数学（江苏专用03）学易金卷：2026年高考考前预测卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 集合，则（ ） A. B. C. D. 2.【创新题】若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3.已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 4.【新情景】现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 6.【新考法】已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 【创新题】已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 若，，则 C. 存在实数，使得为减函数 D. 当时，有两个零点 11. 过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ） A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中国灯笼又统称为灯彩、主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．育德中学4名同学在庆元旦活动中，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方法有___________种．（用数字作答） 13.已知，，则__________ 14.【新定义】 若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求证：当且时，. 16.（15分） 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求； （3）若，当角最大时，求的面积 17.（15分） 【创新题】如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 18.（17分） 如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． （1）求的最大值； （2）动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； （3）如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 19．（17分） 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A A C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．## 14． ①. 16 ②. 86 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）函数的定义域为，   ,令，解得， （3分） 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； （5分） 极小值为，无极大值. （6分） （2）令，则 ， （8分） 由（1）可知，即的最小值为， （9分） 已知，代入得：  ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， （11分） 当时，，即：  得证. （13分） 16.（15分） 【解析】（1），由正弦定理可得：， （2分） ，， （4分） 两边同时除以，可得：. （6分） （2）方法1：，则， 结合正弦定理得，， 即， （8分） 则， 所以，即， 解得，又， 所以. （10分） 方法2：同方法可得， 由（1）可得，所以， 即，又， （8分） 所以，解得，， 所以. （10分） （3）方法1：，， ，， （12分） ， （13分） 当且仅当时等号成立，此时取到最大值， ，当最大时，. （15分） 方法2：由（1）知，则， （12分） 所以 ，当且仅当，即时，取“=”， （ 13分） 此时，则，. （15分） 16.（15分） 【解析】（1），由正弦定理可得：， （2分） ，， （4分） 两边同时除以，可得：. （6分） （2）方法1：，则， 结合正弦定理得，， 即， （8分） 则， 所以，即， 解得，又， 所以. （10分） 方法2：同方法可得， 由（1）可得，所以， 即，又， （8分） 所以，解得，， 所以. （10分） （3）方法1：，， ，， （12分） ， （13分） 当且仅当时等号成立，此时取到最大值， ，当最大时，. （15分） 方法2：由（1）知，则， （12分） 所以 ，当且仅当，即时，取“=”， （ 13分） 此时，则，. （15分） 18.（17分） 【解析】（1）设，根据题意，，且，， （2分） ， （3分） 当且仅当或等号成立， 所以的最大值为． （4分） （2）设，，，直线， 因为动点满足，则点在以为直径的圆上运动，则， 又，所以，则． （5分） 的斜率， 因为，则的斜率． 所以此时的斜率， （6分） 则．所以，① 将代入①式， 整理得，② 联立直线方程与椭圆方程， 得． （7分） ，即．③ ，， （8分） 代入②式得， 化简得，解得（舍去），或，满足不等式③成立． ∴直线方程为，直线过定点． （9分） （3）由题意，盒子中三面涂红色的小立方体有8个，每次抽到后顺时针跳动1次的概率为， 盒子中六个面没有涂红色的小立方体有8个，每次抽到后逆时针跳动1次的概率为， 盒子中一面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后顺时针跳动2次的概率为， 盒子中两面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后逆时针跳动2次的概率为， （11分） 设经过次操作后点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 易知，由对称性知，即， （12分） 计算得， 而， 即，④ 又，代入④式得， 即，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 又， 即，⑤ 将，代入⑤式得， （14分） 即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， （15分） 所以，即， 所以. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）由函数的图象关于点中心对称，故有， （2分） 令，则有，故，令，则有， （3分） 又当时，，故， （4分） 故，即，； （5分） （2）对称中心为，证明如下：由，则有，解得且， （7分） ， （8分） 故函数的对称中心为； （10分） （3）设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、，又、、， 若对称中心为，则必有，且，故，，共有2022个数组符合题意； （12分） 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意；若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； （13分） 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， （15分） 故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. （17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E D F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 集合，则（ ） A. B. C. D. 2.【创新题】若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3.已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 4.【新情景】现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 6.【新考法】已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 【创新题】已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 若，，则 C. 存在实数，使得为减函数 D. 当时，有两个零点 11. 过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ） A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中国灯笼又统称为灯彩、主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．育德中学4名同学在庆元旦活动中，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方法有___________种．（用数字作答） 13.已知，，则__________ 14.【新定义】 若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求证：当且时，. 16.（15分） 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求； （3）若，当角最大时，求的面积 17.（15分） 【创新题】如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 18.（17分） 如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． （1）求的最大值； （2）动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； （3）如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 19．（17分） 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 集合，则（ ） A. B. C. D. 1.【答案】C 【解析】因为指数函数是上的增函数， 所以由，可得，即； 而 ，等价于或， 解得或，即或 所以，故. 故选：C. 2.【创新题】若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2.【答案】C 【解析】由， 其中，当时，最大值为. 故选：C. 3.已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 3.【答案】A 【解析】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 故选：A. 4.【新情景】现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.【答案】A 【解析】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 5. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 5.【答案】C 【解析】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 6.【新考法】已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.【答案】A 【解析】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，由函数可知． 不妨设，，，， 所以，，所以 所以， 则有， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 7. 四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7.【答案】B 【解析】如图，设的外心为点，过点作于点，连接， 取边的中点为点，连接，则. 因平面平面平面平面， 平面， 则平面又平面故. 因为，，所以， 中，由正弦定理，，解得， 在中，，则， 在中，由面积相等可得，解得， 则，， 在中，，在中，， 即，故点为该四面体外接球的球心，故其表面积为. 故选：B. 8.【创新题】 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8.【答案】D 【解析】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故，所以， 解得，所以不等式的解集为． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 9.【答案】BD 【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象． 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误； 对于B选项，，，解得， 只有一个零点，B选项正确； 对于C选项，，，而在上不单调， 故在上并不单调，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确． 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 若，，则 C. 存在实数，使得为减函数 D. 当时，有两个零点 10.【答案】BCD 【解析】】由题得的定义域为，且， 对于选项A：由于的定义域不对称，所以不可能是偶函数，故A选项错误； 对于选项B：若，则，则， 若且，则分别属于和，不妨设，，如下图： 则，，若，则有，即， ，最终有，故B选项正确； 对于选项C：若存在实数使得为减函数，即，证明如下： ，则， ①当时，若，则有恒成立，则，此时有； ②当时，若，则有恒成立，则，此时有； 综上，当时，，为减函数，故C选项正确. 对于选项D：当时，，， ①当时，恒成立，单调递减， ②当时，令，解得，则有，故在上单调递增，在上单调递减. 综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 在上，单调递减，且，，故在上有且仅有1个零点， 在上，在处取极大值，故是内唯一零点. 综上，有2个零点，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ） A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 11.【答案】BCD 【解析】对于选项B：由题意可知：，，， 可得，则直线的斜率， 可知直线即为双曲线的其中一条渐近线，所以点在的一条渐近线上，故B正确； 对于选项A：若，则直线的斜率，且渐近线的斜率为， 可知直线与双曲线的一条渐近线平行，此时与有且仅有1个交点，故A错误； 对于选项C：设双曲线的另一个焦点为， 若，可知点为的中点， 且为的中点，则，，可得， 由勾股定理可得：，即， 可得，所以双曲线的离心率为，故C正确； 对于选项D：若，则，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．中国灯笼又统称为灯彩、主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．育德中学4名同学在庆元旦活动中，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方法有___________种．（用数字作答） 12.【答案】 【解析】因为这4名同学每人有三种选购方法，所以共有种不同的选购方法． 故答案为：81. 13.已知，，则__________ 13.【答案】## 【解析】由题知①， ②， 得， 即， 所以，所以. 14. 【新定义】若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 14.【答案】 ①. 16 ②. 86 【解析】因为数列为“数列”，且，， 所以当时，； 当时，，又，所以； 当时，. 所以的最小值为16. 因为数列为“数列”，所以， 又，所以数列为递增数列. 问题转化为：数列增长速度最慢时，由，求的值. 此时： 设，则； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； …… 归纳得：当为奇数时，；当为偶数时，. 又. 若，， 由， 即； 若，， 由， 即. 此时，，. 又，所以数列应该是在第85项之后，突然改变增长速度，使得. 故的最大值为86. 故答案为：16；86 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求证：当且时，. 15．（13分） 【解析】（1）函数的定义域为，   ,令，解得， （3分） 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； （5分） 极小值为，无极大值. （6分） （2）令，则 ， （8分） 由（1）可知，即的最小值为， （9分） 已知，代入得：  ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， （11分） 当时，，即：  得证. （13分） 16.（15分） 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求； （3）若，当角最大时，求的面积 16.（15分） 【解析】（1），由正弦定理可得：， （2分） ，， （4分） 两边同时除以，可得：. （6分） （2）方法1：，则， 结合正弦定理得，， 即， （8分） 则， 所以，即， 解得，又， 所以. （10分） 方法2：同方法可得， 由（1）可得，所以， 即，又， （8分） 所以，解得，， 所以. （10分） （3）方法1：，， ，， （12分） ， （13分） 当且仅当时等号成立，此时取到最大值， ，当最大时，. （15分） 方法2：由（1）知，则， （12分） 所以 ，当且仅当，即时，取“=”， （ 13分） 此时，则，. （15分） 17.（15分） 【创新题】如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 17.（15分） 【解析】（1）证明：平面 平面， ∴平面平面， （1分） 又∵平面平面，且， 平面， （2分） 又平面，故． 在中，，E为线段的中点，则． （3分） 因平面，平面，，平面． （4分） 平面，∴平面平面． （5分） （2） （i）易知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， （6分） 令，则，，，， ，， （7分） 设为平面的一个法向量． 故即取， （9分） 取为平面的一个法向量． ，解得，故． （10分） （ii）如图，取中点，作于． 由，所以满足． 则为三棱锥的球心，其中，2，…，n． （11分） 因为，则，则平面， 则为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，为半径 由，则， 所以圆的面积， 假设存在m，n，且使得，，成等差数列，则． （13分） 即化简可得 因，，所以为偶数，即（*）式不成立， 所以数列中不存在3项成等差数列． （15分） 18.（17分） 如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． （1）求的最大值； （2）动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； （3）如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 18.（17分） 【解析】（1）设，根据题意，，且，， （2分） ， （3分） 当且仅当或等号成立， 所以的最大值为． （4分） （2）设，，，直线， 因为动点满足，则点在以为直径的圆上运动，则， 又，所以，则． （5分） 的斜率， 因为，则的斜率． 所以此时的斜率， （6分） 则．所以，① 将代入①式， 整理得，② 联立直线方程与椭圆方程， 得． （7分） ，即．③ ，， （8分） 代入②式得， 化简得，解得（舍去），或，满足不等式③成立． ∴直线方程为，直线过定点． （9分） （3）由题意，盒子中三面涂红色的小立方体有8个，每次抽到后顺时针跳动1次的概率为， 盒子中六个面没有涂红色的小立方体有8个，每次抽到后逆时针跳动1次的概率为， 盒子中一面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后顺时针跳动2次的概率为， 盒子中两面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后逆时针跳动2次的概率为， （11分） 设经过次操作后点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 易知，由对称性知，即， （12分） 计算得， 而， 即，④ 又，代入④式得， 即，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 又， 即，⑤ 将，代入⑤式得， （14分） 即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， （15分） 所以，即， 所以. （17分） 19．（17分） 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 19．（17分） 【解析】（1）由函数的图象关于点中心对称，故有， （2分） 令，则有，故，令，则有， （3分） 又当时，，故， （4分） 故，即，； （5分） （2）对称中心为，证明如下：由，则有，解得且， （7分） ， （8分） 故函数的对称中心为； （10分） （3）设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、，又、、， 若对称中心为，则必有，且，故，，共有2022个数组符合题意； （12分） 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意；若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； （13分） 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， （15分） 故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. （17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $