18.2 勾股定理的逆定理（题型专练，5基础题型+6提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

18.2 勾股定理的逆定理 题型一 勾股数的理解 1．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 2．下列各组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．1，2，3 3．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 4．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ． 题型二 构成直角三角形的条件 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 2．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3.勾股定理：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是 ． 4．若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 5．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为 ． 题型三 网格中的直角三角形问题 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 3．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 4．在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 题型四 利用勾股定理逆定理求解 1．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 2．在中，，，，则的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 3．若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是 三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”） 4．已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为 ． 5．如图，在中，，求边上的高．    题型五 利用勾股定理逆定理解决实际问题 1．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 2．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    3．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 题型一 勾股定理逆定理与角度问题 1．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    2．已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为 ． 3．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 4．如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 题型二 利用勾股定理逆定理求面积 1．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ） A． B． C． D．3 4．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 5．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 31．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为 ． 6．若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是 . 33．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 7．如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 题型三 勾股定理逆定理与方位角有关的问题 1．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 2．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 4．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 题型四 解决线段的长度 1．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 3．如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为 ． 4．如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为 ． 5．如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 6．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 题型五 勾股定理逆定理在平面直角坐标系中的应用 1．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)___________； (2)求证：． 3．如图，在平面直角坐标系中，． (1)画出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点）； (2)在轴上标出点的位置，使得的值最小； (3)填空：______． 题型六 勾股定理逆定理的综合辨析 1．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 2．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 3．在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 4．下列是有关的命题，其中为假命题的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则 C．若，，则是等边三角形 D．若，，则是等腰三角形 题型七 利用勾股定理解决设计方案问题 1．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 2．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 3．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：    八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 4．如图，，两村庄相距200米，为供气站，米，米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从站铺设管道到点处，再从点处分别向村、两村铺设．    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 题型八 平面上两点间的距离 1．如图，在平面直角坐标系中，有两点和．求这两点之间的距离．    2．阅读理解试题：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则 (1)已知点，，求，两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 3．先阅读下面一段文字，再解答问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知点A（2，4），B（－2，1），则AB＝ ； (2)已知点C，D在平行于y轴的直线上，点C的纵坐标为4，点D的纵坐标为－2，则CD＝ ； (3)已知点P（3，1）和（1）中的点A，B，判断线段PA，PB是否相等？并说明理由． 4．【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 题型九 勾股定理逆定理中的拓展性问题 1．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 2．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 3．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    4.勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _ ； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _ ； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _ ． 1．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 3．如图，在中，，，点和点分别是线段和上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 4．追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 5．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2 勾股定理的逆定理 题型一 勾股数的理解 1．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足，且a，b，c是正整数，则a，b，c叫做勾股数”是解题的关键． 根据勾股数是满足 的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：A． ∵ 和 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． B． ∵ 0.3， 0.4， 0.5 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． C． ∵ ， ，， ∴ 不满足 ． D． ∵ ， ， ∴ ， 且均为正整数，符合定义． 故选：D． 2．下列各组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．1，2，3 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的判断．勾股数的定义是满足的三个正整数，且通常要求．需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】解：选项A为3，4，5， 计算：， 满足勾股数条件，故A是勾股数； 选项B为7，24，25， 计算：， 满足勾股数条件，故B是勾股数； 选项C为8，15，17， 计算：， 满足勾股数条件，故C是勾股数； 选项D为1，2，3， 计算：， 不满足勾股数条件，故D不是勾股数． 故答案为：D． 3．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 4．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ． 【答案】 11，60，61 ，， 【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， ， 第组勾股数为： ，，， 第⑤组勾股数为，，，即11，60，61． 故答案为：11，60，61；，，． 【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 题型二 构成直角三角形的条件 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 3.勾股定理：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是 ． 【答案】 直角三角形 【分析】直接根据勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：勾股定理的内容是如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么； 勾股定理的逆定理内容是如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形； 故答案为：，直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理及勾股定理的逆定理是解题关键． 4．若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由面积得，化简后由勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得：， 三角形为直角三角形， 故答案为：直角． 5．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求． 【详解】解：， ∴此三角形为直角三角形， 则三角形最大内角度数为． 故答案为： ． 题型三 网格中的直角三角形问题 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【答案】见解析 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置. 【详解】过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②. 【点睛】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 3．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 4．在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 题型四 利用勾股定理逆定理求解 1．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 2．在中，，，，则的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是熟悉勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的面积． 故选：B． 3．若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是 三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】先判断三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形，11比直角三角形的斜边10还长，即构成的是钝角三角形，据此即可作答． 【详解】∵， ∴三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形， ∵， 即：， ∴三角形三边长为6，8，11，此时构成的是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以三角形形状的判断等知识，掌握三角形中两条较短边的平方和小于第三边的平方，此时三角形为钝角三角形，是解答本题的关键． 4．已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为 ． 【答案】90度/ 【分析】根据算术平方根和平方式的非负性求得a和b值，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由得：，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的形状为直角三角形，且， 故答案为：． 5．如图，在中，，求边上的高．    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 题型五 利用勾股定理逆定理解决实际问题 1．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 2．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    【答案】够用，理由见解析 【详解】    解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 3．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 【答案】(1)的长为； (2)这块菜地的面积是． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）连接，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）及题意易得，则有是直角三角形，，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：如图，连接； 在中，，，， 所以， 因此，的长为． （2）解：因为，， 所以，. 所以，是直角三角形，， ； 因此，这块菜地的面积是． 题型一 勾股定理逆定理与角度问题 1．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解： ，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 2．已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 3．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 题型二 利用勾股定理逆定理求面积 1．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 2．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 3．如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键． 将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接， ，，， 是等边三角形， ， ∵，， ， ， 与的面积之和为 ． 故选：B． 4．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 5．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 31．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为 ． 【答案】150 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 6．若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是 . 【答案】30 【分析】根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0， ∴a=5，b=12，c=13， ∵52+122=132， ∴△ABC是直角三角形，． ∴以a，b，c为三边的三角形的面积=. 【点睛】本题考查了特殊方程的解法与及勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 33．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 7．如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 【答案】24 【详解】的面积为， 题型三 勾股定理逆定理与方位角有关的问题 1．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【详解】解：如图： ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴二号舰航行的方向是南偏东， 故选：C． 2．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 【答案】南偏西 【详解】解：由题意知，，， ， ， 是直角三角形，， 又， ， 渔船从港口O出发的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 4．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 【答案】南偏东度 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向． 【详解】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里）， 乙船1小时的路程：（海里）， ∵， 即 ∴， ∵C岛在A北偏东方向， ∴ ∴B岛在A南偏东方向． ∴乙船航行的角度是南偏东方向． 题型四 解决线段的长度 1．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 2．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 3．如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为 ． 【答案】3.5 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 4．如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，用勾股定理解三角形，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分的性质得出，从而可用表示出，再证明是直角三角形，，从而可利用勾股定理求得，进而求得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 6．如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 题型五 勾股定理逆定理在平面直角坐标系中的应用 1．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作轴，轴，根据题意证得，再根据全等三角形的性质可得，，又已知点的坐标，即可得点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)___________； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵点，点， ∴； （2）解：， 由勾股定理同理可得， ， ， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，． (1)画出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点）； (2)在轴上标出点的位置，使得的值最小； (3)填空：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)45 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）连接，交轴于点P，则点P即为所求． （3）根据，得，，，根据勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：关于y轴的对称点分别是， 则即为所求． （2）解：连接，交轴于点P， 则点P即为所求． （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了点关于y轴对称，线段和最小，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握对称，勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型六 勾股定理逆定理的综合辨析 1．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 2．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 3．在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，直角三角形的判定方法是解题的关键． 根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：A、，． 是直角三角形且． 与选项A中是直角三角形且矛盾， 故此选项说法错误，符合题意． B、设，，， 则，解得， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． C、设，，， 则， 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． D、，， ，即， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 4．下列是有关的命题，其中为假命题的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则 C．若，，则是等边三角形 D．若，，则是等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的基本性质，包括勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理．需要逐一验证每个选项的真假． 【详解】A.∵ ，设，则， ∴ ，满足勾股定理的逆定理， ∴ 是直角三角形，为真命题，本选项不符合题意． B.∵ ， ∴ （等边对等角）， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴该命题 为假命题，本选项符合题意． C.∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ 是等边三角形，为真命题，本选项不符合题意． D.∵ ， ∴ ， ∴ （等角对等边）， ∴ 是等腰三角形，为真命题，本选项不符合题意． 故选B． 题型七 利用勾股定理解决设计方案问题 1．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 2．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 3．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：    八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)选用八（1）班方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （2）利用等面积法求出线段的长度，分别将两个方案所需水管长度求出，然后进行比较选择即可． 【详解】（1）证明：,， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：选用八（1）班方案，理由如下： 方案一所需水管长度为：（米）； 方案二所需水管长度如下： 由（1）得，且，由等面积法可得， （米）， （米）； ∵， ∴方案一所用的水管少， 故选用八（1）班方案． 4．如图，，两村庄相距200米，为供气站，米，米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从站铺设管道到点处，再从点处分别向村、两村铺设．    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：； ，， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， （米）； （米）， （米）， 米米， 方案一所修的管道较短． 题型八 平面上两点间的距离 1．如图，在平面直角坐标系中，有两点和．求这两点之间的距离．    【答案】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵和， ∴，， 在中，根据勾股定理，得：， ∴， ∴A，B两点之间的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．阅读理解试题：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则 (1)已知点，，求，两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）根据两点间距离公式即可求解； （2）根据两点间距离公式得出，再根据勾股定理逆定理，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ∴，两点间的距离为． （2）， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．先阅读下面一段文字，再解答问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知点A（2，4），B（－2，1），则AB＝ ； (2)已知点C，D在平行于y轴的直线上，点C的纵坐标为4，点D的纵坐标为－2，则CD＝ ； (3)已知点P（3，1）和（1）中的点A，B，判断线段PA，PB是否相等？并说明理由． 【答案】(1)5 (2)6 (3)不相等，见解析 【分析】（1）根据题意给出的公式即可作答； （2）由CD∥y轴，即点C、点D的横坐标相同，再根据题意公式计算即可； （3）利用两点间距离公式分别求出PA，PB，即可判断． 【详解】（1）解：依题意： ； 故答案为：5 （2）解：∵CD∥y轴， ∴， 故答案为：6； （3）解：不相等； 根据题意得：， ∵点P与点B的纵坐标相同， ∴PB∥x轴， ∴， ∴PA与PB的长度不相等， 由（1）知AB= 5， ∴AB= PB， ∴线段PB，AB两条线段的长是相等的． 【点睛】此题主要考查两点间距离公式，读懂题意，根据题意给出的形式或公式进行套用进行作答． 4．【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 【答案】（1）①，②；（2）①，②；（3）①，② 【分析】本题考查了三角形的综合运算，新定义，解决最值问题，数形结合是解答关键． （1）①由线段长度的定义求解；②根据线段的长度的定义求解； （2）连接延长交轴于点，则此时的值最大，根据线段的长度的定义求解；②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小，根据线段的长度的定义求解； （3）①求代数式的最小值，相当于图2，点，点，点，则点，即可求解；②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点，即可求解． 【详解】解：（1）①线段； ②由题意得，线段． 故答案为：①，②； （2）①如图1，连接 延长交轴于点，则此时的值最大， 故的值最大； ②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， ． 故答案为：①，②； （3）①求代数式的最小值， 相当于图2，点，点，点，则点， 参照图2可知的最小值， 则的最小值为； ②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点， 则代数式的最大值为：． 故答案为：①，②． 题型九 勾股定理逆定理中的拓展性问题 1．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 2．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 3．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 4.勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦 【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ， 满足以上公式的是一组勾股数； （3）∵＝ ∴满足以上公式的是一组勾股数； 当时，， ∴构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为， 则股， 弦， （2）如果勾用，且为奇数）表示时， 则股， 弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 1．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 2．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 【答案】 7 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解． 过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线性质定理得到，由面积法得到，即可求解，即可求解的面积；过点作于点，由面积法得到，则，即可求解，然后通过勾股定理逆定理证明，则，可得为等腰直角三角形，，通过等面积得到，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为； 过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7，，． 3．如图，在中，，，点和点分别是线段和上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股逆定理与勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股逆定理得出是直角三角形，且，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，， ∴， 即是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则 ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为： 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N， 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， 即， 在中，， 即的值最小，且为， 故答案为：． 4．追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解:设， 得， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； 所以原方程的解为：，； （2）解：是直角三角形， 理由：是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 5．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 【答案】(1)道路的长为50米；的长为米； (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，可求解；利用勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法即可求解； （2）由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故道路的长为50米； ∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， 在中， ∴， ∴，， ∵ ∴ 故的长为米； （2）解：由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $