精品解析：黑龙江绥化市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性考试高一数学试题

绥化一中2025－2026学年度第二学期阶段性考试 高一年级数学学科试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷共58分，第II卷共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 第I卷　选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以解得， 所以，所以， 故选:D. 3. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 4. 在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举反例否定充分性，利用正弦定理并结合题意证明必要性即可. 【详解】对于充分性，设，，显然满足甲， 此时，不是钝角三角形，故充分性不成立； 对于必要性，若是钝角三角形，则，则， 由正弦定理可知，则必要性成立， 即甲是乙的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 6. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 7. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可. 【详解】，，， , 解得或，又， 则，， 故选：B. 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，为非零向量，且，则 D. 若向量，，两两的夹角相等，且，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，可判断A；根据向量数量积运算律可得或判断B；根据向量数量积运算律可得判断C；根据结合题意分类求解判断D. 【详解】对于A，若，满足且，但与也不一定平行，故A错误； 对于B，可化为， 因为，所以或，所以不一定有，故B错误； 对于C，两边平方得，化简可得， 即，所以，故C正确； 对于D，若向量，，两两的夹角相等，则向量，，两两的夹角可以为或， 而， 当向量，，两两的夹角为时， 此时，，， 当向量，，两两的夹角为时， 此时，，， 综上或，故D错误. 10. 若z为复数，则（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数相等的定义即可判断A，举出反例代入计算，即可判断B，由复数的几何意义代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 11. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点是的重心 C. 若，则点的轨迹必过的内心 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算、三角形重心和内心的性质、三角形面积与高的比例关系逐一判断各选项. 【详解】因为，所以， 所以，所以点在射线上，故A错误； 设为中点，则， 代入可得， 即在中线上且，符合重心的性质，故B正确； 分别是与同向的单位向量，二者的和向量沿的角平分线方向， 因为， 即， 所以，所以在的角平分线上， 故的轨迹必过的内心，故C正确； 因为，设，此时， 故在直线上，为上靠近的三等分点， 则到的距离是到距离的. 与同底，面积比等于高的比， 因此，故D正确. 第Ⅱ卷　非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积列式求得圆锥母线长为，然后代入圆锥表面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的母线为，因为底面半径，则，所以， 所以该圆锥的表面积. 故答案为： 13. 已知向量，，其中，若与夹角为钝角，求实数k的取值范围________． 【答案】 【解析】 【详解】已知与夹角为钝角，则且不共线， ，解得； 两向量共线时：，即，解得， 不共线，则， 综上可得，实数k的取值范围是． 14. 已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先通过余弦定理求出的一个内角的余弦值，进而求出正弦值，再利用正弦定理求出外接圆的半径，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出外接球的表面积. 【详解】在中，已知，，， 根据余弦定理可得： 设外接圆的半径为，根据正弦定理， 可得：，则. 因为，所以点在平面上的射影是的外心， 设三棱锥外接球的球心为，半径为，则平面，且，，. 又因为，即， 展开可得：， 移项化简可得，解得. 根据球的表面积公式，可得： . 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非零向量，，且． （1）求x的值； （2）求向量与的夹角； （3）求向量在方向上的投影向量的模． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案. （2）根据向量的夹角公式求解即可. （3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案. 【小问1详解】 已知非零向量，，故， 而，故，解得或， 由于为非零向量，故，故； 【小问2详解】 结合（1）可知，，则， 故， 故向量与的夹角为； 【小问3详解】 向量在方向上的投影向量为，， 故向量在方向上的投影向量的模为. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2），，，点在边上，，求的长． 【答案】（1）## （2） 【解析】 【小问1详解】 由三角形面积公式及余弦定理得： ，化简得：， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以，解得：， 由余弦定理可得： ，解得：， 联立和，解得：， 因为，，，所以, 而，则，， 在中，由余弦定理可得：， 解得，所以的长为. 17. 已知向量，，设函数． （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 【答案】（1）单调递增区间为，，对称轴方程为， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先利用正弦函数的性质求出角，代入余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得， 所以函数的对称轴方程为，. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 因为，所以，则， 所以三角形的面积. 所以三角形的面积为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． （3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. 【小问3详解】 如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【答案】（1），最大值为2. （2） （3）①， ②因为， 所以 ， 故， 先证明充分性：由，得， 即， 所以，故， 所以； 必要性：当时，可得， . 综上，向量的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得得表达式，由辅助角公式化简即可求解； （2）根据向量数量积坐标运算结合三角恒等变换化简，根据“伴随向量”的定义求解； （3）设，，①由新定义结合三角恒等变换化简求得的取值范围；②由题得，则，先证明充分性，再证明必要性. 【小问1详解】 由，得， ， 当且仅当，即时，取得最大值2. 【小问2详解】 由题，可得， 所以函数的“伴随向量”. 【小问3详解】 ①由题，设，， 因为，所以， ， 所以 ， 因为，所以的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化一中2025－2026学年度第二学期阶段性考试 高一年级数学学科试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷共58分，第II卷共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 第I卷　选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 20 C. D. 3. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 6. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，为非零向量，且，则 D. 若向量，，两两的夹角相等，且，，，则 10. 若z为复数，则（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 11. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点是的重心 C. 若，则点的轨迹必过的内心 D. 若，且，则的面积是面积的 第Ⅱ卷　非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为______. 13. 已知向量，，其中，若与夹角为钝角，求实数k的取值范围________． 14. 已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非零向量，，且． （1）求x的值； （2）求向量与的夹角； （3）求向量在方向上的投影向量的模． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2），，，点在边上，，求的长． 17. 已知向量，，设函数． （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． （3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $