 求时间比： 速度比 60:40 = 3:2。所以，时间比 甲:乙 = 2:3。 分析差量： 时间差 3-2=1份。这1份对应实际时间差10分钟。 求乙的时间： 乙的时间是3份，即 10 × 3 = 30分钟。 求路程： 路程 = 乙的速度 × 乙的时间 = 40 × 30 = 1200米。 【答案】 这段路长1200米。 11. 一辆汽车从A地到B地，如果速度提高 ，则可以提前1小时到达。求原计划从A到B需要多少小时？ 【详解】 判断关系： 路程相同，速度与时间成反比。 计算新速度： 原速度看作1，提高 后，新速度是 。 求时间比： 原速度:新速度 = 。所以，原时间:新时间 = 5:4。 分析差量： 时间差 5-4=1份。这1份对应提前的时间1小时。 求原时间： 原计划时间是5份，即 1 × 5 = 5小时。 【答案】 原计划从A到B需要5小时。 12. 小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到5分钟；如果每分钟走70米，就可以提前3分钟到校。求小明家到学校的距离。 【详解】 判断关系： 路程相同，速度与时间成反比。 求时间比： 速度比 50:70 = 5:7。所以，时间比 50米/分用时 : 70米/分用时 = 7:5。 分析差量： 两种走法的时间差是 5 + 3 = 8分钟（一种迟到，一种早到）。 份数差 7-5=2份。这2份对应8分钟。 每份时间 = 8 ÷ 2 = 4分钟。 求实际用时： 速度为70米/分时，用时 5份 = 4 × 5 = 20分钟。 求路程： 距离 = 70 × 20 = 1400米。 【答案】 小明家到学校的距离是1400米。 13. 一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶。如果它行驶了2小时，那么它行驶了多少千米？ 【详解】 判断关系： 速度一定，路程与时间成正比。 计算： 路程 = 速度 × 时间 = 60 × 2 = 120千米。 【答案】 它行驶了120千米。 14. 小华骑自行车从家去图书馆，前15分钟骑了3千米。照这样的速度，他再骑10分钟，一共骑了多少千米？ 【详解】 判断关系： 速度一定，路程与时间成正比。 计算速度： 3千米 ÷ 15分钟 = 0.2千米/分。 计算总时间： 15 + 10 = 25分钟。 计算总路程： 0.2 × 25 = 5千米。 【答案】 一共骑了5千米。 15. 甲、乙两人进行游泳比赛。当甲游了全程的 时，乙游了全程的 。已知此时甲比乙多游了10米，求游泳池的全长。 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比。 计算路程比： 甲路程:乙路程 = 。 分析差量： 甲比乙多游了 6-5=1份。这1份对应10米。 求全长： 甲游了6份对应全程的 。 设全长为 ，则 。 因为1份=10米，所以6份=60米。 即 。 解得 米。 【答案】 游泳池的全长是150米。 16. 两列火车从同一车站出发，沿同一条铁路线行驶。快车每小时行90千米，慢车每小时行60千米。当快车行驶了270千米时，慢车行驶了多少千米？ 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比 90:60 = 3:2。 计算： 快车路程是3份对应270千米。每份 = 270 ÷ 3 = 90千米。 慢车路程是2份 = 90 × 2 = 180千米。 【答案】 慢车行驶了180千米。 17. 小明和小红同时从学校出发去少年宫。小明每分钟走60米，小红每分钟走50米。当小明到达少年宫时，小红距离少年宫还有150米。求学校到少年宫的距离。 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比 60:50 = 6:5。 分析差量： 小明走了6份，小红走了5份，差1份。这1份对应150米。 求总距离： 学校到少年宫的距离对应小明的路程（即6份）。 距离 = 150 × 6 = 900米。 【答案】 学校到少年宫的距离是900米。 18. A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。A车速度是B车的 。相遇时，A车比B车少行了30千米。求甲、乙两地的距离。 【详解】 判断关系： 时间相同，路程比等于速度比 3:4。 分析差量： B车走了4份，A车走了3份，差1份。这1份对应30千米。 求总距离： 总份数 = 3 + 4 = 7份。 总距离 = 30 × 7 = 210千米。 【答案】 甲、乙两地相距210千米。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $