精品解析：2022年4月辽宁省大连市甘井子区鉴开中学九年级数学模拟试卷

2022年辽宁省大连市甘井子区鉴开中学九年级数学模拟试卷 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的几何体是（　　） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. B. 4 C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 6 15 10 4 则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ） A. 6h，6h B. 6h，15h C. 6.5h，6h D. 6.5h，15h 8. 如图．在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，若，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点H则的长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 9.6 D. 10 10. 甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000 秒，用科学记数法表示31536000=_________． 13. 甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选_______去． 甲 乙 丙 丁 平均分/分 86 90 90 85 方差 24 36 42 38 14. 某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，设原计划每天生产零件个，根据题意，列方程为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 16. 矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为________秒． 三、解答题（本题共4小题，其中17、19、20题各9分，18题12分，共39分） 17. 解不等式组： 18. 一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.25，则n的值是 ； （2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色（不放回），然后再摸出一个球，求两次摸出的球颜色不同的概率． 19. 已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 20. 为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等。 （1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？ （2）现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？ 四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分） 21. 在高的楼的前方有一个旗杆，从楼的顶端A测得旗杆的顶端C的俯角为，底端D的俯角为．说明：（1）（2）的计算结果精确到．参考数据：，． （1）求旗杆的底端D与楼的底端B的距离； （2）求旗杆的高度． 22. 如图，是的直径，为上的两点，且，连接，交于点E，的切线与的延长线相交于点F，A为切点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 五、解答题（24、25小题11分，26小题12分，共34分） 24. 如图，在中，，点D在上，且，，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点Q作的垂线段，使，连接，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动、设，与重叠部分的面积为S，当时，点R恰好在边上． （1）填空：点R恰好经过边时，S的值为 ； （2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． 25. 如图在中，，点D在边上，连接，，点E、F分别在，上，且为等边三角形． （1）填空：与相等的角是 ； （2）求证：； （3）若，求的值（用含k的式子表示） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． （1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ． （2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围． （3）当时，若函数的最小值为3，求m的值． （4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年辽宁省大连市甘井子区鉴开中学九年级数学模拟试卷 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，掌握主视图所看的位置是解题的关键． 根据主视图是从找到从正面看所得到的图形，据此即可解答． 【详解】解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误； B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误； C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确； D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误． 故选：C． 2. 的相反数是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义进行求解． 根据相反数的定义求解． 【详解】解：与4只有符号不同，它们互为相反数， 所以的相反数是4， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点对称的点的坐标是 故选：A． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好关于原点对称点的坐标规律． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 5. 如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°， ∵l∥l'， ∴∠α＝∠1＝45°， 故选A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，无法合并，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 7. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 6 15 10 4 则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ） A. 6h，6h B. 6h，15h C. 6.5h，6h D. 6.5h，15h 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用众数和中位数的概念求解即可得到答案． 【详解】解：∵锻炼6h的人人数最多， ∴这组数据的众数为6h， 又∵调查总人数为35人， 中位数为第18个数据，即中位数为6h， 故选：A． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 8. 如图．在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，若，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠得到，再利用勾股定理求出，即可得到. 【详解】∵，， ∴AD=4-1=3， 由折叠得， ∵， ∴, ∴=BC-=, 故选：D. 【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键. 9. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点H则的长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 9.6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用两个勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积的两种求法构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 10. 甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲步行的速度为 （米/分）判断①；由甲先出发3分钟，甲出发6分钟时，乙追上甲，得乙用3分钟追上甲，判断②；由函数图象可得：当时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米，判断③；设乙的速度为x米/分，由方程解得，得乙走完全程的时间 (分)，得乙到达终点时，甲离终点距离 (米)，判断④． 【详解】解：由题意可得：甲步行的速度为 （米/分）： 故①结论正确； 由图可得，甲出发6分钟时，乙追上甲，故乙用3分钟追上甲， 故②结论错误； 由函数图象可得：当时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米， 故③结论正确； 设乙的速度为x米/分， 由题意可得：， 解得， 乙的速度为80米/分； 乙走完全程的时间 (分)， 乙到达终点时，甲离终点距离是： (米)， 故④结论不正确； 故正确的结论有：①③． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，再套用公式法是因式分解的基本程序是解题的关键． 12. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000 秒，用科学记数法表示31536000=_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．当确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a的值以及n的值． 13. 甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选_______去． 甲 乙 丙 丁 平均分/分 86 90 90 85 方差 24 36 42 38 【答案】乙 【解析】 【分析】先用平均数筛选第一次，再用方差标准筛选即可． 【详解】∵平均数最高的是乙，丙， ∴初选乙和丙， ∵乙的方差小于丙的方差， ∴最终选择乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了平均数，方差，明确平均数，方差的意义是解题的关键． 14. 某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，设原计划每天生产零件个，根据题意，列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据提前天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据题意，得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16. 矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为________秒． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．如图1，当点落在矩形对角线上时，连接，由翻折及点E为中点可得，即分别垂直，，再由平行线分线段成比例即可求解；如图2，当点落在矩形对角线上时，时，作于点G，证明，得，代入值即可求解． 【详解】解：如图1，当点落在矩形对角线上时，连接， 由翻折可得， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴F为中点， ∴， ∴； 如图2， 当点落在矩形对角线上时，时，作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：2或． 三、解答题（本题共4小题，其中17、19、20题各9分，18题12分，共39分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出各个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】解： 由①得，， ， ， 由②得， ， 此不等式组得解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，解题的关键是：掌握解不等式的基本步骤，分别求出各个不等式的解集，再取公共部分即可． 18. 一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.25，则n的值是 ； （2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色（不放回），然后再摸出一个球，求两次摸出的球颜色不同的概率． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25，根据概率公式得到，然后解方程即可； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，则 ， 解得． 经检验，是原方程的解． 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球颜色不同的结果共有10 种， 所以两次摸出的球颜色不同的概率． 19. 已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 20. 为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等。 （1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？ （2）现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？ 【答案】（1）甲型机器人每小时分类80kg垃圾。则乙型机器人每小时分类60kg垃圾；（2）甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时 【解析】 【分析】（1）根据甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等列出方程求解即可； （2）根据(1)求得的答案通过计算即可求得答案. 【详解】（1）解：设甲型机器人每小时分类垃圾。则乙型机器人每小时分类垃圾， 由题意得： 解得： 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为， 答：甲型机器人每小时分类垃圾。则乙型机器人每小时分类垃圾； （2）[700-（80+60）×2]÷60=7小时 答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时. 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程解决，关键是理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程. 四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分） 21. 在高的楼的前方有一个旗杆，从楼的顶端A测得旗杆的顶端C的俯角为，底端D的俯角为．说明：（1）（2）的计算结果精确到．参考数据：，． （1）求旗杆的底端D与楼的底端B的距离； （2）求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的底端D与楼的底端B的距离约为 （2）旗杆的高度约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用的长和的度数求得的值即为旗杆的底端D与楼的底端B的距离； （2）作于E点，利用两平行线之间的距离相等得到，在中求得后，用减去即可得到旗杆的高度． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 在中， ， 答：旗杆的底端D与楼的底端B的距离约为； 【小问2详解】 解：作，垂足为E， 则四边形为矩形． ∴， 在中，，， ∴ ． 答：旗杆的高度约为． 22. 如图，是的直径，为上的两点，且，连接，交于点E，的切线与的延长线相交于点F，A为切点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用是直径，是的切线，得到，利用得到，进而证得，根据等角对等边即可证得； （2）利用勾股定理求得，利用得到，求得，根据即可求得． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【答案】（1）40，480；（2）；（3）小时或小时 【解析】 【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480； （2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可； （3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）； a=40×6×2=480， 故答案为：40；480； （2）设与之间的函数关系式为， 由图可知，函数图象过点，， 所以解得 所以与之间的函数关系式为； （3）两车相遇前： 解得： 两车相遇后： 解得： 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 五、解答题（24、25小题11分，26小题12分，共34分） 24. 如图，在中，，点D在上，且，，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点Q作的垂线段，使，连接，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动、设，与重叠部分的面积为S，当时，点R恰好在边上． （1）填空：点R恰好经过边时，S的值为 ； （2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，与重叠部分的面积就是的面积，然后根据，，求出S的值是多少即可． （2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有三种情况：当时，，判断出当点Q运动到点A时，，据此求出；然后求出当时，S关于x的函数关系式，当时也适合前一种情况，再写成分段函数即可． 【小问1详解】 解：如图1， 当时，与重叠部分的面积就是的面积， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2， 根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况： 当时，， 当点Q运动到点A时，， ∴． 当时，， ，， ∵, ∴， ∴，即 ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴． 当时，， ∵此时， 故时，也适合， 综上可得，． 25. 如图在中，，点D在边上，连接，，点E、F分别在，上，且为等边三角形． （1）填空：与相等的角是 ； （2）求证：； （3）若，求的值（用含k的式子表示） 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求解； （2）在上取点Q，使，连接，证是等边三角形，得，，再证，得，，然后证，则，即可得出结论； （3）证，得，设，则，得，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 证明：如图，在上取点Q，使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． （1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ． （2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围． （3）当时，若函数的最小值为3，求m的值． （4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 【答案】(1)，抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；(2)，；(3) m的值为或；(4) ，或 【解析】 【分析】(1)将时代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标； (2)顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解； (3)分m≥0和m＜0时讨论：当m≥0且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得； (4)先算出P、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两边交点，求出B、C坐标，由“B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等”即可求解． 【详解】解：(1)由题意可知，二次函数顶点坐标， 当时，顶点坐标为， 此时抛物线解析式为：，令， ∴， ∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，)； (2)顶点坐标， ∴， 又已知， ∴，且A点在第一象限， ∴，此时抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为， 由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小时的取值范围为：， 故答案为：，； (3)函数的对称轴为，且开口向上， 当，且时，时，函数有最小值为， 由已知：函数的最小值为3， ∴，解得， 当，且时，时，函数有最小值为， 由已知：函数的最小值为3， ∴，解得或(正值舍去)， 故m的值为或； (4)由题意可知，、、、， ①如图所示，当m>0时，当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上、点C在MN边上， ∴令y=2，则， ∴或（舍去）， ∴，C（m，2m）， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， 如图所示，若点B在PM边上、点C在NQ边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， ∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标， ∴不符合题意，舍去， ∴， 如图所示，若点B在PQ边上、点C在NQ边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴4=2-2m， 解得：m=-1<0，不符合题意，舍去， ②如图所示，当m<0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， 或， 解得：， 综上，m的值为或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，涉及到分类讨论思想，情况不定时需要分类讨论，难度较大，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $