专题03 方程与不等式（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 方程与不等式（原卷版） 考点1 实际问题与一元一次方程 一、单选题 1．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 考点2 二元一次方程组 1．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 考点3 解一元二次方程 一、单选题 1．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 考点4 实际问题与一元二次方程 1．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点5 解一元一次不等式组 1．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 2．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 3．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 4．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 5．（2021·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为___________． 一、单选题 1．（2025·天津红桥·一模）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津河西·二模）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·模拟预测）用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量，桌子比绳子的一半长米．设绳子长米，桌子长米，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津河北·二模）《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津滨海新·二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津河西·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两、问牛、羊各直金几何？”意思是：假设头牛、只羊，共值金两；头牛、只羊，共值金两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金两和两，可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·天津西青·一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津·一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·天津河北·一模）《九章算术》中有一道题目，“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足，问人数、豕价各几何？”其大意为，几人合资买猪，若每人出钱，则买完猪后，多出钱，若每人出钱，恰好能买到猪．若我们设共人，猪价为钱，那么可以列方程组为（　　） A． B． C． D． 12．（2025·天津·模拟预测）古代数学题：“一些人共同买鸡，如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱，问人数和鸡的价格各是多少？”设人数为，鸡的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·天津·模拟预测）小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·天津河西·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 15．（2025·天津南开·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 16．（2025·天津·模拟预测）方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 17．（2025·天津南开·二模）若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025·天津西青·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 19．（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·天津河东·二模）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·天津红桥·二模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·天津河西·一模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 25．（2025·天津南开·二模）在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出一个球，取出红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 三、解答题 26．（2025·天津红桥·二模）已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 27．（2025·天津河北·二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 28．（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 29．（2025·天津和平·二模）已知张华的家、体育场、图书馆依次在同一条直线上，体育场离家．张华从家出发，先匀速跑步到达体育场，在体育场锻炼了，之后以的速度匀速步行到图书馆，在图书馆停留了后，再匀速骑行返家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间/ 2 15 40 92 张华离家的距离 ②填空：张华从家跑步去体育馆途中，跑步的平均速度为_______； ③填空：的值为_______； ④当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开体育馆时，同学李津也从体育馆出发匀速骑行直接到达图书馆，那么从体育馆到图书馆的途中两人相遇时离张华家的距离是多少？（直接写出结果即可） 30．（2025·天津·一模）《龟兔赛跑》是一则广为人知的寓言故事，某兴趣小组对“龟兔赛跑”进行故事新编，塑造了一只知错能改的兔子和一只坚持不懈的乌龟．新故事中兔子和乌龟在一条直线形的跑道上进行折返跑，兔子和乌龟同时从始点出发，兔子从始点匀速跑了，在距始点处发现乌龟已落后，就开始骄傲的睡了，醒来后发现乌龟已超过它，于是加快追赶，匀速跑了到达处的折返点时，还是比乌龟到达折返点晚了，小兔子认识到错误，立即返程，匀速跑了返回始点，下图中表示时间，表示离始点的距离，图象反映了这个过程中兔子离始点的距离和时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 450 ②填空：兔子从折返点返回始点的速度为_____________； ③当时，请直接写出兔子离始点的距离关于时间的函数解析式； (2)乌龟从始点匀速跑了到达折返点后，立即返程，又匀速跑了返回始点，以自己不懈的努力跑完全程．从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是多少？（直接写出结果即可） 31．（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 32．（2025·天津河北·一模）已知小华一家结束了假期家庭旅游，准备沿馆直的公路驾驶两辆私家车承载参与旅行的所有家庭成员由景区旅店返回家中，小华和小华的妈妈分别驾驶两车，同时出发、其中，小华驾车出发后，匀速行驶了一段时间，发现遗忘了某件物品在旅店中，随即调头匀速驶向旅店，途中在路旁的加油站加油，再匀速行驶，到达旅店，在工作人员的帮助下进行寻找，并找到了遗失的物品，之后驱车匀速回到家中．下面图中x表示时间，y表示小华所驾驶的私家车离家的距离．图象反映了这个过程中小华所驾驶的私家车离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 1.2 1.6 2 2.6 距离 70 ②填空：小华加油用了______h； ③当时，请直接写出小华驾驶的私家车离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妈妈匀速驾驶另一辆私家车返回家中，比小华早到家1.2h，小华的妈妈驾车回家过程中，与调头驶往旅店的小华所驾驶的车辆相遇时，妈妈已经驾车行驶了多少小时（直接写出结果即可）？ 33．（2025·天津河西·一模）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为，乙、丙码头之间的距离为．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离与时间之间的对应关系． (1)①根据题中所给信息，图中的值为 ，的值为 ； ②填表： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 (2)请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离关于时间的函数解析式； (3)在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可） 34．（2025·天津和平·一模）（1）解方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．若是方程的一个根，则______，______． 35．（2025·天津南开·三模）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 36．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_________； (2)解不等式②，得_________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______________． 37．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 38．（2025·天津红桥·三模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_____； (2)解不等式②，得_____； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____． 39．（2025·天津河西·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 40．（2025·天津南开·二模）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 41．（2025·天津河东·二模）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 42．（2025·天津红桥·二模）解不等式． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 43．（2025·天津·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 44．（2025·天津河北·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 45．（2025·天津西青·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______________； (2)解不等式②，得______________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______________． 46．（2025·天津滨海新·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 47．（2025·天津滨海新·一模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________： (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 48．（2025·天津西青·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 49．（2025·天津·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得______________； (2)解不等式，得______________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 50．（2025·天津红桥·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 51．（2025·天津东丽·模拟预测）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 52．（2025·天津河北·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 53．（2025·天津河西·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ； （II）解不等式②，得 ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ． 54．（2025·天津滨海新·模拟预测）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 55．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_________； (2)解不等式②，得_________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 56．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得_________； （2）解不等式，得_________； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______________． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式（解析版） 考点1 实际问题与一元一次方程 一、单选题 1．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 二、解答题 2．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③； (2) 【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可． 【详解】（1）①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 故答案为：0.12，1.2，0.6； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：0.06； 当时， ； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的， ∴ 解得， 当时，， 所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 考点2 二元一次方程组 1．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 2．（2021·天津·中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可． 【详解】， ②-①得：，即， ∴． 将代入①得：， ∴． 故原二元一次方程组的解为． 故选B． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键． 考点3 解一元二次方程 一、单选题 1．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 2．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 3．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， ， ，即，得出，故①正确； ， 对称轴， ， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确； ， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解． 4．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将进行因式分解，，计算出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 二、解答题 5．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为 【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案 （Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案； （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案． 【详解】（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线的顶点坐标为； （Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为： 当时， ∴抛物线的顶点D的坐标为； 过点D作轴于点G 在中，，， ∴ 在中，，， ∴． ∵，即， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为或． （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得． 作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为 当满足条件的点M落在线段上时，最小， 此时，． 过点作轴于点H 在中，，， ∴． 又，即． 解得：，（舍） ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴直线的解析式为． 当时，． ∴， ∴点M的坐标为，点N的坐标为． 考点4 实际问题与一元二次方程 1．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 考点5 解一元一次不等式组 1．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【详解】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 2．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 3．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果； （2）通过移项直接求出结果； （3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可； （4）根据数轴得出原不等式组的解集． 【详解】（1）解：移项得： 解得： 故答案为：； （2）移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）所以原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 5．（2021·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为___________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答． 【详解】（Ⅰ）解不等式，得：． 故答案为：； （Ⅱ）解不等式，得：． 故答案为：； （Ⅲ）在数轴上表示为： ； （Ⅳ）原不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键． 一、单选题 1．（2025·天津红桥·一模）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．由可得出，把代入①即可得出x的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 故选：C． 2．（2025·天津·二模）某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程． 设参加“深海探幽”活动的人数为，则参加“九天揽月”活动的人数为，再根据七年级学生共200人列方程即可． 【详解】解：设参加“深海探幽”活动的人数为， ∵参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1， ∴参加“九天揽月”活动的人数为， ∴可列方程为， 故选：B． 3．（2025·天津河西·二模）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜一场得分，负一场得分．某队在场比赛中得到了分．那这个队的胜负场数分别是多少呢？设这个队胜的场数是，负的场数是，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个队胜的场数是，负的场数是，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个队胜的场数是，负的场数是， 由题意得，， 故选：． 4．（2025·天津·模拟预测）用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量，桌子比绳子的一半长米．设绳子长米，桌子长米，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际，根据“绳子比桌子长2米”和“桌子比绳子的一半长0.5米”这两个条件，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：由“绳子比桌子长2米”可得；由“桌子比绳子的一半长0.5米”可得， ∴可列方程组为， 故选A． 5．（2025·天津河北·二模）《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y， 则根据题意可列方程组为， 故选：A． 6．（2025·天津滨海新·二模）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．设李三公家的店有个房间，来了位客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人， 若每间住人，则余下人无房可住，则， 若每间住人，则余下一间无人住，则， ， 故选：C． 7．（2025·天津河西·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两、问牛、羊各直金几何？”意思是：假设头牛、只羊，共值金两；头牛、只羊，共值金两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金两和两，可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，设每头牛和每只羊分别值金两和两，由题意列出方程即可，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每头牛和每只羊分别值金两和两， 由题意得，， 故选：． 8．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 9．（2025·天津西青·一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用．设共有人，物品价格是钱，根据“如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设共有人，物品价格是钱，根据题意得： ， 故选：A． 10．（2025·天津·一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 11．（2025·天津河北·一模）《九章算术》中有一道题目，“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足，问人数、豕价各几何？”其大意为，几人合资买猪，若每人出钱，则买完猪后，多出钱，若每人出钱，恰好能买到猪．若我们设共人，猪价为钱，那么可以列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据题意列方程即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设共人，猪价为钱， 根据题意可得， 故选：A． 12．（2025·天津·模拟预测）古代数学题：“一些人共同买鸡，如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱，问人数和鸡的价格各是多少？”设人数为，鸡的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，根据如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱列方程组即可． 【详解】解：每人出9钱的情况得到，每人出6钱的情况得到， 所以方程组为， 故选B． 13．（2025·天津·模拟预测）小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的运用，重点在于理解实际问题中的数量关系，将其转化为数学语言即方程组． 根据买铅笔和笔记本的总花费以及笔记本数量与铅笔数量的关系列出方程组． 【详解】解：买支铅笔花费元，买本笔记本花费元，一共花10元， ； 又∵笔记本数量比铅笔数量的倍少本， ∴， ∴方程组为， 故选：A． 14．（2025·天津河西·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 15．（2025·天津南开·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；先由根的判别式求出c的值，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 即方程为； 由根与系数的关系知，两根之积为为9． 故选：C． 16．（2025·天津·模拟预测）方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 17．（2025·天津南开·二模）若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．一元二次方程有两根，，则，，然后代入数值进行计算，即可求解， 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， 故选：C． 18．（2025·天津西青·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是一元二次方程的两实数根， ，， ； 故选：A． 19．（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，通过抛物线经过点，对称轴为直线，可确定的关系，可判断①，由，根据，确定的范围，可判断②，当一元二次方程有两个相等的实数根时，，解得或，与题意不符，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， 当一元二次方程有两个相等的实数根时，， 解得：或， ∵， ∴一元二次方程没有两个相等的实数根，故③不符合题意， 综上，符合题意的有，共个， 故选：B． 20．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用． ①根据题意列出函数关系式即可； ②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论． 【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 21．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 22．（2025·天津河东·二模）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据顺流速度等于船速加水速，逆流速度等于船速减水速，结合以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 23．（2025·天津红桥·二模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故选：． 24．（2025·天津河西·一模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 二、填空题 25．（2025·天津南开·二模）在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出一个球，取出红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了概率公式的应用．设有白球x个，根据概率公式得：，解得x的值即可． 【详解】解：设有白球x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：8． 三、解答题 26．（2025·天津红桥·二模）已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1，2，；②；③ (2)． 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、求函数的解析式、列一元一次方程解决实际问题、一次函数的应用等知识点，准确理解题意并正确列出函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象作答即可；②根据图象，由李明从超市到宿舍的距离除以时间即可解答；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店可得张杰的速度为，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 1 2 2 故答案为：1，2，． ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：； ③当时，由函数图象可得：； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴； 综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式． （2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为． 当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t， 当时，，他们没有相遇， 当时，，解得：（符合题意）， 当时，． 所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是． 27．（2025·天津河北·二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家，文化中心离家，李明从家出发，先匀速步行了到健身园，在健身园停留了，之后匀速步行了到文化中心，在文化中心停留了后，再匀速骑行返回家，下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 3 7 12 21 距离 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为_____； ③当时，请直接写出李明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当李明离开家时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行回到家中，那么李明从文化中心回家途中（）两人相遇时离家的距离是多少（直接写出结果即可）？ 【答案】(1)①，，2；②；③当时，；当时，； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题，一元一次方程与行程问题，理解函数图象，正确列式，求解函数解析式是关键． （1）①根据图示可得李明的速度，由行程的数量关系即可求解；②结合图示，运用行程的数量关系计算即可；③结合图示，运用待定系数法即可求解； （2）分别算出李明回家的速度，李明的爸爸回家的速度，设李明走了追到，即两人相遇，由此列式得到相遇时间，根据行程的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：①健身园离家，匀速步行了到健身园， ∴李明的速度为， ∴当时间为的距离为， ∵在健身园停留了， ∴当时间为的距离为， ∵之后匀速步行了到文化中心，即时间为时，李明到了文化中心，并在文化中心停留了， ∴当时间为的距离为， ∴填表如下， 时间 距离 ②李明从健身园步行到文化中心的速度为， 故答案为：； ③当时，设距离关于时间的函数解析式为，把点代入解析式得 ， ， 解得，， ∴， 当时，距离的值不变， ∴； （2）解：当李明离开家时，李明距家的距离为，此时李明的爸爸从文化中心回家，用时， ∴李明的爸爸的速度为， ∵李明用时回到家， ∴李明的速度为， 设李明走了追到，即两人相遇， ∴， 解得，， ∴当时，两人相遇， ∴李明走了， ∴两人相遇时离家的距离是． 28．（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①，，；②120；③；④当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可； ②运用时间相减即可作答； ③根据路程除以时间等于速度，即可作答． ④根据函数图象得当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，运用待定系数法进行作答即可． （2）先由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，得到当小明离开科技馆时，小明已经走了，再设小华和小明相遇时，小华走了分钟，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据函数图像， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为； 故答案为：，，； ② ∴小明在科技馆参观学习花费的时间为； 故答案为：120； ③ ∴小明从科技馆返回家的速度为； 故答案为：； ④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为， 依题意，把，代入得， ， 解得， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； （2）解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为， 当小明离开科技馆时，小明已经走了， 设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为， ∴， 解得， 则， ∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是． 29．（2025·天津和平·二模）已知张华的家、体育场、图书馆依次在同一条直线上，体育场离家．张华从家出发，先匀速跑步到达体育场，在体育场锻炼了，之后以的速度匀速步行到图书馆，在图书馆停留了后，再匀速骑行返家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间/ 2 15 40 92 张华离家的距离 ②填空：张华从家跑步去体育馆途中，跑步的平均速度为_______； ③填空：的值为_______； ④当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开体育馆时，同学李津也从体育馆出发匀速骑行直接到达图书馆，那么从体育馆到图书馆的途中两人相遇时离张华家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①见解析；②；③4；④ (2) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）①先求出a的值，再分别求出和这两个时间段张华的速度，进而求出和时y的值即可得到答案；②由①可得答案；③由②可得答案；④根据路程等于速度乘以时间，结合函数图象求解即可； （2）相遇时张华离家的距离为，李津离张华家的距离为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵张华以的速度匀速步行到图书馆， ∴， 由函数图象可知，当，张华的速度为， 当时，张华的速度为， ∴当时，，当时，， 填表如下： 张华离开家的时间/min 2 15 40 92 张华离家的距离 3 ②由①可知张华从家跑步去体育馆途中，跑步的平均速度为； ③由①可得； ④当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解：由题意得，， 解得， ∴， 答：从体育馆到图书馆的途中两人相遇时离张华家的距离是． 30．（2025·天津·一模）《龟兔赛跑》是一则广为人知的寓言故事，某兴趣小组对“龟兔赛跑”进行故事新编，塑造了一只知错能改的兔子和一只坚持不懈的乌龟．新故事中兔子和乌龟在一条直线形的跑道上进行折返跑，兔子和乌龟同时从始点出发，兔子从始点匀速跑了，在距始点处发现乌龟已落后，就开始骄傲的睡了，醒来后发现乌龟已超过它，于是加快追赶，匀速跑了到达处的折返点时，还是比乌龟到达折返点晚了，小兔子认识到错误，立即返程，匀速跑了返回始点，下图中表示时间，表示离始点的距离，图象反映了这个过程中兔子离始点的距离和时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 450 ②填空：兔子从折返点返回始点的速度为_____________； ③当时，请直接写出兔子离始点的距离关于时间的函数解析式； (2)乌龟从始点匀速跑了到达折返点后，立即返程，又匀速跑了返回始点，以自己不懈的努力跑完全程．从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①见解析；②225；③ (2) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的意义，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）①分别求出前3分钟和第43分钟到第46分钟兔子的速度，进而根据函数图象求出第1分钟和第45分钟兔子与始点的距离即可得到答案；②根据速度等于路程除以时间结合函数图象求解即可；分，，，三种情况讨论求解； （2）设从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是，根据兔子追上乌龟时二者从折返点开始所走的路程相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解；①∵前3分钟，兔子匀速跑了， ∴前3分钟，兔子的速度为， ∴第1分钟时，兔子的路程为； 由函数图象可知，第35分钟时，兔子在睡觉，此时与始点距离； ∵第43分钟到第46分钟，兔子匀速跑了到达处的折返点，即兔子3分钟的路程为， ∴此过程兔子的速度为， ∴第45分钟兔子与始点距离； 填表如下： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 150 450 450 1050 ②， ∴兔子从折返点返回始点的速度为； ③当时，， 当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解：设从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是， 由题意得，， 解得， 答：从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是． 31．（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 32．（2025·天津河北·一模）已知小华一家结束了假期家庭旅游，准备沿馆直的公路驾驶两辆私家车承载参与旅行的所有家庭成员由景区旅店返回家中，小华和小华的妈妈分别驾驶两车，同时出发、其中，小华驾车出发后，匀速行驶了一段时间，发现遗忘了某件物品在旅店中，随即调头匀速驶向旅店，途中在路旁的加油站加油，再匀速行驶，到达旅店，在工作人员的帮助下进行寻找，并找到了遗失的物品，之后驱车匀速回到家中．下面图中x表示时间，y表示小华所驾驶的私家车离家的距离．图象反映了这个过程中小华所驾驶的私家车离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 时间 1.2 1.6 2 2.6 距离 70 ②填空：小华加油用了______h； ③当时，请直接写出小华驾驶的私家车离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妈妈匀速驾驶另一辆私家车返回家中，比小华早到家1.2h，小华的妈妈驾车回家过程中，与调头驶往旅店的小华所驾驶的车辆相遇时，妈妈已经驾车行驶了多少小时（直接写出结果即可）？ 【答案】(1)①30，85，100；②0.2；③ (2)妈妈已经驾车行驶了1.4小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂图象是解题的关键． （1）①由函数图象填表即可；②根据时，离家距离不变，可求加油时间；③在当时是分段函数，当时，，当时，运用待定系数法求解； （2）先求出妈妈的速度为，设妈妈已经驾车行驶了小时，建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：①由图象可得，行驶，离家； 行驶离家：； 行驶，离家； 故答案为：30，85，100； ②由图象可得，时，离家距离不变，故加油时间为， 故答案为：0.2； ③当时，； 当时，设函数关系式为， 代入得： 解得：， ∴解析式为：， ∴ （2）解：设妈妈已经驾车行驶了小时， 由题意得，， 解得：， 答：妈妈已经驾车行驶了1.4小时． 33．（2025·天津河西·一模）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为，乙、丙码头之间的距离为．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离与时间之间的对应关系． (1)①根据题中所给信息，图中的值为 ，的值为 ； ②填表： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 (2)请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离关于时间的函数解析式； (3)在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；；②填表见解析 (2) (3)货轮在行驶途中能遇到游轮，相遇地距离甲码头的路程． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用； （1）①先求解甲，丙码头的距离之和可得的值，再求解游轮的速度，从乙码头到丙码头的时间，进一步可得的值；②结合①中速度再填表即可； （2）分，，求解函数解析式即可； （3）设货轮经过小时追上游轮，可得，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：①由图象可得：， ∴从乙码头到丙码头的时间为：， ∴，； ②填表如下： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 （2）解：当， 结合（1）得：， 当时， ∴， 当时， 设函数解析式为， ∴， 解得：， ∴； 综上：； （3）解：∵游轮的速度为， ∴货轮的速度为， 设货轮经过小时追上游轮， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴货轮在行驶途中能遇到游轮，相遇地距离甲码头的路程． 34．（2025·天津和平·一模）（1）解方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．若是方程的一个根，则______，______． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法及根与系数的关系是解题的关键； （1）先对方程进行化简，然后再根据因式分解法可进行求解； （2）把代入方程得出k的值，然后再利用根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：（1） 整理得：， 解得：； （2）把代入方程得：， ∴， ∴原方程为， ∴； 故答案为，． 35．（2025·天津南开·三模）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，根据解不等式的步骤分别算出两个不等式的解集，再把解集表示在数轴上，进而得到结果，也可以运用“同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大区中间”验证结果的正确性． 【详解】（1）解：移项得：， 化简得： ， 故答案为：； （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）解： 故答案为∶ 36．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_________； (2)解不等式②，得_________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可 （3）根据（1）（2）所求在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）根据（3）所求即可得到答案． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （3）解：数轴表示如下所示： （4）解：由（3）可得原不等式组的解集为． 37．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． （1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据不等式的性质即可求解； （3）根据不等式在数轴上的表示方法即可求解； （4）根据数轴上的公共解集即可求解． 【详解】（1）解：解不等式①，得； 故答案为： （2）解：解不等式②，得； 故答案为： （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为： 38．（2025·天津红桥·三模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_____； (2)解不等式②，得_____； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （2）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （3）根据（1）（2）在数轴上表示即可； （4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得：； （2）解：解不等式②，得：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： ； （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 39．（2025·天津河西·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是分别求出两个不等式的解集． （1）求出不等式①的解集； （2）求出不等式②的解集； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）根据（3）写出原不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式，得， 故答案为：； （2）解不等式，得， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：； 40．（2025·天津南开·二模）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组． （1）按照一元一次不等式的解法即可得； （2）按照一元一次不等式的解法即可得； （3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得； （4）结合数轴，找出两个不等式解集的公共部分即可得不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得： 化系数为1： （2）解： 移项，合并同类项得： 化系数为1： （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下∶ （4）解：不等式组的解集为：． 41．（2025·天津河东·二模）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可； （3）在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）写出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：， 故答案为：； （2）解：， 移项得，， 合并得，， 故答案为：； （3）解：将两个不等式的解集在数轴上表示为： （4）解：所以，不等式组的解集为：， 故答案为：． 42．（2025·天津红桥·二模）解不等式． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集、解不等式组等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）直接根据移项、合并同类项并运用不等式的性质系数化为1即可解答； （2）直接根据移项、合并同类项并运用不等式的性质系数化为1即可解答； （3）直接将两不等式的解集在数轴上表示出来即可； （4）根据（3）的数轴直接写出解集即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）由（3）的数轴可得：该不等式组的解集为：． 43．（2025·天津·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ） 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组的解集是解答的关键． （Ⅰ）根据不等式的性质解不等式①即可； （Ⅱ）根据不等式的性质解不等式②即可； （Ⅲ）将（Ⅰ）和（Ⅱ）表示在数轴上即可，注意端点为实心点； （Ⅳ）根据数轴可得不等式组的解集． 【详解】解：（Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示： （Ⅳ）由数轴得，原不等式组的解集为． 44．（2025·天津河北·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法表示解集即可； （4）根据不等式解集的规律求解即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解不等式②得： ， ， ， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上如下图： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 45．（2025·天津西青·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______________； (2)解不等式②，得______________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______________． 【答案】(1) (2) (3)画数轴见解析 (4) 【分析】（1）由一元一次不等式的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）由一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （3）由不等式在数轴上的表示方法直接作图即可得到答案； （4）由不等式组解集求法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解求出不等式组解集即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 故答案为：； （2）解：， 移项得， 合并同类项得， ， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示： ； （4）解：由（3）中所画数轴可知，原不等式组的解集为， 故答案为：． 46．（2025·天津滨海新·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （2）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （3）根据（1）（2）在数轴上表示即可； （4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式：①， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：解不等式：， 移项得：， 合并同类项得：； 系数化为一得：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 47．（2025·天津滨海新·一模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________： (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集、根据数轴确定不等式组的解集等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据移项、合并同类项即可解答； （2）先根据移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1即可解答； （3）将（1）（2）所的到的解集表示到数轴上即可； （4）根据（3）的数轴直接写出不等式组的解集即可 ． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：． （2）解：， ， ， ． 故答案为：． （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：由（3）可得：该不等式组的解集为． 48．（2025·天津西青·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集： （1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据（1）（2）所求在数轴上表示不等式组的解集即可； （4）根据（3）所求即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴解不等式①，得， 故答案为：； （2）解： ， ∴解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：数轴表示如下所示： （4）解：由数轴可知，原不等式组的解集为． 49．（2025·天津·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得______________； (2)解不等式，得______________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 【答案】(1)； (2)； (3)在数轴上表示见解析； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及把不等式组的解集画在数轴上，掌握不等式的解法是解题的关键． （）直接移项合并，即可得到不等式的解集； （）先移项，再把系数化为即可得到不等式的解集； （）根据求出的每一个不等式的解集，将解集在数轴上表示出来即可； （）取不等式的解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式得， 故答案为：； （2）解不等式，得， 故答案为：； （3）不等式和的解集在数轴上表示，如图， （4）∴原不等式组的解集为． 50．（2025·天津红桥·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示． （1）解不等式①，得； （2）解不等式②，得， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ． （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 51．（2025·天津东丽·模拟预测）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． （1）解不等式①，得； （2）解不等式②，得， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 52．（2025·天津河北·一模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式解集，掌握解一元一次不等式的步骤，正确求解是解题的关键 （1）将不等号右侧一次项移项到左侧，在合并同类项利用不等式性质即可作答； （2）将不等号左侧常数项移项到不等式右侧再利用不等式性质即可作答； （3）画出数轴并表示（1）和（2）中得解集即可； （4）将（3）数轴中重合区域表示即可． 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）和（2）可得： （4）解：由（3）可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 53．（2025·天津河西·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ； （II）解不等式②，得 ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ． 【答案】（I）；（II）；（III）数轴见解析；（IV）． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，正确计算和掌握解一元一次不不等式组的步骤是解题的关键． （Ⅰ）通过移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可； （Ⅱ）通过移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可； （Ⅲ）把不等式的解表示在数轴上； （Ⅳ）由（Ⅲ）的结论即可得． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 数轴表示为： ∴原不等式组的解集为：， 54．（2025·天津滨海新·模拟预测）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集， （1）根据“移项，合并同类项，系数化为”的步骤即可得解； （2）根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为”的步骤即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，在数轴上分别表示出不等式①和②的解集即可； （4）根据（3）的结果并根据确定不等式解集的口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了）确定不等式组的解集即可． 在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键． 【详解】（1）解：解不等式①，得：， 故答案为：； （2）解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 55．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_________； (2)解不等式②，得_________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解法，注意在求解过程中遵循不等式的基本性质，确保计算的准确性． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）在数轴上表示即可； （4）根据数轴求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 两边同时减，得到，即， 两边再同时除以，不等号方向不变，解得． 故答案为：； （2）解：，两边同时减7x，得到，即． 故答案为：； （3）解：把两个不等式的解集在数轴上表示，如图所示： （4）解：由数轴可知，不等式组的解集为． 故答案为：． 56．（2025·天津·模拟预测）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得_________； （2）解不等式，得_________； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定原则（“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”）来得出最终解集． 【详解】解：（1）解不等式：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 故答案为：； （2）解不等式：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 故答案为：； （3）把不等式和的解集在数轴上表示如下： （4）取两个解集的公共部分，得到原不等式组的解集为， 原不等式组的解集为， 故答案为：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$