4.1 因式分解 课件（内嵌视频）北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“因式分解”核心内容，通过手工剪纸拼图、数的整除问题导入，结合整式概念复习，搭建从具体实例到抽象定义的学习支架，清晰呈现前后知识脉络。 其亮点在于以现实问题为载体，发展数学眼光（几何直观、抽象能力），通过对比整式乘法与因式分解的互逆关系培养推理意识，练习设计强化模型观念。帮助学生理解概念本质，教师可利用丰富实例提升教学效果。

八下数学 BSD 第四章 因式分解 1.因式分解 复习回顾 1. 单项式：若一个代数式是________________，这样的代数式叫作单项式，单独________或_________也是单项式。 2. 多项式：几个单项式的____叫作多项式。 3. 整式：单项式和多项式统称整式。 数与字母的乘积 一个数 一个字母 和 例如：2x2y3，5，x 例如：2x2y3+5，x+2y 手工课上，老师给同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这位同学解决这个问题吗？ a a b b 问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21. 问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7. 思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？ 知识回顾 新课探究 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？ 993-99 = 99×992-99×1 = 99×(992-1) = 99×9800 = 98×99×100。 所以，993-99能被100整除。 小明 993-99还能被哪些正整数整除？ 把一个数式化成了几个数乘积的形式 (99+1)(99-1) 如果将上面问题中的99换成a，你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？ 尝试·交流 993-99 = 99×992-99×1 = 99×(992-1) = 99×9800 = 98×99×100 a3-a = a·a2-a·1 = a·(a2-1) = a·(a+1)(a-1) = a(a+1)(a-1) 问题3：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ 方法二：m(a+b+c) 方法一：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc m a m b m c 观察下面拼图过程，写出相应的代数式。 观察·思考 （1） m m m c b a m a+b+c _____________________ = ____________。 （2） _____________________ = ____________。 x x 1 x x 1 1 1 x+1 x+1 ma+mb+mc m(a+b+c) x2+2x+1 (x+1)2 把一个多项式转化成_________________的形式，这种变形叫做因式分解. 因式分解也可以称为分解因式 几个整式的乘积 概念引入 其中，每个整式都叫作这个多项式的因式. 练一练 1.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ 单项式不能因式分解 不是整式 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。 注意： 因式分解是一种恒等变形； 变形对象：是_________； 变形过程：由________ 变成____的形式； 变形结果：是几个_____的积； 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 多项式 和、差 积 整式 手工课上，老师给同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这位同学解决这个问题吗？ a a b b a²-b²= (a+b) (a-b) 操作·思考 1.计算下列各式： （1）3x(x-1) =___________； （2）m(a+b-1) =_____________； （3）(m+4)(m-4) =_________； （4）(y-3)2 =__________。 3x2-3x ma+mb-m m2-16 y2-6y+9 2.根据上面的算式进行因式分解： （1）3x2-3x =___________； （2）ma+mb-m =___________； （3）m2-16 =____________； （4）y2-6y+9 =__________。 3x(x-1) m(a+b-1) (m+4)(m-4) (y-3)2 3x(x-1) =__________； m(a+b-1) =__________； (m+4)(m-4) =________； (y-3)2 =__________。 3x2-3x ma+mb-m m2-16 y2-6y+9 3.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明。 （1）3x(x-1) =_________； （2）m(a+b-1) =___________； （3）(m+4)(m-4) =_______； （4）(y-3)2 =_________。 3x2-3x ma+mb-m m2-16 y2-6y+9 （1）3x2-3x =___________； （2）ma+mb-m =__________； （3）m2-16 =____________； （4）y2-6y+9 =_______。 3x(x-1) m(a+b-1) (m+4)(m-4) (y-3)2 整式乘法 因式分解 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 思考2：因式分解与整式乘法有什么联系与区别? 联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. (多项式)“和” (整式乘积)“积” 整式乘法 因式分解 区别 化“积”为“和” 化“和”为“积” x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 思考：整式乘法与因式分解有什么关系？ 整式积的形式 多项式 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 互逆运算 可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 例1 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y) (2) 2x(x－3y)＝2x2－6xy (3) (5a－1)2＝25a2－10a＋1 (4) x2＋4x＋4＝(x＋2)2 (5) (a－3)(a＋3)＝a2－9 (6) m2－4＝(m＋2)(m－2) (7) 2πR＋2πr＝2π(R＋r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 整式乘法 因式分解 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 例3 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为 a(x－2)(x + 3)，求 a，b 的值. 解：∵ x2 + ax + b = a(x - 2)(x + 3) = ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b = -6a = -6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 【练一练】 2.下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y) 的是 ( ) A．x2-y2 B．-x2 + y2 C．x2 + y2 D．-x2 - y2 B 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 解：∵x2＋Ax＋B ＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15， ∴A＝2，B＝－15. ∴3A－B＝3×2＋15＝21. 解：∵x2＋Ax＋B ＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15， ∴A＝2，B＝－15. ∴3A－B＝3×2＋15＝21. 4. 如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的 值. 随堂演练 1.连一连： x2-y2 9-25x2 x2+6x+9xy-y2 (x+3)2 y(x-y) (3+5x)(3-5x) (x+y)(x-y) 【教材P112 随堂练习 T1】 2.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ 【教材P112 随堂练习 T2】 （1）(a+3)(a-3) = a2-9； （2）m2-4 = (m+2)(m-2)； （3）a2-b2+1 = (a+b)(a-b)+1； （4）2mR+2mr = 2m(R+r)。 3.利用因式分解说明：257-512能被12整除。 解：因为 257-512 =257-(52)6 =257-256 =256×(25-1) =256×24 =256×12×2 所以257-512能被12整除。 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________. 其中，每个整式叫做这个多项式的_______. 与多项式乘法运算的关系 的变形过程. 因式分解是把一个多项式化为几个整式的_____，整式乘法是把几个整式的______化为一个_________. 乘积 分解因式 因式 互逆 多项式 乘积 乘积 课堂小结 整式乘法--积化和差 分解因式--和差化积 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c E. 2a3b=a2•2ab F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9 判定因式分解的条件： (1)左边是多项式． (2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式. 跟踪训练 下列变形从左边到右边的变形，哪些是因式分解？ 整式乘法 因式分解 右边不是乘积形式 因式分解 随堂训练 练一练 2.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）4a2-b2=(2a+b)(2a-b)； （2）x2-5x+6=(x-2)(x+3)。 (2a+b)(2a-b)= 4a2-b2 (x-2)(x+3) = x2+x-6 ≠ x2-5x+6 下课 Lavf61.7.100 $在之前咱学过了整式乘法，比如A乘A加3把A乘进去就等于A方加3A通过整式乘法，咱可以把几个整式的乘积化为一个多项式的形式。那如果反过来，A方加3A要写成整式的形式的话，很明显就是A乘A加3。在这里咱们把这个多项式化成了俩整式乘积的形式，那咱就把像这样的式子变形叫做因式分解。不难看出，因式分解和整式乘法的变形方向恰好相反。整式乘法是把乘积变成多项式，而因式分解是多项式变为乘积，这一点你必须得分清。了解了因式分解的概念，那咱就再来看几个例子，看看他们的变形都是不是因式分解。先来看看第一个，X加2的平方等于X方加4，X加4很明显这不就是个完全平方公式嘛，式子是从乘积变成多项式的，所以这是等式乘法，并不是因式分解解。接下来看看第二个，X方减X减2变成了X加1乘X减二等式，左边是多项式，右边这俩整式的乘积符合因式分解的定义，那这个变形就是因式分解了。再来看看第三个等式，左边X方加X减6是多项式，右边嘛，X乘X加1，这倒是个整式的乘积，但这个减六是咋回事呢？有了这玩意儿，等式右边就还是个多项式，由多项式变成多项式，这啥都不是，当然不算因式分解。第四个，X方减X变成X方乘一减X分之1，左边是个多项式，右边是个乘积，貌似是对的。错，这个也不是因式分解，光有形式类似那可不行。因式分解的概念里明确说明，结果一定得是整式相乘。这里X跑到了分母当中，是个分式，所以不对。最后来看看这个，左边是个多项式，右边是个整式的乘积，这总该对了吧。嘿，还是错的。不信你把等式右边的X乘进去，乘X得X方乘以负一得负X结果就是X方减X而左边不是X方加X吗？两边压根不一样，这可不行。那刚才的第二个是不是也相等呢？利用整式乘法，X加1乘X减2，算一算得X方减X减2，与左边相等没问题，所以这里属于因式分解的只有第二个。好了，就讲这么多，总结一下，因式分解就是像这样把一个多项式化为几个整式的乘积。在这里要注意两点，第一，形式上一定得是整式的乘积。第二，变化前后的式子必须得相等才行，要不然这个变形就没意义了。怎么样？听懂了吧？赶快动手试试。