20.1.2 多边形及其内角和 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

多边形及其内角和 一、单选题 1．一个七边形的内角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题． 【详解】解：一个七边形的内角和等于， 故选：B． 2．正十二边形的外角和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于． 【详解】解：因为多边形的外角和为，所以正十二边形的外角和为． 故选：C． 3．若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 4．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故选：D． 5．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解． 【详解】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180°=900°， 解得n=7， ∴这个多边形的边数是7， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． 6．每一个外角都是的正多边形是（    ） A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是， 故选：D． 7．已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（    ）条对角线 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为，边形的内角和为，外角和为，从边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线， 故选：B． 8．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 9．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 10．在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 11．直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 12．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 13．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 14．如图，五边形中，，，，则______°． 【答案】205 【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ， 故答案为：205． 15．将边长相等的正五边形和正八边形按照如图所示的方式放置，则______°． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．先分别求出正五边形和正八边形的每个内角，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：正五边形的每个内角为：， 正八边形的每个内角为：， ， 故答案为：． 16．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 17．若边形的对角线共有条，则这个多边形是______边形． 【答案】八 【详解】本题考查了多边形对角线的条数问题，利用多边形对角线条数公式建立方程，即有，然后根据因数求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据题意得， 所以， 因为， 所以， 故答案为：八． 18．如图1，为度，如图2，为度，则__________．    【答案】0 【分析】将图1原六边形分成两个三角形和一个四边形可得到的值，将图2原六边形分成四个三角形可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：如图1，将原六边形分成两个三角形和一个四边形，   ，， 如图2，将原六边形分成四个三角形，   ，， ， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，此类问题通常连接多边形的顶点，将多边形分割成四边形和三角形，通过计算四边形和三角形的内角和，求得多边形的内角和． 19．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 20．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 【答案】540 【分析】连接DG、AC，在四边形EFGD中，根据四边形内角和为360°，三角形内角和为180°，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°，进而即可求解． 【详解】解：连接DG、AC． 在四边形EFGD中，得∠E＋∠F＋∠EDG＋∠DGF＝360°， 又∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°， ∴∠GAB＋∠B＋∠BCD＋∠EDC＋∠E＋∠F＋∠AGF＝540°． 故答案为540． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 21．已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 【答案】(1)n的值为12； (2)n的值为5． 【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答； （2）先求得这个正多边形的每个外角为，根据多边形外角和定理解答即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得，即n的值为12； （2）解：∵正多边形的一个内角为， ∴这个正多边形的外角为． ∵多边形的外角和为， ∴，即n的值为5． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于360°． 22．如下图，四边形中，∠B=90°，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 23．如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数． 【答案】 【分析】根据五边形的内角和求出和的和，再根据角平分线及三角形内角和求出的度数． 【详解】解：五边形的内角和等于，， ； ，分别平分，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键． 24．【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080 【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论； 尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； 拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则； 提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案． 【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：    由三角形外角性质得：， ； 尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：    由“建立模型”得：， ， ， 在中，， ， 故答案为： 180 ； 拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：   ， ， 在中，， ， 由“尝试应用”得：， ； 提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：． 故答案为： 1080 ． 25．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 26．在△ABC中，，．点D、E分别在△ABC的边上，且均不与△ABC的顶点重合，连接，将△ABC沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的，．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分六种情况：或或或或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：48； （2）解：， ， 故答案为：222； （3）解：由（2）知， ， 由折叠知， ， ， 得：； （4）解：如图，当时， ， ， ， 由（3）知， ， 由折叠知， ； 如图，当时， ； 如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意； ； 如图，当时，点落在上，不符合题意； ； 如图，当时，， ； ∴； 如图，当时，， ； ∴ 综上可知，的度数为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 多边形及其内角和 一、单选题 1．一个七边形的内角和等于（     ） A． B． C． D． 2．正十二边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 3．若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 4．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 6．每一个外角都是的正多边形是（     ） A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形 7．已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（      ）条对角线 A．6 B．7 C．8 D．9 8．下列关于正多边形的说法中，正确的是（      ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 9．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（      ） A．10 B．11 C．12 D．13 11．直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（     ） A． B． C． D． 12．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是________． 14．如图，五边形中，，，，则______°． 15．将边长相等的正五边形和正八边形按照如图所示的方式放置，则______°． 16．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 17．若边形的对角线共有条，则这个多边形是______边形． 18．如图1，为度，如图2，为度，则__________．    19．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 20．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 三、解答题 21．已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 22．如下图，四边形中，∠B=90°，，，的外角分别为，，．求的值． 23．如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数． 24．【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    25．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 26．在△ABC中，，．点D、E分别在△ABC的边上，且均不与△ABC的顶点重合，连接，将△ABC沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的，．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $