20.1.1 四边形及其内角和 同步练习 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学导学案围绕四边形及其内角和展开，涵盖四边形稳定性、内角和定理、外角性质等核心知识点。通过生活实例（如伸缩门、自行车车架）导入，衔接三角形稳定性，构建“三角形-四边形”知识支架，引导学生从已有认知过渡到新知。 资料特色在于融合生活情境与数学原理，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过推理证明题（如外角与内角关系证明）发展数学思维，综合题（折叠、角平分线）提升几何直观与空间观念。题目分层设计，兼顾基础与拓展，助力学生自主学习，便于教师评估教学效果。

四边形及其内角和 一、单选题 1．下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（     ） A．学校大门口的伸缩门 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．自行车的三角车架 D．把弯曲的河道改直 2．下列图形中不具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 4．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（    ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 6．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，有四个半径为2的圆，它们彼此分离，将它们的中心连接起来形成一个四边形，则图中阴影部分的总面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，，将沿虚线剪去，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，分别平分和，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若∠D=90°，，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列图形中具有稳定性的是_______．（填序号） 12．四边形中有三个角分别为，则第四个角的度数为____________． 13．如图，，则的值是____________． 14．四边形中，，则____________． 15．如图，是四边形的外角，若，则______． 16．如图，在凸四边形中，，，平分，，则_______． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，与相邻的外角是．求和的度数． 18．求出下列图形中的值． 19．如图，是四边形ABCD的外角，已知求证：． 20．如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：． 21．如图，在中，将沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示． 22．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 23．在四边形中，． (1)如图1，若，则______度； (2)如图2，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，作和的平分线交于点，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四边形及其内角和 一、单选题 1．下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（    ） A．学校大门口的伸缩门 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．自行车的三角车架 D．把弯曲的河道改直 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．根据三角形的特性，判断各选项是否利用了三角形的稳定性． 【详解】解：A． 学校大门口的伸缩门应用了四边形的不稳定性； B． 用两颗钉子把木条固定在墙上应用了两点确定一条直线； C． 自行车的三角车架应用了三角形的稳定性； D． 把弯曲的河道改直应用了两点之间线段最短； ∴ 应用了三角形的稳定性的是C， 故选：C． 2．下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得解． 本题主要考查了三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、B、C图形都是由三角形组成的，都具有稳定性．D图形是四边形，不具有稳定性． 故选：D． 3．如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用．根据多边形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 4．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【详解】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数． 5．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 6．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，邻补角的性质，先证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D 7．如图所示，有四个半径为2的圆，它们彼此分离，将它们的中心连接起来形成一个四边形，则图中阴影部分的总面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查四边形内角和，圆的面积，根据四边形内角和为360度，可得图中四个阴影部分可以构成一个半径为2的整圆，根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：四边形内角和为360度， 图中四个阴影部分可以构成一个半径为2的整圆， 图中阴影部分的总面积为：， 故选B． 8．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 9．如图，在四边形中，分别平分和，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内角和与角平分线的性质，解题的关键是利用四边形内角和求出的度数，再结合角平分线求出的度数，最后根据三角形内角和求出． 先由四边形内角和求出，再根据角平分线得出与和、的关系，进而求出，最后用三角形内角和求． 【详解】解：已知， ， 、分别平分和， ，， ， ， ， 故选：B． 10．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键． 延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求． 【详解】解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为， ， ， ． 由折叠的性质可得：． ， ． 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题 11．下列图形中具有稳定性的是_______．（填序号） 【答案】①④⑥ 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：图形中具有稳定性的是①④⑥． 故答案为：①④⑥． 12．四边形中有三个角分别为，则第四个角的度数为____________． 【答案】135° 【分析】根据四边形内角和定理计算即可． 【详解】解：=135°， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和的计算方法． 13．如图，，则的值是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了四边形外角和定理与邻补角的性质，掌握四边形外角和为、邻补角的和为是解题的关键． 先利用四边形外角和为，求出第四个外角的度数，再根据邻补角的和为，计算出的值． 【详解】解：∵四边形的外角和为，且， ∴ 第四个外角的度数为， ∵ 与这个外角互为邻补角， ∴． 故答案为： ． 14．四边形中，，则____________． 【答案】 【分析】根据四边形内角和定理，四边形的内角和为，结合角度比例设未知数列方程求解． 本题主要考查了四边形内角和为，熟练掌握并运用是解题的关键． 【详解】解：设，，，， 则， 解得， 故． 故答案为：． 15．如图，是四边形的外角，若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，先由平角的定义求出的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在凸四边形中，，，平分，，则_______． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质及角平分线的概念，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．在上截取，通过证明，得到，，再利用邻补角的定义证得，根据四边形内角和为即可得答案． 【详解】解：如图，在上截取， 平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，四边形内角和为， ∴． 故答案为： 三、解答题 17．如图，在四边形中，，与相邻的外角是．求和的度数． 【答案】， 【分析】根据邻补角的性质，和多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，和多边形的内角和定理，熟练掌握邻补角的性质，和多边形的内角和定理是解题的关键． 18．求出下列图形中的值． 【答案】36；40 【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程． 先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 19．如图，是四边形ABCD的外角，已知求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据四边形内角和定理可知，再根据平角的定义得到，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形内角和定理，平角的定义，熟知四边形内角和是360度是解题的关键． 20．如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题重点考查四边形的内角和等于、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．由，根据四边形的内角和等于求得，而，则，即可由，，，证明，则． 【详解】证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． 21．如图，在中，将沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质（折叠前后对应角相等）及四边形内角和定理，解题的关键是利用折叠性质得到对应角相等，结合平角定义将、转化为四边形的内角，再通过内角和关系推导求解． （1）先由内角和求；再由折叠得、，结合平角定义得、；最后在四边形中，用四边形内角和为列等式求即可； （2）将（1）中替换为，同理推导与的关系． 【详解】（1）解：∵ 在中，，且，， ∴ ； ∵ △ABC沿对折，点落在处， ∴ ，，且； ∵ （平角定义），， ∴ ； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 又∵ （平角定义）， ∴ （2）解：∵ 在△ABC中，，且， ∴ ； 由折叠性质得，，； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 代入，得； 化简得． 22．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【详解】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 23．在四边形中，． (1)如图1，若，则______度； (2)如图2，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，作和的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由四边形内角和为，代入，求解即可得到答案； （2）由平行性质得到，再由邻补角及角平分线定义得到，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案； （3）由（1）可知，再由角平分线定义得到，进而求出，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在四边形中，，则， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 平分， ， 在中，， ； （3）解：由（1）可知， 平分，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形、三角形中求角度，涉及四边形内角和为、平行性质、邻补角定义、角平分线求角度、三角形内角和定理等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $