第2章 §4 4.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理，涵盖基的概念、正交分解及向量表示应用。课堂导入以音乐基本音符类比，联系向量共线定理，引导学生思考共面向量的表示，搭建从共线到共面的学习支架。 其亮点在于通过问题链驱动探究，结合即时练与几何实例（如平行四边形、三角形中向量分解），培养学生用数学眼光抽象向量关系，用数学思维推理线性表示。帮助学生提升抽象能力和推理意识，为教师提供系统的教学资源与方法参考。

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 1 新课导入 学习目标 音乐有7个基本音符： Do Re Mi Fa Sol La Si，不 管是流行歌曲的通俗，摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，其乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 1.通过实例理解平面向量基本定理的内容，了解基的含义． 2．会用一组基来表示其他向量． 3．能应用平面向量基本定理解决一些与平面几何有关的问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　对向量基的理解 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来． 思考　向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 提示：可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来． 返回导航 [知识梳理] 1．平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个________的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝____________． 2．基：我们把________的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}． 不共线 λ1e1＋λ2e2 不共线 返回导航 3．平面向量正交分解的定义 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为________．在________下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是__________的单位向量，则称这组基为标准正交基． 正交基 正交基 互相垂直 返回导航 [即时练] 1．(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 √ √ 返回导航 解析：由平面向量基本定理可知，A，D是正确的． 对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基确定，那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的． 对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 返回导航 2．(多选)已知{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基，则下列四个选项中，能作为一组基的是(　　) A．e1＋e2，e1－e2 B．3e1－2e2，4e2－6e1 C．e1＋2e2，e2＋2e1 D．e2，e1＋e2 √ √ √ 返回导航 解析：e1，e2不共线，根据向量的加法和减法运算法则，可得e1＋e2，e1－e2不共线，e2，e1＋e2不共线，e1＋e2，e1－e2和e2，e1＋e2均可作为一组基，选项A，D正确； 对于B，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，3e1－2e2，4e2－6e1共线，所以3e1－2e2，4e2－6e1不能作为一组基，选项B错误； 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 4．(2025·宜春月考)已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为______________________． 解析：若{a，b}能作为平面内的一组基，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞). (－∞，4)∪(4，＋∞) 返回导航 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基； (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 用基表示向量的方法 (1)平面内任何一个向量都可以用一组基进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则，同时结合实数的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基的方向进行组合或分解． (2)具体表示方法有两种： ①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基表示为止； ②基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 三　平面向量基本定理的应用 [例2] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 返回导航 返回导航 母题探究　若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN. 返回导航 返回导航 若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即可． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 34 1．下列关于基的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基； ②基中的向量可以是零向量； ③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 解析：零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基中的向量，故②错误，①③正确．故选C． √ 返回导航 2．(教材P101T1改编)如图，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　) A．－2e1－4e2 B．－4e1－2e2 C．e2－3e1 D．－e2＋3e1 √ 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：平面向量基本定理、用基表示向量、平面向量基本定理的应用． 2．须贯通：灵活应用基表示向量以及平面向量基本定理的应用． 3．应注意：(1)忽视基中的向量必须是不共线的两个向量； (2)无论是在三角形还是四边形中解决问题，通常以两邻边为基． 返回导航 a＋b d－c c－d 解析：如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1. 故选C． $