第二章 相交线与平行线（复习课件）数学新教材北师大版七年级下册

单元复习课件 第二章 相交线与平行线 新教材北师大版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理对顶角、邻补角、垂线、平行线及三类角的概念，熟练掌握对顶角相等、垂线性质、平行公理及平行线的判定与性质定理，理清概念间的联系与区别，形成完整的知识结构，夯实几何基础知识。 3.能将相交线与平行线的知识灵活运用到实际情境与综合题型中，解决角度计算、路线判断等问题，实现从单一知识点到综合应用的迁移，体会几何与生活的联系，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 2. 通过识图、计算与推理训练，提升几何观察、逻辑推理与规范表达能力，掌握几何证明的基本思路与书写格式，学会运用归纳、转化等方法分析问题，发展几何直观与初步的逻辑思维能力。 单元学习目标 一般情况： 补角 对顶角 垂直 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 两条 直线 相交 同位角 内错角 同旁内角 相交成直角： 平 行 线 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 单元知识图谱 知识点一、两直线的位置关系 一、两直线的位置关系 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们就称这两条直线为相交线.该公共点叫作两直线的交点.如图，直线AB，CD相交于点O. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. A B C D O 考点串讲 知识点一、两直线的位置关系 2.对顶角 定义：如图，直线AB/CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 注意:1.顶点相同. 2.角的两边互为反向延长线. 3.对顶角是成对出现的. 性质:对顶角相等. A B C D 2 （ ） （ 1 3 4 ） 考点串讲 知识点一、两直线的位置关系 3.补角、余角 定义 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 性质 同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等. 考点串讲 知识点一、两直线的位置关系 4.垂直 定义:两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂足 A B D C O 考点串讲 知识点一、两直线的位置关系 表示方法：通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 如图，AB与CD垂直记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”. 符号语言： 因为AB⊥CD， 所以∠COB=90°. 反之： 因为∠COB=90°， 所以AB⊥CD . A B D C O 考点串讲 知识点一、两直线的位置关系 5.垂线的画法 过直线上一点画已知直线的垂线，步骤如下: (1)一放；(2)二靠；(3)三移；(4)画. l A B 考点串讲 知识点一、两直线的位置关系 6.垂线的性质 性质(一):在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质(二):直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. P A B O l C 线段 PO 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离。 考点串讲 知识点一、两直线的位置关系 7.点到直线的距离 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离. l B A 考点串讲 知识点二、平行线的判定 二、平行线的判定 1.三线八角：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角”. 这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对. b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 考点串讲 知识点二、平行线的判定 同位角的位置特征： ①在两条被截直线的同一方； ②在截线的同侧. 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转). 1 2 ） ） a b c 考点串讲 知识点二、平行线的判定 2 3 ） ） a b c 内错角位置特征： ①在两条被截直线之间； ②在截线的两侧. 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转). 考点串讲 知识点二、平行线的判定 2 4 ） ） a b c 同旁内角位置特征： ①在两条被截直线之间； ②在截线的同侧. 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转). 考点串讲 知识点二、平行线的判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 判定 性质 角的数量关系 直线的位置关系 角的数量关系 判定：证平行，用判定 性质：知平行，用性质 2.平行线的性质及判定 考点串讲 知识点二、平行线的判定 3.平行线中的两个重要结论: (1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (2)平行于同一条直线的两条直线平行.(若b//a，c//a，则b//c)； A B P a b c 考点串讲 知识点二、平行线的判定 (1) 借助三角尺画平行线。 a (1)落 (2)靠 (3)推 (4)画 P b 4. 尺规作图做已知直线的平行线 考点串讲 知识点二、平行线的判定 4. 尺规作图做已知直线的平行线 过点P作直线b 则c∥a 作∠2=∠1 （1） （2） （3） （4） (2) 通过画相等的同位角来构造平行线 作一个角等于已知角 考点串讲 题型一、两直线的位置关系 1．如图，当剪刀口∠AOB增大10°时，∠COD的度数为(　C　) A． 不变 B． 减少10° C． 增大10° D． 增大20° C 题型剖析 题型一、两直线的位置关系 2． 如图，已知∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠2的度数为(　B　) A． 102° B． 118° C． 122° D． 62° B 题型剖析 题型一、两直线的位置关系 3． 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是(　A　) A． 55° B． 45° C． 35° D． 30° A 题型剖析 题型一、两直线的位置关系 4． 如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有AB，AC，AD三条路可走，将军选择沿着AB路线到河边，他这样做的道理是(D　) A． 两点之间线段最短 B． 两点之间直线最短 C． 两点确定一条直线 D． 垂线段最短 D 题型剖析 题型一、两直线的位置关系 5.如图，两条直线a，b相交。 (1) 如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数； (2) 如果 2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数。 解：(1)∠2 = 180°-∠1 = 180°-60°= 120°(补角定义) ∠3 = ∠2 = 120°(对顶角相等)， ∠4 = ∠1 = 60°(对顶角相等)。 题型剖析 题型一、两直线的位置关系 5.如图，两条直线a，b相交。 (1) 如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数； (2) 如果 2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数。 (2) 因为∠1+∠3=180°， 又2∠3 = 3∠1，即∠1= ∠3， 所以 ∠3+∠3 = 180°， ∠3 = 180°， ∠3 = 108°，∠2 =∠3 = 108°(对顶角相等)， ∠4 = 180°-∠3 = 180°-108°= 72°。 题型剖析 题型一、两直线的位置关系 6.如图，直线 AB⊥CD，垂足为 O，直线EF经过点 O，∠1 = 26°，求∠2，∠3，∠4 的度数。 解：因为 AB⊥CD， 所以 ∠COB = 90°， 故∠2 = 90°-∠1 = 90°-26°= 64°。 因为 ∠3 与∠1 是对顶角， 所以 ∠3 = ∠1 = 26°。 又∠4 与∠1 互为补角， 所以 ∠4 = 180°-∠1 = 180°-26°= 154°。 题型剖析 题型二、平行线的性质和判定 1． 如图，直线AB，CD被直线AE所截，则∠A和 ⁠是同位角，∠A和 是内错角，∠A和 是同旁内角.当∠1＝ . 时，AB∥CD. ∠1　 ∠3　 ∠2　 ∠A　 题型剖析 题型二、平行线的性质和判定 2．如图，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是(　D　) A． ∠3＝∠4 B． ∠C＋∠ADC＝180° C． ∠C＝∠CDE D． ∠1＝∠2 D 题型剖析 题型二、平行线的性质和判定 3．请将下列说理过程补充完整： 如图，∠1＝∠2，AB∥OD，DC∥OA. 试说明∠B＝∠C. 解：因为AB∥OD(已知)， 所以∠B＝∠DOB( ). 因为DC∥OA(已知)， 所以 (两直线平行，内错角相等). 因为∠1＝∠2(已知)， 所以∠1＋ ＝∠2＋ ( )， 即∠DOB＝∠AOC. 所以∠B＝∠C( ). 两直线平行，内错角相等 ∠C＝∠AOC　 ∠BOC　 ∠BOC　 等式的性质 等量代换 题型剖析 题型二、平行线的性质和判定 4． 如图，已知OC平分∠AOB. (1)作图：在射线OA上取一点D，过点D作直线DE∥OB，交OC于点E； 解：如图，直线DE即为所求. 题型剖析 题型二、平行线的性质和判定 (2)若∠AOB＝70°，求∠DEC的度数. 解：因为OC平分∠AOB，∠AOB＝70°， 所以∠BOC＝ ∠AOB＝35°. 因为DE∥OB， 所以∠DEO＝∠BOC＝35°. 所以∠DEC＝180°－35°＝145°. 题型剖析 针对训练 1.光从空气中斜射入水中时，传播方向会发生偏折，这种现象叫作光的折射.同样，光从水中斜射入空气中时，也会发生折射.一束光沿CD方向先从空气中斜射入水中，再从水中斜射入空气中，光线的传播路径如图所示，其中，直 线a，b表示空气与水的分界面，光线在水 中的部分为DE.已知∠1=∠4， ∠2=∠3，请 你判断光线CD与EF是否平行，为什么? 针对训练 解:CD//EF. 理由:因为∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°， ∠2=∠3， 所以∠5=∠6. 因为∠1=∠4， 所以∠1+∠5=∠4+∠6，即∠CDE=∠DEF， 所以CD//EF. 针对训练 解:(1)因为AD//EG， 所以∠ABG=∠DAB=48°， 所以B地所修公路的走向是南偏西48°. 2. 如图，在A，B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通. (1)B地所修公路的走向是南偏西多少度?请说明原因. 针对训练 (2)因为AD//BE， 所以∠DAB+∠ABE=180°， 所以∠ABE=180°-∠DAB=132°， 所以∠ABC=∠ABE-∠CBE=90°， 所以AB⊥BC， 所以AB的长度就是A地到公路BC的距离. 因为AB=8km，所以A地到公路BC的距离是8km. 针对训练 3．(1)请在横线上填写合适的内容，完成下面的推理过程. 如图①，AB∥CD，试说明∠B＋∠D＝∠BED. 针对训练 解：如图①，过点E作EF∥AB， 所以∠B＝∠BEF( ⁠ ). 因为AB∥CD，EF∥AB， 所以EF∥CD( ). 所以∠D＝ ( ). 所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF，即∠B＋∠D＝∠BED. 两直线平行，内错角相等 平行于同一条直线的两条直线平行 ∠DEF　 两直线平行，内错角相等 针对训练 (2)如图②，AB∥CD，请写出∠B＋∠BED＋∠D＝360°的推理过程. 解：如图②，过点E作EF∥AB. 所以∠B＋∠BEF＝180°. 因为AB∥CD，EF∥AB， 所以EF∥CD. 所以∠DEF＋∠D＝180°. 所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝180°＋180°＝360°， 即∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 针对训练 (3)如图③，AB∥CD，请直接写出结果：∠B＋∠BEF＋∠EFD＋∠D＝ ⁠. (4)如图④，AB∥CD，根据以上结论，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝ ⁠. 540°　 (n－1)·180°　 ✅ 知识构建： 本章构建相交线与平行线的完整知识体系，先认识对顶角、邻补角及三类特殊角，掌握对顶角相等、垂线相关性质；再以平行公理为依托，理清平行线的判定与性质，建立角的数量关系与线的位置关系相互转化的核心框架；结合角度计算、简单推理与基本作图，形成概念、性质、判定、应用一体化的几何知识结构，夯实平面几何入门基础。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 数形结合：将几何图形中直线的位置关系，与角的度数、数量关系相互转化，通过图形直观分析角的关系，借助数量计算判定线的位置。 转化思想：将复杂的角度计算问题，转化为对顶角、邻补角、平行线性质的基础应用，把未知问题转化为已知知识点求解。 分类讨论思想：在涉及垂线、平行线的作图与角度求解中，根据点与直线、直线与直线的不同位置情况分类分析。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $