2.4.1平面向量基本定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章　平面向量及其应用 §4.1　平面向量基本定理 1 学习目标 理解基的含义，并能判断两个向量是否构成一组基．（逻辑推理） 理解平面向量基本定理及其意义.（数学抽象） 会用基表示平面向量．（逻辑推理） 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 如图（1），设 <m></m> ， <m></m> 是同一平面内两个不共线的向量， <m></m> 是在这一平面内与 <m></m> ， <m></m> 都不共线的向量，如图（2），在平面内任取一点 <m></m> ，作 <m></m> , <m></m> , <m>．</m> 问题1：上图中将 <m></m> 按 <m></m> ， <m></m> 的方向分解，你有什么发现？ [答案] 如图， <m></m> . 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 问题2：若向量 <m></m> 与 <m></m> 或 <m></m> 共线， <m></m> 还能用 <m></m> 表示吗？ [答案] 能，当向量 <m></m> 与 <m></m> 共线时， <m></m> ; 当向量 <m></m> 与 <m></m> 共线时， <m></m> ． 问题3：当 <m></m> 是零向量时， <m></m> 还能用 <m></m> 表示吗？ [答案] 能， <m></m> . 问题4：设 <m></m> ， <m></m> 是同一平面内两个不共线的向量，在 <m></m> 中， <m></m> , <m></m> 是否唯一？ [答案] 假设 <m></m> ,则 <m></m> ,即 <m></m> ，所以 <m></m> 且 <m></m> ,即 <m></m> 且 <m></m> ,所以 <m></m> , <m></m> 唯一． 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 1：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理： 如果 <m></m> ， <m></m> 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一个向量 <m></m> ，存在唯一一对实数 <m></m> ， <m></m> ，使得 <m></m> ． 2.基：把不共线的向量 <m></m> ， <m></m> 叫作表示这一平面内所有向量的一组____.记 平面内任一向量都可以用同一组基唯一表示． 3.如果 <m></m> , <m></m> , <m></m> 三点共线， <m></m> 是平面内任意一点，若 <m></m> ，则 <m></m> ． 基 注意：若则称这组基为正交基；在正交基下向量的线性表示称为正交分解； 若，且为单位向量，则称这组基为标准正交基。 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 思考2：0能否作为基中的一个向量？ 由于0与任何向量共线，因此0不能作为基向量. 思考3：平面向量的基唯一吗？ 不唯一，只要两个向量不共线，就可以作为平面内所有向量的一组基. 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型一、对基的理解 例1 如果 <m></m> ， <m></m> 是平面 <m></m> 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基的是( ). A. <m></m> 与 <m></m> B. <m></m> 与 <m></m> C. <m></m> 与 <m></m> D. <m></m> 与 <m></m> D 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] 对于A，设 <m></m> ，则 <m></m> 所以无解； 对于B，设 <m></m> ，则 <m></m> 所以无解； 对于C，设 <m></m> ，则 <m></m> 所以无解； 对于D,设 <m></m> ，则 <m></m> 解得 <m></m> ，所以这两个向量是共线向量. 故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基，故选D. &1& 对基的理解：两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基;反之，则可作基． 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型二、用基表示向量 例1 如图，在□ABCD中点E，F分别为BC，DC的中点. ＝a， ＝b，用a，b表示 和 解：根据题意有： b， a， ∴ b a. 同理 a b. 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例2 如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且 设 ＝a， ＝b，选择基{a，b}，试写出向量 在此基下的分解式. 解：根据题意得 b， (b－a)， ∴ (b－a)－ b a＋ b， 同理 a＋ (b－a) a＋ b， a－ b. 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型三、平面向量基本定理的应用 例3 如图所示， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别为 <m></m> 的边 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 上的点，且 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ,若 <m></m> ，求证： <m></m> ． 方法指导 设出基，表示 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，然后根据已知建立等式，结合平面向量基本定理证明． 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] 令 <m></m> ， <m></m> 为一组基， 根据已知有 <m></m> ， <m></m> ． <m></m> ，则有 <m></m> , <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .又 <m></m> , <m></m> . 根据平面向量基本定理，有 <m></m> ，故 <m></m> ． 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 2.在 <m></m> 中， <m></m> 是 <m></m> 边的中点， <m></m> 是 <m></m> 的中点，若 <m></m> ，则 <m></m> 的值是( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D [解析] 由 <m></m> 是 <m></m> 边的中点， <m></m> 是 <m></m> 的中点，得 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> ，故 <m></m> ． 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1.若向量 <m></m> ， <m></m> 不共线，则 <m></m> ， <m></m> ，试判断 <m></m> ， <m></m> 能否作为一组基． [解析] 设存在实数 <m></m> ，使得 <m></m> ， 则 <m></m> ，即 <m></m> ， 因为向量 <m></m> ， <m></m> 不共线，所以 <m></m> ，这样的 <m></m> 是不存在的， 所以 <m></m> ， <m></m> 不共线，故 <m></m> ， <m></m> 能作为一组基． 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 2.在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 为 <m></m> 的中点，以 <m></m> ， <m></m> 为一组基，则 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> A [解析] <m></m> . 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 <m></m> 4.给定一组基 <m></m> ，且 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，如果 <m></m> ，求 <m></m> ， <m></m> . [解析] 因为 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> 解得 <m></m> 16 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 平面向量基本定理 <m></m> 判断一组向量能否作为一组基 两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基;反之，则可作基． 用基表示平面向量 17 谢谢大家 18 3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为　　　　.  [解析] 　∵e1,e2不共线,∴由平面向量基本定理可得故x-y=3. $