第8章 四边形 正方形的性质与判定 2025-2026学年 苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点3 正方形的性质与判定 线段的长度（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在正方形ABCD中，BC=3，延长CD至点E，使得DE=1，EF⊥CE，EF=CE，连接AF、CF，若G为AF的中点，则CG的长为 ． 2.如图，在正方形ABCD中，AB=2．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为 ． 3.如图，在正方形ABCD中，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=3，BE=DF=8，则点E、F之间的距离是 ． 第1题图 第2题图 第3题图 7.如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G． （1）若AB=4，BF=8，求CE的长； （2）求证：AE=BE+DG． 8.如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，DF=BE． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）如图2，过点A作AH⊥EF垂足为H，交CD于点G，连接BH． ①求证：BE=BH-AB； ②图2中，若CE=4，DG=3，求BE的长． 第八章 四边形 线段的长度（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE=10，BF=6，则EF的长度为 ． 2.如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则OA= ． 第1题图 第2题图 第3题图 3.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD=1，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么FC= ． 4.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，交CD于点F，且CF=DF，连接EF． （1）求证：EF⊥AF； （2）若AB=2，求CE的长． 5.如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O． （1）求证：BE=FG； （2）若O是BE的中点，且BC=8，EC=3，求AF的长． 第八章 四边形 角度的计算（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，若AE=AB，则∠EBC的度数为 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC=70°，那么∠DAE为 3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为 度． 4.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E． （1）∠ACB的大小= （度）； （2）求证：△ABE≌△ADE； （3）若∠CBF=20°，则∠AED的大小= （度）． 5.如图，E，F分别在正方形ABCD的两边上，BE=CE=2，AF=5．求∠AEF的度数． 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以BC为边，向外作正方形BCDE，对角线BD，CE交于 点O． （1） 求证：∠ABO+∠ACO=180°； （2）连接AO，用等式表示线段AB，AC，AO之间的数量关系，并证明你的结论． 第八章 四边形 角度的计算（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的点，∠MAN=45°，MN=2MC，则∠NAD= °． 2.如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连结AE，交BD于点F．若∠CDE=30°，则∠DFC的度数为 °． 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF，则∠BFE= °． 4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：∠BCE=∠DCF； （2）点G在AD上，连接GE，GC，若GE=GD+DF，求此时∠GCE的大小． 5.如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G． （1） 求证：DE∥A′F； （2）求∠GA′B的大小． 第八章 四边形 周长与面积问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB=8，BE=10，则△DEF的周长为 3. 如图，一个大正方形与另一个小正方形并排放在一起，△ABC的面积是60cm2，大正方形的面积为 cm2． 4.如图所示，正方形ABCD中，AC，BD交于点O．BD=10，点E，F是BD上的两点，BE=DF=2． 求四边形AECF的周长． 5.如图，正方形ABCD和正方形BEFG有公共顶点B，且顶点A，G，F三点共线，顶点C，F，E 三点共线，DM⊥AG于点M，AB=15，BE=9． （1）求证：△ABG≌△DAM； （2）连接DG，求DG的长； （3）直接写出△ABH与△CFH的面积差． 6.如图，已知E、F分别是正方形ABCD边BC、CD边上的动点，AB=6，AE=AF． （1）求证：∠BAE=∠DAF； （2）设△AEF的面积为y，EC的长为x．试求出y与x之间的函数表达式． 第八章 四边形 周长与面积问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为 第1题图 第2题图 2.如图，正方形ABCD的顶点A在直线l上，BE⊥直线l于点E，连接DE，若AE=3，则△ADE的面积为 3.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在DC、BC上． （1）如图①，连接BE与AF相交于点P，若EC=BF，AF与BE有什么关系，请说明理由； （2）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．连接CM，若CM=3，求FG的长； （3）如图①，在（1）的条件下，若图中四边形APED和△BFP的面积之和与正方形ABCD的面积之比为3：5，则△ABP的周长为 ． 4.如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F． （1）求证：PA=EF． （2）若正方形ABCD的边长为12，求，四边形PFCE的周长． 第八章 四边形 菱形的判定（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点H． （1）求证：AD⊥EF； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由． 2.如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC．CE、CF分别是△ABC的内、外角平分线． （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 3.如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连 接G、E、H、F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）若AC=2AB，则四边形GEHF是 形； （3）当AC、AB满足 时，四边形GEHF是正方形． 4.如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G．过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H． （1）求证：△ABC≌△BAD； （2）若AB=BC，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由． 第八章 四边形 菱形的判定（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF． （1）求证：△EBF≌△ABC； （2）求证：四边形AEFD是平行四边形； （3）△ABC满足 时，四边形AEFD是正方形． 2.如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动 （1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？ （2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明 理由． 7.如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG． （1）求证：△BDE≌△BAC； （2）求证：四边形ADEG是平行四边形． （3）直接回答下面两个问题，不必证明： ①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？ ②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？ 线段的长度（一）参考答案 1 1.解：连接AC，过点E作EH⊥BA延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=1， ∴EC=EF=1+3=4， 在Rt△AHF中，AH=DE=1，HF=HE+EF=3+4=7， ∴AF=， ∵∠ACD=∠ECF=45°， ∴∠ACF=90°， ∴CG为Rt△ACF斜边上的中线， ∴CG=AF= 故答案为：． 2. 解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD=BC=2，AB∥CD，∠C=90°， ∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM， ∵M为DE的中点， ∴ME=MD， 在△AEM和GDM中， ∴△AEM≌△GDM（AAS）， ∴AM=MG，AE=DG=12AB=12CD， ∴CG=CD=， ∵点N为AF的中点， ∴MN=FG， ∵F为BC的中点， ∴CF=BC=， ∴FG=， ∴MN=1 故答案为：1． 3.解：如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD， ∴∠BAE+∠DAG=90°， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SSS）， ∴∠ABE=∠CDF， ∵∠AEB=∠CFD=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°， ∴∠ABE=∠DAG=∠CDF， 同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH， ∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°， 即∠DGA=90°， 同理：∠CHB=90°， 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG（AAS）， ∴AE=DG，BE=AG， 同理：AE=DG=CF=BH=3，BE=AG=DF=CH=8， ∴EG=GF=FH=EF=8-3=5， ∵∠GEH=180°-90°=90°， ∴四边形EGFH是正方形， ∴EF=EG=5； 故答案为：5． 4.解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=4，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠DAG=∠F， ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAG=∠EAF， ∴∠EAF=∠F， ∴AE=EF， 设CE=x，则BE=4-x，AE=EF=8-4+x=4+x， 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2， ∴42+（4-x）2=（4+x）2， 解得：x=1， ∴CE=1； （2）如图，延长CB到点M，使BM=DG，连接AM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠ABM=90°，AD=AB，AB∥CD， ∴∠AGD=∠EAF+∠BAE， ∵AF平分∠DAE， ∴∠EAF=∠FAD，∠AGD=∠FAD+∠BAE， 在△ABM和△ADG中， ∴△ABM≌△ADG（SAS）， ∴∠M=∠AGD=∠FAD+∠EAB，∠MAB=∠FAD， ∴∠M=∠MAB+∠EAB=∠MAE， ∴AE=ME=BE+MB=BE+DG 5.证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD， ∴∠BAE+∠EAD=90°， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE=AF，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠EAD=90°， ∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形； （2）①过点H作HM⊥BH交BC延长线于M， ∴∠BHE+∠EHM=90°， ∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF， ∴AH=EH，∠AHE=90°， ∴∠BHE+∠AHB=90°， ∴∠EHM=∠AHB， ∵∠ABE=∠AHE=90°，四边形ABEH内角和为360°， ∴∠BAH+∠BEH=180°， ∵∠BEH+∠HEM=180°， ∴∠BAH=∠HEM， 在△ABH和△EMH中， ∴△ABH≌△EMH（ASA）， ∴BH=HM，EM=AB， ∴△BHM是等腰直角三角形， ∴BM=BH， ∵BM=EM+BE=AB+BE， ∴BE=BH-AB； ②连接BG，设BE=x，则DF=x， ∵CE=4，DG=3， ∴CB=x+4，FG=x+3，CG=x+4-3=x+1， ∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF ∴AH垂直平分EF， ∴FG=EG=x+3， 在Rt△ECG中，由勾股定理得，EG2=CG2+EC2， ∴（x+3）2=（x+1）2+16， ∴x=2， ∴BE=2． 线段的长度（二）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， 又∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴∠AED=∠BFA=90°， ∵∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠DAE， 在△ABF和△DAE中， ∴△DAE≌△ABF（AAS）， ∴AE=BF，AF=DE， ∴EF=AF-AE=DE-BF=10-6=4． 故答案为：4． 2.解：∵四边形ABCD，四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形， ∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，FO=OG，HO=OE， ∴四边形AHOF是平行四边形， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形AHOF是矩形， ∴AH=OF， ∵阴影部分的面积是10， ∴×OG×OF+×OE×OH=10， ∴OF2+OH2=20， ∴AH2+OH2=20， ∴OA2=20， ∴OA=， 故答案为：． 3.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=1， ∴AC=， ∵AD=AE，AF=AF， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）， ∴FE=FD， 设CF=a，则FE=FD=1-a，CE=AC-AE=-1， 在Rt△CEF中，EF2+CE2=CF2， 即（1-a）2+（−1）2=a2， 解得a=2−2， 故答案为2-． 4.证明：（1）延长BC交AF的延长线于点G， ∵AD∥CG， ∴∠DAF=∠FGC， 又∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF=∠EAF， ∴∠G=∠EAF， ∴EA=EG， ∵点F为CD的中点， ∴CF=DF， 在△ADF和△GCF中， ∴△ADF≌△GCF（AAS）， ∴AF=FG， ∵AE=EG， ∴EF⊥AG， 即EF⊥AF； （2）∵△ADF≌△GCF， ∴AD=CG=2， 设CE=a,则BE=2-a, ∴AE=EG=EC+CG=2+a, 在Rt△ABE中，由勾股定理得， AB2+BE2=AE2， 即22+（2-a）2=（2+a）2， 解得a=， ∴CE=． 5.（1）证明：作AM∥FG交BE于N，BC于M． 在正方形ABCD中， ∴AD∥BC，AB=BC，∠ABC=∠C=90°． ∵FG⊥BE， ∴∠FOB=90°． ∵AM∥FG， ∴∠ANB=∠FOB=90°． ∴∠ABN+∠EBC=90° ∵∠C=90°． ∴∠BEC+∠EBC=90°． ∴∠ABN=∠BEC． 在△ABE和△CDF中， ∴△ABM≌△BCE（AAS）， ∴AM=BE． ∵AD∥BC， ∴AF∥MG． ∵AM∥FG， ∴四边形AMGF为平行四边形． ∴AM=FG． ∵AM=BE， ∴BE=FG． （2）如图，连接BF、EF， ∵FG⊥BE，O是BE的中点， ∴BF=FE． 在正方形ABCD中， ∴AD=AB=DC=BC=8． ∵EC=3， ∴DE=5． 设AF=x,则DF=8-x, 在Rt△ABF中，由勾股定理得： BF2=AB2+AF2=82+x2． 在Rt△DEF中，由勾股定理得： EF2=DF2+DE2=52+（8-x）2． ∵BF=FE， ∴BF2=EF2． 即82+x2=52+（8-x）2， 解得：x=． ∴AF=． 角度的计算（一）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∴∠EBC=22.5° 故答案为：22.5． 2.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE=∠CDE=∠EBC=45°，AD=CD，∠BCD=90°， 在△AED和△CED中， ∴△AED≌△CED（SAS）， ∴∠DAE=∠ECD， 又∵∠BEC=70°， ∴∠BCE=180°-∠BEC-∠EBC=180°-70°-45°=65°， ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°， ∴∠ECD=90°-65°=25°， ∴∠DAE=25° 故答案为：25． 3.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵△ABE是等边三角形， ∴AB=AE，∠BAE=60°， ∴AD=AE，∠DAE=30°， ∴∠AED=（180°−30°）÷2=75°， 故答案为：75． 4.（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠ACB=∠BCD=×90°=45°． 故答案为45． （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠EAB=∠EAD， 在△EAB和△EAD中， ∴△EAB≌△EAD（SAS）． （3）解：∵△EAB≌△EAD， ∴∠AED=∠AEB， ∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°． ∴∠AED=65°． 故答案为65． 5.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， ∵BE=CE=2， ∴AB=AD=CD=4， ∵AF=5， 由勾股定理得，DF=3， ∴CF=1， ∵AE2+EF2=（AB2+BE2）+（EC2+CF2）=16+4+4+1=25， ∴AE2+EF2=AF2， ∴△AEF是直角三角形， ∴∠AEF=90°． 6.（1）证明：∵四边形BCDE是正方形， ∴∠BOC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABO+∠ACO=360°-∠BOC-∠BAC=360°-90°-90°=180°； （2）解：线段AB，AC，AO之间的数量关系是：AC+AB=OA， 证明如下：延长AC到F，使CF=AB，连接OF、OA，如图： 由（1）知：∠ABO+∠ACO=180°，而∠ACO+∠OCF=180°， ∴∠ABO=∠OCF， ∵四边形BCDE是正方形， ∴OB=OC， 在△AOB和△FOC中， ∴△AOB≌△FOC（SAS）， ∴OA=OF，∠AOB=∠COF， ∵∠AOB+∠AOC=90°， ∴∠COF+∠AOC=90°，即∠AOF=90°， ∴△AOF是等腰直角三角形， ∴AF=OA， 即AC+CF=OA， ∴AC+AB=OA． 角度的计算（二）参考答案 1.解：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE， 则∠EAN=∠EAM-∠MAN=90°-45°=45°， 在△EAN和△MAN中， ∴△EAN≌△MAN（SAS）， ∴∠ANM=∠ANE， ∵MN=2MC， 在Rt△MNC中，∠MNC=30°， ∵∠ANE+∠ANM+∠MNC=180°， ∴∠ANE=75°， ∴∠NAD=15°． 故答案为：15°． 2.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=90°， ∴∠ADB=∠BDC=45°， ∵DC=DE， ∴AD=DE， ∴∠DAE=∠DEA， ∵∠ADE=90°+30°=120°， ∴∠DAE=30°， ∴∠AFD=180°-25°-45°=105°， 在△ADF和△CDF中， ∴△ADF≌△CDF（SAS）， ∴∠DFC=∠AFD=105°， 故答案为：105°． 3.解：∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形， ∴AD=AB，AB=AE，∠DAB=90°，∠BAE=60°，∠DAC=∠BAC=45°， ∴AD=AE，∠DAE=150°， ∴∠ADE=∠AED=15°， ∴∠AFE=∠DAC+∠FDA=60°， 在△DAF和△BAF中， ∴△DAF≌△BAF（SAS）， ∴∠ADF=∠ABF=15°， ∴∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF=120°， ∴∠BFE=∠AFB-∠AFE=60°， 故答案为：60°． 4.（1）证明：在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，DF=BE， ∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴∠BCE=∠DCF． （2）解：∵△CBE≌△CDF， ∴CE=CF． ∵GE=GD+DF=GF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴∠GCE=∠GCF， ∵∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCF=90°， 又∵∠ECF=∠GCE+∠GCF=2∠GCE， ∴∠GCE=45°． 5.证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF， ∵点A关于DE的对称点为A′， ∴AO=A'O，AA'⊥DE， ∵E，F为边AB上的两个三等分点， ∴AE=EF=BF， ∴DE∥A'F； （2）∵AA'⊥DE， ∴∠AOE=90°=∠DAE=∠ABG， ∴∠ADE+∠DEA=90°=∠DEA+∠EAO， ∴∠ADE=∠EAO， 在△ADE和△BAG中， ∴△ADE≌△BAG（ASA）， ∴AE=BG， ∴BF=BG， ∴∠GFB=∠FGB=45°， ∵∠FA'G=∠FBG=90°， ∴点F，点B，点G，点A'四点共圆， ∴∠GA'B=∠GFB=45° 周长与面积问题（一）参考答案 1.解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， ∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°， ∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AC=2， ∵EC=AE， ∴EC=， ∴EP=PC=1， ∴正方形PCQE的面积=EP2=1． 故答案为1． 2.解：如图，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=AD=BC=AB=8，∠C=∠D=∠A=90°， ∵BE=10， ∴CE=6， ∴DE=CD-CE=8-6=2， 设AF=x，则DF=AD-AF=8-x， ∴BF2=AB2+AF2=82+x2，EF2=BF2-BE2=DF2+DE2， ∴82+x2-102=（8-x）2+22， 解得x=， ∴DF=8-x=， ∴EF=， 则△DEF的周长=DE+DF+EF=2++=6． 故答案为6． 3.解：设大正方形长为a cm，小正方形边长为b cm， 则S△ABC=（a+b）•a-a2-b•（a-b）-（a+b）•b=a2=60（cm2）． 所以a2=120（cm2）． 所以大正方形的面积为120cm2． 故答案为：120． 4.解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC， ∵BE=DF， ∴DE=BF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF为菱形， ∵BD=10，BE=DF=2， ∴OE=5-2=3，OC=5， ∴CE=， ∴菱形AECF的周长为4． 5（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴∠BAD=∠FGB=90°，AB=AD， ∵DM⊥AG， ∴∠DMA=∠AGB=90°， ∵∠DAM+∠GAB=90°，∠DAM+∠ADM=90°， ∴∠ADM=∠GAB， ∴△ABG≌△DAM（AAS）； （2）解：在Rt△ABG中，AG==12， ∵△ABG≌△DAM， ∴DM=AG=12，AM=BG=9， ∴MG=AG-AM=3， 在Rt△DMG中，DG=； （3）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴∠ABC=∠GBE=90°，AB=BC， ∴∠ABG=∠CBE， ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴S△ABG=S△CBE， ∵S△ABH-S△CHF =S△ABH+S四边形BHFE-（S△CHF+S四边形HFEB） =S△ABG+S正方形GBFE-S△CBE=S正方形BGFE =92 =81， ∴△ABH与△CFH的面积差为81． 6.（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠BAE=∠DAF； （2）解：∵Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∴CE=CF， ∵CE=x， ∴BE=DF=4-x， ∵S△AEF=S正方形ABCD-2S△ABE-S△CEF， ∴y=42-2××4×（4-x）-x2，=-x2+4x， 即y=-x2+4x． ∵E、F分别是BC、CD边上的动点， ∴x的取值范围是：0≤x≤4． ∴y与x之间的函数表达式为y=-x2+4x（0≤x≤4）． 周长与面积问题（二）参考答案 1.解：如图， ∵点A为正方形EFPQ的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°，∠AEF=∠AFP=45°， ∵∠MAN=90°，即∠MAF+∠FAN=90°， 而∠EAM+∠MAF=90°， ∴∠EAM=∠FAN， 在△AEM和△AFN中， ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴S△AEM=S△AFN， ∴S四边形AMFN=S△AEF=S正方形EFPQ=×22=1， ∴图中三块重叠部分的面积的和=1+1+1=3． 故答案为3． 2.解：过点D作DF⊥l于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∵∠DAF+∠BAE=90°，∠ADF+∠DAF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， 在△ADF和△BAE中， ∴△ADF≌△BAE（AAS）， ∴DF=AE=3， ∴S△ADE=AE×DF＝×3×3＝， 故答案为：． 3.解：（1）AF=BE，AF⊥BE． 理由如下：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠BCE=90°， 在△ABF和△BCE中， ∴△ABF≌△BCE（SAS）， ∴AF=BE，∠BAF=∠CBE， ∵∠BAF+∠BFA=90°， ∴∠CBE+∠BFA=90°，即∠BPF=90°，∴ AF⊥BE． （1） 过点A作AH∥GF交BC于点H，如图所示， ∵FG⊥BE， ∴AH⊥BE， ∴∠BAH+∠ABE=90°， 又∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠BAH=∠CBE． 在△ABH和△BCE中， ∴△ABH≌△BCE（ASA）， ∴AH=BE． 又M为BE中点，∠BCD=90°， ∴BE=2CM=2×3=6， ∴AH=6． 又AG∥HF， 故四边形AHFG为平行四边形， ∴FG=AH=6． （3）∵四边形APED和△BFP的面积之和与正方形ABCD的面积之比为3：5，且S正方形ABCD=25， ∴S△BFP+S四边形APED=15， 由（1）中结论可知S△ABF=S△BCE， 即S△ABP+S△BFP=S△BFP+S四边形PFCE， ∴S△ABP=S四边形PFCE， ∴S△ABP+S四边形PFCE=25-15=10， ∴S△ABP=S四边形PFCE=5． ∴AP•BP=10， 在直角三角形ABP中，由勾股定理有：AP2+BP2=AB2=25， ∴（AP+BP）2=AP2+BP2+2AP•BP=25+20=45， ∴AP+BP=3（负根舍去）， ∴△ABP的周长=AP+BP+AB=3+5． 故答案为：3+5． 4.（1）证明：连接PC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°， 在△ABP与△CBP中， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PE⊥CD，PF⊥BC， ∴∠PFC=90°，∠PEC=90°． 又∵∠BCD=90°， ∴四边形PFCE是矩形， ∴EF=PC， ∴PA=EF； （2）由（1）知四边形PFCE是矩形， ∴PE=CF，PF=CE， 又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°， ∴BE=PE， 又∵BC=12， ∴矩形PFCE的周长为2（PF+FC）=2（BE+EC）=2BC=24． 菱形的判定（一）参考答案 1.证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°， 在△AED与△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF， ∴AD⊥EF； （2）△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形， 理由：∵∠AED=∠AFD=∠BAC=90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∵EF⊥AD， ∴矩形AEDF是正方形． 2.证明：（1）∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线， ∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°， ∵AE⊥CE，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是矩形． （2）当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形， 理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，且∠AEC=90°， ∴∠EAC=45°=∠ACE， ∴AE=CE， ∵四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形． 3.证明：（1）连接BD，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点， ∴点O是对角线AC，BD的交点， ∴OB=OD， ∵G是AD的中点， ∴EG是△AOD的中位线， ∴EG∥OD，EG=OD， 同理：FH∥OB，FH=OB， ∴EG=HF，EG∥HF， ∴四边形GEHF是平行四边形； （2）∵四边形GEHF是平行四边形， ∴GH=AB， ∵AC=2AB， ∴AB=AC=EF， ∴GH=EF， ∴四边形GEHF是矩形； 故答案为：矩； （3）∵四边形GEHF是平行四边形， ∴GH=AB， ∵AC=2AB， ∴AB=AC=EF， ∴GH=EF， ∴四边形GEHF是矩形， ∵AC⊥AB， ∴EG⊥EH， ∴矩形GEFH是正方形． 故答案为：AC=2AB，AC⊥AB． 4.（1）证明：在△ABC和△BAD中， ∴△ABC≌△BAD（SAS）； （2）解：∵AH∥GB，BH∥GA， ∴四边形AHBG是平行四边形． ∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABD=∠BAC， ∴GA=GB， ∴平行四边形AHBG是菱形． ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAG=45°， 又∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABG=∠BAG=45°， ∴∠AGB=90°， ∴菱形AHBG是正方形． 菱形的判定（二）参考答案 1.（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°， ∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△EBF和△ABC中， ∴△EBF≌△ABC（SAS）； （2）证明：∵△EBF≌△ABC， ∴EF=AC， 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴AB=AE=DF， ∴四边形AEFD是平行四边形； （3）解：当AB=AC，∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形． 理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形， ∴AB=AE，AC=AD，∠EAB=∠DAC=60°， ∵AB=AC， ∴AE=AD， ∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形， ∵∠BAC=150°， ∴∠EAD=360°-60°-60°-150°=90°， ∴平行四边形ADEF是正方形， 故答案为：AB=AC，∠BAC=150°． 2.解：（1）过点P作PH⊥CD于点H， ∴HQ=16-5t， ∴PQ2=PH2+HQ2， 即102=（16-5t）2+62， 解得：t1＝，t2＝， 答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm； （2）假设四边形PBCQ是正方形， ∴BP=CQ，即16-3t=2t， 解得：t=， ∵CQ＝2t＝≠6， ∴不成立． 3.（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形， ∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°． ∴∠ABC=∠EBD． 在△BDE和△BAC中， ∴△BDE≌△BAC（SAS）， （2）∵△BDE≌△BAC， ∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE． ∵AD是正方形ABDI的对角线， ∴∠BDA=∠BAD=45°． ∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD=360°-90°-∠BAC-45°=225°-∠BAC ∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180° ∴DE∥AG， ∴四边形ADEG是平行四边形 （3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°． 则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°， 即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形； ②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD． 由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°． ∵四边形ABDI是正方形， ∴AD=AB． 又∵四边形ACHG是正方形， ∴AC=AG， ∴AC=AB． ∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $