专题四：图形的变化（剖析方法+针对训练）-2026年中考数学二轮选择题专项复习 讲义

题型1 图形的平移 考法 1 点的平移规律 【例】D 【解析】如图,过点O₁ 作O₁M⊥x轴于点M,连接A₁B. ∴OM=O₁M=1. ∵OA=1, ∴点M,A 重合, ∴O₁A⊥OA, 则O₁A的中点即为第1个平行四边形的对称中心，其坐标为(1, ); 同理可得,A₁B⊥AB,OB=OA+AB=3,A₁B=AB=2,则A₁B的中点即为第2个平行四边形的对称中心，其坐标为(1+2,1); 同理可得，第3个平行四边形的对称中心的坐标是((1+2+3, ); …… 同理可得，第n个平行四边形的对称中心的坐标是 ∴第6个平行四边形的对称中心的坐标是 即 即(21,3). 1. B【解析】每6个点为一组进行分析，可以发现点 P的纵坐标依次为 然后循环出现.2 024÷6=337……2.故点 P₂₀₂₄的纵坐标为 2. D【解析】动点从原点O出发，按向下→向右→向上→向上→向右→向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6. ∵2025÷6=337……3, ∴A₂(1,-2),A₈(3,-2),A₁₄(5,-2),…, 由6n+3=2025, 得n=337,6n+2=2024, ∴A₂₀₂₁的坐标为(675,-2), ∴A₂₀₂₅的坐标为(675,0). 3. A 【解析】由所给图形可知,点 A₁的坐标为(1,0),点A,的坐标为(2,-1),点 A₂₅的坐标为(3,-2)……由此可见，点. 的坐标为(n,-n+1).当n=23时,(2n- ,所以点 A₂₀₂₅的坐标为(23,-22). 4. C【解析】根据题意有， 第1次运动后，动点 P 的坐标为(1，1)， 第2次运动后，动点 P 的坐标为(2，0)， 第3次运动后，动点 P 的坐标为(3，2)， 第4次运动后，动点 P 的坐标为(4，0)， 第5 次运动后,动点 P 的坐标为(5,1), 第6次运动后，动点 P 的坐标为(6，0)， 第7次运动后，动点 P 的坐标为(7，2)， 第8次运动后，动点 P 的坐标为(8，0)， …… 易知第n次运动后，动点 P 的横坐标即为n，纵坐标的值以1，0，2，0为一个周期进行循环. ∵2025÷4=506……1, ∴第2 025次运动后,动点 P 的坐标是(2025,1). 【解析】在y=x-1中,当y=0时,有x-1=0,解得x=1,∴点A₁的坐标为(1,0). ∵四边形A₁B₁C₁O为正方形,∴点 B₁ 的坐标为(1,1).同理,得A₂(2,1),A₃(4,3),A₄(8,7),A₅(16,15),……,∴B₂(2,3),B₃(4,7),B₄(8,15),B₅(16,31),…, ∴点 B₂₀₂₀的坐标是( 【解析】∵直线 与x轴交于点A₁, ∴点 A₁的坐标为(1,0),∴OA₁=1. 如图,分别过点 B₁,B₂ 作 B₁M⊥x轴交x轴于点 M,B₂N⊥x轴交A₂C₁于点 D,交x轴于点N. ∵△A₁B₁O为等边三角形, ∴∠OB₁M=30°, 当 时 解得 ∴当 时， 解得 而 同理可得，点A₁ 的横坐标为 ∴点 A₂₀₂₄的横坐标为 考法2 平铺式平移 【例】B一题多解 方法① 平移性质法.如图，设正方形O'C'D'E'是正方形OCDE 沿x轴向右平移后得到的正方形(点 E'在AB 上). ∵顶点 A，B的坐标分别为(-1,3),(5,0), ∴AC=3,OC=1,OB=5, ∴BC=6. ∵四边形OCDE 是正方形， ∴E'O'∥AC,∴△BO'E'∽△BCA, 解得BO'=2, ∴E'(3,1),∴点 D'的坐标为(2,1). 方法② 函数解析式法.设直线 AB 的函数解析式为y=kx+b(k≠0). 将A(-1,3),B(5,0)代入, 得 解得 ∴直线AB 的函数解析式为 令y=1,彳得 解得x=3,∴E'(3,1), ∴点 D'的坐标为(2,1). 1. A 一题多解 方法① ∵A(-4,0),B(-1,4), ∴ 直线 AB 的 解 析 式为 = ∵AC=AB=5,OA=4, ∴直线 A'B'的解析式为 方法② ∵A(-4,0),B(-1,4), 由方法①可知， 2. D 一题多解 方法① 如图1,过点D 作DE⊥y轴于点E. ∵点A(0,3),B(1,0), ∴OA=3,OB=1. ∵线段AB 平移得到线段DC， ∴AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°,BC=AD. ∵BC=2AB,∴AD=2AB. ∵∠BAO+∠DAE=90°,∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠ABO=∠EAD. ∵∠AOB=∠AED=90°,∴△ABO∽△DAE, ∴OE=OA+AE=5,∴D(6,5). 方法② 如图2,过点C 作CH⊥x轴于点H. ∵∠ABC=90°, ∴∠ABO+∠CBH=90°. ∵∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠CBH=∠BAO. 又∵∠AOB=∠CHB=90°, ∴CH=2OB=2,BH=2OA=6,∴OH=7, ∴点C 的坐标为(7,2),∴线段 AB 平移得到线段 DC 的方式为向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度，∴将点A(0，3)向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点 D 的坐标是(6，5). 3. B 一题多解方法①用公式法表示面积 ∵A(a,2)是反比例函数 的图象上的点， ∴2a=-2,∴a=-1, 由题意可得,B(1,-2), 直线 AB 的解析式为y=-2x. 如图1,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,CE∥x 轴交 AB 于点 E,过点 A 作AH⊥y轴于点 H. 设直线AB 向左平移m(m>0)个单位长度到直线CD， ∴直线CD 的解析式为y=-2(x+m)=-2x-2m, ∴CE=m,CF=CE·sin∠CEF. ∵CE∥AH, ∴∠CEF=∠OAH. 解得 ∴-2m=-5,∴直线AB 向下平移的距离是5. 方法② 用割补法表示面积 如图2,过点 C 作CF∥x 轴交 AB 于点F. 由方法①可知,A(-1,2)、B(1,-2), 则 (2+2)=2CF,∴2CF=5,∴CF= 即直线 AB 向左平移 个单位长度得到直线CD. ∵直线AB 的解析式为y=-2x, ∴直线 CD 的解析式为 ∴直线 AB 向下平移的距离是5. 4. B [解析]∵点A(4,2)在函数 上，∴k=4×2=8, ∴反比例函数的解析式为 设直线 OA 的解析式为y=nx(n≠0), ∴4n=2, ∴直线OA 的解析式为 设直线 OA 向上平移m个单位长度到直线BC， ∴B(0,m),直线 BC 的解析式为 设 如图，过点C作CH⊥y轴于点H， ∴a=2, ∴4-m=1, ∴m=3, ∴B(0,3). 【解析】∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. 又∵AD 是△ABC 的中线, ∴AD⊥BC. 在 Rt△ABD 中, 如图,令 A'B'与 BD 的交点为 M,A'C'与CD 的交点为N. 由平移可知， ∠A'MD=∠B=30°. 在 Rt△A'DM中, 由平移的性质，知A'M=A'N, 6.(10,-3) 【解析】如图,过点A 作AH⊥y轴于点H,过点 B 作BK⊥AH 交 HA 的延长线于点 K,则∠AHO=∠BKA=90°=∠BAO, ∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO, ∴△AHO∽△BKA, ∴BK=8,AK=6. 由平移的性质,知OF=BK=8,OE=AK=6, ∴E(6,0), ∴将点 A 先向右平移10个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点 E， ∴将点O(0，0)先向右平移10个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点G， ∴G(10,-3). 题型2 图形的翻折 考法 1 确定位置翻折 【例】A 【解析】如图,连接GE. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=DA=2. ∵E 是边BC 的中点, ∴BE=CE=1. ∵将△DCE 沿直线DE 翻折得到△DFE, ∴∠EFD=∠C=90°,CE=FE=BE=1,DF=DC=2, ∴∠GFE=∠GBE=90°. ∵GE=GE, ∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL), ∴GF=GB. 设GB=GF=x,则AG=2-x,DG=2+x. 根据勾股定理，得 即 解得 ∵∠ADG 和∠DAG 的平分线DH,AH 相交于点 H, ∴点 H 到AD,AG,GD 的距离相等, 1. D 【解析】∵四边形 ABCD 是正方形, 由折叠的性质可得,AO⊥EF,AG =GO,∠EOA =∠EAO = 45°,∠FOA = ∠FAO = 45°, AE = OE,AF=FO, ∴AE∥OF,AF∥OE,∠EOF=90°, ∴四边形 AEOF 是正方形, 2. A 一题多解方法① 如图,连接 AC 交 MN 于点 F.设AB=2m,则BC=2AB=4m. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠B=90°, ∵将四边形 CMND 沿 MN 翻折,点 C,D 分别落在点A,E 处, ∴点C 与点A 关于直线MN 对称， ∴AM=CM,MN 垂直平分AC, ∴BM=BC-CM=4m-AM,∠AFM=90°,AF=CF= 方法② ∵∠ABC=∠CFM,∠ACB=∠ACB, ∴△ABC∽△MFC, ∴∠AMF=∠CMF=∠BAC. ∴tan∠AMF=2. 3. C 【解析】∵在等腰直角三角形 ABC.中,∠A=90°,∴AB=AC. 设AB=AC=4a(a>0). ∴AD=CE=a, ∴AE=AC-CE=3a,BD=AB-AD=3a, 如图,连接AA',交 DE 于点 F,过点 A'作A'G⊥AB 于点G 由折叠的性质，得 DE 垂直平分A'A,A'D=AD=a, ∴A'A=2AF. 又 ∴在 Rt△A'BG中, 4. 【解析】∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D 是边AC的中点， ∵将△CDE 沿DE 翻折,点 C 落在BD 上的点 F 处, ∴DF=CD=3,CE=EF,∠EFD=90°, ∴BF=BD-DF=2,∠BFE=90°. 设CE=x,则EF=x,BE=BC-CE=4-x. 在Rt△BFE 中,由勾股定理,得 即 解得 5.(一1.5,5)一题多解方法① 如图，设正方形ABCD 的边长为a;CD 与y轴相交于点G,则四边形 BOGC 是矩形， ∴OG=BC=a,CG=BO,∠EGF=90°由折叠的性质,得 AF=AD=a.DE=FE. ∵点 B 的坐标为(1,0),点 F 的坐标为(0,3), ∴BO=1,FO=3, ∴AO=AB-BO=a-1. 在 Rt△AOF 中,. 解得a=5, ∴FG=OG-OF=2,GE=CD-CG-DE=4-DE. 在Rt△EGF 中,( 解得 DE=2.5、 ∴GE=1.5, ∴点 E 的坐标为(-1.5,5). 方法② 由方法①，知正方形的边长为a，易证△AOF∽ 即 = ,∴EG=1.5,∴,点E 的坐标为(-1.5,5). 6. 【解析】如图,连接OC,OE,AC,CD,CE,过点 D 作DH⊥CE 于点 H. ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB=90°. 由轴对称的性质可得，∠DCB=∠ACB=90°, ∠DBC=∠ABC=30°, ∴∠COE=2∠CBE=60°.由题意可知， ∠EBC=60°, ∴△DCE 是等边三角形, ∴DE=CE. ∵OC=OE, ∴△OCE 是等边三角形, ∴DE=CE=OC=1. 由题意可知， ∵DH⊥CE, 考法2 点的不确定性 【例】 式 【解析】根据题意，分两种情况： 当 时. 设AE=x,AB=y,则 DE=2x,CD=AB=y,BC=AD=3x. ∵将△ABE 沿着BE 所在直线翻折，点 A 的对应点A'恰好 落在CE上， 且∠BA'E=∠A=90°,即. BA'⊥EC.在Rt△CDE中，由勾股定理，得 即3xy= 解得 两边同时平方，得再同时开方，得 (负值舍去)， 当 时. 设DE=x,AB=y,则 AE=2x,CD=AB=y,BC=AD=3x. ∵将△ABE 沿着BE 所在直线翻折，点 A 的对应点 A′恰好落在CE上， ,且∠BA'E=∠A=90°,即 BA'⊥EC. 在 Rt△CDE 中,由勾股定理,得 即 3xy= 解得 两边同时平方，得y²，再同时开方，得 (负值舍去)， 综上所述， 的值为 或4 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠C=∠D=90°,AD∥BC,∴∠DMN=∠MNG.由折叠的性质，得.MF = MD,CN = EN,∠E = ∠C = ∠D =∠MFE=90°,∠DMN=∠GMN, ∴∠GFH=90°,∠GMN=∠MNG, ∴MG=NG. 一题多解 方法① ①当 时,GH=2HN. ∵∠GFH=∠E=90°,∠FHG=∠EHN, 如图,过点G作GP⊥AD 于点 P, 则PG=AB=4. 设MD=MF=x,则MG=GN=x+4, ∴CG=x+6,∴PM=6. 解得 ②当 时,HN=2GH. 同理可得MD=4.综上所述，MD 的长为 或4. 方法② ①当 时,GH=2HN. ②当 时,同理可得MD=4. 综上所述，MD 的长为 或4. 2. 178 【解析】∵将四边形 ABFE 沿直线 EF 翻折后，点B 落在边AD 的三等分点G处， ∵G为AD 的三等分点， ∴AG=2或AG=4. 当AG=2时, 设EG=x,则AE=A'E=2-x. 由勾股定理，得. 即 解得 当AG=4时, 设EG=x,则.AE=A'E=4-x. 由勾股定理，得. 即 解得 综上所述，EG 的长为 或 或 【解析】如图，设BM，EF 交于点O.由折叠的性质,得 OM=OB,EF⊥BM.∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠M=∠OBF,∠MEO=∠BFO.又OM=OB,∴△OEM≌△OFB(AAS),∴OE=OF. ①当点 M 在点D 的右侧时，如图1所示. ∵BC=5,DM=1, ∴AM=AD+DM=BC+DM=6.在Rt△ABM 中, 3 ②当点 M 在点 D 的左侧时，如图2所示. ∵AB=3,BC=5,DM=1, ∴ BM = √AM²+AB² 综上所述，EF 的长为 或·154. 4. 一题多解 方法① ①当 时,如图1,过点 E 作EM⊥GH 于点M. ∵DE∥GH,AD∥BC, ∴四边形 HEDG 是平行四边形， ∴HE=GD=1. 由折叠的性质,得∠FED=∠CED. ∵EM⊥GH,∴EM⊥ED, ∴∠MED=90°,即∠FEM+∠FED=90°, ∴∠CED+∠HEM=90°,∴∠HEM=∠FEM. ∵∠EMF=∠EMH=90°,ME=ME, ∴△HEM≌△FEM(ASA), ∴HM=MF,HE=EF=1,∴EF=EC=1. ∵四边形ABCD 是矩形,∴ 在 Rt△EDC 中, ∵ME⊥HG,HG∥DE, 在Rt△HME 中, ②当 时，如图2，同①作辅助线. 同理可得HE=GD=AD-AG=3-1=2,EC=EF=HE=2, 在Rt△HME 中, 综上所述，FG 的长是或 方法② ①当 时，如图3,连接CF. 由方法①可知,HE=DG=EF=EC= B ∵EH=EF=EC、 ∴∠EFH=∠EHF,∠EFC=∠ECF. ∵∠EFH+∠EHF+∠EFC+∠ECF=180°,即2(∠EFH+∠EFC)=180°, ∴∠EFH+∠EFC=90°,即∠HFC=90°, ∴∠HFC=∠ECD. ∵GH∥DE,∴∠FHC=∠DEC,∴△HFC∽△ECD, 即 解得 ②当 时,如图4,连接CF. 同理可得 HE=DG=EF=EC=2, ∠HFC=90°,△HFC∽△ECD, 即 解得 综上所述，FG 的长是或 或 或2 【解析】∵AB是⊙O 的直径,DE 是⊙O 的弦,∴DE≤AB,∴当 DE 的长为正整数时,DE=1或DE=2. 当DE=2时,即 DE 为直径.∵DE⊥AB, ∴将 沿DE 翻折交直线AB 于点F，此时点 F 与点A 重合,故 BF=2. 当DE=1,且点C 在线段OB 上时,如图1,连接OD, 此时 ∴ BC = OB − OC = 当DE=1,且点C在线段OA 上时,如图2,连接OD,同理可得： 综上，线段 BF 的长为2一 或或2. 或 【解析】当点C'在线段AB上时，如图1.6. 根据AC': AB : BC=1:3:7,不妨设AC'=1,AB=3,BC=7. 由翻折的性质,知∠FCD=∠FC'D'. ∵CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线， ∠FCD+∠FBA, 过点 F 作FE⊥AB交AB 于点E, 当点C'在线段BA 的延长线上时，如图2， 根据AC': AB : BC=1: 3:7,不妨设AC'=1,AB= 3,BC=7. 同理 可 知,CF = BF = 过点 F 作 FE⊥AB 交 AB于点E， 综上所述,cos∠ABC 的值为 或 7.或 【解析】①当点A 落在如图1所示的位置时.7. ∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=∠MA'N=60°. ∵∠MA'C=∠B+∠BMA',∠B=∠MA'N, 由折叠的性质可知,A'N=AN,AM=A'M, ∵BA':A'C=1:4,BC=5,∴A'B=1,CA'=4.设AN=x,则 解得 经检验 是方程的解， ②当点 A 落在CB 的延长线上时，如图2. 由折叠的性质可知， ∠CA'N,AM=A'M. ∴∠MA'B=∠CNA'. 又∵∠A'BM=180°-∠ABC=120°,∠BCN=180°-∠ACB=120°, ∴∠A'BM=∠NCA',∴△BMA'∽△CA'N, 设AN=x,则 ∵A'M+BM=5, 解得 经检验 是方程的解， 综上所述，AN的值为 或 8.1或7 【解析】分两种情况讨论：①当点 F 在AB 的左侧时,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=6,AB=8, ∵D为AC的中点, 由折叠的性质,得 DF=AD=5,AE=EF,∠DAE=∠DFE, ∴点 F 在以点D 为圆心，AD 的长为半径的圆上. 如图,取 AB 的中点 H,连接 DH,设DF 与 AB 相交于点 P,则 HD = ∴∠AHD=∠B=90°. ∵∠EAF=45°,AE=EF, ∴∠EFA=∠EAF=45°, ∴∠FEP=∠AEF=90°, ∴∠AHD=∠FEP. 又∠DAH=∠PFE,∴△HAD∽△EFP, ∴∠ADH=∠FPE=∠DPH. 又∠AHD=∠DHP=90°, ∴△HAD∽△HDP, 即 解得 设AE=EF=x.∵△HAD∽△EFP, 即解得x=1. 经检验x=1是方程的解，即AE=1. ②当点 F 在AB的右侧时,同理可得,AE=7. 综上所述，AE 的长是1或7. 考法3 边(线)的不确定性 【例】2 或 2 【解析】∵在边长为4 的正方形 ABCD中,E 是边BC 的中点, ∴BE=EC=2. 由折叠和对称的性质可知,B'E=BE=EC=E'C=2, ∴四边形 B'E'CE 是菱形, ∴点 B'在以点E 为圆心，2为半径的圆上运动， 当 D,B',E 三点共线时,DB'最短,最小值为 ∴B'D>2, ∴当△DB'E'是等腰三角形时，分两种情况讨论. ①当DE'=B'E'=2时. ∴点 E'在边CD上. 如图1,此时BF=2. ②当DB'=DE'时，如图2. ∵四边形B'E'CE 是菱形, ∴B'E'∥EC, ∴B'E'⊥CD, ∴CD 垂直平分B'E', ∴B'C=CE', ∴△B'CE'是等边三角形, ∴∠B'EC=∠B'E'C=60°, ∴∠BEB'=120°, ∴∠BEF=60°, ∴BF= BE=2 综上所述，当△DB'E'是等腰三角形时，BF 的长为2 或 2 或 【解析】①如图1,当AC=CF 时. ∵AB=AC=2,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°,AC=CF=2, ∴BC= AC=2 由折叠的性质，得 ②如图2,当AF=FC时. ∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠FAC=∠C=30°, ∴∠AFB=∠C+∠FAC=60°, ∴∠BAF=180°-∠B-∠BFA=90°, ∴△BAF 为直角三角形, 由折叠的性质，得 ③∵AF<AC, ∴AF 不可能等于AC. 综上所述，BD 的长为 -1或 或2 【解析】①如图1,当点 F 落在边AB 上时.由折叠的性质,得∠A =∠DFE =60°,∠DEA=90°,∠ADE=∠FDE,∴∠ADE=30°, 4=2. ②如图2,当点 F 落在边BC 上时.由折叠的性质、得∠A=∠EFD=60°. ∵∠EFC=∠B+∠BEF, ∴∠EFD+∠DFC=∠B+∠BEF. ∵∠EFD=∠C=∠B=60°, ∴∠BEF=∠DFC, ∴△FEB∽△DFC, ∵EF+BE=EA +BE=AB=6,DF=DA =AC-CD=4, 即 解得 或 (舍去). 综上所述，AE 的长为 或2. 3.2或 【解析】①当DP⊥AC时,如图1,此时点A 与点P 重合. ∵△ABC是腰长为2的等腰直角三角形,∴AB=AC=2. ∵将△PBC沿CP 折叠得到△PDC,∴PD=AB=2. ②当DP⊥BC 时,延长 DP 交 BC 于点 E,如图2,此时D,A,C三点共线. ∵在腰长为2的等腰直角三角形ABC 中,∠BAC=90°, ∴∠B=45°,AB=AC=2,∠DAP=90°. 根据折叠的性质可知,∠D=∠B=45°,∠PCB=∠ACP, ∴△ADP 为等腰直角三角形,AD=AP. ∵DE⊥BC, ∴△PBE 为等腰直角三角形,PE=BE. ∵∠PCB=∠ACP,PA⊥AC,PE⊥BC,∴AP=PE. 设PE=BE=x,则 解得 ③当 DP⊥AB 时,此种情况不成立. 综上所述，PD的长为2或 4. 或 【解析】①如图1,当点 B'在AC上时. 由勾股定理，得 由折叠的性质,得B'C=BC=3, 由∠AB'E=∠B=90°,∠B'AE=∠BAC,得△AB'E∽△ABC,∴AEC=△B',即 解得 ②如图2,当点 B'在BD 上时, 由BE=B'E,BC=B'C,得 CE垂直平 Ar分BB', ∴∠CBD=∠BEC. 由∠CBE = ∠BCD = 90°,∠BEC =∠CBD,得△BCE∽△CDB, 即 解得 综上所述，AE的长为 或 5.2 【解析】①当点 F 在AB 的垂直平分线GH 上时,如图1,连接BF,则AF=BF. ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°. 由折叠的性质,得AB=AF,∠BAE= ∴AF=AB=BF=6,∴△ABF 是等边三角形, ∴∠BAF=60°,∴∠BAE=30°, ②当点 F 落在 BC 的垂直平分线MN上时，如图2. 由折叠的性质,得AF=AB=6,∠AFE= ∴∠EFN+∠AFM=90°. ∵∠AMF=∠ENF=90°, ∴∠MAF+∠AFM=90°, ∴∠MAF=∠EFN, 在 Rt△AMF 中,AM=4,AF=6, 解得 综上所述，BE 的长为2 6.(1)2 (2) 或 【解析】(1)在正方形 ABCD中,AD=AB=4. 根据折叠的性质可知,∠APB=∠A'PB,PA=PA'. ∵A'D∥BP,∴∠A'PB=∠PA'D. ∵AD=4,∴PA=2. (2)如图,过点 A'作A'E⊥AD 于点E,延长 EA'交BC 于点F，则 在正方形 ABCD 中,∠C=∠CDA=.90°,AD=CD=AB=4, ∴四边形EFCD 是矩形, ∴∠EFC=90°,EF=CD=4,ED=CF,∴AE=BF,∠EFB=90°. ①当A'E=1时,则A'F=4-1=3. 根据折叠的性质可知，A'B=AB=4,A'P=AP. 在 Rt△A'BF 中,根据勾股定理,得 设AP=A'P=x,则PE=AE-AP= -x. 在 Rt△A'PE中,根据勾股定理,得 解得 ②当A'F=1时,则A'E=3. 在 Rt△A'BF 中,根据勾股定理,得 ,∴AE=BF=. 设AP=A'P=m,则. 在 Rt△A'PE中,根据勾股定理,得 3²,解得 综上所述，线段 PA 的长为 或 7.2或 或6 【解析】①当DE=2CD时. ∵四边形ABCD 为矩形,AB=4cm,AD=7cm, ∴CD=AB=4cm, ∴DE=2CD=8cm>7 cm,故不符合题意. ②当CE=2DE时,如图1,过点D'作D'F⊥AD 于点F. ∵四边形ABCD 为矩形,AB=4cm,AD=7cm, ∴CD=AB=4 cm,∠D=90°, ∴∠DCE=30°,∠DEC=60°. 在 Rt△CDE 中, 根据折叠的性质，得 ∠D'EC=60°, ∴∠D'EF=180°-∠DEC-∠D'EC=60°. 在 Rt△D'EF 中, 2(cm). ③当CD=2DE时,如图2,过点 D'作GF∥CD,交AD 于点F,交 BC 于点G. ∵四边形 ABCD 为矩形, AB=4cm,AD=7cm, ∴CD=AB=4cm, ∠D=∠DCG=90°, ∴DE=2cm,四边形FGCD为矩形, ∴DF=CG,GF=CD=4cm,∠D'FE=∠D'GC=90°. 根据折叠的性质，得D'E= DE=2 cm,CD'=CD=4 cm,∠D=∠CD'E=90°, ∴∠FD'E+∠CD'G=90°. ∵∠FD'E+∠FED'=90°, ∴∠FED'=∠CD'G, ∴△EFD'∽△D'GC, 设D'F=x cm,则 D'G=GF-D'F=(4-x) cm. 在Rt△D'EF 中, 解得 或x=0(舍去), ④当CE=2CD时,如图3,过点D'作D'F⊥AD 于点 F. ∵四边形ABCD 为矩形, AB=4 cm,AD=7 cm, ∴CD=AB=4cm,∠D=90°, ∴CE=2CD=8cm,∠DEC=30°. 在Rt△CED中, 根据折叠的性质，得 ∠D'EC=∠DEC=30°, ∴∠DED'=∠DEC+∠D'EC=60°,即∠D'EF=60°. 在Rt△D'EF中 综上所述，点 D'到AD 的距离为2cm 或 cm或6cm. 考法4 角的不确定性 【例】 或 【解析】∵等边三角形 ABC 沿中线AM 折叠,得到△AMC, 在 Rt△AMC 中,由勾股定理,得 2 ①当∠EDF=90°时,如图1. ∵∠EDF=90°, ∴∠ADM = ∠EDM = (180°+ 90°) ÷2=135°, ∴∠AMD=∠EMD=180°-135°-30°=15°, ∴∠FMC=90°-2×15°=60°. ∵△ABC 是边长为4的等边三角形， ∴∠FMC=∠C=∠CFM=60°. ∴EF=EM-MF=AM-MF=2 -2. ②当∠EFD=90°时,如图2. ∵∠EFD=90°,∠C=60°, ∴ ∠CFM = ∠EFD = 90°, CF = 在 Rt△CMF 中,由勾股定理,得 MF= ∴EF=EM-MF=AM-MF=2 = 综上，EF 的长度是 2-2或 1.5或 【解析】由折叠的性质，得BN=B'N. ①当∠B'CM=90°时. ∵N为AB的中点,AB=10,∴AN=BN=B'N=5. ∵B'N<AD,即5<12, ∴点 B 的对应点 B'不可能落在CD 所在的直线上，即∠B'CM=90°的情况不存在. ②当∠B'MC=90°时,如图1,则∠B'MB=90°.由折叠的性质，得∠BMN=∠B'MN=45°. ∵∠B=90°, ∴∠BNM=∠B'NM=45°, ③当∠MB'C=90°时,如图2,则∠NB'M=90°, ∴N,B',C三点在同一条直线上. 设BM=B'M=x,则CM=12-x. 在Rt△BNC中, ∴B'C=CN-NB'=13-5=8. 在Rt△B'MC中,由勾股定理,得 解得 综上所述，BM 的长为5或 2.(1)135°(2)7 或 【解析】(1)∵DE⊥AC,∴∠CDE=90°.由折叠的性质可知,∠BDE=∠BDC= (2)①如图1,当∠EDF=90°时. 由(1)可知,∠BDE=135°,则∠ADB=∠ABD=45°,∴AD=AB=5,∴CD=AC-AD=7. ②如图2,当∠DFE=90°时,BE与BA 共线. 在Rt△ABC中,AB=5,AC=12,由勾股定理,得 BC=13,∴BE=13,∴AE=BE-AB=13-5=8.设CD=DE=x,则AD=12-x.由勾股定理,得 AD²,即 解得 综上所述，CD的长为7或 3.2 或 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形,AB =5,BC=4, ∴DC = AB = 5,AD = BC = 4,∠D = ∠ABC =∠DCB=90°. 由折叠的性质,得AB'=AB=5,B'P=BP. 如图1,△BCB'为直角三角形,且∠BB'C=90°, ∴∠PB'C+∠PB'B=90°,∠PCB'+∠PBB'=90°. ∵∠PB'B=∠PBB', ∴∠PB'C=∠PCB', ∴B'P=CP, 如图2,△BCB'为直角三角形,且∠BCB'=90°. ∵∠BCB'=∠C=90°, ∴点 B'在DC上, ∴B'C=DC-B'D=5-3=2. 且B'P=BP=4-CP, 解得 ∵∠B'BC 是等腰三角形B'PB 的底角,∴∠B'BC≠90°.综上所述，线段CP 的长为2或 4. 或 【解析】∵在矩形ABCD中,BC=6,E是BC的中点,∴AD=BC=6,∠BAD=∠B=∠C=∠D= ∵沿过点 P 的直线将矩形折叠，使点 D 落在AE 上的点D'处,∴PD=PD'.设 PD=PD'=x,则 AP=AD-PD=6-x. 当△APD'是直角三角形时. ①若∠AD'P=90°,则∠AD'P=∠BAD=∠B, ∴∠PAD'=∠AEB=90°-∠BAE, 即 解得 经检验 是原方程的解， ②若∠APD'=90°,则∠APD'=∠B=90°. ∵∠PAE=∠AEB,∴△APD'∽△EBA, 解得 综上所述，当△APD'是直角三角形时，PD 的长为 或 5.0.5 或1.25 【解析】①当∠BMG 是直角时,如图1,过点O作OH⊥BC于点 H. ∵四边形ABCD 是矩形,AB=3,BC=4, ∴AC=5,BH=CH=2, ∴CO=2.5,∴OH=1.5. 由折叠的性质,得∠OMH=45°, ∴MH=OH=1.5, ∴BM=BH-MH=2-1.5=0.5. ②当∠BGM是直角时,如图2. 由折叠的性质,得OE=OC=2.5,∠ACB=∠E. ∵∠EGO=∠ABC=90°,∴△OEG∽△ACB, ∴OG:OE=AB:AC,即OG:2.5=3:5,解得OG=1.5,∴BG=2.5-1.5=1. ∵∠ACB=∠MBG,∠ABC=∠MGB=90°, ∴△ABC∽△MGB, ∴CA:CB=BM:BG,即5:4=BM:1,解得 BM=1.25.综上所述,BM 的长为0.5 或1.25. 或 【解析】①如图1,当∠CEG=90°时,易知∠AED=∠DEF=45°,过点 D 作 DH⊥AC 于点H,则 DH=EH. 在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1, ∴AB=2BC=2,AC=AB·cos30°= ∵CD 是△ABC 的中线,∴AD=1. 在Rt△ADH 中, ②如图2,当∠EGC=90°时,点 B 与点 F 重合,此时 综上所述，CE 的长为 或 7.2或 【解析】①如图1,当∠AFB'=90°时. 在Rt△ABC中,AC=6,BC=8, ∴由勾股定理，得 ∵D 是BC 的中点, ∵∠BFD=∠AFB'=90°,∠ACB=90°, ∴∠DFB=∠ACB. 又∵∠DBF=∠ABC, ∴△BDF∽△BAC, 即 解得 设BE=B'E=x,则 ∵∠B=∠FB'E, ∴sin B=sin∠FB'E, 解得x=2, ∴BE=2. ②如图2,当∠AB'F=90°时,连接AD,过点 E 作EH⊥AB'交AB'的延长线于点 H. 在 Rt△ADC和 Rt△ADB'中, ∴Rt△ADC≌Rt△ADB'(HL), ∴AC=AB'=6. ∵将△BDE 沿直线 DE 翻折到△B'DE 的位置, ∴∠B=∠DB'E. ∵AB'⊥DB',EH⊥AH, ∴DB'∥EH, ∴∠DB'E=∠B'EH, ∴∠B=∠B'EH, ∴sin B=sin∠B'EH. 设BE=x,则 在 Rt△AEH 中,由勾股定理,得 解得 综上,BE 的长为2或 8.3或5 【解析】①当△ABC 是锐角三角形时. ∵MN 是折痕, ∴MN⊥BC,MC=MB. ∵∠B=60°,∴△BCM 是等边三角形,∴BC=BM. 如图1,过点 A 作AD⊥BC 于点 D,则∠ADB=90°. 在 Rt△ADB 中,∠B=60°,AB=8, 在 Rt△ADC 中,AC=7, ∴BC=BD+CD=4+1=5,∴BM=BC=5, ∴AM=AB-BM=8-5=3. ②当△ABC 是钝角三角形时. ∵MN 是折痕, ∴MN⊥BC,MC=MB. ∵∠B=60°,∴△BCM 是等边三角形,∴BC=BM. 如图2,过点 A 作 AE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E,则∠AEB=90°. 在 Rt△AEB 中,∠B=60°,AB=8, 在 Rt△AEC 中,AC=7, ∴BC=BE-CE=4-1=3, ∴BM=BC=3,∴AM=AB-BM=8-3=5. 综上所述，线段 AM 的长为3或5. 题型 7 图形的旋转 考法 1 角度探究 【例】C 【解析】过点 B 作BF⊥CE 于点 F,如图所示. 由旋转的性质,得 BE=BC, ∴△BCE 是等腰三角形. ∵BF⊥CE, ∴∠BFC=90°.设CF=EF=a, ∴∠1+∠2=90°,CE=CF+EF=2a. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC=CD,∠BCD=90°, ∴∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3. 又∵∠CED=90°, ∴∠BFC=∠CED=90°. 在△BFC 和△CED中, ∴△BFC≌△CED(AAS),∴DE=CF=a. 在 Rt△CED 中,由勾股定理得 1. D 【解析】∵∠ABD=∠CBD', ∴∠ABD+∠DBC=∠CBD'+∠DBC=60°, ∴∠DBD'=60°. 又∵BD=BD', ∴△BDD'为等边三角形, ∴∠BD'D=60°. 在△ABD 和△CBD'中, ∴△ABD≌△CBD'(SAS), ∴∠BD'C=∠BDA=100°, ∴∠DD'C=∠BD'C-∠BD'D=100°-60°=40°. 2. B 【解析】当x=150时,Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转150°的图形如图所示,过点 B′作B′H⊥AC于点 H. 由题意，得BC= ,AC=AB+1. 设AB=a,则AC=a+1. 在 Rt△ABC 中, 解得a=1或a=-2(舍去), ∴AB=1,AC=2. ∵∠BAB'=150°,∠CAB=90°, ∴∠B'AH=60°, 在 Rt△CHB'中, 一题多解 方法① 如图1,连接CD,DC',过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC=BC=4,∠ACB=90°. ∴AB=4 ,CH=BH=2 在 Rt△CHD中,由勾股定理,得 ∴弧CC'的长度为 方法② 如图2,连接CD,DC',过点 D 作DM⊥BC 于点M. 由方法①，知 ∴CM=BC-BM=4-1=3. 在 Rt△CDM 中,由勾股定理,得 ∴弧CC'的长度为 【解析】如图,过点 E 作EG⊥AD 于点G.由题意,得 CF = BC=4,CE=EF= AB=AC=5,∠ACB=∠ECF. ∵AB=AC,AD 是边BC 上的高, ∴BD=CD=2, ∴∠FCD=60°, ∴DF=CF·sin∠FCD=4×sin60°=2 ∵∠ECF-∠ACF=∠ACB-∠ACF=60°, ∴∠ACE=∠FCD=60°, ∴△ACE 是等边三角形,∴AE=AC=5. 在 Rt△ACD中, ∵AE=EF=5,EG⊥AD, 5.90°或 180°或 270°【解析】由题意可知，点P 在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动. 如图,延长BA 与⊙A 交于点 P₁,连接AC. ∵P₃B=2AB=BC,∠B=60°, ∴△P₃BC 为等边三角形， ∴AC⊥AB. 在▱ABCD 中, AB ∥CD,AB=CD, ∴CD⊥AC, ∴∠ACD=90°, ∴当点 P 在直线AC 上时符合题意， ∵AP₃∥CD,AP₃=AB=CD, ∴四边形ACDP，为平行四边形， ∴∠P₃DC=∠P₃AC=90°. 即点 P 运动到点 P₃处时符合题意， 记CD的中点为G，以点G 为圆心，GC 为半径作⊙G，连接AG. ∴⊙A 与⊙G 相离, ∴∠DPC<90°. 综上所述，旋转角α的度数为90°或180°或270°. 【解析】如图,连接BE,设CE=m. ∵四边形 ABCD 是菱形，对角线AC,BD 交于点O, ∴BC=DC,AC⊥BD,OB=OD, ∴∠DCO=∠BCO,∠COD=90°. ∵将△BOC 绕点O 逆时针旋转至△EOF,点 E 在线段CD 上, ∴OE=OB=OD, ∴∠OEB=∠OBE,∠OED=∠ODE, ∴∠BED=∠OEB+∠OED=∠OBE+∠ODE. ∵∠OEB+∠OED+∠OBE+∠ODE=2∠BED=180°, ∴∠BED=90°. ∵∠COD=∠BED,∠CDO=∠BDE, ∴△COD∽△BED, ∴∠DCO=∠DBE, ∴∠BCO=∠DBE. 且CE≠0,DE≠0, ∴DE= mk,且m≠0,k≠0, ∵∠BEC=90°, 考法2 长度探究 【例】D 【解析】如图,连接AD,交 CC'于点O. 由旋转的性质得AC'=AC=4, ∠AC'B'=∠ACB=90°, ∴∠AC'D=90°. 在 Rt△ACD 和 Rt△AC'D 中, ∴Rt△ACD≌Rt△AC'D(HL), ∴C'D=CD=3, ∴AD 垂直平分CC', ∴CC'=2OC,AD⊥CC'. ∵∠ACB=90°,AC=4,CD=3, 1. A 【解析】连接CE,如图所示. ∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE, ∴DE=BC=10,∠DAB=∠CAE=90°,AD=AB, ∴△DAB,△CAE 都是等腰直角三角形. ∵∠AED=∠ACB,∠AEB+∠ACB=180°, ∴∠AED+∠AEB=180°, ∴D,E,B 三点共线. ∴BE=BD-DE=24. ∵∠CAE=90°, ∴∠CBE=90°, 2. A一题多解方法① 由旋转的性质可得，△ABC≌△DBE, ∴BC=BE,AC=DE=3,∴∠C=∠BEC. ∵∠ABC=∠C,∴∠BEC=∠ABC. ∵∠C=∠C,∴△BEC∽△ABC, 即 方法② 如图,过点 B 作BH⊥AC 于点 H. 由旋转的性质可得,BE=BC,DE=AC, ∵∠ABC=∠C,∴AB=AC. 在 Rt△ABH 与 Rt△BHC 中,由勾股定理,得 即 解得 3. C 【解析】过点 C作CH⊥BD 于点 H,如图所示. ∵直角三角形ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转一定角度后得到△EDC,DE 边恰好经过点B, ∴∠ACE=∠BCD,∠DCE=∠ACB=90°,CE=CA=2,CB=CD=1. ∵CH⊥BD, ∴BH=DH. 在 Rt△DCE 中, 在 Rt △CDH 中, DH = ∴△CAE∽△CBD、 或 【解析】如图,过点B 作 BG⊥CF 于点G、 ∵∠ACB = 90°,AC = BC =2 ,D是AC的中点, ∴CD= ,∠ABC=45°, 由旋转的性质可知， △DCB≌△FEB, ∵CF∥AB,∴∠BCG=∠ABC=45°, 由题意可知，点F 的轨迹是以点 B 为圆心，BD 的长为半径的圆，当点 D 运动到点 F'时，此时CF'∥AB.同理可得， 综上所述，CF 的长度为 或 5. 一题多解 方法① 由题意，得(OD=AB=OA=3,∠ODE=∠OAB=90°, ∴∠QAM=∠ODM=90°. ∵∠M=∠M,∴△QAM∽△ODM, 设AM=x,则 DM=4x,OM=3+x. 在Rt△ODM中，由勾股定理，得 即 解得 (舍去), 方法②如图,连接OQ,OP. 由题意,得OA=OD,∠OAQ=∠ODQ=90°. 在Rt△OAQ 和Rt△ODQ 中, ∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ(HL), ∴QA=DQ. 同理可证CP=DP. ∵BQ:AQ=3:1,AB=3,∴BQ= ,AQ= 设CP=x,则.BP=3-x,PQ=x+ 在 Rt△BPQ中,由勾股定理,得 即 解得 ∵∠AQM=∠BQP,∠QAM=∠B, ∴△AQM∽△BQP, 【解析】∵∠ACB=90°,sin∠BAC= 6. ∴设BC=3x,AB=5x,则AC=4x. 由旋转的性质可得,AE=AC=4x,AD=AB=5x,∠AED=∠ACB=90°,DE=BC,∠EAC=∠DAB=α, ∴∠AEC=∠ADB,∴△AEC∽△ADB, 过点 B 作BF∥DE 交EP 的延长线 E于点F，如图所示. ∵BF∥DE,∴∠DEP=∠F. ∵∠AEC +∠DEP =∠ACE + A∠BCF=90°, ∴∠DEP=∠BCF,∴∠BCF=∠F, ∴BF=BC,∴BF=DE. ∵∠EPD=∠FPB,∴△DEP≌△BFP(AAS), 7.40/7【解析】∵将△ADM 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABN, ∴AM = AN,DM = BN,∠MAN = 90°,∠DAM =∠BAN,∠AMD=∠ANB. 如图,连接DE,BF. ∵AE=AF=BC,FN=AN-AF,EM=AM-AE, ∴FN=EM. 在△BFN 和△DEM 中, ∴△BFN≌△DEM(SAS), ∴BF=DE. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADB=∠ABD=45°,AB=AD=BC, ∴AF=AB,AE=AD, ∴△ABF 和△AED 都是等腰三角形, ∵∠DAE=∠BAF, ∴∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED. ∵AF=AE,∠MAN=90°,△AFE 为等腰直角三角形， ∴∠AEG=∠AFG=45°. ∵∠GDE=∠ADE-∠ADB=∠ADE-45°,∠GFB=∠AFB=∠AFG=∠AFB-45°, ∴∠GFB=∠GDE. 在△GFB 和△GDE 中 ∴△GFB≌△GDE(AAS),∴FG=DG,BG=EG. 在△AFG 和△ADG中 ∴△AFG≌△ADG(SSS), ∴∠FAG=∠DAG,即∠DAH=∠NAH. ∵AD∥BC,∴∠DAH=∠AHN, ∴∠AHN=∠NAH,∴AN=NH=AM= 设BH=x,则 AB=BC=BH+CH=x+2,BN= 在Rt△ABN 中, 解得 或 如图,过点 G 作PG∥BC,交AB 于点P, ∴△APG∽△ABH, 即 ∵PG∥BC, ∵∠PBG=45°, ∴PG=PB. ①当BH=6时,AB=BC=BH+CH=8, ∴设AP=4a,PG=3a=PB. ∵AB=AP+PB=8,∴4a+3a=8,解得 在 Rt△APG 中, ②当 时,AB=AD=CD=BC=BH+CH= 在Rt△ADM 中, ∴点 M 在 DC 的延长线上，与题意不符. 综上，AG 的长为 8.2/3 一题多解 方法① 如图1，延长 FD，交 AB 的延长线于点G,交 BC 于点 H. 由旋转的性质,知AE=AB=1,AF=AC,∠BAE=∠CAF, ∴∠ABE=∠ACF. ∵D是边AC 的中点,∠ABC=90°, ∴AD=DC=BD, ∴∠ABE=∠BAC,∴∠BAC=∠ACF, ∴AG∥CF. ∵∠ABC=90°,∴∠BCF=90°. 过点 A 作AM⊥CF 于点 M. ∵∠ABC=∠BCF=∠AMC=90°, ∴四边形 ABCM 是矩形,∴CM=AB=1.易得△ADG≌△CDF(AAS), ∴AG=CF=2,∴BG=AG-AB=2-1=1. 在△BGH 和△CFH 中,∠GBH =∠FCH,∠BHG =∠CHF,∴△BGH∽△CFH, 方法② ∵在Rt△ABC中,AB=1,BC=2, ∴由勾股定理可得， ∵D 是边AC 的中点, 同方法①可证,CF=2,∠DCF=∠BAC, ∴在Rt△ABC中, 如图2,过点D作DH⊥CF 于点 H,则 设CH=a,则 解得 ∴在Rt△FHD 中, 专题综合练 题组训练1 1. B 【解析】在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是边 AB 的中点， ∴CD 是 Rt△ABC 斜边上的中线, ∴AB=2CD. ∵CD=1, ∴AB=2. 由平移,得GE=AB=2. 2. B【解析】根据题意可知，坐标变换的规律为每移动四次，前两次移动后它的纵坐标都为1，后两次移动后它的纵坐标都为0，而横坐标向右移动了2个单位长度， ∴2026÷4=506……2, ∴点A₂₀₂₆的纵坐标是点A₂的纵坐标为1，横坐标是2×506+1=1013, ∴点 A:013 的坐标为(1013,1). 3. C 【解析】过点 E作EM⊥BC 于点 M,过点 A 作AH⊥BC 于点 H,交 BD 于点E',如图所示. ∵△ABC 为等边三角形,BD 平分∠ABC. ∴∠EBM=30°、 当 最小时，AE+EM最小，此时点 E 与点 E'重合，点 M 与点 H 重合， 的最小值为AH 的长度. 在Rt△ABH 中, AH=AB·sin∠ABH=2×sin 60°= 最小值为 4. A 一题多解方法① ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC=8,DC=AB=6. ∵把△ADE 沿 AE 折叠,点 D 恰好落在 BC 边上的点F 处, ∴AF=AD=8,EF=DE, 在Rt△EFC中, CE=DC-DE=6-EF, 由勾股定理，得 方法② ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC=8,∠B=∠C=∠D=90°, ∴∠CEF+∠EFC=90°. ∵把△ADE 沿AE 折叠,点 D 恰好落在 BC 边上的点F 处, ∴AF=AD=8,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFB+∠EFC=90°, ∴∠CEF=∠AFB. ∵AB=6, 5.5 【解析】取点O'(0,4),连接O'P,O'A,如图所示. ∵B(0,2),过点 B 作 y轴的垂线l, ∴点O'(0,4)与点O(0,0)关于直线l 对称, ∴PO'=PO, ∴PO+PA=PO'+PA≥O'A,即 PO+PA 的最小值为O'A 的长. 在 Rt△O'AO中, ∵OA=3,OO'=4, ∴ 由勾股定理,得 O'A = ∴PO+PA 的最小值为5. 6.82.5°或 52.5°或 37.5° 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴∠B=∠BAD=90°. 由折叠的性质，得 如图1,∠BAB'=15°. ∴∠APB=90°-∠PAB=82.5°. 如图2,∠DAB'=15°,且点 B'与点 B 在直线AD 的同侧. ∵∠BAB'=∠BAD-∠DAB'=75°, ∴∠APB=90°-∠PAB=52.5°. 如图3,∠DAB'=15°,且点 B'与点 B 在直线AD 的异侧. ∵∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=105°, ∴∠APB=90°-∠PAB=37.5°. 综上所述,∠APB 的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°. 7. 【解析】如图,过点 C 作CF⊥AB 于点 F,则∠AFC=∠BFC=90°. ∵ ∠ACB = 90°, AC = ∵∠CED=90°,∠DCE=30°, ∴∠CDE=60°. 作直线 EF,取 CD 的中点O,连接OE,OF,作以点O 为圆心，OD 为半径的圆. ∴F,E,C,D 四点都在⊙O 上, ∴∠CFE=∠CDE=60°, ∴∠BFE=∠BFC-∠CFE=30°, ∴点 E 在直线 EF 上运动. 过点 B 作BL⊥FE 于点L,则∠BLF=90°, ∵BE≥BL, ∴BE 的最小值为 题组训练2 1. A 【解析】如图,过点 D 作 DG⊥EF 交 FE 的延长线于点G，DG 交反比例函数图象于点 H. ∵原点O 为正六边形ABCDEF 的中心,EF∥x轴, ∴∠EDG=30°, 设正六边形 ABCDEF 的边长为a,则 ∵点 E，H都在反比例函数图象上， 解得a=4, ∴H(4, ), 2. A 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形,AB=4,AD=6,点E 在BC上, ∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠BEA. ∵将▱ABCD 沿AE 翻折,点 B 恰好落在 DE 上的点F处, ∴∠DEA=∠BEA,∠AFE=∠B, ∴∠DAE=∠DEA, ∴DE=AD=6. ∵AE=AB=4, ∴∠AFE=∠B=∠BEA, ∴∠AFE=∠DAE. ∵∠AEF=∠DEA, ∴△AEF∽△DEA, 3. 【解析】在 Rt△C'BM 中, 由折叠的性质可得,C'M=CM=5,∠D'C'M=∠C=∠D=∠D'=90°. ∵∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°, ∴∠BC'M=∠AEC'. 又∵AC'=BM=3, ∴△BC'M≌△AEC'(AAS), ∴BC'=AE=4,MC'=C'E=5, ∴AB=CD=C'D'=7,BC=AD=BM+CM=3+5=8, ∴DE=AD-AE=8-4=4,D'E=C'D'-C'E=7-5=2. 设DN=D'N=a,则EN=4-a. 在 Rt△D'EN 中, 即 解得 4.(1) (2) 2 【解析】(1)如图1,过点 O 作OF⊥BC,垂足为F. 设圆O的半径为R,则OF=OM=R, ∵N为OC 的中点, 又∵∠MON=∠COM. ∴△MON∽△COM, (2)由(1)可知, ∴当点 M 在 BN 的延长线上,即点 B,M,N 三点共线时,|MB-MN|有最大值,最大值为 BN 的长. 如图2,过点 O 作OF⊥BC,垂足为 F,过点 N 作 NQ⊥BC,垂足为Q, ∴NQ∥OF, ∴△COF∽△CNQ, ∵OF=BF=CF,AB=BC=4, ∴BQ=3,NQ=CQ=1, ∴|MB-MN|的最大值为 的最大值为 的最大值为2 5. 一题多解方法① 如图1，取AP的中点F，连接EF,过点G作GH⊥AD于点H,过点E作ET⊥GH 于点T,设AP=m. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠D=90°,AB=CD=3, ∴∠DAC=30°. ∵PG⊥AC, ∵E 是BP 的中点,∴EF是△ABP 的中位线, 在 Rt△EGT中, ∴当 时，EG 取最小值，最小值为 方法② 延长 PG至点Q,使GQ=PG,连接AQ,BQ,如图2所示. 易得∠DAC=30°. ∵PG⊥AC, ∴AQ=AP,∠QAP=2∠CAD=60°, ∵E是BP 的中点, ∴EG是△BPQ 的中位线, 当BQ⊥AQ时,BQ最小,此时 ∴EG 的最小值为- 【解析】∵2BE=3DF, 如图，过点 F 作EF 的垂线，过点 D 作BD 的垂线，两垂线交于点M， ∴∠FMD=∠EDB, ∴△MDF∽△DBE, ∵正方形ABCD 的边长为6, 取 MD 的中点为O, ∴点 F 在以点O为圆心，半径为2 的圆上运动.连接OB,OF. 在Rt△BDO中,( 当点 F 在线段OB上,即O,F,B 三点共线时,BF 取得最小值. ∵OF+BF≥BO, 即 BF 的最小值为 7. 【解析】如图,过点 E 作EH⊥AC 于点 H,过点 A 作AT⊥BE 于点 T. ∵将 AD 绕点 A 逆时针旋转90°至 AE, ∴AD=AE,∠DAE=90°, ∴∠C=∠DAE=∠AHE=90°, ∴ ∠AEH + ∠EAH =∠EAH+∠CAD=90°, ∴∠AEH=∠CAD, ∴△ACD≌△EHA(AAS), ∴CD=AH,EH=AC=2BC. ∵D 是BC 的中点, ∵EH⊥AC,∴EH∥BC, ∴△EHF∽△BCF, ∴HF=2CF, ∴设CF=AH=x,则HF=2x,EH=AC=4x, ∴AF=3x,CD=x. 在Rt△ACD中, 在Rt △EHF 中,. 在Rt△AET 中, 8.3.5 【解析】如图,以 EC 为边作等边三角形ECH,连接FH,过点 H 作HN⊥BC于点N,HM⊥AB 于点M. ∵∠ABC=90°, ∴四边形 MHNB 是矩形, ∴MH=BN. ∵BE=2,∴EC=3.△ECH 是等边三角形,HN⊥EC, ∴EC = EH = 3,EN = NC = 1.5,∠HEC=60°, ∴BN=3.5=MH. ∵△EFG是等边三角形, ∴FE=GE,∠FEG=60°=∠HEC, ∴∠FEH=∠GEC. 在△FEH 和△GEC 中, ∴△FEH≌△GEC(SAS),∴FH=GC, ∴当FH⊥AB时,FH有最小值,即GC有最小值,此时点 F 与点M 重合,FH=HM=3.5. 题组训练3 1. C 【解析】过点 D 作DM⊥BC 于点 M,如图, ∴∠DMB=∠DMC=90°. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°. ∵将CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到 CE， ∴CD=CE,∠DCE=60°, ∴△CDE 是等边三角形， ∴∠BCD=∠ECG. ∵∠B=∠E=60°, ∴△BCD∽△ECG, 过点G作GH⊥CD 于点 H, 2. A 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC, ∵AF 平分∠BAC, ∴∠BAF=∠FAC. ∵EF∥AB, ∴∠BAF=∠AFG, ∴∠GAF=∠GFA, ∵BF:CF=AG:CG=1:3, 3. B 【解析】如图,过点 C 作CG⊥AB 于点G. ∵AB∥DC,AD⊥DC,AD =DC=2, ∴∠ADC=∠DAG=∠AGC=90°, ∴四边形 ADCG 是矩形, ∴CG=AD=2,AG=CD=2. ∵AB=4, ∴BG=AB-AG=4-2=2, ∴当点A'到BC 的距离最小时，△A'BC 的面积最小. 过点A'作A'H⊥BC 交BC 的延长线于点 H,即当A'H最小时,△A'BC 的面积最小. ∵E 是线段AD 的中点,AD=2, 由折叠的性质,得AE=A'E=1, ∴点A'在以点E为圆心，半径为1的半圆上运动， ∴当点E,A',H 三点共线时,A'H 最小,此时△A'BC 的面积最小. 延长AD,BC 交于点M,过点 D 作DN⊥CM 于点 N,则DN∥EH, ∴△MND∽△MHE. ∵CG=BG=2,∠BGC=90°, ∴∠ABC=∠BCG=45°. ∵AB∥CD, ∴∠DCM=∠ABC=45°. ∵∠CDM=180°-∠ADC=180°-90°=90°, ∴△CDM 是等腰直角三角形， ∵△MND∽△MHE, 即 ∴△A'BC 面积的最小值为 4.10或2 【解析】当CD 为平行四边形的对角线时，如图1所示. ∵四边形 B'CED 是平行四边形，正方形ABCD 的边长为5，∴B'D=CE,B'C=DE,DF= ∵DE⊥B'E, ∴CB'⊥BE. ∵∠BCD=90°, ∴在直角三角形 BCF 中，由勾股定理，得 BF = 在直角三角形 BCB'中，由勾股定理，得 当CD为平行四边形的边时，如图2所示， 此时四边形 CDB'E为平行四边形，点E 与点A 重合， 综上所述，B'B 的长为2 或10. 【解析】∵四边形 DAEF 为平行四边形，∴ EF = AD, DF = AE,DF∥AC. ∵E为线段AC上的动点， ∴可以看作 EF 是定线段，菱形ABCD 在AC方向上水平运动. 如图，点B 的运动轨迹为线段MN，过点 E 作关于线段MN 的对称点E',连接BE',E'F. 由对称性，得BE=BE',EH=E'H, 当且仅当 E',B,F 三点共线时,B'E+BF 取得最小值E'F. 设AC与BD 交于点O,EE'交MN 于点 H,延长 E'E 交FD 的延长线于点G. 在菱形ABCD中,AC=4,BD=2, 由题可得,AC∥MN, ∴由对称性可得,EH⊥HB, ∴AC⊥GH, ∴∠OEH=∠EOB=∠EHB=90°, ∴四边形 EOBH 是矩形, ∴EH=OB=1. ∵DF∥AC, ∴GD⊥DO, ∴∠GDO=∠DOE=∠GEO=90°, ∴四边形 DOEG 是矩形, ∴GD=EO,GE=DO=1, ∴GF=GD+DF=EO+AE=AO=2,GE'=GE+EH+E'H=3, 即BE+BF 的最小值为 【解析】当AD与⊙O 相切时，设 DE 所在的直线与⊙O 相切于点F,连接OA,OB,OD,OF,如图所示. ∵⊙O 的半径为3,∠ACB=45°, ∴OA=OB=OF=3,∠AOB=2∠ACB=90°. ∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转后得到△ADE, ∵AD⊥OA,FD⊥OF, ∴∠OAD=∠OFD=90°, 连接AF 交OD 于点L,过点 A 作AH⊥EF 于点 H,则∠AHE=∠AHF=90°. ∵AD=FD,∠ODA=∠ODF, ∴OD⊥AF,AL=FL, ∴AH=4. ∵∠AHE=90°,∠E=45°, ∴∠HAE=∠E=45°, ∴EH=AH=4. ∴DE=BC=EH-DH=4- 7. 或10或 【解析】∵四边形ABCD 是矩形,AB=5,BC=8, ∴CD=AB=5,AD=BC=8,∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°. ∵将△ABP 沿BP 折叠得到△EBP, ∴PE=AP,BE=AB,∠PEB=∠A=90°. 当CE=CD=5,且点 P 在线段AD 上时,如图1,过点 E作MN⊥BC,交AD,BC于点N,M,则BE=AB=CD=CE=5,四边形ABMN 是矩形, ∴BM=CM=4,AN=BM=4,MN=AB=5,∠ENP=∠BME=90°, ∴∠PEN=90°-∠BEM=∠EBM, ∴△BEM∽△EPN, 即 ∵∠ENP=90°, 即 解得 或AP=10(不符合题意,舍去). 当CE=CD=5,且点 P 在线段AD 的延长线上时,如图2,过点 E 作MN⊥BC,交 AD,BC 于点 N,M,则 BE=AB=CD=CE=5,四边形 ABMN 是矩形, ∴BM = CM = 4,AN = BM =4, MN = AB = 5, ∠ENP =∠BME=180°-90°=90°, ∴∠PEN=90°-∠BEM=∠EBM, ∴△BEM∽△EPN, 即 ∵∠ENP=90°, 即 解得 (不符合题意，舍去)或AP=10. 当CE=DE 时,如图3,过点 E 作MN⊥BC,交 AD,BC于点 N,M,则 BE=AB=CD=5,四边形 ABMN 是矩形， ∴AN = BM,MN = AB = 5,∠ENP =∠BME = ∠DNE⁻=∠CME=90°. ∵DE=CE, ∴∠EDC=∠ECD, ∴90°-∠EDC=90°-∠ECD,即∠EDN=∠ECM. 在△EDN 和△ECM中, ∴△EDN≌△ECM(AAS), ∵∠BEP=∠BME=∠ENP=90°, ∴ ∠PEN = 90° - ∠BEM = ∠EBM, BM = ∴△BEM∽△EPN, 即解得 8. 【解析】∵直线 与x轴，y轴分别交于A,B 两点,∴B(0,2),A(6,0). 如图1,作点 B 关于x轴的对称点B'(0,-2),把点 B'向右平移3个单位长度得到点 C(3,-2),过点 C 作CD⊥AB 于点 D,交x轴于点 F,过点 B'作B'∥CD交 x轴于点 E，则四边形 EFCB'是平行四边形， 此时B'E=BE=CF, ∴当 BE+DF=CF+DF=CD 时有最小值. 过点 C 作CP⊥x轴于点 P,则 CP=2,OP=3. ∵∠CFP=∠AFD, ∴∠FCP=∠FAD, ∴tan∠FCP=tan∠FAD,∴PF=OBA, 即 则 设直线 CD 的解析式为y= kx+b(k≠0), 则 解得 ∴直线 CD 的解析式为y=3x-11. 联立 解得 即 如图2,过点 D 作DG⊥y轴于点G,与直线 的交点即为点 H. 设直线 与x轴的交点为 则 DH)=5DG, 即3BH+5DH 的最小值是 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题四图形的变化 题型1图形的平移3年40考 考法1点的平移规律 第一步剖析方法 点的平移规 律 左减右加，上加下减 1.明确点的初始坐标；2.根据平移方向和距离，确定是对横坐标还是纵坐标进行操作；3.按照平移 解题步骤 规律计算平移后点的坐标；4.验证结果是否合理 注意事项 1.注意坐标系的四个象限特点；2.平移不改变图形的形状和大小，只改变位置 第二步精学典例 【例】(2025·上海黄浦区一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，点0,01，A,A1,B,B1,C… 都是平行四边形的顶点，点A,B,C,,在X轴正半轴上，∠A001=45°，0A=1,AB=2,BC=3,001= √2，AA1=2V2,BB1=3V2,…,平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中 心的坐标是 ( ) A.6, B.(10,3) c.(15) D.(21,3) B B 第三步针对训练 1.(2024·信阳罗山一模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，沿着箭头所示方 向移动，依次得到B乃，乃.各点，相关数据如图所示，则点P4的纵坐标是(） y .1 45°45 P45 45°145 PP A.0 B. C.- D.1 2.(2025·广州南沙区一模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次 不断移动，得到A1(0,-2),A2(1,-2),A3(1,0),A4(1,2),A5(2,2),A6(2,0),·,那么点Aos 的坐标为() 竹竹竹 A.(674,0) B.(674,2) C.(675,2) D.(675,0) 3.(2024·信阳新县一模)如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标 系内每次移动一个单位长度，其中A1(1,0),A2(1,1),A3(0,1),A4(-1,1),A5(-1,0),…,则 点4,2s的坐标是（) A.(23,-22)B.(22,-22) C.(45,-44)D.(44,-44) 4.(2025·杭州模拟)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点 运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)…按这样的运动规 律经过第2025次运动后，动点P的坐标是() y (3,2) (7,2) (11,2) 可(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0(12,0)x A.(2024,1)B.(2024,0) C.(2025,1) D.(2025,2) 5.(2023·泰安泰山区一模)如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=x-1与x轴交于点A1,依次 作正方形A1B1C10,正方形A2B2C2C,…,正方形AnBnCnCn-1,使得点A1,A2,A3,, An右直线1上，点C1,C2,C3,,C在y轴的正半轴上，则点B的坐标是 y B C B2 B 6.(2024·广安中考)如图，已知直线上y=气x-与x轴相交于点A,,以0A,为边作等边 三角形OA1B1,点B1在第一象限内，过点B作x轴的平行线与直线1交于点A2,与y轴交于 点C1,以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方)，以同样的方依次作等 边三角形C2A3B3,等边三角形C3A4B4…则点Ao24的横坐标为 y 考法2平铺式平移 第一步剖析方法 平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等 平移的性质 对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，都等于平移距离 (1)求线段的长或点的坐标时，除上述性质外，还要注意结合相似三角形的性质和判定，如“A型”或“X 解题策略 似，涉及90°角时构造“一线三垂直”相似等，求点的坐标时，还可运用函数思想，利用解析式求解： (②)求面积时，可直接利用公式，也可应用割补、转化等方法 第二步 精学典例 【例】（一题多解)(2023·郑州二七区一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点 A,B的坐标分别为(-1,3)，(5，O).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在边AB上时，点D 的坐标为() A.(3,1) B.(2,1) C.(1,1) D.(0,1)第三步 第三步针对训练 1.（一题多解)(2022·许昌禹州二模)如图，△ABC的顶点A(-4,0),B(-1,4),点C在y轴的正半 轴上，AB=AC,将△ABC向右平移得到△A'BC'.若A'B经过点C,则点C的坐标为() A.（子3)B.(3,子C.(2,3) D.(3,2) 2.(一题多解)(2022·海南中考)如图，点A(0,3),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC.若∠ABC= 90°，BC=2AB,则点D的坐标是() A.(7,2) B.(7,5) C.(5,6) OB D.(6,5) 3.(一题多解)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A(,2)是反比例函数y=-的图 象上的一点，连接A0并延长与反比例函数图象的另一支交于点B,将直线AB向下平移，与反 比例函数的图象交于C,D两点，连接BC,AC.若△ABC的面积为5，则直线AB向下平移的距离 是 () A.3 B.5 C.4 D.5V2 4.(2024·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，点A(4,2)在函数y= (k)0,x>0)的图象上.将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B,与函数 y=《(k0,x>0)的图象交于点C.若BC=V5,则点B的坐标是( A.(0,V5) B.(0,3) C.(0,4) D.(0,25) 5.(2024·临夏州中考)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，将△ABC沿其底边 中线AD向下平移，使A的对应点N'满足AA=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积 是一· B 6.(2025·自贡中考改编)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0平移，得到△EFG,点E,F在 坐标轴上.若∠A=90,tanB=,A(-43),则点G的坐标为一 题型2图形的翻折3年91考 考法1确定位置翻折 第一步剖析方法 步骤 具体操作 1.明确折叠性质 折叠前后的图形关于折痕成轴对称，即对应线段相等，对应角相等 2.分析己知条件 仔细读题，标记出已知的线段长度、角度等信息 3.确定关键对应元素 找到折叠前后的对应点、对应线段和对应角 利用勾股定 若折叠后出现直角三角形，可设未知数，通过勾股定理列方程求解 理 借助相似三 .构建数学模型求解 当折叠后存在相似三角形时，根据相似三角形对应边成比例求解 角形 运用特殊三 若折叠后出现含30°，45°角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值或三边比例关系求解 角形性质 第二步精学典例 【例】(2025·重庆中考)如图，正方形ABCD的边长为2，E是边BC的中点，连接DE,将△DCE 沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得到△DFE,延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG 的平分线DH,AH相交于点H,连接GH,则△DGH的面积为 () D G B E A司 B月 C.8 D. 第三步针对训练 1.(2025·深圳中考)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点0重合，EF为折痕，EF与 OA交于点G,则二的值为 () CG 1 2 A.4 B.2 c.9 D.5 2.(一题多解)(2024·淄博中考)如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N分别在边BC,AD上.连接MN,将 四边形CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处，则tan∠AMN的值是() A.2 B.V2 C.V3 D.V5 3.(2025·绵阳三模)在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点D在AB上，点E在AC上且AD=CE=AC, 连接ED,将△AED沿ED翻折到Rt△ABC的内部，得到△A'ED,连接A'B,则tan∠A'BD=() A.品B.子 C.是 D.2 4.(2024·常州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=4,D是边AC的中点，E是边BC上一点，连 接BD,DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE=一 5.(一题多解)(2025·内江中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标 为(1，O),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(O,3),则点E的坐标 为一· O B x 6.(2025·漯河三模)如图，以AB为直径的半圆0中，AB=2,C为半圆上一点，∠ABC=30°，以BC为对称轴将 弧AC折叠得到弧CD,点A的对应点为点D,连接BD交半圆于点E,则图中阴影部分的面积为一· 考法2点的不确定性 第一步剖析方法 1,分析清楚折叠前后的等线段和等角 2.结合图形分析线段和角度能否转换，是否形成特殊三角形或相似三角形等.求某条线段的长度时，考虑运用几何方法或 解题方法 者代数方法，如设未知数建立方程求解等 ,当点的位置不确定时要分类讨论 1.特殊等分点分线段，如C是线段AB的n等分点，则有AC=上AB或AC=AB 常见题型 2.当点在射线上运动时，一般分两种情①点在线段上 况讨论 ②点在线段的延长线上 ,折叠后出现特殊位置或特殊数量关系时，结合图形分析是否存在多个位置 第二步精学典例 【例】(2025·信阳光山二模)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一动点，将△ABE沿着BE所在直线翻折， 当点A的对应点A'恰好落在CE上，且E是AD的三等分点时，A的值为一 AD E D 第三步针对训练 1.(一题多解)(2022·沈阳中考)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上，点 C,D的对应点分别为点E,F,且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G,EF交边BC于点H,EN=2, AB=4.当H为GN的三等分点时，MD的长为 A BG C 2.(2025·吉安峡江模拟)如图，一张长方形纸片的长AD=6,宽AB=1.点E在边AD上，点F在边BC上，将四 边形ABFE沿直线EF翻折后，点B落在边AD的三等分点G处，则EG的长为_ 3.(2023·齐齐哈尔中考)在矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=5,点M在边AD所在的直线上，且DM=1,将矩形纸片A BCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD,BC分别交于点E,F,则线段EF的长度为· 4.(一题多解)(2022·盘锦中考)如图，四边形ABCD为矩形，AB=V2,AD=3,点E为边BC上一点，将△DCE沿 DE翻折，点C的对应点为点F,过点F作DE的平行线交AD于点G,交直线BC于点H.若点G是边AD 的三等分点，则FG的长是一 5.(2024·江西中考)如图，AB是⊙0的直径，AB=2,点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB,将⌒DBE 沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时，线段BF的长为 D A Ci B 6.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线1翻折至AB所在直线，对应点分别 为C',D'.若AC':AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC=· 7.(2024·成都温江区模拟)如图，己知等边三角形ABC的边长为5，点M在边AB上运动，点N在直线AC 上运动，将△ABC沿者W折希，使点A落在直线C上的点A'处，若2=则AN M B C 8.(2023·金华义乌模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=6,AB=8,D为AC的中点，E是线段AB上的一个 动点，把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点是点F,连接AF.若∠EAF=45°，则AE的长是 考法3边（线）的不确定性 第一步剖析方法 1.标记 厘清题目中的已知量和边角关系，进行标记，并分析动点的运动情况，轨迹等 2.分类 结合图形审题分析，进行分类讨论 3.画图 根据分类情况画出图形 解题步骤 无论是特殊三角形的存在性问题，还是特殊落点问题，都需要根据图中特殊的图形关系（如全等三角形、直角三角形、相似 4.计算 三角形、等腰三角形等)列方程进行求解，或根据勾股定理、锐角三角函数等进行计算 5.检验 根据条件，检验结果是否符合题意 1.等腰三角形按腰分三种情况进行讨论，计算时常利用相似、勾股定理、三线合一等 常见题型 2.若题中出现“与某边平行或垂直”等不明确条件时，也要注意围绕着边的不确定性进行分类讨论，同时依据折叠出现的对称性寻找等量 关系进行转化 第二步精学典例 【例】(2025·商丘虞城二模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是边AB上一动点， 将△BEF沿EF折叠得到△BEF,连接BC,作△BEC关于B'C对称的△BEC,连接DB',DE'.当△DBE是等 腰三角形时，BF的长为 D 第三步 针对训练 B 1.(2023·河南模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，E是边AB上不与端点重合的一个动点，作ED ⊥BC交BC于点D,将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F,当△ACF为等腰三角形时，BD的长为 E B-D F >C 2.(2024·阿克苏地区库车模拟)如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AC上，且CD=2,点E在线段 AB上（不与点A,B重合），连接DE,把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在△ABC的边上时，AE的长为 B 3.(2023·驻马店模拟)如图，在腰长为2的等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P为腰AB上的一个动点，将 △PBC沿CP折叠得到△PDC,当PD与△ABC的某一条边垂直时，PD的长为 B 4.(2023·新乡一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点E在边AB上，连接CE,将△EBC沿CE折叠，当点 B的对应点B落在矩形ABCD的对角线上时，AE的长为 A 0 B B C 5.(2022·新乡凤泉区一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边BC上的一个动点，把△ABE沿AE折叠 得到△AFE.若点B的对称点F恰好落在矩形的对称轴上，则BE的长为一 A D 6.(2023·合肥一模)如图，己知正方形纸片ABCD的边AB=4,点P在边AD上，将∠A沿BP折叠，点A的 对应点为A’,连接A’D. (1)当A'D∥BP时，PA的长为； (2)若点A'到边AD或BC的距离为1，则线段PA的长为· 7.(2023·抚州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使点D 落在点D'处.若△DEC有两条边存在2倍的数量关系，则点D'到AD的距离为cm. 考法4角的不确定性 第一步剖析方法 按照：标记一→分类→画图一→计算→检验五个步骤进行解题， 关于角度的分类讨论，一般涉及对直角三角形哪个角为直角的分类讨论，三角形形状（锐角三角形、直角三 角形、钝角三角形)的分类讨论。 解题的关键是画出大致图形，分析出每种情况下边角的关系，一般可考虑角度转换，利用勾股定理建立方程 或者结合三角形相似求解. 第二步精学典例 【例】(2025·金华模拟)如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿中线AM折叠，得到△AMC,如图 2,再次沿过点M的直线将△AMC折叠，得到△MDE,其中点D为折痕MD与边AC的交点，点E为点A的对应点， ME与边AC交于点F,如图3所示.当点D在边AC上，且△EFD为直角三角形时，F的长度是 A E M 图1 图2 图3 第三步针对训练… 1.(2023·深圳南山区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,N是边AB的中点，M是边BC上的一动点， 连接MN,将△BMN沿MN折叠，点B的对应点为B,连接BC.当△BMC为直角三角形时，BM的长为 B 2.(2024·阜阳二模)如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，将△BCD沿着BD折叠得到△BED. (1)若DE⊥AC,则∠BDE的度数为； (2)设BE与AC交于点F,若△DEF是直角三角形，AB=5,AC=12,则CD的长为. E --C 3.(2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上，连接AP,将△ABP沿AP所在的 直线折叠，点B的对应点为B',把纸片展平，连接BB,CB,当△BCB'为直角三角形时，线段CP的长为 4.(2024·长沙开福区模拟)如图，在矩形ABCD中，BC-6,E是BC的中点，连接AE,tan∠BAE=,P是边A D上的一个动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，当△APD'是直角三角形时， PD的长为 B EV 5.(2023·驻马店泌阳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,对角线AC,BD相交于点0，M是边BC上一动点， 连接OM,以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E,ME与OB交于点G.若△BGM为直角三角形，则 BM的长为一· M 6.(2023·信阳一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1,CD是△ABC的中线，E是AC上一动 点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF,CD相交于点G.若△CEG是直角三角形，则CE= 7.(2025·上海闵行区三模)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8,AC=6,D是BC的中点，E是边AB上一动点，沿D E所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，BD交AB于点F,如果△AB'F为直角三角形，那么BE的长 是 8.(2022·大庆模拟)在△ABC中，∠B=60°，AB=8,AC=7,将它折叠使点B与点C重合，折痕MN交AB于点 M,交BC于点N,则线段AM的长为一 题型3图形的旋转3年60考 考法1角度探究 10 专题四 图形的变化 题型1 图形的平移 3年40考 考法 1 点的平移规律 第一步 剖析方法 点的平移规律 左减右加，上加下减 解题步骤 1.明确点的初始坐标；2.根据平移方向和距离，确定是对横坐标还是纵坐标进行操作；3.按照平移规律计算平移后点的坐标；4.验证结果是否合理 注意事项 1.注意坐标系的四个象限特点；2.平移不改变图形的形状和大小，只改变位置 第二步 精学典例⋯ 【例】(2025·上海黄浦区一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点O,O₁,A,A₁,B,B₁,C…都是平行四边形的顶点,点 A,B,C,…,在x轴正半轴上,∠AOO₁=45°,OA=1,AB=2,BC=3, 平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是 A.(6, ） B.(10,3) C. D.(21,3)( ) 第三步 针对训练 1. (2024·信阳罗山一模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向移动，依次得到...各点，相关数据如图所示，则点的纵坐标是( ) A.0 B. C. D.1 2.(2025·广州南沙区一模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动,得到 A₁(0,-2),A₂(1,-2),A₃(1,0),A₄(1,2),A₅(2,2),A₆(2,0),…,那么点的坐标为( ) A.(674,0) B.(674,2) C.(675,2) D.(675,0) 3.(2024·信阳新县一模)如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度,其中A₁(1,0),A₂(1,1),A₃(0,1),A₄(-1,1),A₅(-1,0),…,则点的坐标是 ( ) A.(23,-22) B.(22,-22) C.(45,-44) D.(44,-44) 4.(2025·杭州模拟)如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2 次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2)……按这样的运动规律经过第2025次运动后，动点P的坐标是( ) A.(2024,1) B.(2024,0) C.(2025,1) D.(2025,2) 5.(2023·泰安泰山区一模)如图，在平面直角坐标系中,直线l:y=x-1与x轴交于点A₁,依次作正方形A₁B₁C₁O,正方形A₂B₂C₂C₁,…,正方形 AnBnCnCn-1,使得点 A₁,A₂,A₃,…, An右直线l上,点 C₁,C₂,C₃,…, 在y轴的正半轴上,则点的坐标是_________. 6.(2024·广安中考)如图，已知直线 与x轴相交于点A₁，以OA₁为边作等边三角形OA₁B₁,点B₁在第一象限内,过点B作x轴的平行线与直线l交于点A₂，与y轴交于点C₁，以C₁A₂为边作等边三角形C₁A₂B₂(点 B₂在点 B₁的上方),以同样的方依次作等边三角形C₂A₃B₃，等边三角形C₃A₄B₄……则点的横坐标为______ . 考法 2 平铺式平移 第一步剖析方法 平移的性质 平移前后对应线段平行(或在同一条直线上)且相等 对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等，都等于平移距离 解题策略 (1)求线段的长或点的坐标时，除上述性质外，还要注意结合相似三角形的性质和判定，如“A型”或“X型”相似，涉及90°角时构造“一线三垂直”相似等，求点的坐标时，还可运用函数思想，利用解析式求解； (2)求面积时，可直接利用公式，也可应用割补、转化等方法 第二步 精学典例 【例】(一题多解)(2023·郑州二七区一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-1,3),(5,0).将正方形OCDE 沿x轴向右平移,当点E落在边AB 上时,点D的坐标为( ) A.(3,1) B.(2,1) C.(1,1) D.(0,1）第三步 第三步针对训练 1.(一题多解)(2022·许昌禹州二模)如图，△ABC的顶点A(-4,0),B(-1,4),点C在y轴的正半轴上,AB=AC,将△ABC向右平移得到△A'B'C'.若A'B'经过点C,则点C'的坐标为( ) A.( ,3) B.(3, ) C.(2,3) D.(3,2) 2.(一题多解)(2022·海南中考)如图,点 A(0,3),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC.若∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( ) A.(7,2) B.(7,5) C.(5,6) D.(6,5) 3.(一题多解)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(a，2)是反比例函数 的图象上的一点，连接AO并延长与反比例函数图象的另一支交于点B，将直线AB向下平移，与反比例函数的图象交于C，D两点，连接BC,AC.若△ABC的面积为5,则直线AB向下平移的距离是 ( ) A.3 B.5 C.4 D.5 4.(2024·长春中考)如图，在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点 A(4,2)在函数 y= 的图象上.将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与 y轴交于点 B，与函数 的图象交于点 C.若 则点B的坐标是 ( ) A.(0, ) B.(0,3) C.(0,4) D.(0,2 ) 5.(2024·临夏州中考)如图，在等腰三角形ABC 中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使 A 的对应点A'满足 则平移前后两三角形重叠部分的面积是 . 6.(2025·自贡中考改编)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 平移，得到△EFG,点 E,F 在坐标轴上.若 则点 G的坐标为 . 题型 2 图形的翻折3年91考 考法 1 确定位置翻折 第一步 剖析方法 步骤 具体操作 1.明确折叠性质 折叠前后的图形关于折痕成轴对称，即对应线段相等，对应角相等 2.分析已知条件 仔细读题，标记出已知的线段长度、角度等信息 3.确定关键对应元素 找到折叠前后的对应点、对应线段和对应角 4.构建数学模型求解 利用勾股定理 若折叠后出现直角三角形，可设未知数，通过勾股定理列方程求解 借助相似三角形 当折叠后存在相似三角形时，根据相似三角形对应边成比例求解 运用特殊三角形性质 若折叠后出现含 30°，45°角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值或三边比例关系求解 第二步 精学典例 【例】(2025·重庆中考)如图,正方形 ABCD 的边长为2,E 是边 BC 的中点,连接DE,将△DCE 沿直线DE 翻折到正方形 ABCD 所在的平面内,得到△DFE,延长DF 交AB 于点G.∠ADG 和∠DAG 的平分线DH,AH 相交于点H,连接GH,则△DGH 的面积为 ( ) A. B. C. D. 第三步 针对训练 7 学科网（北京）股份有限公司 1.(2025·深圳中考)如图,将正方形ABCD 沿EF 折叠，使得点A与对角线的交点O 重合，EF 为折痕,EF 与OA 交于点G,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 2.(一题多解)(2024·淄博中考)如图所示，在矩形ABCD中,BC=2AB,点 M,N 分别在边BC,AD 上.连接MN,将四边形CMND沿MN翻折,点C,D分别落在点A,E 处,则tan∠AMN的值是( ) A.2 B. C. D. 3.(2025·绵阳三模)在等腰直角三角形 ABC中,∠A=90°,点 D 在AB 上,点 E 在AC 上且 连接ED,将△AED 沿ED 翻折到 Rt△ABC 的内部,得到△A'ED,连接A'B,则 tan∠A'BD= ( ) A. B. C. D. 4.(2024·常州中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D 是边AC 的中点,E 是边 BC上一点,连接 BD,DE.将△CDE 沿DE 翻折,点 C 落在BD 上的点 F处,则CE= . 5.(一题多解)(2025·内江中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的边AB 在x轴上,点 B 的坐标为(1,0),点 E 在边CD 上.将△ADE 沿AE 折叠,点 D 落在点 F 处.若点 F 的坐标为(0,3),则点 E 的坐标为 . 6.(2025·漯河三模)如图,以 AB 为直径的半圆O中,AB=2,C 为半圆上一点,∠ABC=30°,以 BC 为对称轴将弧 AC 折叠得到弧CD，点A 的对应点为点 D，连接 BD 交半圆于点E，则图中阴影部分的面积为 . 考法 2 点的不确定性 第一步剖析方法 解题方法 1.分析清楚折叠前后的等线段和等角 2.结合图形分析线段和角度能否转换，是否形成特殊三角形或相似三角形等.求某条线段的长度时，考虑运用几何方法或者代数方法，如设未知数建立方程求解等 3.当点的位置不确定时要分类讨论 常见题型 1.特殊等分点分线段，如C 是线段AB 的n等分点，则有 或 2.当点在射线上运动时，一般分两种情况讨论 ①点在线段上 ②点在线段的延长线上 3.折叠后出现特殊位置或特殊数量关系时，结合图形分析是否存在多个位置 第二步精学典例 【例】(2025·信阳光山二模)如图,在矩形ABCD 中,E 是边 AD 上一动点,将△ABE 沿着 BE 所在直线翻折，当点A的对应点 A'恰好落在CE 上，且E 是AD 的三等分点时， 的值为 . 第三步 针对训练 1.(一题多解)(2022·沈阳中考)如图，将矩形纸片ABCD 折叠,折痕为MN,点M,N 分别在边AD，BC上，点 C，D 的对应点分别为点E，F，且点 F 在矩形内部，MF 的延长线交边BC 于点G,EF 交边BC 于点 H,EN=2,AB=4.当 H 为GN 的三等分点时,MD 的长为 . 2.(2025·吉安峡江模拟)如图，一张长方形纸片的长AD=6,宽AB=1.点E 在边AD 上,点 F 在边 BC 上,将四边形 ABFE 沿直线EF 翻折后，点 B 落在边 AD 的三等分点G处,则EG 的长为 . 3.(2023·齐齐哈尔中考)在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点M 在边AD 所在的直线上,且DM=1,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 与点M 重合，折痕与AD，BC 分别交于点E,F,则线段 EF 的长度为 . 4.(一题多解)(2022·盘锦中考)如图，四边形ABCD 为矩形,AB= ,AD=3,点 E 为边BC 上一点,将△DCE 沿DE 翻折,点 C 的对应点为点 F，过点 F 作DE 的平行线交AD于点G,交直线BC 于点 H.若点 G 是边AD的三等分点，则FG的长是 . 5.(2024·江西中考)如图,AB 是⊙O 的直径,AB=2,点 C 在线段AB 上运动,过点 C 的弦DE⊥AB,将 沿DE 翻折交直线AB 于点F，当DE的长为正整数时，线段 BF 的长为 . 6.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD 中,∠ABC 是锐角,将 CD 沿直线l 翻折至AB所在直线,对应点分别为 C′,D′.若 AC′:AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC= . 7.(2024·成都温江区模拟)如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 5,点 M 在边 AB 上运动,点 N 在直线AC 上运动,将△ABC 沿着MN 折叠，使点A 落在直线BC 上的点A′处，若 则AN= . 8.(2023·金华义乌模拟)如图,在 Rt△ABC中,∠B=90°,BC=6,AB=8,D 为AC 的中点，E 是线段AB 上的一个动点，把△ADE沿直线DE 折叠，点A的对应点是点F，连接AF. 若 ∠EAF = 45°,则AE的长是 考法 3 边(线)的不确定性 第一步剖析方法 解题步骤 1.标记 厘清题目中的已知量和边角关系，进行标记，并分析动点的运动情况，轨迹等 2.分类 结合图形审题分析，进行分类讨论 3.画图 根据分类情况画出图形 4.计算 无论是特殊三角形的存在性问题，还是特殊落点问题，都需要根据图中特殊的图形关系(如全等三角形、直角三角形、相似三角形、等腰三角形等)列方程进行求解，或根据勾股定理、锐角三角函数等进行计算 5.检验 根据条件，检验结果是否符合题意 常见题型 1.等腰三角形按腰分三种情况进行讨论，计算时常利用相似、勾股定理、三线合一等 2.若题中出现“与某边平行或垂直”等不明确条件时，也要注意围绕着边的不确定性进行分类讨论，同时依据折叠出现的对称性寻找等量关系进行转化 第二步 精学典例 【例】(2025·商丘虞城二模)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点,F 是边AB 上一动点,将△BEF 沿EF 折叠得到△B'EF,连接B'C,作△B'EC关于 B'C 对称的△B'E'C,连接DB',DE'.当△DB'E'是等腰三角形时,BF 的长为 . 第三步 针对训练 1.(2023·河南模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,E是边 AB 上不与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D,将△BDE沿DE折叠,点B的对应点为点F，当△ACF为等腰三角形时，BD的长为 2.(2024·阿克苏地区库车模拟)如图，在边长为6的等边三角形 ABC 中,点D在AC 上,且CD=2,点E在线段AB 上(不与点 A,B重合),连接DE,把△ADE沿DE折叠,当点A的对应点F落在△ABC 的边上时,AE 的长为 . 3.(2023·驻马店模拟)如图，在腰长为2 的等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90°,P为腰AB上的一个动点,将△PBC 沿CP 折叠得到△PDC,当PD 与△ABC 的某一条边垂直时,PD 的长为 . 4.(2023·新乡一模)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,点 E 在边 AB 上,连接CE,将△EBC沿CE折叠,当点 B 的对应点 B'落在矩形 ABCD 的对角线上时，AE 的长为 5.(2022·新乡凤泉区一模)如图,在矩形 ABCD中,AB=6,BC=8,E 是边 BC 上的一个动点,把△ABE 沿AE 折叠得到△AFE.若点B 的对称点 F 恰好落在矩形的对称轴上，则BE的长为 . 6.(2023·合肥一模)如图，已知正方形纸片ABCD 的边 AB=4,点 P 在边 AD 上,将∠A 沿BP 折叠,点 A 的对应点为A',连接A'D. (1)当A'D∥BP 时,PA 的长为 ; (2)若点A'到边AD 或BC 的距离为1,则线段 PA 的长为 . 7.(2023·抚州模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,点E在边AD上运动,将△DEC 沿EC 翻折,使点D落在点D'处.若△DEC有两条边存在2倍的数量关系,则点D'到AD的距离为 cm. 考法 4 角的不确定性 第一步剖析方法 按照：标记→分类→画图→计算→检验五个步骤进行解题. 关于角度的分类讨论，一般涉及对直角三角形哪个角为直角的分类讨论，三角形形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)的分类讨论. 解题的关键是画出大致图形，分析出每种情况下边角的关系，一般可考虑角度转换，利用勾股定理建立方程或者结合三角形相似求解. 第二步 精学典例 【例】(2025·金华模拟)如图1,△ABC 是边长为4的等边三角形,将△ABC 沿中线AM 折叠,得到△AMC,如图2,再次沿过点 M 的直线将△AMC 折叠,得到△MDE,其中点D为折痕MD 与边AC的交点,点E为点A的对应点,ME 与边AC 交于点 F,如图3所示.当点D在边AC上,且△EFD 为直角三角形时，EF的长度是 . 第三步 针对训练 1.(2023·深圳南山区模拟)如图,在矩形 ABCD中,AB=10,AD=12,N 是边AB 的中点,M是边 BC 上的一动点,连接 MN,将△BMN 沿MN 折叠,点 B 的对应点为 B',连接 B'C.当△B'MC 为直角三角形时,BM 的长为 2.(2024·阜阳二模)如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是 AC 上一点,将△BCD 沿着 BD 折叠得到△BED. (1)若DE⊥AC,则∠BDE 的度数为 ; (2)设 BE 与AC 交于点 F,若△DEF 是直角三角形,AB=5,AC=12,则CD 的长为 . 3.(2024 ·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点 P 在边 BC 上,连接AP,将△ABP 沿AP 所在的直线折叠,点B 的对应点为 B'，把纸片展平，连接 BB'，CB',当△BCB'为直角三角形时,线段 CP 的长为 . 4.(2024 ·长沙开福区模拟)如图，在矩形ABCD 中,BC=6,E 是 BC 的中点,连接AE, P是边AD 上的一个动点，沿过点 P 的直线将矩形折叠，使点 D 落在AE 上的点 D'处,当△APD'是直角三角形时,PD 的长为 . 5.(2023·驻马店泌阳一模)如图,在矩形 ABCD中,AB=3,BC=4,对角线AC,BD 相交于点O,M 是边BC 上一动点,连接OM,以 OM为折痕,将△COM 折叠,点 C 的对应点为 E,ME 与OB 交于点G.若△BGM 为直角三角形，则 BM 的长为 . 6.(2023 ·信阳一模)如图,在 △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,CD 是△ABC的中线,E 是 AC 上一动点,将△AED 沿 ED折叠,点 A 落在点 F 处,EF,CD 相交于点 G.若△CEG 是直角三角形,则CE= . 7.(2025·上海闵行区三模)在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,D 是BC 的中点,E 是边AB 上一动点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B'DE 的位置,B'D 交AB 于点 F,如果△AB'F 为直角三角形，那么 BE 的长是 . 8.(2022·大庆模拟)在△ABC 中,∠B=60°,AB=8,AC=7,将它折叠使点 B 与点C 重合，折痕MN 交AB 于点M,交 BC 于点 N,则线段 AM 的长为 题型3 图形的旋转3年60考 考法 1 角度探究 第一步 剖析方法 1.明确旋转的性质 旋转前后对应角相等，对应线段相等，且任意一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角 2.解题策略 ①旋转得等腰三角形；旋转60°得等边三角形；旋转90°得等腰直角三角形 ②当题目涉及直角三角形边长的等量关系时，可以考虑设未知数，利用勾股定理建立方程求解 ③当题目中出现特殊角或三角函数值确定的角时，可以考虑作垂线构造直角三角形 第二步 精学典例 【例】(2025·南通模拟)如图,在正方形 ABCD 中,将边 BC 绕点B 逆时针旋转至 BE,连接CE,DE,若∠CED=90°,则 sin∠ECD的值是( ) A. B. C. D. 第三步针对训练 1.(2025·濮阳模拟)如图,在等边三角形ABC中,点 D 在边AC上,连接BD,将BD 绕点B旋转一定角度,使得∠ABD=∠CBD',连接CD',DD'.若∠ADB=100°,则∠DD'C 的度数为 ( ) A.30° B.60° C.50° D.40° 2.(中考改编)如图1,Rt△ABC 绕点A逆时针旋转，在此过程中点 B，C的对应点依次为点B',C',连接B'C.设旋转角为x°,y=B'C²，y与x之间的函数关系图象如图2所示.当x=150时,y的值为 ( ) A. B.3 C.4 D.13 3.(一题多解)(2022·德州中考)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AC =BC=4,D 是斜边 AB 上的一点,且 BD = 将△ABC 绕点 D 逆时针旋转90°得到△A'B'C',B'C'交AB 于点E.其中点 C 的运动路径为弧 CC'，则弧 CC'的长度为 4.(2023·常州天宁区模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=4,AD 是边 BC 上的高,将△ABC 绕点 C 旋转得到△EFC(点 E,F分别与点A,B 对应),点 F 落在线段AD 上,连接AE,则cos∠EAF= . 5.(2025·哈尔滨巴彦模拟)如图，在平行四边形ABCD 中,∠B=60°,BC=2AB,将 AB绕点A 逆时针旋转角α(0°<α≤270°)得到AP,连接PC,PD.当△PCD 为直角三角形时，旋转角α的度数为 . 6.(2025·杭州上城区三模)如图,AC,BD 为菱形ABCD 的对角线，将△BOC 绕点O 逆时针旋转至△EOF,使得点 E 在线段CD 上(不与点C,D 重合),若 则 .(用含k 的代数式表示) 考法2 长度探究 第一步剖析方法 1.明确旋转的性质 旋转前后对应角相等，对应线段相等，且任意一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角 2.解题策略 ①旋转题型中，一定有两个顶角为旋转角的等腰三角形相似，注意相似比是否已知 ②求某条线段长度时，先找与之相关联的线段，然后思考将线段放在哪个三角形中求解，进而寻找与之相似的三角形、常见模型等 第二步 精学典例 【例】(2025·天津中考)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB'C',点 B,C 的对应点分别为点 B',C',B'C'的延长线与边 BC 相交于点D,连接CC'.若AC=4,CD=3,则线段CC'的长为( ) C.4 B. D. 第三步 1.(2025·武威凉州区模拟)如图,△ABC 内接于⊙O,将△ABC 绕点A 逆时针旋转 90°得到△ADE,点C的对应点 E 在⊙O 上,连接BE，若AB=,BC=10,则AC=( ) A. B.13 C.26 D.24 2.(一题多解)(2023·洛阳宜阳模拟) 如 图, 在 △ABC 中,∠ABC=∠C.将△ABC 绕点B逆时针旋转得△DBE,DE 交AB于点F,点 E 在AC上.若ED=3,EC=1,则BE=( ) A. B. C. D.2 3.(2025·宝鸡金台区模拟)如图，将直角三角形ABC绕直角顶点C顺时针旋转一定角度后得到△EDC，DE边恰好经过点B，连接AE.若AC=2BC=2,则AE的长为 ( ) A.2 B. C. D. 4.(2024·盐城中考)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2 ,D是AC的中点,连接 BD,将△BCD 绕点 B 旋转,得到△BEF,连接 CF,当 CF∥AB 时,CF = 5.(一题多解)如图，将边长为3 的正方形OABC 绕点O逆时针旋转得到正方形ODEF,DE与BC 交于点 P,ED 的延长线交AB 于点Q,交OA的延长线于点M.若BQ:AQ=3:1,则AM= . 6.(2023·绵阳游仙区模拟)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC绕点A逆时针旋转α ,得到△ADE,点 B,C 的对应点分别为点D，E，连接EC 并延长，交 BD 于点 P.若 则 的值为 7.(2023·鞍山中考)如图,在正方形ABCD 中,M 为CD 边上一点,连接AM,将△ADM 绕点A 顺时针旋转 90°得到△ABN,在 AM,AN上分别截取AE,AF,使AE=AF=BC,连接 EF,交对角线 BD 于点G,连接AG 并延长，交BC 于点H.若 则AG的长为 . 8.(一题多解)(2022·上海宝山区期中)如图，在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D是边AC 的中点，连接BD.将△ABC绕着点A逆时针旋转，使点B恰好落在射线BD上的点E 处，点C落在点F处,连接FD,FC.如果AB=1,BC=2,那么∠CFD 的正切值是 . 专题综合练 题组训练1 1.(2025·德阳中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,将△ABC 沿CB 方向向右平移至△EGF 处,使EF 恰好过边AB 的中点D,连接CD.若CD=1,则GE= ( ) A.3 D. C.1 B.2 2.(2025·安阳期末)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度,得到点A₁(0,1),A₂(1,1),A₃(1,0),A₄(2,0),…,那么点A₂₀₂₆的坐标为 ( ) A.(1 013,0) B.(1013,1) C.(2026,0) D.(2026,1) 3.(2025·贵港港北区三模)如图，△ABC 为等边三角形,BD 平分∠ABC,AB=2,E为BD上的动点,连接AE,则 的最小值为（ ） A.1 B. C. D.2 4.(一题多解)(2024·眉山中考)如图,在矩形 ABCD中,AB=6,BC=8,点 E在DC上,把△ADE 沿AE折叠，点D 恰好落在BC边上的点F 处，则cos∠CEF 的值为 ( ) A. B. C. D. 5.(2024·成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),过点 B 作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接 PO，PA,则PO+PA 的最小值为 . 6.(2025·江西中考)如图,在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB',折痕与边 BC 交于点 P.当 AB'与AB,AD 中任意一边的夹角为15°时,∠APB的度数可以是 . 7.(2025·福州鼓楼区期中)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC= 点 D 在线段AB 上运动,以 CD 为斜边作 Rt△CDE,使∠DCE=30°,点 E 和点 A 位于CD 的两侧,连接BE，则BE 的最小值为 . 题组训练2 1.(2024·通辽中考)如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF 的中心,EF∥x轴，点E在双曲线 (k 为常数,k>0)上,将正六边形ABCDEF向上平移 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.3 第3题图 2. (2025·烟台栖霞模拟)如图,在▱ABCD中,AB=4,AD=6,点 E 在 BC 上,将▱ABCD沿AE 翻折,点 B 恰好落在DE 上的点 F 处.若AE=AB,则BE的长为______ 3.(2024·威海中考)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式折叠，使点 C 落在AB 上的点C'处,折痕为 MN,点 D落在点 D'处,C'D'交AD于点E.若.BM=3,BC'=4,AC'=3,则DN= . 4.(2025·六安舒城模拟)已知圆O 是正方形ABCD 的内切圆,M 为圆O上任一点,N 为OC 的中点,连接OM,MC,MN. (1)如图1. (2)如图2,连接MB,若AB=4,则| MC|的最大值为 . 5.(一题多解)(2025·广州越秀区二模)如图，在矩形ABCD 中, P 是AD 上一个动点,过点 P 作PG⊥AC,垂足为G,连接BP,取 BP 的中点E,连接EG,则线段 EG 的最小值为 . 第7题图 6.(2025·自贡中考改编)如图,正方形ABCD的边长为 6，以对角线 BD 为 斜边 作Rt△BED,∠E=90°,点 F 在 DE 上,连接BF.若2BE=3DF,则BF 的最小值为 . 7.(2025·深圳福田区模拟)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2BC,D 是BC 的中点,连接AD,将AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE,连接BE,BE 交AD 于点G,交AC于点 F,则tanE= . 8.(2025·西安雁塔区月考)如图,正方形 ABCD 的边长为5,E 为BC 上一点,且 BE=2,F 为边AB 上的一个动点,连接 EF,以 EF为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，则CG 的最小值为 . 题组训练3 27 学科网（北京）股份有限公司 1.(2024·无锡中考)如图,等边三角形 ABC 的边长为2,点 D 在AB 上, 连接CD,将 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得到CE,连接DE交AC 于点G,则点G到CD 的距离为 ( ) A. B. C. D. 2.(2024·自贡中考)如图,在矩形 ABCD 中,AF 平分∠BAC，将矩形沿直线EF 折叠,使点 A,B 分别落在边 AD,BC 上的点A',B'处,EF,A'F 分别交AC 于点G,H.若GH=2,HC=8,则 BF 的长为 ( ) A. B. C. D.5 3.(2025·资阳中考)如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,AD⊥DC,AB=4,AD=DC=2,E是线段AD 的中点，F是线段AB 上的一个动点.现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF,连接 A'B,A'C,则△A'BC面积的最小值为 ( ) A. B. C. D. 4.(2025·成都高新区模拟)如图，将边长为5的正方形 ABCD 的边AB 绕点 A 逆时针旋转至AB',连接BB',过点 D 作DE 垂直于直线 BB',垂足为 E,连接 DB',CE,当以 B',E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，BB'的长为 . 5.(2025·连云港中考)如图,在菱形ABCD 中,AC=4,BD=2,E 为线段AC 上的动点,四边形 DAEF 为平行四边形，则 BE+BF 的最小值为 . 6.(2025·福州模拟)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AC>BC,∠ACB=45°,将△ABC绕点A 逆时针旋转后得到△ADE(点 B，C的对应点分别为点D，E).当AD 与⊙O 相切时，恰好 DE 所在的直线也与⊙O 相切.若⊙O 的半径为3,则 BC 的长为 . 7.(2025·牡丹江模拟)在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=8,P 为射线 AD 上一点,将△ABP 沿 BP 折叠得到△EBP,连接 CE,DE.若△CDE 是以CE 为腰的等腰三角形，则 AP 的长为 . 8.(2023·自贡中考)如图,直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，D是线段AB 上一动点，H是直线 上的一动点,动点 E(m,0),F(m+3,0),连接BE,DF,HD.当 BE+DF 取最小值时,3BH+5DH 的最小值是 . 28 学科网（北京）股份有限公司 $