2026年中考数学一轮专项练习专题14：图形的变化

专题14：图形的变化-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．直角三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形 3．如图，将沿射线平移得到，则下列线段的长度中表示平移距离的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接，当、、在同一直线上时，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。 小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，Pn。 若Pn与P重合，则n的最小值是 （　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（　　） A． B．2 C．1.5 D． 7．如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果 ，那么 =（　　） A． B． C． D． 8．小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的破面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º 角，且此时测得1米杆的影长为2米，则 电线杆的高度为（　　） A．9米 B．28米 C．（7+）米 D．（14+）米 二、填空题 9．下列某种几何体从正面、左面、上面看到的形状图都相同，则这个几何体是　 　（填写序号）①三棱锥；②圆柱；③球． 10．右图是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 　 　 . 11．如图，五边形 与五边形 是位似图形，且位似比为 ，若五边形 的面积为 ，那么五边形 的面积为　 　． 12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG的周长是　 　． 13．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30º角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，则树长AB等于　 　米。 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13， （如图），将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A’，点B落在点B’，A’B’与边BC相交于点D，那么 的值为　 　． 15．如图，在中，，，，，O为的中点，M为边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是　 　． 16．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=　 　. 17．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠BOD＝　 　． 18．如图，正方形ABCD中点E为AD的中点，连接CE，将△CDE绕点C逆时针旋转得△CGF，点G在CE上，作DM⊥CE于点M，连接BM交CF于N，已知四边形GFNM面积为27，则正方形ABCD的边长为　 　． 三、解答题 19．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1，l2，l3于A，B，C三点，直线DF依次交l1，l2，l3于D，E，F三点，若 ，DE＝2，求EF的长. 20．如图，在中，是边上的点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的值． 21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，求CD的长 22．如图，小区门口道闸的栅栏DE长度不变，立柱OB垂直于地面，DE绕点B旋转得到AC，若OB=0.5m，AB=1.5m，BC=4.5m. （1）求栅栏最右端C离地面的最大高度， （2）若想使栅栏最右端C离地面的高度达到3.8m，请你给出一种改造的方案. 23．如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱B，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM=NB=x米．求：两根灯柱之间的距离． 24． 图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）． 25.图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．在木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB=6.5，BP=4，PD=8． （1）ED的长为　 　 （2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC'(如图2)，点P的对应点为P'，BC'与MN的交点为D'，从A点发出的光束经平面镜P'反射后，在MN上的光点为E'．若DD'=5，则EE的长为　 　 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故答案为：不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故答案为：不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故答案为：不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故答案为：符合题意. 故答案为：D. 【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段、可表示平移距离. 故答案为：C. 【分析】根据平移的性质可得点B与点E是对应点，点C与点F是对应点，据此可得平移距离. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据图形旋转的性质，可知 ． ∵为的外角， ∴． ∴． ∴． A项不符合题意． B、∵中为钝角， ∴． 根据图形旋转的性质，可知 ． ∴． B项不符合题意． C、根据图形旋转的性质，可知 ． 又， ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∴． 即． C项不符合题意． D、根据图形旋转的性质，可知 ． 由前面证明知， ∴. ∴． ∴． D项符合题意． 故答案为：D. 【分析】需要根据图形旋转的性质，得到对应边和对应角相等，据此依次判断各项是否符合题意。 5．【答案】B 【解析】【分析】设两直线交点为O，作图后根据对称性可得． 【解答】作图可得：设两直线交点为O， 根据对称性可得：作出的一系列点P1，P2，P3，…，Pn都在以O为圆心，OP为半径的圆上， ∵∠α=60°， ∴每相邻两点间的角度是60°； 故若Pn与P重合， 则n的最小值是6． 故选B 【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察、分析能力和与作图能力． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠B=90°， ∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上， ∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°， ∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC， ∴∠CAB=30°， ∴∠ACB=60°， ∴∠BCE=， ∴BE= ∵AB∥CD， ∴∠OAE=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴EF与AC互相垂直平分， ∴四边形AECF为菱形， ∴AE=CE， ∴BE=， ∴， 故选：B． 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，从而AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，得到∠CAB=30°，∠ACB=60°，进一步得到∠BCE=，所以BE=，再证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，所以四边形AECF为菱形，所以AE=CE，得到BE=，即可解答． 7．【答案】A 【解析】【解答】∵点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C，且∠BAD=∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， 如果 ∴ ∵ ，∴AD=x，CD=3x， ∴AB2=AC•AD， ∴AB=2x ∴ 故答案为：A 【分析】先证得△ABD∽△ACB，再利用对应线段成比例及所设出AD与CD的长，可表示出AB长，从而可求得的值. 8．【答案】D 【解析】【分析】先根据CD的长以及坡角求出坡面上的影子在地面上的实际长度，即可知道电线杆的总影长，从而根据1米杆的影长为2米来解答． 【解答】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点． DE=8sin30°=4； CE=8cos30°= ∵测得1米杆的影长为2米． ∴EF=2DE=8 ∴BF=BC+CE+EF=20++8=28+ ∴电线杆AB的长度是（28+)=14+米． 故选D． 【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．注意：在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例 9．【答案】③ 【解析】【解答】解：球的三视图均为全等的圆， 故答案为：③． 【分析】根据常见几何体的三视图可得答案． 10．【答案】20：51 【解析】【解答】解：根据镜面对称的性质：可得12：05的真实时间应该是20：51. 故答案为：20：51. 【分析】根据镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，并结合实际看到背向墙壁的电子钟读数，求出这时的实际时间应该是多少即可． 11．【答案】 【解析】【解答】解： ∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，且位似比为 ， ∴ ， ∵五边形ABCDE的面积为15cm2， ∴五边形A'B'C'D'E'的面积为 ， 故答案为 . 【分析】根据位似图形是相似图形的特殊情况，故位似的两个图形一定相似，根据相似图形的性质，相似图形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。 12．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接CD、CF. ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点， ∴BD=CD=1．BC= ， ∵由翻折可知BD=DF， ∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°， ∴∠DCF=∠DFC， ∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC， ∴GC=GF， ∴EG+CG=EG+GF=EF=BE， ∴△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC= ， 故答案为： . 【分析】连接CD、CF。在等腰Rt△ABC中，用勾股定理可求得BC=AC的值，由翻折的性质可知BD=DF，结合已知易证∠GCF=∠GFC，由等角对等边可得GC=GF，则根据线段的构成可得EG+CG=EG+GF=EF=BE，所以△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC。 13．【答案】12 【解析】【解答】解：如图，CD=3.6m， ∵△BDC∽△FGE， ∴ = ，即 = ， ∴BC=6， 在Rt△ABC中，∵∠A=30°， ∴AB=2BC=12， 即树长AB是12米． 故答案为：12. 【分析】先利用△BDC∽△FGE得到 = ，可计算出BC=6，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长． 14．【答案】 【解析】【解答】过 作 交 于 点， ， ， 设 ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 旋转而得， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． 故答案为： ． 【分析】先过 作 交 于 点，根据题意求出 和 ，由 面积公式求出 ，再根据旋转的性质得 ， ，由 ，则 ，并求出 ，利用对顶角相等得 ，则 ，最后根据相似三角形性质可得 15．【答案】1.5 【解析】【解答】解：由题意知当旋转到点在的延长线上，且时，的长度最小，如图所示： ∵将绕点A逆时针旋转角， ∴，， ∵， ∴， ∵O为的中点，， ∴， ∴， ∴线段的长度的最小值是1.5； 故答案为：1.5． 【分析】当旋转到点在的延长线上，且时，的长度最小，再求解即可。 16．【答案】 或 【解析】【解答】根据题意，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x ∵PQ∥AC ∴△BPQ∽△BCA ∴ ∴x= 当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y ∵△BPQ∽△BCA ∴ ∴y= 【分析】分两种情况AQ=PQ，∠QPB=90°；AQ=PQ，∠PQB=90°；分情况讨论即可。 17．【答案】 【解析】【解答】解：设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，如图所示． ∵点C为AF的中点，点E为BF的中点， ∴ ， ∴∠BOD＝∠DCE， 在△DCE中，DC＝ ，DE＝2 ，CE＝ ， ∵DC2＝CE2＋DE2， ∴∠DEC＝90°， ∴cos∠DCE＝ ＝ ∴cos∠BOD＝ 故答案为 ． 【分析】设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，先利用勾股定理求出DC、DE、CE的长，再利用勾股定理逆定理证明出∠DEC＝90°，最后利用余弦的定义求解即可。 18．【答案】 【解析】【解答】作BH⊥EC于H 设BC=CD=AD=2a， ∵E为AD中点， ∴DE=a， ∴S△DEC=a2． 根据勾股定理得EC= a， ∵∠HBC+∠HCB=90°，∠ECD+∠HCB=90°， ∴∠ECD=∠HBC，且CD=BC，∠BHC=∠DMC=90°， ∴△DMC≌△BHC， ∴CH=MD，BH=CM， ∵sin∠DCE= ， ∴ ， ∴DM= a， ∴CM= = a， ∴CH= a， ∴MH=CH，且BH⊥CM， ∴BM=BC， ∴∠BMC=∠BCM， ∵AD∥BC， ∴∠DEC=∠ECB， ∵旋转 ∴∠F=∠DEC，CF=CE= a ∴∠F=∠BMC，∠MCF=∠MCF ∴△MNC∽△GFC ∴ ， ， ∴S△MNC= ， ∴SFGMN=a2﹣ = ， ∴ =27， ∴a=5 ， ∴2a=10 ， 故答案为：10 【分析】作BH⊥EC于H，设BC=CD=AD=2a，用含a的代数式表示出DE，利用三角形的面积公式，可得出S△DEC=a2，利用勾股定理求出EC，再证明△DMC≌△BHC，利用全等三角形的性质易证CH=MD，BH=CM，利用解直角三角形求出MC，然后利用旋转的性质，得出CF=CE，再利用相似三角形的判定和性质，可证得，就可求出△MNC的面积，根据 四边形GFNM面积为27 ，建立关于a的方程，求出a的值及2a的值即可。 19．【答案】解：∵l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点， ∴ ， ∵ ，DE=2， ∴ ， 解得：DF=3.5， ∴EF=DF-DE=3.5-2=1.5 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， 根据比例式即可求出DF的长，进而根据 EF=DF-DE 即可算出答案. 20．【答案】（1）证明：，， （2）解：， ， . ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）由相似三角形的对应边成比例得到，求出长，继而得到BD长解题即可． 21．【答案】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∴∠ACD +∠A=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD +∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ， ∴△ADC ∽△CDB， ∴ ， ∴ = AD •BD=8 2=16， ∴ CD=4． 【解析】【分析】根据同角的余角相等得出 ∠A=∠BCD ， 利用相似三角形的判定方法先判断出△ADC∽△CDB，再根据相似三角形对应边成比例建立方程，从而即可求出CD的值． 22．【答案】（1）解：如图，作AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N. ∵当点A与地面接触时，栏杆最右端C离地面最高， ∴AM=OB=0.5m. ∵△ABM∽△CBN，且AB=1.5m，BC=4.5m， ，即 ，∴CN=1.5m， ∴栏杆最右端C离地面的最大高度是1.5+0.5=2(m). （2）解：方案：设把立柱OB升高x(m)，则OB=(0.5+x)m.当点A与地面接触时，栏杆最右端C离地面最高，此时AM=OB=0.5+x，CN=3.8-0.5-x=3.3-x. ∵△ABM∽△CBN，且AB=1.5，BC=4.5， ，即，∴x=0.45. 答：可以把立柱OB升高0.45m.(注：答案不唯一) 【解析】【分析】（1）作AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，则可得到△ABM∽△CBN，即可得到解题即可. （2）把立柱OB升高x(m)，然后根据（1）中的相似求出x值即可解题. 23．【答案】解：由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米， ∵MF∥BC， ∴△AMF∽△ABC ∴ ， ∴ = ∴x=3 经检验x=3是原方程的根，并且符合题意． ∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）． 答：两个路灯之间的距离为18米． 【解析】【分析】由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，易证△AMF∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，=，代入求得AM，最后再求得AB。 24．【答案】（1）解：过点C作，垂足为E（答图1）． 由题意可知，， 又，四边形ABCE为矩形． ，，，． ，． 在中，． （2）解：过点D作，交BC的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形ABFG为矩形，． 在中，，． ，，，． ，，，． 在中，． 【解析】【分析】（1）求解直角梯形的边，即将该梯形分解为矩形和直角三角形，利用勾股定理解之即可； （2）在（1）的基础上，为使用条件及计算出目标三角形，需构造直角三角形并结合（1）解之即可. 25．【答案】（1）13 （2）11.5 【解析】【解答】解：（1）由题意可得，∠APB=∠EPD，∠B=∠EDP=90°， ∴△ABP∽△EDP，∴ ∵AB=6.5，BP=4，PD=8，∴ ∴DE=13． 故答案为：13. (2)如图，过点E'作∠E'FD'=∠E'D'F，过点E'作E'G⊥BC'于点G， ∴E'F=E'D'，FG=GD'， ∵AB∥MN，∴∠ABD'+∠E'D'B=180°， ∴∠ABD'+∠E'FG=180°．∵∠E'FB+∠E'FG=180°， ∴∠ABP'=∠E'FP'．又∠AP'B=∠E'P'F， ∴△ABP'∽△E'FP'， ∴，即 设P'F=4a，则E'F=6.5a，∴E'D'=6.5a． 在Rt△BDD'中，∠BDD'=90°，DD'=5，BD=BP+PD=12， 由勾股定理可得，BD'=13，∴cos∠BD'D= 在RtOE'GD'中，cos∠BD'D== ∴GD'=2.5a，．∴FG=GD'=2.5a， ∵BP'+P'F+FG+GD'=13， ∴4+4a+2.5a+2.5a=13，解得a=1， ∴E'D'=6.5， ∴EE'=DE+DD'-D'E'=13+5-6.5=11.5． 故答案为：11.5. 【分析】(1)由题意可得，△ABP~△EDP，则，进而可得出DE的长； (2)过点E'作∠E'FG=∠E'DF，过点E'作E'G⊥BC'于点G，易得△ABP'~△E'FP'，由此可得，在Rt△BDD'中，由勾股定理可求出BD'的长，可求出∠BD'D的正切值，设P'F的长，分别表示E'F和E'D及FG和GD'的长，再根据BD'=13，可建立等式，可得结论. 学科网（北京）股份有限公司 $