数学（北京专用01）学易金卷：2026年高考考前预测卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．_________ 13．________ ____________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知焦点为F的抛物线上有一点A，满足，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 4．已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 5．已知数列是公差不为零的等差数列，若，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 8．随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 9．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 10．如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（ ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在中，，，，则________． 12．已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 13．已知函数则函数的值域为___________.若函数有3个零点，则k的范围是___________. 14．祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 15．任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有 ①．若，则使得需要步“雹程”; ②．若，则; ③．若，则数列的前项和为; ④．若，则m的所有可能取值之和为. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. (1)证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成角的正弦值. 17． （13分）已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为;③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 18．（14分）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）． （3）请比较“不购买通关币的收益期望值” 与 “购买 1 枚通关币的收益期望值” 的大小.(直接写出结论无需证明) 19．（15分）已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值. 20．（15分）已知函数. (1)证明：有且只有一个极值点； (2)若恰有两个零点. （i）证明：； （ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 21．（15分）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A]B][C[D] 5[A][B][CD] 9[A][B][CD] 2[AB][C[D] 6[A][B][CD] 10[A][B][C][D] 艾， 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CD] 二、 填空题（每小题5分，共25分） 11 箭 15. 妇 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ A 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) G987 65 012345678 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考考前预测卷 数学·全解全析 试卷特点： 【新定义】创设全新数学概念，考查抽象概括与迁移应用能力 试题通过定义**全新数学概念/规则**，要求考生快速理解定义内涵，结合已有知识解决问题，侧重考查抽象概括、逻辑推理和知识迁移能力，此类题型集中在填空题和解答题压轴位置，难度偏高。 1、第15题（冰雹猜想）：定义“冰雹猜想”的递推关系，结合数列递推、周期数列、反向推理等知识设计结论判断，考生需先吃透“雹程”“奇偶递推规则”，再逐一验证四个结论，考查对新定义的快速理解和数列知识的综合应用。 2、第21题（阶跳跃等差数列）：首次定义“k阶跳跃等差数列”（存在正整数k，对任意正整数n，满足），围绕该定义设计两小问，先利用定义求数列项和前n项和，再结合概率、错位相减法证明不等式，将新定义与等差数列、数列求和、概率综合，层层递进考查定义应用能力。 【新情景】结合现实生活/实际应用，考查数学建模与解决实际问题能力 以现实生活、生产实践、科技发展为背景创设问题情景，将数学知识融入实际问题，要求考生构建数学模型（如概率模型、函数模型、数列模型），将实际问题转化为数学问题求解，体现数学的应用性，此类题型分布在选择、解答题，难度中等至偏上。 1、第8题（生产线工时问题）：以新技术生产的工时递减为背景，给出生产n件产品的平均工时函数，结合“工时递减速率”考查数列与函数的实际应用，考生需根据题意代入参数，化简求解平均工时之比，贴近工业生产实际。 2、第18题（密室逃脱游戏）：以当下热门的密室逃脱为背景，结合独立事件概率、数学期望设计问题，涉及“报名费、奖励、通关币购买与回收”等实际经济元素，要求考生分情况讨论通关概率、计算收益期望，构建概率模型解决实际问题，情景贴近生活，趣味性与综合性兼备。 第14题（祖暅原理与半球壳漂浮）：以祖暅原理为背景，结合空心铁质半球壳的水中漂浮问题，考查几何体体积的求解，要求考生利用祖暅原理将不规则几何体的 【新考法】突破传统命题形式，考查知识综合与灵活解题能力 打破传统单一知识点的命题形式，通过“多知识点融合”“条件选择性求解”“逆向设问”“存在性问题”等创新考法，考查考生的知识综合运用、逻辑推理和灵活解题能力，此类题型覆盖全题型，是试卷的核心考查维度。 选择题/填空题新考法 1、第7题（直线与圆的存在性问题）：将直线上的点、圆上的点与向量垂直结合，通过设点坐标转化为一元二次方程的有解性问题，考查直线、圆、向量、二次方程判别式的综合应用，突破传统直线与圆的位置关系考法。 2、第9题（等比数列与基本不等式）：将等比数列通项与基本不等式结合，化简后求最值，打破传统等比数列单一求项、求和的考法，考查等比数列与不等式的综合应用。 3、第10题（伯努利双纽线）：以新曲线为背景，将解析几何、向量数量积、余弦定理、三角形面积综合，设计“不正确结论判断”，突破传统圆锥曲线的考法，考查曲线方程推导和几何性质分析能力。 4、第13题（分段函数的双问考查）：一道题同时考查分段函数的值域和零点个数问题，结合导数研究函数单调性，通过数形结合求解，突破传统单一考查函数性质的考法。 解答题新考法 1、第17题（三角函数的条件选择性求解）：给出三个条件（奇函数、相邻对称轴距离、），要求选择两个作为已知使得函数存在，再求解解析式和值域，打破传统三角函数“已知条件直接求解”的考法，考查考生的条件分析和逻辑判断能力。 2、第20题（函数极值与零点的多问证明/求解）：函数题分三问，先证明唯一极值点，再证明零点相关不等式，最后结合极值点求参数范围，采用**“多次求导、隐零点代换、分类讨论”** 等方法，突破传统函数单一求极值/零点的考法，考查导数的综合应用和逻辑证明能力。 3、第19题（椭圆与三角形面积最值）：将椭圆与直线相交、点动成线、垂线交轴、三角形面积最值结合，考查椭圆方程、联立方程求根、点到直线距离、基本不等式求最值，突破传统椭圆单一求轨迹、弦长的考法，考查解析几何的综合运算能力。 【跨学科】融合其他学科知识，考查学科交叉与综合应用能力 将数学知识与物理、历史、工程学等其他学科知识融合，打破学科边界，考查考生的跨学科综合应用能力，体现数学作为基础学科的工具性，此类题型分布在填空、选择题，难度中等。 1、第14题（数学+物理+历史）：融合数学的祖暅原理、几何体体积，物理的浮力与物体浸入水中的深度，历史的中国古代数学成就，考查跨学科知识的结合应用，体现数学与物理、历史的关联性。 2、第8题（数学+工程学）：融合数学的数列、函数，工程学的生产线工时、生产效率，将工业生产中的工时递减问题转化为数学问题，考查数学在工程学中的应用。 3、第18题（数学+经济学）：融合数学的概率、期望，经济学的成本、收益、回收，将密室逃脱的消费、奖励转化为概率期望模型，考查数学在经济生活中的应用。 【创新题】设计新颖问题形式/解题思路，考查创新思维与探究能力 试题通过“新颖的问题形式、独特的解题思路、开放性的设问”设计创新题，要求考生跳出常规解题思维，进行自主探究、逻辑推理和创新求解，此类题型集中在压轴题（填空15题、解答20/21题），难度偏高，侧重考查数学核心素养和创新思维。 1、第15题（冰雹猜想）：以著名的数学猜想为背景，设计反向推理问题（已知，求m的所有可能取值），打破传统数列的正向递推考法，要求考生逆向思考，逐一推导可能的初始值，考查探究能力和逻辑推理能力。 2、第21题（阶跳跃等差数列）：全新定义数列类型，将新定义与概率、数列求和、不等式证明综合，最后一问要求证明，需要考生先确定数列项的分布，再结合错位相减法求和证明，解题思路新颖，考查创新思维和综合论证能力。 3、第20题（函数零点与极值点）：利用隐零点代换证明不等式，结合极值点的范围求参数取值，需要考生多次求导研究函数单调性，通过构造新函数求解，解题思路独特，考查考生的创新解题能力和逻辑推理能力。 4、第10题（伯努利双纽线）：以非圆锥曲线的新曲线为背景，设计多项性质判断，要求考生自行推导曲线方程，结合向量、余弦定理分析几何性质，打破传统解析几何的圆锥曲线考法，考查考生的自主探究和知识迁移能力。 本试卷五大创新维度相互融合、层层递进，新定义侧重抽象概括，新情景侧重数学建模，新考法侧重知识综合，跨学科侧重学科融合，创新题侧重创新思维，全面考查考生的数学核心知识、基本方法和学科素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）。试题难度梯度合理，基础题考查核心知识，中档题考查综合应用，压轴题考查创新思维，符合高考北京卷的命题特点和趋势，兼具基础性、综合性、应用性和创新性。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由. 2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，由，得， 即，得， 所以在复平面内对应的点为位于第四象限. 3．已知焦点为F的抛物线上有一点A，满足，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义确定坐标，再结合面积公式即可求解即可. 【详解】由抛物线方程：，得，即， 因此焦点，原点，，准线方程为， 设，由抛物线定义得：，解得， 则，即， 在中，底为，高为， 因此面积： . 4．已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 【答案】C 【详解】由， 令，得，所以. 5．已知数列是公差不为零的等差数列，若，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的定义结合等差数列的通项公式判断. 【详解】若， 因为， 所以， 整理得，即， 所以“”是“”的充分条件； 若， 则， 即， 所以“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充要条件； 故选：B. 6．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 7．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点的坐标，列出二次函数，由存在性列出不等式解不等式求解 【详解】因为点A在直线上，所以设A点坐标为，点B坐标为， 因为向量 所以，即，， 所以B点坐标为. 又B在圆上，所以. 整理得关于的一元二次方程：， 因为存在点A在直线上，所以关于的一元二次方程有实数解. 故， 令，得，整理即， 所以. 所以的最大值为4. 8．随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 【答案】B 【分析】由题可得，，代值化简即可求解./ 【详解】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 9．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式化简为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知等比数列，其公比， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 10．如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（ ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 【答案】A 【分析】根据题设有，结合已知及题图，令判断A，应用向量数量积的运算律、余弦定理求的范围判断B，将曲线方程两侧平方化简整理判断C，根据C结论得，再由三角形面积公式判断D. 【详解】由题意，曲线的方程为， A，令，则，即，解得，此时，不满足，故错误， B，由时，因为， 所以， 即①， 在中，由余弦定理得②， 所以， 由，，所以， 所以，即的最大值为，故正确， C，将双纽线的方程两边平方，得， 所以，则， 所以，故正确； D，由，可得， 令，则， 因为该方程有实数根，故，解得，故， ，故正确. 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在中，，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用余弦定理求得，再由平方关系，即可求解. 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以. 12．已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 【答案】 【分析】根据方程表示双曲线，确定m的范围，结合双曲线的渐近线方程可得关于m的方程，即可求得答案. 【详解】由方程表示双曲线，可知， 则方程即为方程，即得， 方程表示焦点在x轴上的双曲线，由已知其渐近线方程为， 则. 13．已知函数则函数的值域为___________.若函数有3个零点，则k的范围是___________. 【答案】 【分析】利用导数说明函数在时的单调性，即可做出函数图象，结合函数图象即可求出函数的值域，函数有3个零点，即可与有3个交点，结合函数图象即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为，当时，则，当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，则当时取得极小值，且 当时，所以，函数图象如下所示： 由函数图象可知函数的值域为，函数有3个零点，即与有3个交点，所以，即 故答案为：， 14．祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 【答案】 【分析】在深度处作水平截面，根据条件可得截面面积为，再由祖暅原理，即可求解. 【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为处作水平截面，半球壳的截面为圆环， 则圆环外半径为，内半径为， 则浸入水中部分的截面面积为，与无关， 发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为，底面半径为的圆柱的截面面积相同， 又浸入水中部分的深度为，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为． 15．任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有 ①．若，则使得需要步“雹程”; ②．若，则; ③．若，则数列的前项和为; ④．若，则m的所有可能取值之和为. 【答案】①②④ 【分析】对①直接根据“冰雹猜想”的递推关系进行推理可得；对②由“冰雹猜想”的递推关系可得数列的一个周期为3，进而可得；对③同样可得数列是周期为3，从而可得前的和；对④由进行反向推理，分别判断可得. 【详解】对于①：当时，根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， 则使得需要10步“雹程”，①正确． 对于②：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， ，故，②正确． 对于③：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， 故数列的前2025项和为，③错误． 对于④：当时，则或， 当时，则，进一步可得，所以或，所以或，即或； 当时，则，进一步可得或，所以或， 所以或或或，即或或或. 所以m的所有可能取值之和为，故④正确． 故选：①②④. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. (1)证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面垂直可得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，交线为平面， 所以平面，又平面，故. 又因为平面， 所以平面，而平面， 故平面平面. （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，由题设得，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，可得. 又是平面的法向量， 设平面与平面所成角为， ，所以， 所以平面与平面所成角的正弦值是. 17． （13分）已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为;③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式. （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，进而求得函数的值域. （3）根据方程结合正弦函数图象得到方程根的个数，结合三角函数图象的对称性分组求和. 【详解】（1）由题意，函数 ， ①②或②③ 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 18．（14分）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）． （3）请比较“不购买通关币的收益期望值” 与 “购买 1 枚通关币的收益期望值” 的大小.(直接写出结论无需证明) 【答案】(1) (2) （3）< 【分析】（1）分四类情况讨论即可； （2）分四类情况分别求出可能的收益，再求对应的概率即可求得期望值. 【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用. 而通过三关的概率依次为：， 则李华通过该游戏的概率． （2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元， 则收益可能为：（未使用通关币过关）， （使用1枚通关币且过关）， （使用2枚通关币且过关）， （使用2枚通关币且未过关）， 则 则. 所以他最终获得的收益期望值是元. （3）< 19．（15分）已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得,即可得椭圆方程. (2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0,设直线方程与椭圆联立求得,根据设出点坐标,用斜率公式求得坐标,再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出,分离常数,变为积为定值的形式,再用基本不等式即可. 【详解】（1）解:由题知抛物线的准线为,, 因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形, , 故椭圆的标准方程为:; （2）由(1)得椭圆的方程为, 的垂线交轴于,的斜率存在, 连接交椭圆于两点,的斜率不为0, 不妨设, 则,联立,即, , , 设, ,,解得:, 到直线的距离为:, , 当且仅当,即时取等, 故面积的最小值为. 20．（15分）已知函数. (1)证明：有且只有一个极值点； (2)若恰有两个零点. （i）证明：； （ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）法一：，再设新函数再次求导，得到其单调性，再结合极限知识和零点存在性定理和极值的定义即可得到其唯一极值点；法二：同法一利用二次求导法，通过取值再结合零点存在性定理即可证明； （2）（i）法一：首先讨论的情况，再研究，代入隐零点得到方程组，消去，再设新函数，求导后得到其单调性，再结合零点存在性定理即可得到证明；法二：同法一消去，再设新函数，求导得其单调性，计算和即可证明； （ii）法一：利用，再设新函数，通过多次求导研究即可；法二：将代入即可得，再设新函数并求导，最后再对分三类讨论即可；法三：同法二得到，再设新函数并求导，最后对分两类讨论即可. 【详解】（1）解法一：函数的定义域， 令，因为， 所以在单调递增，即在单调递增. 又. 所以存在唯一的实数，使得，即. 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 故为的极小值点，即有唯一的极值点； 解法二：同法1得到在单调递增. 由于 ， ， 所以存在唯一的实数，使得，即， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 故为的唯一极值点. （2）（i）解法一：由（1），得. ①当时，至多一个零点，不合题意，舍去； ②当，即时， 由消去得，， 令， 因为，所以为减函数， 又因为，所以的解集为. 又在单调递增，所以. 又. 此时有两个不同的零点，即. 解法二：同法1得到 . 此时 又，则， 由零点存在性定理，存在，使得. 综上，可得. （ii）解法一：由于，所以可化为. 令， 则 ， 设，则，则， 则，即，从而. 令，所以在单调递增， 所以，所以， 即， 所以，所以在单调递增. 所以，故. 解法二：将代入整理得 令， 当时，因为，所以， 所以，显然成立； 当时，， 令，则. 显然在单调递增，所以. ①当，则， 此时在单调递增， 所以，即. 所以在单调递增，所以， 欲使，只需，即. 即时，符合题意. ②当时，则， 又， 若，则， 又在连续， 则存在，使得，这与矛盾； 若，则显然不恒成立 综上，实数的取值范围为. 解法三：将代入整理得 令 ①当时，. 又， 若，则， 又在的图象是连续不断的， 故存在，使得，这与矛盾； 若，则显然不恒成立 所以时，不恒成立. ②当，因为， 令 又， 因为，所以. 所以 所以在单调递增， 所以. 综上，实数的取值范围为. 21．（15分）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项； （ii）分为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可. （2）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式. 【详解】（1）（i）由为1阶跳跃等差数列，得， 则，，. （ii）当为偶数时，设（），前项包含个奇数项和个偶数项. 奇数项和， 偶数项和， 所以，则. 当n为奇数时，. 综上，. （2）因为数列为k阶跳跃等差数列，且，所以. 因为，， 所以，， ，， 当时，. 设（），则，则单调递增， 则，则， 所以的前（）项中不大于的项数为，则， 则. 设， 则， 则 ， 所以， 所以. 因为，所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 数学 试卷特点： 【新定义】创设全新数学概念，考查抽象概括与迁移应用能力 试题通过定义**全新数学概念/规则**，要求考生快速理解定义内涵，结合已有知识解决问题，侧重考查抽象概括、逻辑推理和知识迁移能力，此类题型集中在填空题和解答题压轴位置，难度偏高。 1、第15题（冰雹猜想）：定义“冰雹猜想”的递推关系，结合数列递推、周期数列、反向推理等知识设计结论判断，考生需先吃透“雹程”“奇偶递推规则”，再逐一验证四个结论，考查对新定义的快速理解和数列知识的综合应用。 2、第21题（阶跳跃等差数列）：首次定义“k阶跳跃等差数列”（存在正整数k，对任意正整数n，满足），围绕该定义设计两小问，先利用定义求数列项和前n项和，再结合概率、错位相减法证明不等式，将新定义与等差数列、数列求和、概率综合，层层递进考查定义应用能力。 【新情景】结合现实生活/实际应用，考查数学建模与解决实际问题能力 以现实生活、生产实践、科技发展为背景创设问题情景，将数学知识融入实际问题，要求考生构建数学模型（如概率模型、函数模型、数列模型），将实际问题转化为数学问题求解，体现数学的应用性，此类题型分布在选择、解答题，难度中等至偏上。 1、第8题（生产线工时问题）：以新技术生产的工时递减为背景，给出生产n件产品的平均工时函数，结合“工时递减速率”考查数列与函数的实际应用，考生需根据题意代入参数，化简求解平均工时之比，贴近工业生产实际。 2、第18题（密室逃脱游戏）：以当下热门的密室逃脱为背景，结合独立事件概率、数学期望设计问题，涉及“报名费、奖励、通关币购买与回收”等实际经济元素，要求考生分情况讨论通关概率、计算收益期望，构建概率模型解决实际问题，情景贴近生活，趣味性与综合性兼备。 第14题（祖暅原理与半球壳漂浮）：以祖暅原理为背景，结合空心铁质半球壳的水中漂浮问题，考查几何体体积的求解，要求考生利用祖暅原理将不规则几何体的 【新考法】突破传统命题形式，考查知识综合与灵活解题能力 打破传统单一知识点的命题形式，通过“多知识点融合”“条件选择性求解”“逆向设问”“存在性问题”等创新考法，考查考生的知识综合运用、逻辑推理和灵活解题能力，此类题型覆盖全题型，是试卷的核心考查维度。 选择题/填空题新考法 1、第7题（直线与圆的存在性问题）：将直线上的点、圆上的点与向量垂直结合，通过设点坐标转化为一元二次方程的有解性问题，考查直线、圆、向量、二次方程判别式的综合应用，突破传统直线与圆的位置关系考法。 2、第9题（等比数列与基本不等式）：将等比数列通项与基本不等式结合，化简后求最值，打破传统等比数列单一求项、求和的考法，考查等比数列与不等式的综合应用。 3、第10题（伯努利双纽线）：以新曲线为背景，将解析几何、向量数量积、余弦定理、三角形面积综合，设计“不正确结论判断”，突破传统圆锥曲线的考法，考查曲线方程推导和几何性质分析能力。 4、第13题（分段函数的双问考查）：一道题同时考查分段函数的值域和零点个数问题，结合导数研究函数单调性，通过数形结合求解，突破传统单一考查函数性质的考法。 解答题新考法 1、第17题（三角函数的条件选择性求解）：给出三个条件（奇函数、相邻对称轴距离、），要求选择两个作为已知使得函数存在，再求解解析式和值域，打破传统三角函数“已知条件直接求解”的考法，考查考生的条件分析和逻辑判断能力。 2、第20题（函数极值与零点的多问证明/求解）：函数题分三问，先证明唯一极值点，再证明零点相关不等式，最后结合极值点求参数范围，采用**“多次求导、隐零点代换、分类讨论”** 等方法，突破传统函数单一求极值/零点的考法，考查导数的综合应用和逻辑证明能力。 3、第19题（椭圆与三角形面积最值）：将椭圆与直线相交、点动成线、垂线交轴、三角形面积最值结合，考查椭圆方程、联立方程求根、点到直线距离、基本不等式求最值，突破传统椭圆单一求轨迹、弦长的考法，考查解析几何的综合运算能力。 【跨学科】融合其他学科知识，考查学科交叉与综合应用能力 将数学知识与物理、历史、工程学等其他学科知识融合，打破学科边界，考查考生的跨学科综合应用能力，体现数学作为基础学科的工具性，此类题型分布在填空、选择题，难度中等。 1、第14题（数学+物理+历史）：融合数学的祖暅原理、几何体体积，物理的浮力与物体浸入水中的深度，历史的中国古代数学成就，考查跨学科知识的结合应用，体现数学与物理、历史的关联性。 2、第8题（数学+工程学）：融合数学的数列、函数，工程学的生产线工时、生产效率，将工业生产中的工时递减问题转化为数学问题，考查数学在工程学中的应用。 3、第18题（数学+经济学）：融合数学的概率、期望，经济学的成本、收益、回收，将密室逃脱的消费、奖励转化为概率期望模型，考查数学在经济生活中的应用。 【创新题】设计新颖问题形式/解题思路，考查创新思维与探究能力 试题通过“新颖的问题形式、独特的解题思路、开放性的设问”设计创新题，要求考生跳出常规解题思维，进行自主探究、逻辑推理和创新求解，此类题型集中在压轴题（填空15题、解答20/21题），难度偏高，侧重考查数学核心素养和创新思维。 1、第15题（冰雹猜想）：以著名的数学猜想为背景，设计反向推理问题（已知，求m的所有可能取值），打破传统数列的正向递推考法，要求考生逆向思考，逐一推导可能的初始值，考查探究能力和逻辑推理能力。 2、第21题（阶跳跃等差数列）：全新定义数列类型，将新定义与概率、数列求和、不等式证明综合，最后一问要求证明，需要考生先确定数列项的分布，再结合错位相减法求和证明，解题思路新颖，考查创新思维和综合论证能力。 3、第20题（函数零点与极值点）：利用隐零点代换证明不等式，结合极值点的范围求参数取值，需要考生多次求导研究函数单调性，通过构造新函数求解，解题思路独特，考查考生的创新解题能力和逻辑推理能力。 4、第10题（伯努利双纽线）：以非圆锥曲线的新曲线为背景，设计多项性质判断，要求考生自行推导曲线方程，结合向量、余弦定理分析几何性质，打破传统解析几何的圆锥曲线考法，考查考生的自主探究和知识迁移能力。 本试卷五大创新维度相互融合、层层递进，新定义侧重抽象概括，新情景侧重数学建模，新考法侧重知识综合，跨学科侧重学科融合，创新题侧重创新思维，全面考查考生的数学核心知识、基本方法和学科素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）。试题难度梯度合理，基础题考查核心知识，中档题考查综合应用，压轴题考查创新思维，符合高考北京卷的命题特点和趋势，兼具基础性、综合性、应用性和创新性。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知焦点为F的抛物线上有一点A，满足，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 4．已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 5．已知数列是公差不为零的等差数列，若，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 8．随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 9．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 10．如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（ ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在中，，，，则________． 12．已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 13．已知函数则函数的值域为___________.若函数有3个零点，则k的范围是___________. 14．祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 15．任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有 ①．若，则使得需要步“雹程”; ②．若，则; ③．若，则数列的前项和为; ④．若，则m的所有可能取值之和为. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. (1)证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成角的正弦值. 17． （13分）已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为;③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 18．（14分）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）． （3）请比较“不购买通关币的收益期望值” 与 “购买 1 枚通关币的收益期望值” 的大小.(直接写出结论无需证明) 19．（15分）已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值. 20．（15分）已知函数. (1)证明：有且只有一个极值点； (2)若恰有两个零点. （i）证明：； （ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 21．（15分）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. / 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前预测卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 6 7 8 0 10 A D A C B D D B B A 第二部分（非选择题共92分) 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 1、553万 12、-5 13、[-1,+o （-e2,0)14、2m 15、①②④ 1616 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(13分) 【详解】(1)因为平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD,BC⊥CD,BCc平面ABCD, 所以BC⊥平面CMD,又DMc平面CMD,故BC⊥DM. 又因为DM⊥CM,BC∩CM=C,BC,CMc平面BMC, 所以DM⊥平面BMC,而DMc平面AMD, 故平面AMD⊥平面BMC.(6分) (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-z 因为MC=MD,由题设得D(0,0,0),A2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1, AM=（-2,1,1,AB=(0,2,0,DA=（2,0,0), 设n=x,y,z是平面MAB的法向量，则 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AM=0 [-2x+y+z=0 即 n.AB=0’ 0，令x=1,可得n=1,0,2 2y=0. 又DA是平面MCD的法向量， 设平面MAB与平面MCD所成角为O, cos0 =cos<i,DA>= i.DA√5 DA 5 所以sim0=V-cs9.25 所以平面MAB与平面MCD所成角的正弦值是25 (13分) 17.(13分) 【详解】(1)由题意，函数f(x)=V3sin(ox+p)+2sin2 =3sin(@x+)-cos(ox+)=2sin(ox+-), 6 ①②或②③ 因为函数八纠图象的相邻两对称轴同的距离为受所以1=X,可得@=2， 又由函数f(x为奇函数，可得f(0)=2sin(p- =0，所以0-至标kZ, 6 因为0<p<n,所以0=石，所以函数f=2sin2x,(6分) (2)将函数f(x)的图象向右平移工个单位长度，可得y=2sin(2x-)的图象， 6 再把横坐标缩小为原来的)，得到函数y=g(x)=2si(4x-)的图象， 当x吾时，晋5， 12'6 当4x-正=-交时，函数g)取得最小值，最小值为-2， 32 当4红-否-晋时，函数g取符设大值，最大值为v, 故函数g(x)的值域[-2，V3].(13分) 18.(14分) 【详解】(1)由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用：④没有使用. 211 而通过三关的概率依次为：23 2/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1112112122111 则李华通过该游戏的概率P=二×二×二+二×二×二+二×二×二+二×二×二= (4分) 3233233233232 (2)购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元， 则收益可能为：x,=400-(150+200-100)=150(未使用通关币过关)， x2=400-(150+200-50)=100(使用1枚通关币且过关)， x,=400-(150+200)=50(使用2枚通关币且过关)， x4=-(150+200)=-350(使用2枚通关币且未过关)， 2.111 则p4=150)=号×2×有9 p(x2=100)= 117 2918 111,112,212_7 p=50)=3×2x十方×2*33*2*318 1x1x2-1 p,=-350)=方×2×写9 7 则E()=150×g+100× 50x7-350 1325 18 18 99 所以他最终获得的收益期望值是325 元.(11分) (3)E1E2(14分) 19.(15分) 【详解】(1)解：由题知抛物线的准线为x=-√5，c=√5， 因为椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形， :6=1a=2,故椭圆的标准方程为女+y广=1：(4分) 4 2)由0得椭圆的方程为+产=1少 :MN的垂线交x轴于Q,:.MN的斜率存在 :连接OP交椭圆于M,N两点MN的斜率不为O, 不妨设1Mw:y=kx,M(x,y),N(x2,y2, y=kx 4 -4 x+x2=0,xx=1+4k2 3/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 MN=+k.)-4x=+k 16 V1+4k 设Q(m,0), PO⊥MN,k0kw=2k=-1解得m 1 k 2k2 k (1,k 1,k2 “Q到直线MW的距离为 (2k'2 22 V1+k2 V1+k2 1,k2 16 22= V1+4k2 V1+k2 11+4+3=+4k+4 V1+4k24V1+4k24 2,N1+4k2 3 3 V1+4k22 当且仅当V1+4k2= +级即=士时取签 3 故△MMNQ面积的最小值为V .(15分) 20.(15分) 【详解】(1)解法一：函数f八x)的定义域(0，o,fx=e-1-a, 令g=e士a,因为g1=e+曰>0， 所以g(x=e-1-a在(0，+o单调递增，即f代y)=e-】-a在(0，+w单调递增 x x 又x→0，f=c-1-a<0sx→tw,f川y=e-1-a>0 所以存在唯一的实数，使得f'(x,=0,即- -=a 当xe(0,x)时，f'(x<0,所以f(x单调递减： 当x∈(xo,+0)时，∫'(x>0,所以f(x单调递增； 故x=x为f(x)的极小值点，即f(x有唯一的极值点；(4分) 解法二：同法1得到f'(x)=e-上-a在(0，+o)单调递增 4/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 由于八a+e+i =e_1-a=cMic-(lal+c+1)-a 1 a+e+1 <e-(a+e+1)-a<-a-a-1<0, f'(a+2)=e2-1 +2a>a+2+1- 1 +2-a>0, 所以存在唯一的实数x,∈ a+2+2, 使得了x,=0,即e-1=a, 当xe(0,x)时，f'(x<0,所以f(x单调递减： 当x∈(xo,+o时，f'(x>0,所以fx)单调递增； 故x=x为f(x)的唯一极值点.（4分) (2)()解法一：由(1)，得f(x)值=f(x. ①当f(x)≥0时，f(x至多一个零点，不合题意，舍去； ②当f(xo）<0,即e-lnx-ax。-1<0时， [ew_L=a, 由 消去a得，(1-xe-lnx。<0, e%o-Inxo-axo-1<0, p(x)=(1-x)e*-Inx(x>0), 因为p1到=心-<0，所以p到=1-e-为减函数， 又因为p(1=0,所以1-xo)e-lnx。<0的解集为1，+o) 又y=e-上在（仙，+o)单调递增，所以a=e-1∈e-l,+o. 又x→0，fx)>0:x→+，fx)>0. 此时f(x)有两个不同的零点，即a>e-1.(9分) 解法二：同法1得到a=e-士∈e-1,+o)。 xo 此时fea=e"-lnea-aea-l>l+a-aea-1=a1-ea）>0 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 fa+1=ea1-lna+1-a(a+1-1>(a+1)2-(a+1-1)-aa+1-1=0 又a+1-x=e-1-,+1>0,则e“<x,<a+1, 由零点存在性定理，存在x∈(e,x),x2∈(，a+1),使得fx)=f(x,)=0 综上，可得a>e-1.(9分) e、1 (i)解法一：由于x,∈1，+o,所以x>血，可化为m≤。 Xo-Inxo 令ax刘-x-n x,x∈(1，+oo)' 4we》e- (x-Inx)2 cx-m--刃+x-+1- (x-Inx) g-m-1+2x-r, (x-Inx) 设(x=x-1-nx,x>1,则(x)=->0,则0(x>6=0, 则x-1-lnx>0,即x-nx-1>0,从而x-lmc-1+>1>0. xx 令o(d=2x-lnr-1,p'(x)=2-1>0,所以px)在1，+∞)单调递增， 所以p(x)>p(1=2-ln2-1=1-ln2>0,所以2x-lnr-1>0, 郎e -r1+2-m- >0 (x-Inx)2 所以h'x>0,所以h(x)在(1，+oo)单调递增. 所以h(x)>h1=e-1,故m≤e-1.(15分) 解法二：将e-=a代入整理得e-≥m(,-l】 x。 令-e-m-r 当m≤0时，因为x>1,所以e-1>0,x>nr, 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以h(x=e-1-m(x-lnr)>0,显然成立； 当m>0时，到=e+-e+x- 令(x=e+-m(x-,则μ(x)=(x+1e- x7-m 显然μ'(x在(1，+o)单调递增，所以u'(x)>2e-1-m ①当m≤2e-1,则u'(x>2e-1-m≥0， 此时μ(x)=xe+1-mx-)在1，+)单调递增， 所以μ(x>e+1>0,即h'(x>0 所以h(x在(1，+o)单调递增，所以h(x>h(1)=e-1-m, 欲使h(x>0,只需e-1-m≥0，即m≤e-1. 即0<m≤e-1时，符合题意. ②当m>2e-1时，则h(1=e-1-m<0, 又2到-e-号m2-h2, 若h(2)≥0，则h)h(2)≤0， 又h(=e-1-m(x-lny在(l,to)连续， x 则存在x。e(1,2),使得h(xo)<0,这与h(x≥0矛盾； 若h(2)<0,则h(x)≥0显然不恒成立 综上，实数m的取值范围为m≤e-1.(15分) 解法三：将e-=a代入整理得e-1≥m(。-l) xo 令h()=e-1-mlx-lnr ①当m>e-1时，h(1=e-1-m<e-1-e-1=0 又l2=e-号m2-h2, 若h(2)≥0，则h1)h(2)≤0， 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又h()=c-1-m(x-1nr)在L,+o的图象是连续不断的， 故存在x∈(1,2)，使得h(x)<0,这与h(x)≥0矛盾； 若h(2)<0,则h(x)≥0显然不恒成立 所以m>e-1时，h(y=e-1-m(x-ly>0不恒成立 ②当m≤e-1,因为x>lnx,h(x≥e-】-(e-l(x-lnr, v(x)=e"---(e-1)(x-Ix),v(I)=0 又e+e-听 因为x>1,所以e>e. 所以>e+-e--++10 所以v(x在(1，+o)单调递增， 所以y(x>v(1=0 综上，实数m的取值范围为m≤e-1.(15分) 21.(15分) 【详解】(1)(i)由{an}为1阶跳跃等差数列，得an+2-an=2, 则a3=a1+2=3,a4=a2+2=2,a6=a4+2=4(4分) (i)当n为偶数时，设n=2m(meN),前2m项包含m个奇数项和m个偶数项. 奇数项和S=1+3+5+…+(2m-=m1+2m-=m, 2 偶数项和Sa=0+2+…+2m-2=m0+2m-2=m2-m, 2 所以=5+=2-m,则s29-“2” 当n为奇数时，又=S-0-+a+-a+1-2引=-n+2 2 2 2-n+2,n为奇数 2 综上，Sn= (9分) 内数 8/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)因为数列a}为k阶跳跃等差数列，且d=2，所以an+k=an+2. 因为a,=1<2,a2=a,=…=a41=0<2, 所以ak2=1+2<2*1，ak43=a4=…=a2+2=2<2*, a23=1+2*1>24,a244=a2k45==at43=2, 当n>3k+3时，0n>2*+ 设∫(k)=4-3(k+1(k≥2)，则f(k+1-f(k)=3.4-3>0,则f(k)单调递增， 则fk)≥f(2)=7>0,则4*>3k+3, 所以a,}的前4(k≥2)项中不大于2的项数为3k+3-1=3+2,则n,=1-3张+2， 4 则P,+P+…+p4=k-1-宁3i+2 4 设7=3+2_8+山+14+3张+2 名44+④+4 十…+ 4, 则时-+++装2 41, 则-年+++ 1 、(1,1 1)3k+2 4+1 11 =7+3×4413k+293k+6 1 1 1- 4*1164+州’ 4 所以7}年是， 所以n+n++P,=k-1-3++2=k- 7,k+2 4444 因为是>0，所以+B++A>-子15分> 9/9