专题02 方程（组）与不等式（组）及其应用7大题型（题型专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 方程（组）与不等式（组）及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的实际应用 题型02 二元一次方程组的实际应用 题型03 一元二次方程根与系数的关系的应用 题型04 一元二次方程的实际应用 题型05 分式方程 题型06 分式的方程的实际应用 题型07 解不等式组 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 【典例02】(2026·天津河东区模拟)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，七人步，问人与车各几何?译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?设共有x人，可列方程(    ) A.  = +7 B. -2 = C.  +2 = D.   = -7 【答案】C 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解. 【详解】解：根据题意可得：  +2 = 故选: C. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 方法透视 考向解读 1. 天津中考必考基础题型，以和差倍分、行程、工程、配套、利润、计费等为背景。2. 核心是从文字信息中提炼等量关系，列一元一次方程求解。3. 结果必须检验，舍去不符合实际意义的解。 方法技能 审清题意设未知，找准等量列方程；求解检验两步走，实际意义要把关；行程速度乘时间，工程效率乘工时。根号先算再判断，带 π 一律是无理； 非负非正包含 0，分类看清不丢分。 变式演练 【变式01】（2025·天津·二模）某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程． 设参加“深海探幽”活动的人数为，则参加“九天揽月”活动的人数为，再根据七年级学生共200人列方程即可． 【详解】解：设参加“深海探幽”活动的人数为， ∵参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1， ∴参加“九天揽月”活动的人数为， ∴可列方程为， 故选：B． 【变式02】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（　　） A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26 C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26 【答案】D． 【分析】根据题意可得长方形的宽为（x﹣2）cm，然后利用长方形的周长为26cm列方程即可． 【详解】解：设正方形的边长为xcm，由题意得： 2x+2（x﹣2）＝26， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【变式03】某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（　　） A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x） C． D． 【答案】D． 【分析】设应该安排x天生产桌腿，则安排（10﹣x）天生产桌面，根据每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设应该安排x天生产桌腿，则安排（10﹣x）天生产桌面， 根据题意得：120（10﹣x）， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 【变式04】沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，根据题意得： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型02 二元一次方程组的实际应用 典例引领 【典例01】（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 【典例02】（2025·天津河北·二模）《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y， 则根据题意可列方程组为， 故选：A． 方法透视 考向解读 1. 题目含两个未知量且存在两组等量关系，用方程组建模。2. 常考配套、和差倍分、销售、行程、几何边长等问题。3. 熟练使用代入消元、加减消元法，并检验解的合理性。 方法技能 两个未知设两元，两组等量列方程组；代入加减巧消元，算出结果验实际。 变式演练 【变式01】（2025·天津河西·二模）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个队胜的场数是，负的场数是，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个队胜的场数是，负的场数是， 由题意得，， 故选：． 【变式02】（2025·天津·模拟预测）用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量，桌子比绳子的一半长米．设绳子长米，桌子长米，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际，根据“绳子比桌子长2米”和“桌子比绳子的一半长0.5米”这两个条件，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：由“绳子比桌子长2米”可得；由“桌子比绳子的一半长0.5米”可得， ∴可列方程组为， 故选A． 【变式03】（2025·天津西青·一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用．设共有人，物品价格是钱，根据“如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设共有人，物品价格是钱，根据题意得： ， 故选：A． 【变式04】（2025·天津河北·一模）《九章算术》中有一道题目，“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足，问人数、豕价各几何？”其大意为，几人合资买猪，若每人出钱，则买完猪后，多出钱，若每人出钱，恰好能买到猪．若我们设共人，猪价为钱，那么可以列方程组为（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据题意列方程即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设共人，猪价为钱， 根据题意可得， 故选：A． 题型03 一元二次方程根与系数的关系的应用 典例引领 【典例01】（2025·天津南开·二模）若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．一元二次方程有两根，，则，，然后代入数值进行计算，即可求解， 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， 故选：C． 【典例02】（2025·天津西青·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是一元二次方程的两实数根， ，， ； 故选：A． 方法透视 考向解读 1. 考查韦达定理：x1+x2＝，x1x2＝ 。2. 用于求代数式值、已知一根求另一根、确定参数范围。3. 必须先保证判别式Δ≥0，方程有实根。 方法技能 韦达定理记两式，和积直接代公式；代数式变形凑和积，判别式先验根存在。 变式演练 【变式01】（2025·天津红桥·二模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握二元一次方程中，两根、有如下关系：成为解题的关键． 由根与系数的关系可得，将展开为，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故选A． 【变式02】（2025·天津滨海新区·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后再运用分式的加减运算法则计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 【变式03】（2025·天津和平·一模）（1）解方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．若是方程的一个根，则______，______． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法及根与系数的关系是解题的关键； （1）先对方程进行化简，然后再根据因式分解法可进行求解； （2）把代入方程得出k的值，然后再利用根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：（1） 整理得：， 解得：； （2）把代入方程得：， ∴， ∴原方程为， ∴； 故答案为，． 【变式04】（2025·天津·模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 题型04一元二次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·天津·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 故选：D． 方法透视 考向解读 1. 高频背景：增长率、传播问题、面积、利润、握手 / 互送问题。2. 列方程后严格验根，舍去负根、零根、不合题意的根。3. 掌握四种解法：直接开方、配方、公式、因式分解。 方法技能 增长连续用平方，传播分支要分清；面积边长列等式，利润售价减成本；两根取舍看题意，负根零根要舍去。 变式演练 【变式01】（2024·天津河西·二模）某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（    ） A．10 B．11 C．12 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程增长率问题，熟悉掌握方程的列法是解题的关键． 根据增长率列出方程运算即可． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 【变式02】（2025•长治一模）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为2.4m，宽为1.6m的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为4.16m2．若四周装裱上的边衬的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1.6﹣x）（2.4﹣x）＝4.16 B．（1.6+x）（2.4+x）＝4.16 C．（1.6﹣2x）（2.4﹣2x）＝4.16 D．（1.6+2x）（2.4+2x）＝4.16 【答案】D 【分析】根据装裱后整幅画的面积为4.16m2列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵该画作是一个长为2.4m，宽为1.6m的矩形，装裱后整幅画的面积为4.16m2，四周装裱上的边衬的宽度为x m， ∴（1.6+2x）（2.4+2x）＝4.16， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 【变式03】（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 【变式04】（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 题型05 分式方程 典例引领 【典例01】（2023·甘肃兰州·中考真题）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得解． 【详解】解：去分母得：， 解得， 经检验是分式方程的解． 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【典例02】（2025·天津·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将方程进行求解，然后利用列出方程即可求出的范围．本题考查分式方程的解，解题的关键是求出的表达式以及限制条件，本题属于中等题型． 【详解】解：去分母可得： ， ， 又， ， 或8， 的范围为：且， 故选：D． 方法透视 考向解读 1. 分母含未知数，必须化为整式方程求解。2. 必考检验，使分母为 0 的是增根，必须舍去。3. 常考：直接求解、含参问题、增根与无解判断。 方法技能 分母先找最简公，两边同乘去分母；整式求解不马虎，代入分母验增根。 变式演练 【变式01】（2025·天津红桥·二模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故选：． 【变式02】（2025•朔州模拟）解方程：． 【答案】x＝﹣3 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：2+x（x+1）＝x2﹣1， 去括号得：2+x2+x＝x2﹣1， 移项，合并同类项得：x＝﹣3， 检验：把x＝﹣3代入（x+1）（x﹣1）得：（﹣3+1）×（﹣3﹣1）＝8≠0， 故x＝﹣3是原方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，实数的运算，零指数幂，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． 【变式03】（2025·天津·模拟）如果关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】 解：去分母得： 解得． 当分母，即时方程无解， ． 时方程无解． 故选∶ A． 【变式04】（2025·天津·模拟）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解分式方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．先按照解分式方程的一般步骤解方程，求出，根据分式方程有正整数解，得到，且为奇数，，然后解一元一次不等式组，再根据不等式组有且只有3个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，最后再求出符合条件的所有整数a，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∵关于x的方程有正整数解， ∴，且为整数，， ∴，为2的整数倍，， ∴，且为奇数，， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， ∴， ∴符合条件的所有整数a为或， ∴符合条件的所有整数a的和为：， 故选：A． 题型06 分式方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·天津河东·二模）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据顺流速度等于船速加水速，逆流速度等于船速减水速，结合以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 方法透视 考向解读 1. 常考工程、行程、销售、浓度、工作量等分式建模问题。2. 步骤：设元→列分式方程→求解→双重检验（方程根 + 实际意义）。3. 注意单位统一、量与量对应。 方法技能 实际问题找等量，分式列式要对应；解完先验方程根，再看是否合题意。 变式演练 【变式01】（2025·天津河西·一模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 【变式02】某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为x元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：； 故选：C． 【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程，理解题意列出方程是关键． 【变式02】（2025•天镇县模拟）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一．甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【变式03】佛山是国内首个被授予“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素．已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为20km，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的1.2倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟，若设B队的平均速度是x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据“最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟”列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程，难度不大． 题型07 解不等式组 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【详解】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【典例02】（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 方法透视 考向解读 1. 分别解每个不等式，取公共部分为解集。2. 会用数轴表示，口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解。3. 乘除负数时，不等号方向必须改变。 方法技能 分别求解画数轴，公共部分定解集；乘负除负变方向，等号实心无等空。 变式演练 【变式01】（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示不等式和不等式组的解集等知识点，正确求得各不等式的解集成为解题的关键． （1）由一元一次不等式的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）由一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （3）由不等式在数轴上的表示方法直接作图即可得到答案； （4）由不等式组解集求法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解求出不等式组解集即可得到答案． 【详解】（1）解：． 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 故答案为：； （2）解：， 移项得， 合并同类项得， ， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示： （4）解：由（3）中所画数轴可知，原不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式02】（2025·天津南开·三模）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，根据解不等式的步骤分别算出两个不等式的解集，再把解集表示在数轴上，进而得到结果，也可以运用“同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大区中间”验证结果的正确性． 【详解】（1）解：移项得：， 化简得： ， 故答案为：； （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）解： 故答案为∶ 【变式03】（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． （1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据不等式的性质即可求解； （3）根据不等式在数轴上的表示方法即可求解； （4）根据数轴上的公共解集即可求解． 【详解】（1）解：解不等式①，得； 故答案为： （2）解：解不等式②，得； 故答案为： （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为： 【变式04】（2025·天津西青·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组，分别求出两个不等式中的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交点，则不等式组无解． 求一元一次不等式组的解，一般要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集： 题●型●训●练 1．（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程，找到两个根即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 故方程的两个根为，． 故选：A． 2．（2025·天津河西·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·天津红桥·一模）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．由可得出，把代入①即可得出x的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 故选：C． 4．（2025·天津·模拟预测）古代数学题：“一些人共同买鸡，如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱，问人数和鸡的价格各是多少？”设人数为，鸡的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，根据如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱列方程组即可． 【详解】解：每人出9钱的情况得到，每人出6钱的情况得到， 所以方程组为， 故选B． 5．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 6．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 7．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 8．（2025·天津·二模）方程的根为，则的值为（　　） A． B．15 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，先利用根与系数的关系得到，，再计算得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵方程的根为， ∴，， ∴． 故选：D． 9．（2025·天津红桥·一模）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据，代入数值计算，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_________； (2)解不等式②，得_________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可 （3）根据（1）（2）所求在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）根据（3）所求即可得到答案． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （3）解：数轴表示如下所示： （4）解：由（3）可得原不等式组的解集为． 11．（2025·天津红桥·二模）解不等式． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集、解不等式组等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）直接根据移项、合并同类项并运用不等式的性质系数化为1即可解答； （2）直接根据移项、合并同类项并运用不等式的性质系数化为1即可解答； （3）直接将两不等式的解集在数轴上表示出来即可； （4）根据（3）的数轴直接写出解集即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）由（3）的数轴可得：该不等式组的解集为：． 12．（2025·天津·模拟）解不等式组和方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式解集的公共部分即可； （2）先去分母，再解整式方程，再检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：； （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 所以原方程的解为：. 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，掌握“解不等式组的步骤与解分式方程的步骤”是解本题的关键． 13．（2025·天津·模拟）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的两根为，， 根据根与系数的关系，得， ∴， 即方程的另一个实数根为2． 14．（2025·天津东丽·模拟预测）（1）解一元二次方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ①求k的取值范围； ②若，求k的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程判别式的意义及根与系数的关系； （1）方程整理后，利用公式法求解即可； （2）①由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可；②利用根与系数的关系得出，求出k并舍去不合题意的值即可． 【详解】解：（1）移项整理得：， ， ∴， 解得：，； （2）①∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：； ②∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴， 解得：或， 又∵， ∴． 15．（2025·天津·模拟）我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元，根据题意列方程得，解方程即可得到答案； （2）根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元， 根据题意列方程得， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元； （2）解：根据题意得 解得：或 ， 不符合题意，舍去， 的值为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02方程（组）与不等式（组）及其应用 内●容●导●航 第一部分题型破译微观解剖，精细教学 白典例引领怎方法透视 自变式演练 题型01一元一次方程的实际应用 题型02二元一次方程组的实际应用 题型03一元二次方程根与系数的关系的应用 题型04一元二次方程的实际应用 题型05分式方程 题型06分式的方程的实际应用 题型07解不等式组 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 。题型01一元一次方程的实际应用剩 ◆典例引领◆ 【典例01】(2025天津中考真题)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日 行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马 每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上 慢马，则可以列出的方程为() 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12) C.150x=240(x+12） D.150x=240(x-12） 【典例02】(2026天津河东区模拟)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共 车，七人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共 乘一车，最终剩余7个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有×人，可列方程() 3 2 3 2 32 《◇方法透视 考向 1. 天津中考必考基础题型，以和差倍分、行程、工程、配套、利润、计费等为背 解读 景。2.核心是从文字信息中提炼等量关系，列一元一次方程求解。3.结果必须检 验，舍去不符合实际意义的解。 方法 审清题意设未知，找准等量列方程；求解检验两步走，实际意义要把关；行程速度乘 技能 时间，工程效率乘工时。根号先算再判断，带π一律是无理： 非负非正包含0，分类看清不丢分。 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025天津.二模)某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽 月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设 参加“深海探幽”活动的人数为X,可列方程为() A.X+2x+1=200 B.X+2x-1=200 c.+号x+1=20 0.+号x-1=20 【变式02】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）·若长方形的周长为 26cm,求正方形的边长.设正方形的边长为xcm,可列方程为() 2/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x+(x+2)=26 B.2x+2(x+2)=26 C.x+(x-2)=26 D.2x+2(x-2)=26 【变式03】某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产 720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方 程() A.4×720x=120(10-x) B.720x=120(10-x) c 720(10-x=120x D.720x=120(10-x) 4 4 【变式04】沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河一一洪渡古镇的乌江 水上旅游航线，己知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆 流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时3，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡 古镇两码头间距离为xm,则所列方程为（) A.2 +3= 3 B登9 C.芝3=+3D.+3=登-3 3 3 题型02二元一次方程组的实际应用 ◆典例引领◆ 【典例01】(2024天津中考真题)《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木， 不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根 长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y 尺，则可以列出的方程组为() y-x=4.5 A. B. y-x=4.5 x-0.5y=1 x+0.5y=1 C. x+y=4.5 x+y=4.5 x-y=1 D.y-x=1 【典例02】(2025·天津河北二模)《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二 人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十.问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、 乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80。如果乙得到甲所有钱的乙 ,那么乙 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 也共有钱80.若设甲、乙原本各持钱x、y,则根据题意可列方程组为() 1 2y=80 X+ x+y=80 1 X+ y=80 x+y=80 2 A. D. .2 2 y+ x=80 3 y+x=80 3 y+x=80 3 3y+x=80 ◇方法透视 考向 1. 题目含两个未知量且存在两组等量关系，用方程组建模。2.常考配套、和差倍分、 解读 销售、行程、几何边长等问题。3.熟练使用代入消元、加减消元法，并检验解的合理 性。 方法 两个未知设两元，两组等量列方程组：代入加减巧消元，算出结果验实际。 技能 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025天津河西二模)在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负.每队胜一场得2分，负一场得 1分.某队在10场比赛中得到了16分.那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是x,负的 场数是y,则可以列出的方程组为() x+y=10 B. x+y=10 2x+y=16 2x-y=16 x+2y=10 D. x+y=10 C. 2x+y=16 2y-x=16 【变式02】(2025·天津模拟预测)用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量， 桌子比绳子的一半长0.5米.设绳子长y米，桌子长x米，可列方程组为() A.i B. C. D. 【变式03】(2025·天津西青.一模)我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个 问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共 同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这 件物品价格是多少？设共有x人，物品价格是y钱，则可以列出的方程组为() A. 8x-y=3 8x-y=3 y-7x=4 B. x-7y=4 C. x-8y=3 y-7x=4 o8到 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式04】(2025天津河北一模)《九章算术》中有一道题目，“今有共买豕，人出一百，盈一百：人 出九十，适足，问人数、豕价各几何？”其大意为，几人合资买猪，若每人出100钱，则买完猪后，多出 100钱，若每人出90钱，恰好能买到猪.若我们设共x人，猪价为y钱，那么可以列方程组为() A. 100x-=100lg.y-100xX=100lc.y-90x=1001 IC. D. 90x-y=100 y=90x y=90x y=100x/ y=100x 。题型03一元二次方程根与系数的关系的应用《 ◆典例引领◆ 【典例01】(2025天津南开.二模)若a,b是方程x2-2025x+1=0的两个实数根，则下列结论正确的是（ A.a+b= 2025 B.a+b=-2025 2 C.ab=1 D.ab=-1 【典例02】(2025·天津西青.一模)设方程2x+4x+6=0的两实数根为X1,X2,则x1+X2+X1X2的值为 () A.1 B.2 C.-1 D.5 《◇方法透视 考向 、、6 解读 1.考查韦达定理：x1+x2= ，x12= 。2.用于求代数式值、已知一根求另一根、 确定参数范围。3.必须先保证判别式△≥0，方程有实根。 方法 韦达定理记两式，和积直接代公式；代数式变形凑和积，判别式先验根存在。 技能 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025天津红桥.二模)若一元二次方程X+-3=0的两个根分别为xx则x+1川X+1 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值为() A.-3 B.-1 C.3 D.5 (2025天津滨海新区。模)若X,X是方程X2-3X-5=0的两个根，则子+的值为() 1 【变式02】 X1 X A.、3 5 c.g 5 D.-3 【变式03】(2025·天津和平.一模)(1)解方程：xx-1=3x+5; (2)已知关于x的一元二次方程3x2-2x+k=0有两个不相等的实数根.若-1是方程的一个根，则 X+X2=6,X1X2=6。 【变式04】(2025·天津模拟)己知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等实数根. (1)求实数m的取值范围： (2)若x1,X2是该方程的两个根，且满足x1X2+X1+X2=m+6,求m的值. 。题型04一元二次方程的实际应用 ◆典例引领◆ 【典例01】(2025天津.二模)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天 不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每 天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x,根据题意可列 方程为() A.1-x2=号 8.1+x-号 c.1*xf=1 0.1-x=号 《◇方法透视 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考向 1.高频背景：增长率、传播问题、面积、利润、握手/互送问题。2.列方程后严格 解读 验根，舍去负根、零根、不合题意的根。3.掌握四种解法：直接开方、配方、公式、 因式分解。 方法 增长连续用平方，传播分支要分清；面积边长列等式，利润售价减成本；两根取舍看 技能 题意，负根零根要舍去。 ◆变式演练· 【变式01】(2024天津河西.二模)某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元， 则x为() A.10 B.11 C.12 D.20 【变式02】(2025长治一模)《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王 希孟所作.图1是《千里江山图》的一幅局部临墓画作，该画作是一个长为2.4m,宽为1.6m的矩形.将 该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为4.16m2.若四周装裱上的边衬的宽 度为xm,则下面所列方程正确的是() 图1 图2 A.(1.6-x)(2.4-x)=4.16 B.(1.6+x)(2.4+x)=4.16 C.(1.6-2x)(2.4-2x)=4.16 D.(1.6+2x)(2.4+2x)=4.16 【变式03】(2025·天津红桥.二模)如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD,其中一边AB是墙，且AB 的长不超过21m,E,F分别为边AB,CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF,FC上分 别留出两个宽为1的小门.若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43，有下列结论： ①AD的长可以是10m: ②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m: ③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m· 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中，正确结论的个数是() B DimimC A.0 B.1 C.2 D.3 【变式04】(2025·天津河东二糢)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm,BC=24mm,动点 P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移 动，如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发，设出发时间为tS.有下列结论：①当t=2s时， PQ=82mm:②△PBQ的面积可以为35mm2;③t=1s时的四边形APQC的面积大于t=5s时的四边 形APQC的面积.其中，正确结论的是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型05分式方程剩 ◆典例引领◆ 【典例01】 （2023甘肃兰州中考现题)方程7不3=1的解是() A.X=1 B.X=-1 C.x=5 D.X=-5 【典例02】(2025·天津.二模)若关于x的方程 戈-，m,=1的解为正数，则m的取值范围是（ x-2x2-4 A.m<4 B.m>4 C.m<4且m≠0 D.m>4且m≠8 《◇方法透视 考向 1.分母含未知数，必须化为整式方程求解。2.必考检验，使分母为0的是增根，必须 解读 舍去。3.常考：直接求解、含参问题、增根与无解判断。 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法 分母先找最简公，两边同乘去分母：整式求解不马虎，代入分母验增根。 技能 ◆变式演练◆ 【变式01)(2025天津红桥二模)分式方程2，+3=)-X的解为() X-2 2-X A.X=-4 B.X= 3 C.X= 2 D.x=6 4 【变式02】(2025朔州模拟)解方程： 42+ 【变式03】(2025天津模拟)如果关于x的分式方程、× 一无解，则a的值为() 4- A.-4 B. 2 C.2 D.-2 【变武04】（2025天津·模拟）若关于x的方程号子+3=写8x有正整数解，且关于x的不等式短 x-3 2(x+2)≤9+3x 8x+17<a 有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为() A.-4 B.-9 C.-16 D.-21 题型06分式方程的实际应用、 ◆典例引领◆ 【典例01】(2025天津河东.二模)一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航 行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60k所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为 vkm/h,则可列分式方程为() 90 60 B. 60-90 90._60 90-60 A. C. 30+y30-v 30+v30-v VV-30 0: 30+VV 《◇方法透视 考向1.常考工程、行程、销售、浓度、工作量等分式建模问题。2.步骤：设元→列分式 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解读 方程→求解一双重检验（方程根+实际意义）。3.注意单位统一、量与量对应。 方法 实际问题找等量，分式列式要对应：解完先验方程根，再看是否合题意。 技能 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025·天津河西.一模)为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已 知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用 的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.若设乙组每小时包X个粽子，可列出关于x的 方程为() 150=120B. 150_120 A. c.150-120 D.150-120 x+20x X-20x XX+20 xx-20 【变式02】某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售.当这种衬衣每件降价20元时，降 价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同.设这种衬衣每件原价为x元，则下列方程正确的是 () 600480 A. X-20x B. 600480 XX+20 C. 600_480 600_480 D. XX-20 X+20X 【变式02】(2025·天镇县模拟)新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一. 甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10 天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.设乙队单独完成此项任务需要x天，则可 列方程为() 4. 45-30 5-30 Xx+10 B.- +10x C. 4530 45-30 D. xx-10 X-10x 【变式03】佛山是国内首个被授予“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙 10/16