专题18.2勾股定理的逆定理（高效培优讲义，2知识&5题型7类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题18.2勾股定理的逆定理 教学目标 1.了解勾股定理逆定理的探究背景（如古埃及人判断直角的方法），掌握逆定理的文字表述与符号语言：在△ABC中，若三边a、b、c（c为最长边）满足，则△ABC是直角三角形，且，明确逆定理与勾股定理的互逆关系。 2.经历“实验操作—观察猜想—构造证明—归纳应用”的完整过程，掌握用构造法（构造直角三角形，利用SSS全等）证明勾股定理逆定理的思路与方法，理解证明的核心逻辑。 3.能运用勾股定理逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形，能结合勾股数的特点，判断一组正整数是否为勾股数，掌握判断的基本步骤（找最长边、算平方和、作比较、下结论）。 4.能运用逆定理解决简单的实际问题，如判断三角形形状、验证直角、构建直角三角形模型解决测量类问题，初步区分勾股定理与逆定理的应用场景。 教学重难点 教学重点 1.勾股定理逆定理的文字表述、符号语言，以及运用逆定理判断三角形是否为直角三角形的方法与步骤。 2.经历勾股定理逆定理的探索与证明过程，理解“构造全等直角三角形”的证明思路，掌握逆定理的本质内涵，区分勾股定理与逆定理的异同点。 教学难点 1.勾股定理逆定理的证明思路构建，尤其是“构造直角三角形”的方法，理解证明过程中“由数到形”的转化逻辑和全等三角形的应用价值，突破“难以想到构造法”的难点。 2.准确区分勾股定理与逆定理的应用场景，避免混淆“由形求数”（勾股定理）与“由数判形”（逆定理）的核心用途，规范书写证明与判断的步骤。 3.灵活运用逆定理解决实际问题，能准确提取实际场景中的三边关系，构建直角三角形模型，同时注意先验证三角形三边关系，再运用逆定理判断，避免忽略前提条件。 知识点01 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 . 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 3.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 关系 【即学即练】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故不能构成直角三角形，不符合题意； B、，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、，故能构成直角三角形，符合题意； D、，故不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 知识点02 勾股数 1.勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 . 2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”： 看是不是三个正整数 . (2)“找”： 找最大数 . (3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 题型01 勾股定理的逆定理的应用 【例1-1】判断三角形的形状 （23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【例1-2】求线段的长度 （24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例1-3】求角度 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于________．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知中，，点D是的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为；；． 所以是直角三角形，且（勾股定理逆定理），为斜边． ∵点D是的中点， ∴在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半，即． 则 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 【变式1-4】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 【变式1-5】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 题型02 利用勾股定理的逆定理证明 【例2-1】已知，如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．求证：．    【答案】见详解 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得出，再由已知条件得出，由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，即． 【详解】证明：连接，    是的中点，， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形， 故． 【例2-2】如图，在中，为边上的中线，，，，求证：． 【详解】证明：如图，延长至点E，使得，连接， ∵为边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 【例2-3】在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在三角形中，内角、、所对的边分别为、、， ∴三角形是直角三角形． 【变式2-1】如图，在中，长比长大1，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ，， ∴， ， ； （2）解：由题意得， 设，则， ， ， ， 解得：， 即． 【变式2-2】如图，在和中，，，，点D在内且，，． (1)猜想BD与CE的关系并证明你的猜想？ (2)求的度数； (3)求的面积． 【详解】（1）解：猜想BD=CE，BDCE ， 理由如下： 延长BD交CE于点F，如图所示： ∵BAC=DAE=90， ， =， ∵AB=AC，AD=AE， ∴， ∴BD=CE， =， ， ∴， ∴BDCE． （2）∵DAE=90，AD=AE=2， ∴， 由勾股定理得：=， 由(1)知：CE=BD=3， ∵CD=1， ∴，， ∴， ∴△CDE为直角三角形， ∴， ∴． （3）由（1）（2）可知： DF为Rt斜边上高， ∴DF==， 由勾股定理得：CF=， ∴． 【变式2-3】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点D，设，,，． (1)求证： (又称反勾股定理)： (2)求证：： (3)判断以，h ，为边构成的三角形的形状， 并说明理由． 【详解】（1）证明：∵在直角中，，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：∵在直角中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵a、b、c、h都是正数， ∴， ∴； （3）解：以，h ，为边构成的三角形为直角三角形，理由如下： 根据勾股定理得：， 根据解析（2）可知：， ∵， ， 又∵， ∴， ∴根据勾股定理的逆定理知道以，h ，为边构成的三角形是直角三角形． 题型03 勾股定理及其逆定理在网格中的应用 【例3-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 【例3-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，求的周长与边上的高． 【答案】周长为；高为 【详解】解：由题意可得：，， 则的周长为：； 因为 ∴是直角三角形， ∴边上的高为：． 【例3-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，试判断格点的形状，并证明； (2)在图2中，画出长为的线段． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下： ∵每个小正方形的边长都是1， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【变式3-1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：如下图所示，， 与不平行， 故A选项错误； B选项：在中，， ， 不成立， 故B选项错误； C选项：如下图所示，， 不是直角三角形， 不成立， 不成立， 故C选项错误； D选项：如下图所示，， ， 由网格可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故D选项正确； 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个三角形，使三边长分别为，，，并求此三角形的面积． 【详解】解：如图，即为所求， 即 ∴是直角三角形且 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中，以格点为顶点画一个三角形，使三边长、、；并求出到的距离． (2)如图，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求， ，，， 又， ， 是直角三角形，， 设点到的距离是， ， ， ； （2）解：如下图所示，借助网格作，过点作， 是的外角， ， 由网格可知：，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． 题型04 勾股定理的逆定理在生活中的应用 【例4-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，求这块菜地的面积． 【答案】这块菜地的面积为 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 答：这块菜地的面积为． 【例4-2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某学校操场旁边有一块不规则的图形．八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则图形的面积． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ，， 在中，， 在中，，， ， 又， ， 是直角三角形， ， ． 【例4-3】如图，在一条东西走向的公路的一侧有一村庄A，和是连接村庄与公路的两条小路，其中，为方便村民出行，新修了一条乡村公路，经实际测量千米，千米，千米．    (1)村庄A到公路的最近距离是多少？并说明理由． (2)求小路长为多少千米？ 【详解】（1）解：8km． 理由是： 在中， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴村庄A到公路的最近距离是8km； （2）设千米，由（1） 可得：， 在中， 千米，千米， 由勾股定理得：， ∴， 解这个方程，得， ∴（千米）， 答：的长为千米． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】平方米 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，由勾股定理得， ， 在中， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积（平方米）． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，米，米，，米，米． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，米，米， ∴米； （2）∵米，米，米， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积为：平方米． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）去年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形； 如下图所示，过点作于点D， 是直角三角形， ， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米小时， （小时）． 故台风影响该海港持续的时间为小时． 题型05 探究勾股数 【例5】定义：若一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5是一组“勾股数”． (1)判断8，15，17是不是一组“勾股数”，并说明理由； (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明． 【详解】（1）解：8，15，17是一组“勾股数”． ∵， ∴8，15，17是一组“勾股数”； （2）解：∵， ∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形，即x，y，z为勾股数． 【变式5-1】我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 【详解】（1），，，是“三维勾股数”， ， ， 由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积， ，且为正整数， ， 解得， （2）， ， 即， 令， 解得， ． 【变式5-2】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）设，则． 有，解得， ，． 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．46° 【答案】B 【详解】解：如图， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则______． 【答案】 【详解】∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽滁州·月考）在平行四边形中，与相交于点O，，将沿直线翻折后，点B落在点处． （1）若，则的长为__________； （2）若，则__________． 【答案】 3 或 【详解】解：（1）连接， ∵平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3； （2）同（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ①当点在上方时，如图：则； ②当点在下方时，如图：则， 综上：当，则或， 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，，，．求点C到边的距离． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足为E． 在中， ，即， ， 在中， ，，， ， ∴是直角三角形﹐， ， ． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 【详解】解：中，，即， 是直角三角形， ． 将代入关系式①，得 ． 故可以验证关系式①是正确的． 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． ∴ 在中， （2）是直角三角形，理由如下： ∵，， ， 是直角三角形，是直角． 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 8.在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 【详解】（1）解：连接， 点，点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 解得：（舍负）； （2）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或（舍）， ∴， 设，代入得， ， 解得：，， ， 当时，， ， ，， ． 9．（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，的网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)求点C到边的距离； (2)借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线（保留作图痕迹）． 【详解】（1）解：过点C作交于点E， 由勾股定理知：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴点C到边的距离为； （2）解：如图，即为所求作的中线． 10．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形． （2）解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ， 则（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在网格中，小正方形的边长为个单位长度． (1)如图，点在格点上，将点向右平移个单位，再向下平移个单位长度得到点，在图中网格中标出点，则线段的长度为______； (2)如图，点，点的坐标分别为，；点为轴上的一点，是以为斜边的直角三角形，在图中标出点，则点的坐标是______． 【详解】（1）解：如图中，点即为所求，． 故答案为：； （2）解：如图中，点，即为所求，或； 当 时，，，而， ∴， ∴， 同理当时，. 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，点在四边形内部，且，，，，， (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)求的长． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，， ∵，是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）延长交于点，如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 13．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． (1)如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； (2)若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； (3)如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 【详解】（1）证明：如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 【详解】（1）解：如图：点、、即为所求， ； （2）解：如图：即为所求， ； （3）解：如图：连接， ， 由网格特点可得：， 由勾股定理可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点，如何求线段的长度？ 小明在网上搜索到下面的文字材料： 若在轴上有两个点，它们的坐标分别为和，则这两点所成线段长为；同样的，在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，则_____，_____； 应用： （2）请在图2中描出，判断的形状并说明理由； （3）在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解： 两点其坐标分别是和，轴，轴， 点， ，， ， 故答案为：，； （2）如图， 和，， ， ， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形． （3）如图， ∵和，， ∴点向下4个单位，向右3个单位得， 点向下2个单位，向左1个单位得， ∴点C向上4个单位，向左3个单位得， 点C向下4个单位，向右3个单位得， 点向下2个单位，向左1个单位得， 综上所述：点或或． 16.如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，由勾股定理得，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为3.5； （3）解：能围成直角三角形，理由如下： 如图，在上取一点H，使，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴以，和为边，能围成直角三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.2勾股定理的逆定理 教学目标 1.了解勾股定理逆定理的探究背景（如古埃及人判断直角的方法），掌握逆定理的文字表述与符号语言：在△ABC中，若三边a、b、c（c为最长边）满足，则△ABC是直角三角形，且，明确逆定理与勾股定理的互逆关系。 2.经历“实验操作—观察猜想—构造证明—归纳应用”的完整过程，掌握用构造法（构造直角三角形，利用SSS全等）证明勾股定理逆定理的思路与方法，理解证明的核心逻辑。 3.能运用勾股定理逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形，能结合勾股数的特点，判断一组正整数是否为勾股数，掌握判断的基本步骤（找最长边、算平方和、作比较、下结论）。 4.能运用逆定理解决简单的实际问题，如判断三角形形状、验证直角、构建直角三角形模型解决测量类问题，初步区分勾股定理与逆定理的应用场景。 教学重难点 教学重点 1.勾股定理逆定理的文字表述、符号语言，以及运用逆定理判断三角形是否为直角三角形的方法与步骤。 2.经历勾股定理逆定理的探索与证明过程，理解“构造全等直角三角形”的证明思路，掌握逆定理的本质内涵，区分勾股定理与逆定理的异同点。 教学难点 1.勾股定理逆定理的证明思路构建，尤其是“构造直角三角形”的方法，理解证明过程中“由数到形”的转化逻辑和全等三角形的应用价值，突破“难以想到构造法”的难点。 2.准确区分勾股定理与逆定理的应用场景，避免混淆“由形求数”（勾股定理）与“由数判形”（逆定理）的核心用途，规范书写证明与判断的步骤。 3.灵活运用逆定理解决实际问题，能准确提取实际场景中的三边关系，构建直角三角形模型，同时注意先验证三角形三边关系，再运用逆定理判断，避免忽略前提条件。 知识点01 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 . 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 3.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 关系 【即学即练】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 勾股数 1.勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 . 2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”： 看是不是三个正整数 . (2)“找”： 找最大数 . (3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 题型01 勾股定理的逆定理的应用 【例1-1】判断三角形的形状 （23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【例1-2】求线段的长度 （24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 【例1-3】求角度 （23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于________．    【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知中，，点D是的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【变式1-4】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【变式1-5】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 题型02 利用勾股定理的逆定理证明 【例2-1】已知，如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．求证：．    【例2-2】如图，在中，为边上的中线，，，，求证：． 【例2-3】在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形． 【变式2-1】如图，在中，长比长大1，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【变式2-2】如图，在和中，，，，点D在内且，，． (1)猜想BD与CE的关系并证明你的猜想？ (2)求的度数； (3)求的面积． 【变式2-3】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点D，设，,，． (1)求证： (又称反勾股定理)： (2)求证：： (3)判断以，h ，为边构成的三角形的形状， 并说明理由． 题型03 勾股定理及其逆定理在网格中的应用 【例3-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，求的周长与边上的高． 【例3-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，试判断格点的形状，并证明； (2)在图2中，画出长为的线段． 【变式3-1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个三角形，使三边长分别为，，，并求此三角形的面积． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中，以格点为顶点画一个三角形，使三边长、、；并求出到的距离． (2)如图，，，，都是格点，与相交于点，则______． 题型04 勾股定理的逆定理在生活中的应用 【例4-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，求这块菜地的面积． 【例4-2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）某学校操场旁边有一块不规则的图形．八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则图形的面积． 【例4-3】如图，在一条东西走向的公路的一侧有一村庄A，和是连接村庄与公路的两条小路，其中，为方便村民出行，新修了一条乡村公路，经实际测量千米，千米，千米．    (1)村庄A到公路的最近距离是多少？并说明理由． (2)求小路长为多少千米？ 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，米，米，，米，米． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）去年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型05 探究勾股数 【例5】定义：若一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5是一组“勾股数”． (1)判断8，15，17是不是一组“勾股数”，并说明理由； (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明． 【变式5-1】我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 【变式5-2】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．46° 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则______． 3．（24-25八年级下·安徽滁州·月考）在平行四边形中，与相交于点O，，将沿直线翻折后，点B落在点处． （1）若，则的长为__________； （2）若，则__________． 4．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，，，．求点C到边的距离． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 8.在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 9．（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，的网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)求点C到边的距离； (2)借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线（保留作图痕迹）． 10．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在网格中，小正方形的边长为个单位长度． (1)如图，点在格点上，将点向右平移个单位，再向下平移个单位长度得到点，在图中网格中标出点，则线段的长度为______； (2)如图，点，点的坐标分别为，；点为轴上的一点，是以为斜边的直角三角形，在图中标出点，则点的坐标是______． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，点在四边形内部，且，，，，， (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)求的长． 13．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． (1)如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； (2)若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； (3)如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点． (1)在网格中找一格点E，使得； (2)作格点，使得，； (3)在（2）的条件下，_______． 15．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点，如何求线段的长度？ 小明在网上搜索到下面的文字材料： 若在轴上有两个点，它们的坐标分别为和，则这两点所成线段长为；同样的，在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为． 根据上面材料，完成探究： （1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，则_____，_____； 应用： （2）请在图2中描出，判断的形状并说明理由； （3）在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 16.如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $