精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年九年级下学期阶段性消化作业（一）数学试卷

2026年重庆一中初2026届初三下期阶段性消化作业（一） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是立方根的含义，无理数的定义，掌握“无理数的定义并判断无理数”是解本题的关键．无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义逐一分析即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C、，是整数，属于有理数，不符合题意； D、是无限循环小数，属于有理数，不符合题意； 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入，即可求得m的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， ∴． 4. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形对角互补得出，结合即可求解． 【详解】解：与是所对的圆周角与圆心角， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，且，，若的面积为18，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵的面积为18， ∴，即． 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有3个棋子，第②个图案有6个，第③个图案有10个，第④个图案有15个，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中棋子的个数是（ ） A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】找到规律第个图案有个棋子，据此代入求解即可． 【详解】解：第①个图案有3个棋子， 第②个图案有6个， 第③个图案有10个， 第④个图案有15个，， 以此类推，可得第个图案有个棋子， ∴第⑧个图案中棋子的个数是． 7. 的近似值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式得出原式，然后利用夹值法即可求解 【详解】． ∵4＜8＜9， ∴， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，属于基础知识，需熟练掌握． 8. 某果园去年10月份的苹果产量为80吨，经过科学管理，第四季度（10月、11月、12月）总产量达到305吨．设去年11、12月份每月产量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该果园11，12月份的苹果产量的月平均增长率为x，根据10月份及第四季度的总产量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设去年11、12月份每月产量的平均增长率为x，则11月份的苹果产量为，12月份的苹果产量为， 依题意，得：． 故选：D． 9. 如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ∴， 在正方形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，即， ∵和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离相等， 设点G到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴△的面积为． 10. 已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】①要使n最大，则各项系数应尽可能小且满足条件，对于②，当时，根据条件确定所有可能的整式M，再求和；③，通过分析系数的取值情况，确定满足条件的整式个数． 【详解】解：①∵各项系数均为正整数，所以最小为1， 若，， ∵偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，且， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和都为3． 若各项系数最小为1，要满足，可以构造出，这 所以n的最大值为5，①错误； ②当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和均为3， 满足条件的整式有： ， 和为，②正确； ③当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴，此时，有1个； 当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴无法构造满足条件的整式； 当时，由②得：满足条件的整式，有4个； 当时，满足条件的整式有：，，有2个， 当时，满足条件的整式有：，有1个， ∴所有满足条件的整式共有个，③错误． 综上所述，正确的有1个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年春节假期，重庆旅游热度位居全国第一，2月10日至2月16日期间，全市共接待游客72000000人次．数据72000000用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】． 12. 如图，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等和平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 13. 某正多边形的一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正多边形的一个内角是其外角的两倍求出外角，结合多边形外角和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵正多边形的一个内角是其外角的两倍， ∴外角度数是：， ∵， ∴该正多边形的边数是6， 故答案为：6； 【点睛】本题考查正多边形性质：每个内角（外角）都相等，多边形外角和． 14. 不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其它差别．一次性从中随机摸取2个小球，则这两个小球颜色相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意列表表示出所有等可能的结果，然后找出这2个小球颜色相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表如下： * 红1 红2 黄1 黄2 红1 （红1，红2） （红1，黄1） （红1，黄2） 红2 （红2，红1） （红2，黄1） （红2，黄2） 黄1 （黄1，红1） （黄1，红2） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红1） （黄2，红2） （黄2，黄1） 由表可知一共有12种情况，两次摸到的小球颜色相同的有4种情况， 所以这2个小球颜色相同的概率为． 15. 如图，在中，为的直径，弦于点E，连接．直线与相切于点D，于点H，交于点M，交于点N．若，，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设的半径为r，则，，根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理可得r的值，可求出的值，从而得到，连接，过点D作于点K，设于点L，再利用勾股定理可得，，再结合切线的性质可得，再由，可得，，根据，可得，，，根据，可得，，连接，再由，即可求解． 【详解】解：设的半径为r，则，， ∵为的直径，弦，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ∴， 如图，连接，过点D作于点K，设交于点L， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”．例如：四位数4521，∵，，6为6的倍数，∴4521为“吉量数”．按照这个规定，最大的“吉量数”是________；若“吉量数”（，，，，且a，b，c，d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为，将的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四位数为，记．若是5的倍数，且是一个完全平方数，则满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. 9999 ②. 4218 【解析】 【分析】根据“吉量数”的定义，先确定千位和百位的最大数字，再确定十位与个位的最大数字，即可得到最大的“吉量数”．根据题意得到，根据是5的倍数与M是“吉量数” 得到．结合它是完全平方数求出a，b，d的值，进而确定满足条件的“吉量数”M最大值和最小值，即可求解． 【详解】解：要使“吉量数”最大，则千位和百位取最大数字9， ∵千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数， ∴当千位数字为9时，十位数字也为9，，它们的和是6的倍数， 当百位数字为9时，个位数字也为9，，它们的和是6的倍数， 符合“吉量数”的规定， ∴最大的“吉量数”是9999． ∵， ， ∴， ∴， ∵是5的倍数， ∴的个位数为0或5， ∵的个位数是4， ∴的个位数是6或1， ∵，， ∴或． ∵M是“吉量数”， ∴， ∴，， ∵，且是完全平方数， ∴当，时，，是完全平方数， 此时； 当，时，，是完全平方数， 此时； 当时，无论b取1到5中的任一值，都不是完全平方数； 当时，无论b取1到5中的任一值，都不是完全平方数； 当，时，，是完全平方数，此时； 当，时，，是完全平方数，此时； 当，时，，是完全平方数，此时． 综上，a，b，d的取值为或或或或， ∴要使“吉量数”M的最大，则a取最大值5，b取最大值3，此时c取值7，满足是6的倍数， ∴满足条件的“吉量数”M最大为． ∴要使“吉量数”M的最小，则a取最小值1，b取最小值1，此时c取值5，满足是6的倍数， ∴满足条件的“吉量数”M最小为． ∴满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】3，4，5 【解析】 【详解】解：， 解不等式得： 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有整数解为3，4，5． 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． （1）尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，过A点作的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再证明，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解：如图，即为所作． 【小问2详解】 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①． ∵，， ∴②， 在和中 ， ∴， ∴④， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 19. 学校开展了“心理健康知识竞赛”活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，85，85，89． 八年级20名学生竞赛成绩是：67，71，78，78，79，82，84，86，86，87，87，87，90，92，92，93，95，97，99，100． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.5 a 85 八年级 86.5 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）该校七年级有学生700人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级心理健康知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）84.5，87，30 （2）八年级，理由见解析 （3）470人 【解析】 【分析】（1）先求出七年级20名学生竞赛在C、D组中的数据的人数，再利用中位数定义求出的值，利用众数定义求出的值，再求出七年级20名学生竞赛在A组中的数据的人数，即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞赛在C、D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，85， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计3次， ∴， 七年级20名学生竞赛在B组中的数据有8人， ∴七年级20名学生竞赛在A组中的数据有（人）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：该校八年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生心理健康知识竞赛的成绩的平均数相同，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级心理健康知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共有470人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】由整式混合运算法则、分式混合运算法则化简，再计算的值代入化简结果计算即可求解． 【详解】解： ， ， 原式． 21. 列方程解应用题：学校迎来周年校庆盛典，为留存校园专属记忆、传递校庆温情，校文创社精心筹备了校庆纪念徽章与纪念书签系列产品，并将60名社团成员分成徽章组和书签组分别负责制作两种产品． （1）文创社推出校庆纪念套装，每套由1枚徽章和2枚书签组成．已知每名成员平均每小时可以制作15枚徽章或10枚书签，且每人每小时只能制作一种产品，该社团应在徽章组和书签组各安排多少名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套？ （2）在第（1）问的人员安排下，社团从书签组抽调若干名成员到徽章组，抽调后，剩余人员继续制作书签．已知抽调后，制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等．求从书签组中抽调了多少人到徽章组？ 【答案】（1）该社团应在徽章组安排名成员，在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套； （2）从书签组中抽调了人到徽章组． 【解析】 【分析】（1）该社团应在徽章组安排名成员，则在书签组各安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套，根据每套由1枚徽章和2枚书签组成列方程并解方程即可； （2）设从书签组中抽调了人到徽章组，根据制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等列方程，解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：该社团应在徽章组安排名成员，则在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套， 则 解得 则 答：该社团应在徽章组安排名成员，在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套； 【小问2详解】 解：设从书签组中抽调了人到徽章组， 则， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 答：从书签组中抽调了人到徽章组． 22. 如图，在矩形中，，，与交于点O，点P为上的点（不与点B，点D重合），过点P作，交对角线于点Q，连接．用x表示线段的长度，点P与点Q之间的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）图见解析，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大 （3）时x的取值范围 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而得出，分两种情况：当时，点在上，此时，可证明，得到，则，，根据可求出；当时，点在上，此时，可证明，得到，则，，根据可求出； （2）根据（1）中计算得出的解析式，画出函数图象即可，并结合函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴； 如图，当时，点在上，此时， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时，点在上，此时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，，； 【小问2详解】 解：画出函数图象如图所示： 由图象可得：函数的一条性质为：当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； 【小问3详解】 解： 由图象可得：时x的取值范围． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 23. 阳春三月，校园里的樱花次第绽放，正是开展户外实践的好时节！为了让同学们更好地将数学与地理知识结合，学校地理社团特别策划了一场“定向越野”沙盘模拟挑战赛．在社团活动室的大型沙盘上，指导老师按照的比例尺，精心标注了若干虚拟打卡点，模拟真实野外的定向任务．在这个沙盘平面内：打卡点B位于打卡点A的正南方；打卡点C位于打卡点B的南偏东方向，两点间的沙盘距离为10厘米；打卡点D在打卡点C的正东方5厘米处，同时也在打卡点A的东南方向；打卡点E则在打卡点D的正北方，并且恰好位于打卡点A的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求沙盘上打卡点A、D之间的距离；（结果保留根号） （2）模拟比赛中，小艾从沙盘上的打卡点D出发，沿线段向A匀速移动棋子；小依从打卡点E出发，沿某方向匀速直线移动棋子．两人同时出发，小艾与小依移动棋子的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小艾的棋子移动了多少厘米？（结果精确到） 【答案】（1）厘米 （2）小艾的棋子移动了约厘米． 【解析】 【分析】本题考查了方向角、勾股定理、解直角三角形以及比例的应用，结合图形正确表示角的和差是解题的关键. （1）先作, 由直角三角形的性质求, 再利用得. 最后由勾股定理求; （2）先作, 由直角三角形的性质求再设, 作利用勾股定理和的长建立方程求解． 【小问1详解】 解：过点作, 交的延长线于点， 点位于点的南偏东方向，厘米， 在中， 厘米， 厘米， 点在点的正东方5厘米处， 厘米且, 厘米， 点在点的东南方向， ， 厘米， 在中，由勾股定理得： 厘米； 答：打卡点之间的距离为厘米 【小问2详解】 解：过点作于点， 点在点的北偏东方向，点在点的东南方向， ， 在中 , 设, 则， 在中 , ， ， ， 又， ， （厘米）， 设两人在上的点相遇， 小艾与小依的速度比为， 设， 过点作于点， 在中 , ， 在中， , ， ， ， ， （厘米） 答：小艾的棋子移动了约厘米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与x轴交于点，点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P为x轴下方抛物线上的一点，且点P在对称轴右侧，连接，，，．点E为抛物线对称轴上的动点，点F是y轴上的动点．当与的面积之差取得最大值时，求P点的坐标以及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移，得到新的抛物线，且新抛物线经过点C，并与直线的另一个交点为点N，在新抛物线上是否存在点T，满足，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）设，然后把A的坐标代入，求出a的值即可； （2）先求出C、B的坐标，根据待定系数法求出直线解析式为，过P作轴交于Q，设，则，求出，则可求，根据二次函数的性质得出当时，最大，此时，作P关于抛物线对称轴的对称点，作A关于y轴的对称轴的对称点，连接，，，则，，，，则，故当、E、F、四点共线时，取最小值，最小值为，然后根据两点间距离公式求出即可； （3）可设抛物线的解析式为，把C的坐标代入求出m的值，求出抛物线的解析式为，把直线解析式和抛物线的解析式联立方程组求出N的坐标，过N作交抛物线于，则，进而求出，故符合题意，待定系数法求出直线解析式为，设解析式为，把N的坐标代入即可求解析式为，把直线解析式和抛物线的解析式联立方程组求出的坐标；连接，在轴上，点C的上方取点M，使，作直线交抛物线于，则，证明，得出，故符合题意，待定系数法求出直线解析式为，把直线解析式和抛物线的解析式联立方程组求出的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解∶设， 把代入，得， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴，，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 过P作轴交于Q， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， 由题意知：抛物线的对称轴为直线， 作P关于抛物线对称轴的对称点，作A关于y轴的对称轴的对称点，连接，，，， 则，，，， ∴， ∴当、E、F、四点共线时，取最小值，最小值为， ∵，， ∴，即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵抛物线沿着射线方向平移，得到新的抛物线， ∴设抛物线向右平移m个单位长度，再向上平移m个单位长度得出抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） ∴抛物线的解析式为， 联立方程组， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 过N作交抛物线于， ∴， 又， ∴， ∴符合题意， 同理可求直线解析式为， ∴设解析式为， ∴， 解得， ∴解析式为， 联立方程组， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 连接，在轴上，点C的上方取点M，使，作直线交抛物线于，则， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴符合题意， 同理可求直线解析式为 联立方程组， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 25. 如图，在等腰中，． （1）若，点D为的中点，且，求线段的长度； （2）若D为外一点，连接，，且，点E为延长线上一点，F为上一点，连接，，已知为的平分线，，，且，猜想，，之间的数量关系并证明； （3）如图中，，．E，F分别为，的动点（均不与顶点重合）且，在直线下方作点P，使，连接，当有最小值时，、、三点共线，在上方取点M，连接，且，点N为直线与直线的交点，当有最大值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点，求出，则可得和，再求出，利用勾股定理即可求解； （2）在上截取，连接，作于点，证明，得出，则，通过导角可推出，在中，， 在中，，再利用即可证明； （3）过点作于点，求出，通过加权逆等线的方法确定时，有最小值，且、、三点共线，由构造的外接圆，可知圆心为点，过点作，交延长线于点，作于点，通过证明，，得，， 则可知当有最大值时，有最大值，即当与圆心重合时，有最大值，延长交于点，可知，利用勾股定理求出，再利用求出，最后利用面积公式求解． 【小问1详解】 解：过点作延长线于点， ， ，， ， ，， 点D为的中点，， ， ， ； 【小问2详解】 解：猜想， 证明：在上截取，连接，作于点， ， ， 为的平分线， ， ，， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， 如图，在射线上取点Q，使得， ， ， ， ， ， ， ，当且仅当、、三点共线时取得最小值， 又此时、、三点共线， 点和点重合，此时如图， 如图，构造的外接圆， ， ， ， ， ， 点和点重合， 过点作，交延长线于点，作于点， ，， ，， 当有最大值时，有最大值， 当有最大值时，有最大值， 当与圆心重合时，有最大值，此时如图， 延长交于点， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：，经检验是方程的解， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆一中初2026届初三下期阶段性消化作业（一） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，且，，若的面积为18，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有3个棋子，第②个图案有6个，第③个图案有10个，第④个图案有15个，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中棋子的个数是（ ） A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 7. 的近似值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 某果园去年10月份的苹果产量为80吨，经过科学管理，第四季度（10月、11月、12月）总产量达到305吨．设去年11、12月份每月产量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年春节假期，重庆旅游热度位居全国第一，2月10日至2月16日期间，全市共接待游客72000000人次．数据72000000用科学记数法可表示为________． 12. 如图，，若，则________． 13. 某正多边形的一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 14. 不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其它差别．一次性从中随机摸取2个小球，则这两个小球颜色相同的概率是________． 15. 如图，在中，为的直径，弦于点E，连接．直线与相切于点D，于点H，交于点M，交于点N．若，，则________；________． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”．例如：四位数4521，∵，，6为6的倍数，∴4521为“吉量数”．按照这个规定，最大的“吉量数”是________；若“吉量数”（，，，，且a，b，c，d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为，将的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四位数为，记．若是5的倍数，且是一个完全平方数，则满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． （1）尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 19. 学校开展了“心理健康知识竞赛”活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，85，85，89． 八年级20名学生竞赛成绩是：67，71，78，78，79，82，84，86，86，87，87，87，90，92，92，93，95，97，99，100． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.5 a 85 八年级 86.5 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）该校七年级有学生700人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级心理健康知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解应用题：学校迎来周年校庆盛典，为留存校园专属记忆、传递校庆温情，校文创社精心筹备了校庆纪念徽章与纪念书签系列产品，并将60名社团成员分成徽章组和书签组分别负责制作两种产品． （1）文创社推出校庆纪念套装，每套由1枚徽章和2枚书签组成．已知每名成员平均每小时可以制作15枚徽章或10枚书签，且每人每小时只能制作一种产品，该社团应在徽章组和书签组各安排多少名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套？ （2）在第（1）问的人员安排下，社团从书签组抽调若干名成员到徽章组，抽调后，剩余人员继续制作书签．已知抽调后，制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等．求从书签组中抽调了多少人到徽章组？ 22. 如图，在矩形中，，，与交于点O，点P为上的点（不与点B，点D重合），过点P作，交对角线于点Q，连接．用x表示线段的长度，点P与点Q之间的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 阳春三月，校园里的樱花次第绽放，正是开展户外实践的好时节！为了让同学们更好地将数学与地理知识结合，学校地理社团特别策划了一场“定向越野”沙盘模拟挑战赛．在社团活动室的大型沙盘上，指导老师按照的比例尺，精心标注了若干虚拟打卡点，模拟真实野外的定向任务．在这个沙盘平面内：打卡点B位于打卡点A的正南方；打卡点C位于打卡点B的南偏东方向，两点间的沙盘距离为10厘米；打卡点D在打卡点C的正东方5厘米处，同时也在打卡点A的东南方向；打卡点E则在打卡点D的正北方，并且恰好位于打卡点A的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求沙盘上打卡点A、D之间的距离；（结果保留根号） （2）模拟比赛中，小艾从沙盘上的打卡点D出发，沿线段向A匀速移动棋子；小依从打卡点E出发，沿某方向匀速直线移动棋子．两人同时出发，小艾与小依移动棋子的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小艾的棋子移动了多少厘米？（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与x轴交于点，点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P为x轴下方抛物线上的一点，且点P在对称轴右侧，连接，，，．点E为抛物线对称轴上的动点，点F是y轴上的动点．当与的面积之差取得最大值时，求P点的坐标以及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移，得到新的抛物线，且新抛物线经过点C，并与直线的另一个交点为点N，在新抛物线上是否存在点T，满足，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在等腰中，． （1）若，点D为的中点，且，求线段的长度； （2）若D为外一点，连接，，且，点E为延长线上一点，F为上一点，连接，，已知为的平分线，，，且，猜想，，之间的数量关系并证明； （3）如图中，，．E，F分别为，的动点（均不与顶点重合）且，在直线下方作点P，使，连接，当有最小值时，、、三点共线，在上方取点M，连接，且，点N为直线与直线的交点，当有最大值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $