暑假专项作业：综合复习-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦七年级下册核心知识，以代数变形、几何性质、统计概率为模块，系统提炼公式应用、辅助线添加等解题方法，构建“概念-原理-应用”逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|单选1/3/7、填空11|科学记数法表示、多项式一次项系数分析、完全平方公式变形与整体代入|概念（科学记数法）→公式（多项式乘法、完全平方）→应用（求值、不含特定项）| |几何综合|单选5/6/10、解答23|翻折与平行线性质结合、三角形多结论判断、辅助线添加（作平行线）|性质（平行线、翻折）→判定（全等）→综合应用（动态几何、多结论）| |统计概率|解答22|概率公式应用|基本概念→公式计算→实际应用|

暑假专项作业：综合复习-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．合肥某科创公司研发的新一代芯片厚度约为，将数据0.000085用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列运动图标中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形中，，现有下列4个结论：①点到直线的距离是线段的长度；②在三条边中，线段最长；③；④为三角形平面内一点，若，为垂足，那么，，三点在同一条直线上．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，，则的值为（    ） A．196 B．169 C．73 D．121 8．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 9．若，那么(     ) A．-3x B． C． D． 10．利用透镜我们可以聚合或分散光线，它被广泛应用于显微设备、射电天文、汽车雷达等领域，如图经过透镜后的光线互相平行，已知，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若是一个完全平方式，则常数m的值为__________． 12．已知和的两边分别平行，且的两倍与的差为，则的度数为____________． 13．如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折得到，此时恰好经过点，若，则值等于______． 14．“杨辉三角”是中国古代数学无比睿智的成就之一（如图）．根据图中的规律，的展开式里含项的系数为______． 15．如图，锐角中，，，的面积为，为上一动点，将，分别沿，向外翻折得到，，连接，则面积的最小值为_______． 16．如图，，三角形的顶点E，F分别在直线上，点M在直线与之间，平分． （1）如图1，平分，，则________； （2）如图2，已知点N为延长线上一点，且，则________（用含的式子表示）． 三、解答题 17．计算 (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．完成下列各题： (1)观察图中大正方形的构成，用两种不同的方式计算其面积，可以得出代数恒等式：_________； (2)利用上述代数恒等式计算： ①； ②． 20．已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 21．如图，已知，，，求的度数． 请把下列解题过程和推理依据补充完整， 解：因为（已知） 所以__________（____________________） 又因为（已知） 所以__________（____________________） 所以__________（____________________） 所以__________（____________________） 又因为（已知） 所以____________（等式的基本性质） 22．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示的转盘，转盘被等分成16份，指针停在每个扇形区域的机会相等．活动规则如下：顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域，那么顾客就可以获得此项待遇（若指针停在分界线上，则需重新转动，直至指针落在扇形区域为止）． (1)甲顾客消费150元，求甲顾客获得打折待遇的概率． (2)乙顾客消费120元，求乙顾客获得八折待遇的概率． 23．如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 24．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中，，） (1)将三角尺如图①所示叠放在一起． ①与大小关系是______，依据是__________． ②与的数量关系是__________． (2)小亮固定其中一块三角尺不动，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图②的与重合开始，到图③的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况．小亮发现边可以与的一边平行，请求出此时的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：综合复习-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A C D B C B 1．B 【详解】解： ． 2．B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3．C 【分析】先计算两个多项式的乘积，根据乘积不含x的一次项可知一次项系数为0，由此求解m的值即可． 【详解】解： ∵乘积不含的一次项 ∴一次项系数等于0，即 解得． 4．D 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式乘法，积的乘方与幂的乘方法则逐一计算判断即可. 【详解】选项A：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A错误； 选项B：∵与不是同类项，不能合并，∴，B错误； 选项C：∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂相加指数，∴，C错误； 选项D：∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，∴，D正确. 5．A 【分析】根据长方形对边平行，得，故；由折叠的性质得，再结合以及平角的定义，列方程求解得出，进而求得的度数． 【详解】解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ， ∴ ∴． 6．C 【分析】根据垂直的定义判断③；根据点到直线的距离的定义判断结论①；根据垂线段最短判断结论②，根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”判断结论④． 【详解】解：∵， ∴，故结论③正确． ∴点B到直线的距离是线段的长度，故结论①错误． ∵根据垂线段最短可得，， ∴在三条边中，线段最长，故结论②正确． ∵于点C，于点C， ∴与是同一条直线， 即，，三点在同一条直线上，故结论④正确． 综上所述，正确的结论共3个． 7．D 【分析】本题利用完全平方公式变形，通过整体代入已知条件求解，不需要单独计算的值，解题关键是掌握完全平方公式的结构． 【详解】解：， 把，代入得： ． 8．B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 9．C 【分析】根据除法运算中“被除数除数商”的关系，利用多项式乘单项式的法则计算，再根据多项式减多项式计算出． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 10．B 【分析】过点O作，结合推出三条直线互相平行，利用两直线平行同旁内角互补分别求出与，再通过角的差计算． 【详解】解：如图，过点作． 由题意得， ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 11． 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分两种情况对比对应项系数，即可求出常数的值. 【详解】解：是一个完全平方式， 根据完全平方公式， 本题中，，可得， ， 即， ． 12．或 【分析】先根据“两个角的两边分别平行”的条件，得到和相等或互补，结合“的两倍与的差为”的条件，分情况列出方程求解即可． 【详解】解：和的两边分别平行， 或， 根据题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 即， 解得：， 综上所述，的度数为或． 13． 【分析】由翻折的性质可知，且，以此为突破口，建立和的面积关系．设 ， ． 因为是和的公共部分，所以，且 ，由此得到等量关系，并化简可得．因为和同高，所以二者面积比等于底与的比，结合前面得到的面积比例即可求解． 【详解】解：由翻折可知 ， ， 设 ，则 ， 设 ． 因为，且 ， 又， 所以， 解得 ，即 ． 同高三角形面积比等于底之比，和 同顶点，底边在同一直线上，二者高相同， 因此面积比等于底边长之比： ． 14． 【分析】根据所给前几个展开式的规律得到的展开式，进而可得答案． 【详解】解：根据图中规律，得， ∴的展开式里含项的系数为4． 15．/ 【分析】过点作于点，先求出，由翻折性质得，，，，进而得，则，由此得当为最小时，的面积最小，根据“垂线段最短”得，则当点与点重合时，的值最小，最小值为，据此可得的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴，， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∵将，分别沿，向外翻折得到，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴面积的最小值为：． 16． /60度 【分析】（1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解； （2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解． 【详解】解：如图1，过点作， ， ， ，，， ， ，， 平分， ， 平分， ， ， ， （2），过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．， 【分析】利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入x和y的数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时 原式． 19．(1) (2)①；② 【分析】（1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积等于三个小正方形的面积加上六个小长方形的面积，据此用两种方式表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①②根据（1）的结论计算求解即可． 【详解】（1）解：图中大正方形的边长为，则该大正方形的面积为， 图中大正方形的面积等于三个小正方形的面积加上六个小长方形的面积，则该大正方形的面积为， ∴； （2）解：①由（1）得； ②由（1）得． 20．(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 21．；两直线平行，同位角相等；；等式的基本性质；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】根据平行线的性质与判定定理结合已给解题过程求解即可． 【详解】略 22．(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）直接利用概率公式进行计算即可. 【详解】（1）解：总共分成16份，其中打折区域有6份， 故甲顾客获得打折待遇的概率为； （2）解：总共分成16份，其中八折区域有2份； ∴乙顾客获得八折待遇的概率为. 23．(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 24．(1)①相等，同角的余角相等；② (2)的大小为或或． 【分析】（1）①根据同角的余角相等可得答案； ②将变形为，即可得到，从而得到与的数量关系是互补； （2）分、、三种情况分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴（同角的余角相等）； ② ， ∴与的数量关系是； （2）解：当时， 如图，过点作， ∵， ∴， ，， ； 当时，如图， 此时； 当时，如图， 此时，， ； 综上，的大小为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $