第六章 整式的运算（单元自测·提升卷）数学新教材北京版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 整式的运算·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C C B B D A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．3 10．4 11． 12．4 13．1或0或 14． 15． 16．13 197 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】（1）解： ．···························2分 （2）解： ．···························5分 18．（5分） 【详解】（1）解：原式；···························2分 （2）解：原式；···························5分 19．（6分） 【详解】解： ，···························3分 当，时， 原式 ．···························6分 20．（6分） 【详解】（1）解： ；···························3分 （2）解：由（1）知， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得．···························6分 21．（6分） 【详解】（1）由长方形的面积的计算方法可得， ， ， ， m为正整数， ， 即； 故答案为：，，．···························3分 （2）甲长方形的周长为， 周长为的正方形的边长为， 边长为的正方形的面积， ． 即为定值9．···························6分 22．（8分） 【详解】（1）解：∵正方形的边长是，正方形的边长是，由图1可知， 阴影部分面积为；···························2分 （2）解：；···························4分 （3）解：由图1可知，阴影部分面积，···························5分 图2可知，阴影部分面积， ∴，···························6分 由图3可知，阴影部分面积 ．···························8分 23．（8分） 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ∴， 故答案为：；···························2分 （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90；···························4分 （3）解：由题意得：， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：12；···························6分 （4）解：∵原几何体的体积 ， 新几何体的体积， ∴． 故答案为：．···························8分 24．（8分） 【详解】（1）解： 故答案为：2；···························2分 （2）解： 故答案为：；；···························4分 （3）解： ∴， 故答案为：···························8分 25．（10分） 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：3；···························2分 （2）， ， ， 故答案为：；···························5分 （3）， ， ， 即代数式的值为9．···························10分 26．（10分） 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④．···························2分 （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得．···························6分 （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故．···························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 整式的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期末）2025年10月，在北京怀柔科学城承建的国家重大科技基础设施建设项目“高能同步辐射光源（HEPS）项目通过工艺验收．在材料科学领域取得了重大突破．科研人员利用该装置，成功观测到一种新型半导体材料的微观结构．科研人员测得该新型半导体材料中一个关键的原子间距为0.00000000056米．将这个数据用科学记数法表示正确的是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26八年级上·北京顺义·月考）化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·北京东城·月考）若是完全平方式，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 5．（25-26八年级上·北京·月考）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（   ） A．0 B．2 C． D． 6．（25-26八年级上·北京·期末）已知为任意整数，代数式的值记为M，有下列三个结论：①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．（25-26八年级上·北京门头沟·期中）如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、、，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．5 D．3 8．（25-26八年级上·北京海淀·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级上·北京大兴·期末）计算：_____ ． 10．（25-26八年级上·北京·期中）若，则______． 11．（25-26八年级上·北京通州·期中）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了：结果得，则______． 12．（25-26八年级上·北京·期中）已知，，则的值是 __． 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期中），则m的值为_______． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为________． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 16．（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是___________； （2）的值为___________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)． 18．（5分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 19．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）已知，，化简求值：． 20．（6分）（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 21．（6分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为，乙长方形的两边长分别为，，面积为（其中m为正整数）．    (1)＝ ， （用含m的多项式表示）， （填“”、“ ”或“”）； (2)有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为，求证：为定值． 22．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形和并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形和纸片均无重叠部分），设正方形的边长是，正方形的边长是， (1)用含、的代数式表示图1的阴影面积 (2)用含、的代数式表示图2的阴影面积 (3)求图3阴影部分面积． 23．（8分）（25-26八年级上·北京西城·期中）数形结合是一种重要的数学思想．用两种不同的方法表示同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：图1可以得到．基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ______ ______ ______； (2)利用（1）中得到的结论，解决问题： 若，，则______； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长和宽分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则______； (4)图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图4中两个几何体的体积，写出一个代数恒等式：______． 24．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，求该多形式分解的结果． 25．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 26．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 整式的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京·期末）2025年10月，在北京怀柔科学城承建的国家重大科技基础设施建设项目“高能同步辐射光源（HEPS）项目通过工艺验收．在材料科学领域取得了重大突破．科研人员利用该装置，成功观测到一种新型半导体材料的微观结构．科研人员测得该新型半导体材料中一个关键的原子间距为0.00000000056米．将这个数据用科学记数法表示正确的是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.00000000056米用科学记数法表示为米． 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京顺义·月考）化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查了同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是求解的关键． 利用和互为相反数的关系，将式子统一为的幂，再应用同底数幂相乘的法则合并指数，完成求解． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：C． 4．（25-26八年级上·北京东城·月考）若是完全平方式，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据完全平方式的定义求参数，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·北京·月考）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果，再根据展开结果不含x的一次项，可得到含x的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解； ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·北京·期末）已知为任意整数，代数式的值记为M，有下列三个结论：①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式可推出，再根据整数性质判断各结论即可． 【详解】解： ， 当时，，不是正整数，故①错误； ∵为任意整数， ∴是奇数， 又∵3是奇数，奇数乘以奇数仍是奇数， ∴一定是奇数，故②正确； ∵， ∴总能被3整除，故③正确． ∴ 正确结论的序号是②③．， 故选：B． 7．（25-26八年级上·北京门头沟·期中）如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、、，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 8．（25-26八年级上·北京海淀·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级上·北京大兴·期末）计算：_____ ． 【答案】3 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 10．（25-26八年级上·北京·期中）若，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方的逆运算法则将已知条件式变形为，再根据同底数幂乘法计算法则得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 11．（25-26八年级上·北京通州·期中）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了：结果得，则______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式、整式的加减，由题意可知，，结合多项式除以单项式的运算法则即可得出，再根据整式的减法法则计算即可得解，理解题意，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·北京·期中）已知，，则的值是 __． 【答案】4 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，化简求值． 把展开，再把和的值代入，即可得到结果． 【详解】解：，， ． 故答案为：4． 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期中），则m的值为_______． 【答案】1或0或 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据1的任何次幂都是1，的偶次幂都是1，零指数幂的运算法则分别计算即可． 【详解】解：当，即时，，； 当，即时，，； 当，，即时，； 综上，的值为1或0或， 故答案为∶ 1或0或． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，整式乘法；掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，进而即可求解． 【详解】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图①中阴影部分面积为 图②中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为： 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，杨辉三角中展开式系数的规律，赋值法等知识，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键． 令，则，则，令，则，得到，两边乘以即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是___________； （2）的值为___________． 【答案】 13 197 【分析】本题考查了完全平方公式，有理数的乘方，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式，得到，继而推导出，得到中或的个数是37个，则中的个数是，即可解答； （2）先求出比多9个，得到的个数为（个），1的个数为（个）．则，即可解答． 【详解】解：（1）∵ 又∵， ∴； ∵个数从，，中取值， ∴中或的个数是37个， ∴中的个数是， 故答案为：13． （2）∵，或的个数是37个，的个数是13个， ∴比多9个， 即的个数为：（个），1的个数为（个）． ∴ ． 故答案为：197． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（5分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，去括号，合并同类项，正确计算是解题的关键． （1）根据加法交换律、加法结合律进行计算即可； （2）先去括号，然后根据加法交换律、加法结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 19．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）已知，，化简求值：． 【答案】，2 【分析】先根据去括号，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值求出结果即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 20．（6分）（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握其运算方法是解题的关键． （1）将代数式代入计算即可； （2）根据取值与无关，推出合并同类项以后含的式子的系数为0即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 21．（6分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为，乙长方形的两边长分别为，，面积为（其中m为正整数）．    (1)＝ ， （用含m的多项式表示）， （填“”、“ ”或“”）； (2)有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为，求证：为定值． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）由长方形的面积可得，的代数式，计算得，根据m的取值范围即可判断，的大小 （2）计算甲长方形的周长，即可得正方形的边长及面积，再计算即得答案． 【详解】（1）由长方形的面积的计算方法可得， ， ， ， m为正整数， ， 即； 故答案为：，，． （2）甲长方形的周长为， 周长为的正方形的边长为， 边长为的正方形的面积， ． 即为定值9． 22．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形和并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形和纸片均无重叠部分），设正方形的边长是，正方形的边长是， (1)用含、的代数式表示图1的阴影面积 (2)用含、的代数式表示图2的阴影面积 (3)求图3阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，整式的加减，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图1可知，阴影部分面积正方形的面积正方形的面积，依此列式即可； （2）由图2可知，阴影部分面积边长为的正方形面积正方形的面积正方形的面积，依此列式即可； （3）由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形的边长是，正方形的边长是，由图1可知， 阴影部分面积为； （2）解：； （3）解：由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， ∴， 由图3可知，阴影部分面积 ． 23．（8分）（25-26八年级上·北京西城·期中）数形结合是一种重要的数学思想．用两种不同的方法表示同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：图1可以得到．基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ______ ______ ______； (2)利用（1）中得到的结论，解决问题： 若，，则______； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长和宽分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则______； (4)图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图4中两个几何体的体积，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1) (2)90 (3)12 (4) 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． （1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式； （2）依据，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到x，y，z的值； （4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90； （3）解：由题意得：， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）解：∵原几何体的体积 ， 新几何体的体积， ∴． 故答案为：． 24．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，求该多形式分解的结果． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：2； （2）解： 故答案为：；； （3）解： ∴， 故答案为： 25．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) (3)9 【分析】（1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可； （2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可； （3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：3； （2）， ， ， 故答案为：； （3）， ， ， 即代数式的值为9． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键． 26．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 整式的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期末）2025年10月，在北京怀柔科学城承建的国家重大科技基础设施建设项目“高能同步辐射光源（HEPS）项目通过工艺验收．在材料科学领域取得了重大突破．科研人员利用该装置，成功观测到一种新型半导体材料的微观结构．科研人员测得该新型半导体材料中一个关键的原子间距为0.00000000056米．将这个数据用科学记数法表示正确的是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26八年级上·北京顺义·月考）化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·北京东城·月考）若是完全平方式，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 5．（25-26八年级上·北京·月考）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（   ） A．0 B．2 C． D． 6．（25-26八年级上·北京·期末）已知为任意整数，代数式的值记为M，有下列三个结论：①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．（25-26八年级上·北京门头沟·期中）如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、、，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．5 D．3 8．（25-26八年级上·北京海淀·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级上·北京大兴·期末）计算：_____ ． 10．（25-26八年级上·北京·期中）若，则______． 11．（25-26八年级上·北京通州·期中）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了：结果得，则______． 12．（25-26八年级上·北京·期中）已知，，则的值是 __． 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期中），则m的值为_______． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为________． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 16．（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是___________； （2）的值为___________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)． 18．（5分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 19．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）已知，，化简求值：． 20．（6分）（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 21．（6分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为，乙长方形的两边长分别为，，面积为（其中m为正整数）．    (1)＝ ， （用含m的多项式表示）， （填“”、“ ”或“”）； (2)有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为，求证：为定值． 22．（8分）（25-26八年级上·北京·期中）如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形和并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形和纸片均无重叠部分），设正方形的边长是，正方形的边长是， (1)用含、的代数式表示图1的阴影面积 (2)用含、的代数式表示图2的阴影面积 (3)求图3阴影部分面积． 23．（8分）（25-26八年级上·北京西城·期中）数形结合是一种重要的数学思想．用两种不同的方法表示同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：图1可以得到．基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ______ ______ ______； (2)利用（1）中得到的结论，解决问题： 若，，则______； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长和宽分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则______； (4)图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图4中两个几何体的体积，写出一个代数恒等式：______． 24．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，求该多形式分解的结果． 25．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 26．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $