精品解析：黑龙江绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年高一第二学期开学测试数学试卷

绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试卷 高一数学 （适用地区：黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古、新疆、西藏、宁夏、甘肃、青海） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设函数，对有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（ ） （参考数据：，，） A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若且，则的终边在所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（ ） A. 是的充要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的充要条件 10. 关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 方程的解集是 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 12. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. __________. 14. 已知，且，则的最大值为__________. 15. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 16. 记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. （1）用向量与表示； （2）若，求和的值. 19. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，则是否存在实数，使得是的充分不必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 20. 已知定义在上的奇函数，且． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试卷 高一数学 （适用地区：黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古、新疆、西藏、宁夏、甘肃、青海） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例即可求解充分性，根据正弦函数的性质即可求解必要性. 【详解】若，此时，但是，故“”不是“”的充分条件； 若，由函数的定义知，若，则必有，而时，能推出， 故“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 设函数，对有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用分段函数的单调性，列不等式组，即可求解. 【详解】由题知在上单调递增， 所以，解得， 故选：A. 3. 由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系，将、转化为、即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故选：D． 6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（ ） （参考数据：，，） A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出函数关系式，结合对数函数知识解不等式即可. 【详解】取2026年是第1年，根据题意得第年该公司全年投入的科研经费为. 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则， 则第4年，即2029年该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元. 故选：C. 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 8. 若且，则的终边在所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论. 【详解】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，则α的终边在第二、三象限或轴负半轴上， 因此，的终边所在象限为第三象限. 故选：C. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（ ） A. 是的充要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】结合已知根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是的充分不必要条件，是的充分条件，所以，，． 因为是的充要条件，所以．因为是的必要条件，所以． 综上可得，，，但， 即是的充要条件，是的充分不必要条件． 故选：AB 10. 关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 方程的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三个“二次”的关系即可判断各选项. 【详解】由题意可知，所以，故A不正确，B正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，故C正确； 方程可化为，即， 所以方程的解集是，故D不正确． 故选：BC. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：结合函数的对称性及图像平移判断即可. 选项B：结合函数的单调性判断即可. 选项C：结合函数的单调性及余弦函数的性质判断即可. 选项D：结合作差法及基本不等式求解即可. 【详解】因为关于原点对称，所以关于对称，所以的图象是中心对称图形，故A正确； ， 又，均在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 易得在上单调递增，又当时，，所以，所以，所以，故C错误； 由，得，即， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 12. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数运算、对数运算法则计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为： 14. 已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 15. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式. 【详解】设幂函数经过点得，，所以， 即，故， 因为，且定义域为， 所以是奇函数， 又由于是上的增函数，是上的减函数，是上的增函数， 所以是上的增函数， 再由，得， 所以，解得：， 故答案为：. 16. 记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题得中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1） （2）派甲参赛获胜的概率更大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论； （3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”， 则，，，相互独立，且，，，， 设“甲在比赛中恰好赢一轮” 则； 【小问2详解】 因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 所以， ， 因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 【小问3详解】 设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 于是“两人中至少有一人赢得比赛”， 由（2）知，， 所以， ， 所以. 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. （1）用向量与表示； （2）若，求和的值. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解； （2）设，利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以．设， ， 因为三点共线， 所以，解得，所以. 因为， ， 所以，即. 19. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，则是否存在实数，使得是的充分不必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）解分式不等式，再根据交补运算即可； （2）将问题转化为集合是集合的真子集，即可列不等式求解． 【小问1详解】 解：，解得， ，又，则， 或，； 【小问2详解】 存在， 是的充分不必要条件，集合是集合的真子集， 又，， 故，满足且等号不同时成立，解得， 综上，存在． 20. 已知定义在上的奇函数，且． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，在上单调递增，证明见解析； （2） （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性得到方程，求出，由得到，并用定义法得到在上单调递增； （2）由函数奇偶性和单调性，结合定义域得到不等式组，求出不等式的解集； （3）令，只需，求出，分类讨论得到，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， 故，即，故，， 又，故，解得， 在上单调递增，证明如下： ，任取，且， 故， 因为，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增； 【小问2详解】 为定义在上的奇函数， ， 又在上单调递增，故，解得， 故不等式的解集为； 【小问3详解】 令， 对，恒成立， 故只需， 其中在上单调递增，故， 若，则，满足； 若，在上单调递减， 故，故，解得或（舍去）； 若，在上单调递增， 故，故，解得或（舍去）； 综上，的取值范围是或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $