专题01 图形的变化（专项训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 专题01 图形的变化 专项训练 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：图形的变换综合压轴 类型1：平移相关问题 1．（2026·成都·校考一模）如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 【答案】6或12 【详解】解：①当时，如图1． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，，． ，点为的中点，． 点是线段的中点，， ． ②当时，如图2． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，，，．，， ．点为的中点，，． 在中，，，． 点是线段的中点，，． 综上所述，当为直角三角形时，的长为6或12． 2．（2025·成都·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到，当在区域内的线段的长度为时，平移的距离为________．    【答案】或 【详解】解：∵在矩形中，，∴在中，， ∵，∴，由折叠得：，， ∴，设，则，， ∴在中，,∴，∴解得：，∴，， ①如图1，当在区域内的线段的交点在的下方时，过点作于点， ∵，∴， ∴，∴，设， ∵，∴，，，，∴， ∵由平移的性质得：，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∴， ∴平移的距离；    ②如图2，当在区域内的线段的交点与点重合时，过点作于点， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴在中，，， 由平移的性质得：，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， 综上，平移的距离为或，故答案为或. 3．（2025·成都·三模）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形，将沿方向平移得到，当与重合时停止，连接，．当是等腰三角形时，平移的距离是______．    【答案】1或 【详解】解：过点P作的平行线，交于点E，交于点F． ∵为等腰直角三角形，，∴，∴， 如图，在平移过程中，点P在射线上移动，分两种情况讨论． ①作边的垂直平分线，交于点，如解图1所示，则，此时是等腰三角形． ∴，∴； ②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点，如解图2所示，则，此时是等腰三角形，在中，由勾股定理，得，∴． 综上所述，当是等腰三角形时，平移的距离是1或．故答案为：1或    4．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，，点且为的中点，直线交轴于点，正方形沿直线平移得到正方形，当正方形与重叠部分的面积为面积的一半时，求的值_________． 【答案】或 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： 四边形是正方形，，，，， 点且为的中点，，， ，，，， ，即，，， 由平移得，，，，， 在和中，，，， 轴，，，设，，则， 当正方形与重叠部分的面积为面积的一半时， 即四边形的面积，，， ，，，， 过点作于点，，，； ②当点在线段上时，如下图： 同理可得，，，，，， 轴，，，设，， 则，，依题意得， 即，，，， ，则，， 轴，，综上，或． 5．（2025·四川成都·二模）如图所示，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果，那么的长为________． 【答案】3 【详解】根据题意，，，，，如下图 ∴，∴ ∴ ∵，∴∴  故答案为：3． 类型2：轴对称相关问题 1．（2025·四川成都·校考二模）如图，已知矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点落在点处，连接，则长度的最小值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，点在边上，连接，沿折叠，点落在点处， ∴，如下图，当点和点重合时，取最小值， 过点作交于点，过点作交于点，∴，， ∵沿折叠矩形使点C落在点E处，∴，， ∵四边形是矩形，∴，， ，，， ∴，，，， ∴，，，，，，又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 当取最小值时，长度取最小值，长度的最小值为，故答案为：． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：在平行四边形中，，设，， ，，，由翻折可得，，，， 过点作于，，，， ，， 设，过作于，则，， 在直角三角形中，，， ，，， 延长、交于点，，，，， ，，．故答案为：． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，由题意得，， 四边形是菱形，，， 为等边三角形，，设，则， 在中，，，在中，， 即，解得，，即，故答案为：． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：如图所示，∵为的中点，∴设正方形的边长为，则 ∵折叠，∴，∴∴是等腰三角形，故①正确； 设，∴∴∴∴ 又∵∴四边形是平行四边形，∴， ∴，即是的中点，故②正确；∵，∴ 在中，，∵ ∴设，则，∴∴ ∴，，∴，故③正确； 连接，如图所示，∵，， 又∴∴又∵∴∴ 又∵∴ ∵∴∴∴ 在中，∴，故④不正确 故答案为：①②③． 5．（2025·四川成都·校考一模）已知等边的边长为5，点M在边上运动，点N在直线上运动，将沿着翻折，使点A落在直线上的点处，若，则______． 【答案】或 【详解】解：①当点A落在如图1所示的位置时， 是等边三角形，， ，，，． ，由折叠知，，， ， ，，，，设，则， ，， ，，解得， ； ②当A在的延长线上时，如图2，由折叠知，，， ，， 又，，， ，， ，，设，则， ，， ，，解得：，故答案为：或 类型3：旋转相关问题 1.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图：过P作轴于A，过作轴于B， ∵点的坐标为，∴，，即， ∵将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段， ∴，，∴，，即， 同理：，，，，， ∴，，， ，，， ∵，∴．故答案为：． 2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是_______，的最大值与最小值分别是________． 【答案】 ， 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为F， ∵，∴，∵，∴， 在中，根据勾股定理得：； ∴点A到线段的距离是，∴， 如图所示，作点A关于的对称点O，连接， ∵点A与点O关于对称，∴， ∴四边形是菱形，∴是的垂直平分线，∴， ∵四边形是菱形，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴， ∴点E在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，则， ∴当A、O、E三点共线，且点E在下方时，有最大值，如图，此时的交点与点F重合， 则最大值为；当A、O、E三点共线，且点E在上方时，有最小值． 则最小值为；故答案为：；，． 3．（2026·成都·校考二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，若，则①________；②的面积为________． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，，∴ ∵旋转，∴∵∴；∴是等边三角形，∴， 如图所示，过点作于点，设交于点， 又∵∴∴∴ ∵， ∴，则∴，∴， 设，则∵即解得： ∴∴ ∴ 如图，在等边三角形中，过点作于点， ∴；∴；∴ ∴ 故答案为：，． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，取与的交点为M， ∵四边形是矩形，∴，，，∴， ∵是矩形的对角线，的交点，∴，∴， 由旋转的性质，可知，，，， ∴，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴，， ∵，，∴，即， 又，，∴，∴， ∴， 又，∴，解得， ∴，， ∴的周长为，故选：B． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点．将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上时，延长交于点，则线段的长为______． 【答案】/ 【详解】解：∵在矩形中，，对角线交于点， ∴，， ∴，，，∴， ∵将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上，设， ∴，，，，， ∴，，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即，∴， 在中，，，，， ∴，即，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴，∴，即线段的长为．故答案为：． 类型4：几何动态问题（B21或B22） 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】/0.7 【详解】解：如图①，连接，连接，根据题意得：，则， ∵，， 又，，，， ，点G为的中点，， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时，∴， ，在中，， ∴，， 又，，的最小值为．故答案为： 2．（2025·成都·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 __________________ ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知，依题意，，，则；， ，， ，解得：，此时； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去），此时．综上所述，或．故答案为：或． 3．（2025·成都·一模）如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为________． 【答案】3或6或9 【详解】解：由已知可得，从需，从（或从）需，设点的运动时间为， ①当时，过作于，过作于，如图所示： ，，由点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，则， 在平行四边形中，，四边形是平行四边形， 在和中，，∴， 在平行四边形中，，，∴，， ∴，∵， ∴，解得（不是整数，舍去）； 当四边形是平行四边形时，如图所示： 此时，∴，解得，∴为3时，； ②当时，若四边形是平行四边形，如图所示：此时， ∵，∴，∴，解得； 由①知，若四边形中，，，时，则， 这种情况在时不存在；∴为6时，； ③当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时，∴，解得，∴为9时，； 综上所述，为3或6或9时，，故答案为：3或6或9． 4．（2025·成都·一模）如图，在中，，，，是的中点．点从点出发以向点运动，点从点出发以向点运动，点是的中点，连接．点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点的运动时间为_______s． 【答案】/ 【详解】解：以点O为坐标原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，∵是的中点，∴，设运动时间为，则，， ∵点是的中点，∴，∴， 解得：或（舍去），故答案为：． 5．（2025·成都·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________；(2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1)(2)(3)或(4)或 【详解】（1）解：，， ∵为边的中点，，∵点与点重合，∴，．故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ，∴； 当时，则点Q在上 ，∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时，则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时，则，即，解得：； 当时，则，即，解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时，则，即，解得：； 当时，则，即解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵，∴，，，解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵∴，，∴ ∴∴∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 考点二：相似三角形综合压轴 类型1：相似三角形综合压轴（选填题）（B22或B23） 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，是的平分线，在上取一点，使得，射线交于点．若，，则四边形的面积为______． 【答案】/ 【详解】解：过点作于点，如图所示：设，， ，， ，， ，是等边三角形，， ，， 是的平分线，， 在和中，，， ，，解得，（不合题意，舍去）， ，，， 是等边三角形，，， 在中，由勾股定理得， ，， 又的边上的高与的边上的高相同， ，， ．故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点， ，，， ∴，∴，，设，， ，，，， 又，，，， 设，则，，， ，，，，（负值舍）， ，，，，， ，，，故答案为：． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、， ，，，等边，，， 是的外接圆，，， ，是等边三角形，，，， ，，在中，，， ，，，，， 又，，，，， 设，，，，，， 在中，， 在中，，，整理得：； ，，，， ， ，整理得：； 得，，解得：或（舍去）， 代入到②，得，解得：或（舍去）， ．的长为．答案为：． 4．（2026·成都·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，过点A作，与延长线交于点F． （1）的值为________．（2）已知边上有一点G，连接．若平分，则的长度为________． 【答案】 3 【详解】（1）四边形为矩形，， ，，，即， ，，， E为的中点，，； （2）如图，过点G作于点H． ，，则， ，，，． ，平分，，， ，即，解得，． 5．（2026·成都·一模）如图，在四边形中，已知，．与交于点E，且，，四边形的面积为________． 【答案】72 【详解】解：过点D作于点M，延长，作于点N，如图所示： 则，∵，∴四边形为矩形， ∴，，，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，设，，则，， ∴，， ∴，，∴，， ∵，，∴，在中，根据勾股定理得：， ∴，∴，∵，∴，， ∴，，∴，，解得：，， ∵，∴，解得：或（舍去）， 将代入得：，解得：或（舍去）， ∴，，，， ∴． 类型2：相似三角形综合压轴（解答题）（B25或B26） 1．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【详解】（1）∵，，．∴， ∴，， ∴即， ∵∴，∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，∴， ∵是中线∴，∴， ∵，∴即， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵∴四边形矩形，∴， ∴，∴，∴，设，则， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得；∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q， ∵，∴，∵，，， ∴四边形是矩形，∴，∴，故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，解得； 故．综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 2．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析(2)①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时，(3) 【详解】（1）证明：如图，连接，    当时，，即，， ，，, ，，即， ，， 在与中，，， ，； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等腰直角三角形，且，， 根据（1）中的结论可得，； 故线段之间的数量关系为； ②解：当点F在射线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，    同①，可得，，， ，，同①可得， ， 即线段之间数量关系为； 当点F在延长线上时，如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接；同（1）中原理，可证明，可得， ，，，，同①可得， 即线段之间数量关系为, 综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，    如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，， ，，， ，，，是的中点，， ，，， 根据（2）中的结论，， ，，， ，． 3．（2026·成都·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】（1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】（3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且．①求证：．②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】（1）见解析（2）（3）①证明见解析② 【详解】证明：，， ，，且， ，； （2）如图，连接，在矩形中，，，， ，，，， ，，， 作于点，，，，，， 设，，则，，，，， ，，，， ，，； （3）①证明：如图，连接，过点作交的延长线于点， 在菱形中，,，，， ，， ，，，，， ，，，在上取一点，使得， 在菱形中，，，， ，， ，，，． 在中，，，，， ，， ，，，； ②，，，四边形为菱形，设， ，即，解得，即， 如图，过点作交于点，，，，． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考]（1）折痕的长为______； [深入探究]（2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸]（3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 【答案】（1）3（2）①；②（3）2 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，，则 ，，， 是的中位线，，故答案为：3； （2）①由旋转的性质得：，， ，，，，， 设，在中，，即，解得：， ，∴ ②如图3，过作于，交于． ∵折叠∴∵旋转∴∴∵∴ ∵∴则四边形是矩形，， ，，，， ，，，， ，，，即，解得：； （3）如图4，连接，则， 当、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ，，， ，的最小值，故答案为：2． 考点三：三角函数综合问题 类型1：三角函数选填压轴 1．（2025·四川成都·一模）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为____．（用含x的代数式表示） 【答案】 【详解】∵,∴,， ∵将沿所在直线翻折得到，∴, ∴,∴.∵,∴.∴. ∵,∴,∴, ，由题意得：， ，，，， ，，， ，，故答案为： 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________． 【答案】或 【详解】解：当为锐角时，如图， 根据题意得，∵，∴设，则， ∵，∴，即，解得， ∴，，由折叠得，∴； ∴，过点作于点，则， ∴，∴，即，∴ ∴，∴； 当为钝角时，如图，过点作于点，则， ∴，同（1）可得，， ∴，同理可得∴； 综上所述，的面积为或．故答案为：或． 3．（2025·四川成都·一模）如图，菱形中，，若点P是菱形内一点，且，，则菱形的边长为______． 【答案】 【详解】解：如图，将逆时针旋转至，连接与交于点O，过点M作，垂足为H，过点B作，垂足为N， 四边形为菱形，旋转角，， ，，， 设，则，， ，，，，在中，， ，在中，，为直角三角形，， ，，， ，，， ，设，则，，解得：，， 在中，， ，，，故答案为：． 4．（2025·四川成都·三模）在中，，点E、F分别是边上的动点，满足，．①当E为中点时，若，则______；②的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：①过点D作，交的延长线于点G，过点E作于点H，如图1， 则，设，∵E为中点，∴∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，∵，∴，∴ ∴ ∵，∴∵，∴， ∵，∴则， ∴，∴，∴∴， ∴解得：故答案为：； ②过点D作，交的延长线于点G，过点E作于点H，如图2， 设，，则， ∴∴，，， 则，由①知：， ∴∴，， ∴，，， ∵点E，F分别是边上的动点，∴，， 即，∴，∴；∵；故答案为： 5．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则_____． 【答案】/ 【详解】解：∵平分交于点D，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，设，则，∴， ∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴，由折叠的性质可得：，∴， ∵，∴，∴， 设，则，， ∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：． 类型2：新定义问题 1.（2025·成都·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为 【答案】 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示；    ∵，；∴，；∴在中；； ∵；∴；整理得：； ，（舍）；∴ 2．（2025·成都·校考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ． 【答案】2+． 【详解】解： tan75°=tan（45°+30°）=====2+． 故答案为：2+． 3．（2025·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于，如图所示， ，设，， ，，，；故答案为：． 4．（25-26九年级下·成都·阶段练习）同角三角函数的基本关系为：sin2α+cos2α＝1，＝tanα，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα＝2，＝ ． 【答案】 【详解】由，可得 ，再由，可得，即5，所以. 5．（2025·成都·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，在中，    ∵，∴． ∵，∴．∵为锐角，∴． ∵ ∴．故答案为：． 考点四：视图与投影综合 类型1：视图中的最值 1．（2023·广东东莞·模拟预测）一个物体由很多个体积为1的小正方体拼接而成，其三视图如下．这个物体的体积最小是多少？（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：从三视图可得该物体有两层，下层有两排，前排有2个小正方形，后排有3个小正方形，上层有1个小正方形，这个物体最少由6个小正方体组成，故体积最少为6．故选：A． 2．（2025·成都·模拟预测）一个立体图形由若干个完全相同的小正方体构成，其俯视图和左视图如图所示，则构成该立体图形最少需要这样的小正方体（    ）个． A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【详解】由图可得有以下情况：最少有12个，故答案选． 3．（2025·成都·三模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【详解】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最多有4个小正方体，而第二层则只有1个小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是5个，故选：C． 4．（2025·成都·一模）图1是俄罗斯方块游戏中的五种基本图案，每个小正方形的边长均为1，从若干个这些图案中选取3个进行拼合（同一种图案最多取2个），所拼成图形的周长最小是________；图2是五种基本组合体，每个小立方块的棱长均为1，从若干个这些组合体中选取3个进行拼合（同一种组合体最多取2个），所拼成立体图形的表面积最小是________． 【答案】 【详解】解：图1：第一个图案“直线” 型：通过平移线段，可将其周长看作一个长为4，宽为1的长方形的周长，根据长方形周长公式，（a为长，b为宽），可得周长； 第二个图案“Ｚ” 型：同样平移线段，可看作长3，宽2的长方形周长，； 第三个图案“田”型：可看作长2，宽2的正方形周长，， 第四个图案“Ｌ”型：可看作长3，宽2的长方形周长，； 第五个图案“Ｔ” 型：可看作长3，宽2的长方形周长，； 重合的越多，拼成图形的周长越小，一个 “直线” 型和两个“田”型拼成的图形如图所示， ，周长为：最小； 图2：重合的越多，所拼成立体图形的表面积越小， 两个 “L”一个 “田”一共个方块，画出图应该是的立方体，表面积为． 类型2：投影相关的综合运算 1．（2025·成都·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长；(2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是____米． 【答案】(1)米(2) 【详解】（1）解：，， 米，， 地面，，， 如解图①，延长交于点， ，，米，米， 过点作于点，，∴，则， ∴四边形是矩形，，（米）； （2）解：，由（1）知，要求的最大值，即求的最大值，如解图②，连接， 当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，由（1）得米，∴米，∴，此时最大，最大值为． 2．（2025·成都·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】①视差：物体目标点在左、右相机的视差．②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区．③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】(1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm．①当刚进入感光区，目标物到基线的距离 m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ．③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)①B；②见解析；(2)；；；(3)①25；②；③． 【详解】（1）①画出投影面边界如图所示： 由图可知除点外，盲区内还有点B，故答案为：B②如图所示∶ （2）如图3可知，同理可得用表示为，则与的关系为；由图可知，∴， ∵∴即即；故答案为：；；； （3）①解：如图，刚好进入感应区时，则，必有一个为0 ∵ ∴此时此时，故答案为：25； ②， ，可得，所在直线解析式为： ， 令， 得， 即 ． 当经过点的正上方时， 视差，此时， ， ∴抛物线与轴交点的坐标为，即抛物线对称轴为直线， 当d出现最小值mm时，∴抛物线顶点坐标为 设该抛物线的表达式为，则解得： 所以，抛物线解析式为； ③由， ，可得直线的解析式为， 得，解得，(舍)此时， ． 3．（2025·成都·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：） (1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高； (2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了． 【答案】(1)此时太阳能利用率不是最高，理由见解析(2)此时太阳能光伏板没有遮挡，理由见解析 【详解】（1） ∵垂直于太阳光线时此时太阳能利用率不是最高 （2）过点作交所在直线于点 ∴米 米米 ∴米 米，此时太阳能光伏板没有遮挡 4．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置．①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹；②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）．（参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬(2)①；②见解析(3)①见解析；② 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节．故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间，结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴，∴； 设于点，设，则如图， ∵斜坡坡角为，即，∴，∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴，∴∴ ∴解得： 答：到地平面的距离为． 1．（2026·成都·模拟预测）如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____．    【答案】①②③ 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，∴是等边三角形，∴， 由折叠可知，，∴， 又∵，∴，∴，结论①正确； ∵，由①可知，， 在中，，由折叠可知，， ∴，∴，结论②正确； ∵M是的中点，∴，由折叠可知，， ∴，∴，∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形，结论③正确；    ∵菱形边长为6，M是的中点，∴，由折叠可知，， ∴点E的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆上， 当C，E，M三点共线时，取得最小值，此时， 如图，过点M作交延长线于点F， ∵，∴，在中，， ∴，∴， 在中，，∴，结论④错误， 综上，正确结论序号是①②③． 2．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 【答案】 2.5 6.5 【详解】解：连接，如图： 将绕顶点顺时针旋转得到，，， 为的中点，，，为中点，， 在中，，当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图：的最小值为， 同理，当在延长线上时，取最大值，此时， 的最大值为，故答案为：2.5；6.5 3．（2025·成都·模拟预测）已知四边形是矩形，，E为边上一动点且不与B，C重合，连结如图，过点E作交于点N．将沿翻折，点C的对应点为， （1）若，，则的长为 ； （2）若恰好落在边上，这样的点有且仅有一个，则的长为 ． 【答案】 1 【详解】解：（1）四边形是矩形，，， 设，则，，，，， ，，， ，，，，解得，（舍去）， ．故答案为：1． （2）过点E作于点F，设，，则， 由（1）可知， ， 四边形是矩形，，， 四边形是矩形，，，，， ，，， ，，，，解得， ，由可得，， 由可得，整理得， 点有且仅有一个，，解得， ，，即．故答案为：． 4．（2025·成都 ·模拟预测）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是___________． 【答案】 【详解】解：延长交于P，连，作于， ∵，∴，， ，，∴，∴； ∵，，； 则为的中点；由平移可知：，∴，； ∵，∴；∴，即：； ，故答案为： 5．（2025·成都·二模）如图，在中，，，，点以每秒个单位的速度从点沿边向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点沿边向点运动，当点到达终点时，点随之停止运动，连接，，设点，的运动时间为秒，当为等腰三角形时，的值为______秒． 【答案】/ 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得：， 当是等腰三角形时，则有，，三种情况，因此以下分三种情况讨论： 当时，如图，过点作于点， ，，， ，，又，， ，即，解得：； 当时，， 在中，根据勾股定理，得：，， 又，，解得：， ，不符合题意，故舍去； 当时，如图，过点作于点，， ，，， 又，，解得：， ，，解得：，， ，， 在中，根据勾股定理，得：，， 在中，根据勾股定理，得：，，，解得：或， ，或都不符合题意，故舍去；综上所述，的值为，故答案为：． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． 【答案】(1)相等（或）；相等（或）(2)见解析(3)(4) 【详解】（1）； ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴， ∵， ∴，即 又∵，∴∴； 故答案为：相等（或）；相等（或）． （2）证明：∵四边形是正方形∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段，∴ ∵，∴即 ∴∴，∵∴ ∴∴四边形是矩形 又∵∴四边形是正方形； （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段，∴ ∵，∴ ∵四边形是矩形，，，∴， ∴∴∵，∴即 ∴∴∵∴ ∴∴四边形是矩形，如图，连接交于点，连接 ∵是的中点，在中，∴ ∴共圆，∴，∵∴∴， 在中，∴ ∵，在中，∴， ∵∴又∴ ∴，即∴ ∴∴∴ 故答案为：． （4）解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴ ∴∴是等边三角形，则 ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴， ∴；∴，即 又；∴，∴ ∴在上运动，且；∴当时，取得最小值， ∵∴又∵∴ ∴当时，故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得． 【初步感知】（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3） 【详解】解：（1）∵，∴，， ∴，即，∴； （2）如图，作于，则， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，设，则，∴，解得：或， 经检验，当或是所列分式方程的解，且符合题意， ∴或，∴，∴的值为或； （3）如图，连接，由（1）可得，∴， ∵P为的中点．∴，∵为等边三角形，∴，， ∴，∴、、、四点共圆，∴， 设，则，，∵在中，，，， ∴，∴， ∵，∴，，∴， ∴，， ∴，解得：，∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 专题01 图形的变化 专项训练 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：图形的变换综合压轴 类型1：平移相关问题 1．（2026·成都·校考一模）如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 2．（2025·成都·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到，当在区域内的线段的长度为时，平移的距离为________．    3．（2025·成都·三模）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形，将沿方向平移得到，当与重合时停止，连接，．当是等腰三角形时，平移的距离是______．    4．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，，点且为的中点，直线交轴于点，正方形沿直线平移得到正方形，当正方形与重叠部分的面积为面积的一半时，求的值_________． 5．（2025·四川成都·二模）如图所示，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果，那么的长为________． 类型2：轴对称相关问题 1．（2025·四川成都·校考二模）如图，已知矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点落在点处，连接，则长度的最小值为______． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 5．（2025·四川成都·校考一模）已知等边的边长为5，点M在边上运动，点N在直线上运动，将沿着翻折，使点A落在直线上的点处，若，则______． 类型3：旋转相关问题 1.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为________． 2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是_______，的最大值与最小值分别是________． 3．（2026·成都·校考二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，若，则①________；②的面积为________． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点．将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上时，延长交于点，则线段的长为______． 类型4：几何动态问题（B21或B22） 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 2．（2025·成都·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 __________________ ． 3．（2025·成都·一模）如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为________． 4．（2025·成都·一模）如图，在中，，，，是的中点．点从点出发以向点运动，点从点出发以向点运动，点是的中点，连接．点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点的运动时间为_______s． 5．（2025·成都·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________；(2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 考点二：相似三角形综合压轴 类型1：相似三角形综合压轴（选填题）（B22或B23） 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，是的平分线，在上取一点，使得，射线交于点．若，，则四边形的面积为______． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为______． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 4．（2026·成都·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，过点A作，与延长线交于点F． （1）的值为________．（2）已知边上有一点G，连接．若平分，则的长度为________． 5．（2026·成都·一模）如图，在四边形中，已知，．与交于点E，且，，四边形的面积为________． 类型2：相似三角形综合压轴（解答题）（B25或B26） 1．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 2．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 3．（2026·成都·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】（1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】（3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且．①求证：．②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考]（1）折痕的长为______； [深入探究]（2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸]（3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 考点三：三角函数综合问题 类型1：三角函数选填压轴 1．（2025·四川成都·一模）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为____．（用含x的代数式表示） 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________． 3．（2025·四川成都·一模）如图，菱形中，，若点P是菱形内一点，且，，则菱形的边长为______． 4．（2025·四川成都·三模）在中，，点E、F分别是边上的动点，满足，．①当E为中点时，若，则______；②的取值范围是_____． 5．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则_____． 类型2：新定义问题 1.（2025·成都·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为 2．（2025·成都·校考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ． 3．（2025·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ． 4．（25-26九年级下·成都·阶段练习）同角三角函数的基本关系为：sin2α+cos2α＝1，＝tanα，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα＝2，＝ ． 5．（2025·成都·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 考点四：视图与投影综合 类型1：视图中的最值 1．（2023·广东东莞·模拟预测）一个物体由很多个体积为1的小正方体拼接而成，其三视图如下．这个物体的体积最小是多少？（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2025·成都·模拟预测）一个立体图形由若干个完全相同的小正方体构成，其俯视图和左视图如图所示，则构成该立体图形最少需要这样的小正方体（    ）个． A．9 B．10 C．12 D．15 3．（2025·成都·三模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 4．（2025·成都·一模）图1是俄罗斯方块游戏中的五种基本图案，每个小正方形的边长均为1，从若干个这些图案中选取3个进行拼合（同一种图案最多取2个），所拼成图形的周长最小是________；图2是五种基本组合体，每个小立方块的棱长均为1，从若干个这些组合体中选取3个进行拼合（同一种组合体最多取2个），所拼成立体图形的表面积最小是________． 类型2：投影相关的综合运算 1．（2025·成都·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长；(2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是____米． 2．（2025·成都·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】①视差：物体目标点在左、右相机的视差．②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区．③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】(1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm．①当刚进入感光区，目标物到基线的距离 m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ．③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 3．（2025·成都·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：） (1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高； (2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了． 4．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置．①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹；②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）．（参考数据：，．） 1．（2026·成都·模拟预测）如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____．    2．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 3．（2025·成都·模拟预测）已知四边形是矩形，，E为边上一动点且不与B，C重合，连结如图，过点E作交于点N．将沿翻折，点C的对应点为， （1）若，，则的长为 ； （2）若恰好落在边上，这样的点有且仅有一个，则的长为 ． 4．（2025·成都 ·模拟预测）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是___________． 5．（2025·成都·二模）如图，在中，，，，点以每秒个单位的速度从点沿边向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点沿边向点运动，当点到达终点时，点随之停止运动，连接，，设点，的运动时间为秒，当为等腰三角形时，的值为______秒． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得． 【初步感知】（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $