精品解析：甘肃武威第十六中学2025-2026学年第二学期八年级数学3月学情检测试卷

2025-2026学年第二学期八年级数学3月学情检测 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 6 B. C. 2 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 2. 已知：，，则代数式的值是（ ） A. 6 B. 24 C. 42 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可． 【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意； B、，被开方数为，与不同，不符合题意； C、，被开方数为，相同，符合题意； D、，被开方数为，与不同，不符合题意； 故选： C． 4. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简，再根据被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如果，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 6. 若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，（，）． 利用二次根式的乘法，将分解成，得到，进而根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 8. 如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（ ）米． A. 1 B. 2 C. 0.5 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，米，米，米， 在中，， ， ， 在中，， ， 则梯子顶端A下滑了米． 9. 如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开可得到长为，宽为圆柱的高的长方形，根据勾股定理即可求出的长，即为所求． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是长方形， 长方形的长为圆柱的底面周长为，宽为圆柱的高为， 根据勾股定理得： ， 根据两点之间线段最短，可得这条彩带的最小长度是为． 10. 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式，化简后被开方式相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得 解得 故答案为： 12. 若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入原式求出y的值，最后计算y的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的定义 可得 ， 将代入，得， 的算术平方根为． 13. 已知，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、乘法公式，解题的关键是熟练掌握应用乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则． 将代入代数式，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可． 【详解】解：把代入代数式得， 原式 ． 故答案为：． 14. 当时，化简：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简．先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 15. 如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式 在实数范围内有意义，需满足被开方数 ， 解不等式 ，得， 故答案为：． 16. 如图，在中，，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交延长线于点，得到是等腰直角三角形，垂直平分，利用可证明，得到，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交延长线于点， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是边的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合，合理作出辅助线，构造全等三角形及直角三角形是解题关键． 17. 如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 18. 如图，是的高，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的高， ， 在Rt中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 的面积为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、乘方、零次幂、负整数指数幂的运算，熟练掌握各类运算的法则和二次根式的化简是解题的关键． （1）先分别计算算术平方根、平方运算，再进行加减运算即可； （2）先分别计算乘方、零次幂、负整数指数幂和二次根式，再进行有理数的加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知．求的值． 【答案】18 【解析】 【分析】求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 21. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值问题，二次根式的混合运算，在化简的过程中运用平方差公式，注意运算的结果要化成最简分式或整式．最后再代入数值进行分母有理化即可． 【详解】解：原式 ， 当a时，原式； 22. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 若实数，，满足． （1）求的值． （2）若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求代数式的值，等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 对于（1），先根据二次根式的性质求出c，再根据绝对值和二次根式的非负性求出a,b,然后求出代数式的值； 对于（2），根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，得，， 解得． ， ，． ； 【小问2详解】 解：当是腰长，是底边长时，等腰三角形的腰长之和：，舍去； 当是腰长，是底边长时，等腰三角形的周长为． 综上，这个等腰三角形的周长为． 24. 如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵ ∴  ∴ ∴是直角三角形 ∴， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，一元一次方程的应用知识点，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用是解题的关键． （1）先利用垂直平分线性质得到，再将已知等式变形，用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得到， （2）设，用表示，再由得到，在中用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ∵ ∴ ∵  ∴ 在 中， ∵ ∴ ∴ ∴。 ∴ ∴ ∴的长为． 25. 如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】（1）“远方”号沿东南方向航行 （2）25海里 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． 【小问2详解】 解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 26. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）求的值； （3）在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可得解； （2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【小问1详解】 解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示， 点所表示的数为； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ，， ， ， ， ； （法二：， ， ， ， ， ， ）； 【小问3详解】 解：由题可知， ，， ，， ， 的平方根为． 27. 已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）3 （2） （3） 解：，理由： ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． （1）结合题意，求得，然后化简求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学3月学情检测 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 6 B. C. 2 D. 0.5 2. 已知：，，则代数式的值是（ ） A. 6 B. 24 C. 42 D. 96 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 如果，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（ ）米． A. 1 B. 2 C. 0.5 D. 2.5 9. 如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 12. 若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 13. 已知，则代数式的值是______． 14. 当时，化简：________． 15. 如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为__________． 16. 如图，在中，，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，，则等于________． 17. 如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 18. 如图，是的高，，，，则_____． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知．求的值． 21. 先化简，再求值：，其中 ． 22. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 23. 若实数，，满足． （1）求的值． （2）若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 24. 如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． （1）求证：． （2）若，，求的长． 25. 如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 26. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）求的值； （3）在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 27. 已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $