第十章 复数（复习课件）数学人教B版必修第四册

单元复习课件 第十章 复数 人教B版必修第四册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3.综合运用复数知识解决模的最值、轨迹等问题，深度体会数形结合的数学思想。 1.掌握复数的定义、代数形式、实部、虚部及数系分类，构建基础认知。 2.深刻理解并熟练运用复数相等的充要条件（实部与虚部分别相等）解决求值问题；建立复数与复平面内点、向量的一一对应关系，掌握复数模的几何意义；精通复数代数形式的加、减、乘、除四则运算规则，确保运算准确快速。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：数系的扩充和复数概念 2.新数i 叫做虚数单位,并规定： （1）i2=-1 ； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立. 3.复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示 ， 1.数系的扩充和数集之间的包含关系: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C 自然数 → 整数 → 有理数 → 实数 → 复数 的计算结果存在周期性规律，周期为4。 即 考点串讲 考点一：数系的扩充和复数概念 6.复数相等： ①复数 实数 () 虚数 () 纯虚数 5.复数的分类： ②集合表示： 4.复数的代数形式：z = a + bi(a、bR) 考点串讲 考点二：复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 a b z=a＋bi 1.复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） 2.复数的几何意义： 3.复数的模： 向量的模，叫做复数z的模，即点Z与原点O之间的距离, 记为 ． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 考点串讲 考点二：复数的几何意义 4.共轭复数： ① (实数) ①定义：=a+bi 的共轭复数 = a-bi ②几何意义：复平面内关于实轴对称， 💡 共轭复数的性质： a b z=a＋bi -b ② ③为纯虚数 ④ ⑤ ⑥ 考点串讲 考点三：复数的四则运算 1.复数加、减法法则： 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 复数加减法对应复平面上向量的加减法， 完全符合：平行四边形法则 或 三角形法则 2.复数乘法法则： 按照多项式乘法法则展开，运算过程中注意将 i² 替换为 -1 并合并实部与虚部。 z₁ · z₂ = (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i z₁ ± z₂ = (a ± c) + (b ± d)i （其中 z₁ = a + bi, z₂ = c + di） 即 Z Z1(a,b) Z2(c,d) Z1(a,b) Z2(c,d) 考点串讲 考点三：复数的四则运算 3.复数的除法法则： 核心是“分母实数化”：分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法运算。 4.复数减法的模|z1-z2|的几何意义： |z1-z2|表示复平面上两点Z1，Z2的距离. 如：|z+(1+2i)|表示：______________________. 点Z 到点(-1,-2)的距离 |z+1+2i|=|z-(-1-2i)| |z|表示： _________________. 点Z与原点间的距离 (1)|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆． (2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线． 考点串讲 考点三：复数的四则运算 5.常用公式： (a+bi)·(a-bi)= a2+b2； (a±bi)2=a2±2abi-b2 ； (1±i)2=±2i; 6.复数的乘方运算： 实数集中指数的运算律,在复数集中仍然成立.即 对及有: 和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积， 即 = n 个 考点串讲 考点四：复数范围内方程的根 ①判断△，△<0时：x= ②首系数化1 ③配方 总结： 考点串讲 题型一、复数的概念 例1 已知复数：z = (m² - m - 2) + (m² - 3m + 2)i 其中 m 为实数，求满足以下条件的 m 值： (1). z 是实数？ (2). z 是纯虚数？ (3). z 对应的点在复平面第二象限？ 解： (1).虚部为 0 ⇒ m² - 3m + 2 = 0，解得：m = 1 或 m = 2 (2).实部为 0 且 虚部 ≠ 0，解得：m = -1(m≠1且m≠2) (3).实部 < 0 且 虚部 > 0，解得：-1 < m < 1 题型剖析 题型一、复数的概念 规律方法　 形如z=a+bi(a,b∈R)的复数,当b=0时,z是实数,当b≠0时,z是虚数,当a=0且b≠0时,z是纯虚数.其中a为实部,b为虚部,z的共轭复数=a-bi. 题型剖析 复数为纯虚数的充分不必要条件是（ ） 题型一、复数的概念 练习1 A．0 B．a= -1 C.a= -1或a=2 D.a=1或a= -2 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义求出a，再利用充分不必要条件的定义判断. 【详解】复数为纯虚数，等价于，即a= -1或a=2，由选项知，只有a= -1是复数z为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合. 故选：B B 题型剖析 题型一、复数的概念 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时， (1)z∈R；(2)z为虚数． [思路探究]　根据复数的分类列不等式组求解． 解： (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以 由②得x＝4，经验证满足①③式． 所以当x＝4时，z∈R. 练习2 题型剖析 题型一、复数的概念 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时， (1)z∈R；(2)z为虚数． 解： (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0 所以 由②得x≠4，由③得x>3. 由①得或 所以当且x≠4时， z为虚数。 练习2 题型剖析 题型一、复数的概念 解： 例2 已知复数 z 满足： + 2= 3 + 4i，求复数 z 的值。 【分析】转化与化归 —— 将复数问题转化为实数方程组求解 设 z = a+bi，则 = a-bi 由已知得 a+bi+2(a-bi)=3+4i 所以 3a-bi=3+4i， 所以a=1，b=-4 所以z = 1-4i 题型剖析 题型一、复数的概念 当两个复数相等时,实部与实部相等,虚部与虚部相等,即若a+bi=c+di(a,b,c,d∈R) ,则a=c且b=d. 一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法． 总结归纳: 题型剖析 题型一、复数的概念 练习3 已知x，y∈C，“x=y=1”是“x+yi=1+i”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复数的相等 【分析】利用复数相等的概念，以及条件x,y∈C的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当x=y=1时，x+yi=1+i显然成立，所以x=y=1是x+yi=1+i的充分条件； 当x=i，y=-i时，x+yi=1+i， 则x=y=1是x+yi=1+i的不必要条件。 故选：A. A 题型剖析 设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________． 【解析】 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i. 由复数相等的充要条件，得解得 故复数z的实部是1. 法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1. 1 练习4 题型一、复数的概念 题型剖析 题型二、复数的四则运算 例3 (1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　) A．－2    B．－2i   C．2   D．2i C (2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　) A．2＋3i    B．2－3i  C．3＋2i   D．3－2i A 题型剖析 题型二、复数的四则运算 (1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝2.故选C． 解： (2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i. 故选A． 题型剖析 复数的运算法则： z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． （1）z1±z2＝                    （2）z1·z2＝                    （3）＝                         (a±c)＋(b±d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i 题型二、复数的四则运算 规律方法　 复数的加减乘运算可类比多项式的加减乘运算,注意把i看作一个字母(i2= -1),复数的除法运算注意应用z为实数,将分母变为实数. 题型剖析 题型二、复数的四则运算 练习5 若则（   ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由，可得 D ， 所以. 故选：D． 题型剖析 练习6 题型二、复数的四则运算 若(1+i)z=4i，其中i为虚数单位，则 A．i B．-i D．-1 C．1 A 【分析】先由复数的除法运算，求出z，进而可求出其共轭复数，再由复数的除法运算计算. 【详解】由(1+i)z=4i，得 则 所以 故选：A． 题型剖析 题型三、复数几何意义 在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是2+i，-1+2i，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A．-1+3i B．1+3i C．-1+i D．1+i 例4 【分析】如图，由 运算得解. 【详解】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为O(0,0)，A(2,1) B(-1,2)，设第四个顶点为D(m,n) 由，∠AOB=， 所以OD、AB为正方形的对角线，则 故选：B.   ⸫(m,n)=(2,1)+(-1,2) ⸫D(1,3)，即第四个顶点对应的复数为1+3i B 题型剖析 题型三、复数几何意义 规律方法　 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)一一对应,与以原点为始点的向量 一一对应.|z1-z2|是复数z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2之间的距离. 题型剖析 题型三、复数几何意义 练习7 复数z满足zi=2z-1，则在复平面内，复数z对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A 【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解 【详解】 位于第一象限. 故选：A. 复数z在复平面内对应的点为， 题型剖析 题型三、复数几何意义 练习8 设复数z满足，令，则|z1|的最大值是（   ） A． B． C． D． D 【分析】根据复数的几何意义，再结合复数的运算，即可求解. 题型剖析 题型三、复数几何意义 【详解】因为，所以复数z对应的点的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， 所以|z1|=|z-1-i|，表示圆上的点与B(1,1)两点连线的距离，如图 |z1|的最大值为|AB|+1，而|AB| 所以|z1|max= 故选：D 题型剖析 已知z=1+2i是实系数一元二次方程mx2+nx+1=0的一个复数根，则3m+n=( ) 题型四、复数范围内方程的根 例5 B A． B． C． D． 【分析】将z=1+2i代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解m,n 【详解】将z=1+2i代入方程可得m(1+2i)2+n(1+2i)+1=0， 即(4m+2n)i+n+1-3m=0， 解得 故 故选：B ⸫ 题型剖析 题型四、复数范围内方程的根 规律方法:　 实系数一元二次方程在复数域解法: 方程：ax2+bx+c=0(a,b,c∈R，a≠0) 1.算判别式：Δ=b2−4ac 2.直接用求根公式：x= ①Δ>0：两个不等实根 ②Δ=0：一个实重根 ③Δ<0：一对共轭虚根，i 题型剖析 在复数范围内，方程x2-5|x|+6=0的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 练习9 题型四、复数范围内方程的根 C 【分析】设x=a+bi(a,b∈R)，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得a、b，即可得解. 【详解】设x=a+bi(a,b∈R)，那么原方程即为 故 所以 故方程x2-5|x|+6=0的解的个数为6. 故选：C ⸫ 解得 或 或 题型剖析 1．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　) A．－4 B．－ C．4 D． 　【解析】∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝， ∴z的虚部为 .故选D． D 针对训练 2.设复数，则的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 C 【分析】根据条件，得，再利用的个位数以4为周期，即可求解. 【详解】因为，则|z|=， 则2n(n∈N*)的个位数以4为周期， 所以的个位数字是6， 故选：C. 又 因为21=2，22=4，23=8，24=16 25=32,26=64，27=128，28=256…… 题型剖析 3.已知复数z满足|z-2-2i|=2，则|z|最大值为（    ） A． B． C． D．   【解析】 . D 依题意，|z-2-2i|=2表示复平面内复数z对应的点在以点(2,2)为圆心，2为半径的圆上， |z|表示上述圆上的点到原点的距离，所以 针对训练 4.已知复数z1＝()(1+i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________. 设z2＝a＋2i，a∈R， 则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i) ＝(2a＋2)＋(4－a)i， 因为z1·z2∈R， 所以a＝4. 所以z2＝4＋2i. 【解析】 z1＝()(1＋i)＝2－i. 针对训练 5.在复平面内复数z1=1-i，z2=1-2i，其所对应的点分别为A、B，O为坐标原点，i是虚数单位. (1)求|z1•z2-； (2)当α为何值时，关于x的二次方程x2-(tanα-z1+1)x-(z2=0有一个实根. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）需要先计算z1·z2和 ，再求它们差的模； （2）设出实根，代入方程，根据复数相等的条件求解tanα 针对训练 （2）设x1是二次方程 x2-(tanα-z1+1)x-(z2=0的一个实根，将x1,z1,z2代入方程得： 由复数相等的意义得： 解得： 【解析】 （1）⸪z1=1-i，z2=1-2i ⸫z1·z2=(1-i)(1-2i)= -1-3i ⸫|z1•z2- 所以 所以当时，原方程有一实根 针对训练 6.已知复数，． (1)若，求|z|； (2)在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求∠AOB的大小． 【知识点】向量夹角的计算、求复数的模、复数的除法运算、复数的向量表示 【分析】（1）利用共轭复数的意义、复数除法运算求出z，再求出|z| （2）求出 的坐标，再利用向量夹角公式求解. 针对训练 所以|z| 【解析】 （1）由复数z1=-1+2i，z2=-2-6i，得 所以 （2）依题意， 因此cos∠AOB= 而0≤∠AOB≤π， 所以∠AOB= 针对训练 7.已知复数z1=1-ai，z2=2a+3i，a∈R． (1)若复数z2-z1为纯虚数，求|z1+z2|的值； (2)若复数z1z2在复平面内对应的点在直线y=x上，求a的值． 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）由纯虚数定义可得a，后由复数模计算公式可得答案； （2）由复数乘法，结合复数几何意义可得z1z2在复平面内对应的点为(5a,3-2a2)，结合其在y=x上可得答案. 针对训练 解: （1）由题意得z2-z1=(2a-1)+(3+a)i，由纯虚数的定义得， 2a-1=0且3+a≠0，解得 ， 整理得 则， （2）由题意得 ， 由复数的几何意义得在复平面内的点的坐标为(5a,3-2a2)， 又(5a,3-2a2)在直线y=x上，则 所以 3-2a2=5a ⸫2a2+5a-3=0 ⸫(2a-1)(a+3)=0，解得 . 针对训练 8.设i为虚数单位，a∈R，复数z1=2+ai，z2=4-3i. (1)若是z1·z2是实数，求a的值；若是纯虚数，求a的值； (2)若z1z2所对应的向量与z1所对应的向量是平行向量，求a的值. 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数、根据复数乘法运算结果求参数、根据除法运算结果求参数 【分析】（1）利用复数的乘法，除法运算化简z1·z2和，然后利用实数和纯虚数的定义得到方程（组）求解； （2）根据复数所对应的向量平行的充分必要条件列出方程，求得a的值. 针对训练 解: （1）z1·z2=(2+ai)(4-3i)=(3a+8)+(4a-6)i 若z1·z2是实数，则4a-6=0，解得 ； 若是纯虚数，则 解得 . （2）z1-z2=-2+(a+3)i，z1=2+ai   解得： ⸪z1-z2所对应的向量与z1所对应的向量是平行向量, ⸫(-2)×a-(a+3)×2=0 针对训练 9. 已知复数z=(m+2)+(m-2)i(m∈R). (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为z的共轭复数，且z+. （i）若z-3i是关于x的方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若|ꞷ-z|=1，求|ꞷ|的范围. 【分析】（1）求出对应点的坐标，再出不等式求解. （2）（i）由复数相等求出z，利用方程根的意义，结合复数相等求出另一根；（ii）由（i）的信息，结合复数的几何意义求出范围. 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、根据相等条件求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 针对训练 （1）复数z=m+2+(m-2)i在复平面上对应点(m+2,m-2)落在第四象限，则 解得-2<m<2 所以实数m的范围是(-2,2). 解: （2）（i）由z=m+2+(m-2)i，得 由，得m+2+(m-2)i+m-2+(m-2)i=2m+4=6， 解得m=1，则z=3-i， 即(-7+3a+b)-(4a+24)i=0 z-3i=3-4i， 依题意，3-4i是关于x的实系数方程 x2+ax+b=0的一个根， 则(3-4i)2+a(3-4i)+b=0， 于是 针对训练 （ii）由（i）知z=3-i，|ꞷ-z|=1为|ꞷ-(3-i)|=1，表示复平面内复数ꞷ对应点与点(3,-1)的距离为1，因此在复平面内复数ꞷ对应点W的轨迹是以Z(3,-1)为圆心，1为半径的圆， 解得 原方程为x2-6x+25=0，即(x-3)2=16i2 解得x1=3-4i，x2=3+4i，所以该方程的另一复数根为3+4i 则|OZ|-1≤|ꞷ|≤|OZ|+1，即 所以|ꞷ|的范围是[，]. 而|ꞷ|表示点W到原点O的距离，又|OZ|= 针对训练 通用解题策略 ● 化简优先：遇复数先化标准式 a+bi ● 数形结合：遇模长联想几何意义 ● 转化化归：利用相等条件转实数方程 高频易错点警示 ! 虚部概念：是 b 而非 bi ! 纯虚数：需同时满足 a=0 且 b≠0 ! 模的性质：|z₁+z₂| ≠ |z₁|+|z₂| ! 大小比较：虚数之间无大小之分 课堂总结 感谢聆听! $