第4章 三角恒等变换 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

数 新高考 第四章 三角恒等变换 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 7.已知2sin 20 π2 1+sin20,则tan0 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 的所有可能取值之和为 ( 整 A.-5 B.-6 C.-3 D.2 1.化简：cos -0-simT-9( 1一 cos 0++sin 0 A.sin 20 B.-sin 20 8知m号-号则器88的 ( C.cos 20 D.-cos 20 值为 A-号 2-3 B C.- 如 2.若2cos 0 个 D是 3cos0,则tan0=( 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， A. C.- D, 2 3 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分， 3.函数f(x)=1+sim (-的最小正周 分选对的得部分分，有选错的得0分， 期为 9.已知2sin0=1+cos0,则tan 号的值 A.2π B.元 C.2 D.4π ( 4.若sin(元-a)=- 5且ae 则 A.恒为2 B.可能为 2 sin + C可能为- 2 D.可能不存在 6 10.在非直角△ABC中，下列结论正确的是 A. 3 B.- 6 ( ) A.sin A+cos A>0 B.cos(A-B)>cos Acos B C.sin A=sin Bcos C++cos Bsin C 菌 5.函数f(x)=cos xcos 2+cos cos D.tanA+tanB+tanC=tanA·tanB· 在6'12 上的最小值为 tan C 11.已知sin78°=m,则 A.- 2 B C.-1 D.0 A.sin12°=√1-m 6.若(4tana+1)(1-4tan3)=17,则tan(a B.c0s24°=m2+1 一 β)的值为 ( C.tan78°= n √1-m B. 2 C.4 D.12 D.c0s168°=-m 25 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上， 16.(本小题满分15分)已知0a<受<K元， 12.已知sin(0+元)= ，且日为第四象限 1an台-7cos(g-a)=g 10 角，则tan(0-x)= (1)求tana,sina的值； 13.若cos xcos十sin siny=号，则 (2)求B的值. cos(2x-2y)= 14.满足等式(1一tana)(1-tanβ)=2的数 组(a,3)有无穷多个，试写出一个这样的 数组： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分12分)已知tan20=2tano +1,求证：cos29=2cos20+1. 26 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)= 18.(本小题满分17分)已知向量a=(1,一√3)， cos'x-cos b=(sin x,cos x),f (x)=a.b. (1)求函数f(x)的最小正周期： 2cos 7 sin -1 (1)若f(0)=0,求 (2)求在[一若，看]上的值线 厄sin0+开 的值： (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的 值域. 27 19.(本小题满分18分) (2)求种植鲜花区域面积的最大值.（参 美化城市环境，提高 市民的精神生活，市 考数据：tan41≈⑤」 >,tan49°≈22) 10 政府计划在人民广场 一块半径为10米的 圆形空地进行种植花 D 草绿化改造.规划如图所示，在中央正 六边形区域和六个相同的矩形区域种 植鲜花，其余地方种植草地.设∠OAB =0,正六边形的面积为S,,六个矩形的 面积和为S2. (1)用0分别表示区域面积S1,S2; 28数学(BS)· (3)fx)=3sim(4x+君） 所以（臣+号） =3sin(e++) =3cos a, 所以3cosa=5, 9 所以osa=子所以s。=士 5 19.解：(1)根据余弦定理，有cos∠ABC= AB2+BC2-AC2 1 2·AB·BC =一7 于是in∠ABC=9 (2)不妨设每百人每公里水路运输成本为m元，陆 路运输成本为2m元.又CD=70-BD, 则总成本p=8AD·m+(3BD+5CD)·2m=(700 +8AD-4BD)·m. 在△ABD中应用正弦定理，有 AB AD BD sine sin∠ABC=sin(0+∠ABC,解得AD =1203 7sin 0 BD=ADeos0-ABcos((元-∠ABD)=1203cos 7sin 0 30 , 因此2AD-BD=1205.2-c0s930 7 sin Γ7 设y29,则y>0, sin 有ysin0+cos0=2,又ysin0+cos0=√y2+1sin(0 +9c中，吴中1m9= 所以√y2+1≥2， 解得25，且0=号时取得等号。 因此当日=牙时，运输总成本最少. 第四章三角恒等变换 (A卷) 1A[原式=m[2(至-0）]=o(至-20）=sin2a 故选A. 2.D[因为2m(0-吾）=3cos0, 所以2os6eos号+2sin9sin号=3cos0,即5sin0= 2s9.故1m9-号号-2g5] cos 0 3 3.D[因为f(x)=1+sin(-石)=1+ 上传引专一（信-专）专尚限 2 小正周期为2红=4元] 2 4B[s(-)=ma=又a∈(）所以 必修第二册 cosa=-√1-sin2a= cos a=2cos2 a 2 cos a+1 2 61 所以sin(受+受）=co受 故选B] 61 5.A[f)=+cos(e+受)ms登=cosx cos sin zsin 危=co(+)当∈ [管]时，f)举羽追减，故当=登时，函教f) 取最小值，最小值为cos 6.C[由已知得4(tana-tan3)=16(1+tan atanβ)， 即an a tan已=4，所以tan(a一B)=4.故选C.] 1+tan atan B 7.D[依题意得，-2cos20=1+sin20,所以2(sin20- cos20)=(sin 0+cos 0)2, 即2(sin0+cos)(sin0-cos8)=(sin0+cosθ)2， 故sin0+cos0=0或2(sin0-cos0)=sin0+cos0, 所以sin0=-cos0或sin0=3cos0, 可得tan0=-1或tan0=3, 所以tan0的所有可能取值之和为2.故选D.] I-cos 0+sin 0 8.B j+cos 0+sin 0 20s2号+2sn号os号 003 故选B.] 9.BD [2sin 0-1+cos 4sin 2 cos?-1+ 20as2号1，脚2sn号os号-o号，当ms号≠0 时lm台-合：当co0e号=0时，n号不存在，故 选BD.] 10,D[当A=150时smA十asA=子号<0，故 A错误；由于cos(A-B)=cos Acos B十sin Asin B,而 sin Asin B>0,所以cos(A-B)>cos Acos B,故B 正确；sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 故C正确：tanA十tanB十tanC=tan(A十B)(1一 tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+ tanC=tanA·tanB·tanC,故D正确.] 11.AD[由sin78°=m,得cos12°=m,所以sin12°= √1-m2,故A正确；cos24°=2cos212°-1=2m2-1, 故B错误；tan78°=sin78 器得产故格 cos168°=-cos12°=-m,故D正确.] 12.解析：由n0十x)=号可知-血0-台，所以sm0 =一合，而9为第四象限角，所以cs0=子，于是 tan(-x)=tan 0=sine4 4 答案：一3 参考 13.解析：由cos acosy+sin esin=3,可知cos(x一y》 =3 则c0s(2x-2y)=2cos2(x-y）-1=2×(3)/-1 = 7 9 答案：一日 14.解析：由(1-tana)(1-tan)=2,得1-(tana+tan) +tan atan B=2, 所以tana+tanB=tan atan阝-l, 所以tan(a十) tan a+tan B tan atan B-1. =一1 1-tan atan B 1-tan atan B 所以a+B-经+x,k∈Z,所以可取a+B=于，所以 a9可以为(0，要）) 答案：(0，）答案不唯-) 15.证明：法一：因为tan20=2tan2o十1，所以tan20+1= 2(tan2g+1), 即sin20+cos2 =2.sin'o+cos'g」 cos2θ coso 1 所以1+c0s2塑 1+cos29 2 2 所以cos29=2c0s20+1. 法二：cos29=2cos20+1←2cos29-1=2(2c0s20 1)+1←cos2p=2cos20e1=2←sin29+c0s20 cos20 cos cos20 2(sim2g+cos22←tan20+1=2(tan2g+1)←tan29 cos =2tan2g+1. 而由已知，tan20=2tanp+1成立，所以cos2g= 2cos20+1. 法三：因为tan20=2tan2g+1, 所以2cos20+1=2.}tan9+1 1+tan20 =2.1-2tam2e=+1=}上1an9=cos2g. 1+2tan2p+1 1+tan 所以2cos20+1=cos2g. a 1 2an 4 16.解：I)因为tan乞=2，所以tana 1m号 因为0a<受，且sima十cosa= 所以sina=5 .4 4 4 (2)因为tana=3,sina=5, 所以cosa=5 3 因为0a<受<<，所以0<月-a<,因为os(B a)2,所以sin(pa)乙2 10 7 答案 因此sing=sin[a+(3-a)]=sina·cos(3-a)+ 10 3 17.解：①r)=co2-co(e-）=1+gs2 2 2π 1+cos(2x-3】 2 m2+ ·c0s2x=- 故函数f()的最小正周期T==元 2)当r[合]时，2x-晋【受小所 以m(-)【-1] 故- m-)【是] 故数f在[音·]小上的值城是[子，] 18.解：(1)因为a=(1,-√5)，b=(sinx,cosx), 所以f(x)=a·b=sinx-3cosx, 因为f(0)=0,即sin0-5cos0=0, 所以tan0=√3， cos -sin 0-1 所以 2 -cos0-sin0_1-tan0」 sin() sin 0+cos 0 tan 0+1 1-3 √3+1 =-2+5. (2)f)=simx-5cosx=2sim(-弯），因为x∈ [0,],所以x- π 即x=0时，取最小值-，当一受=受即1=晋 时，取最大值2，所以当x∈[0，π]时函数f(x)的值域 为[-√5,2]. 19.解：(1)连接OB,过O作OE⊥ AD交BC于点F, 则E,F分别为AD,BC的中 点，∠AOE=0,则0<0<30°. 0 因为OA=10, 所以AE=BF=10sin6,OE 10cos 0, 由题意易知∠OBC=音， 所以OF=10√5sin0, 则AB=EF=OE-OF =10cos 0-103 sin 0, 所以S(0)=6·合BC·0F =3·20sin0.10√3sin0=600√3sin20, 数学(BS) 所以S2(0)=6·AD·AB =6·20sin0·(10cos0-10√5sin8) =600sin20-1200√5sin2a. (2)因为S1(θ)+S2(θ) =600√5sin20+600sin20-1200√5sin20 =600(sin20-√5sin20) =600sin20+2c0s20号 2 =300√7sin(20+41)-300√5. 所以当0=24.5°时，种植鲜花的面积最大， 最大值为300√7-300√5平方米. 第四章 三角恒等变换 (B卷) 号sinz=齐+sinx·sin π ）=cos十p),故g的值可能为一平故 选A.] 2.A[因为x∈(0，π)，cosx= 4,所以sinx= 5,tanc 是，所以an2z 2tan x24 1-tan2.x 7 所以1 .故选A] tan 2x 24' 3.C[f(x)=2sin4x所以T=受，fx)为奇画疑，故 1 选C.] 4.D[由题意可知2tan0- -tan97,整理得2tan0 1+tan 0 -2tan0-1-tan0=7-7tan8.化简得(tan9-2)2= 0.故tan0=2.故选D.] 5.B[由于0≤a≤，所以0≤号≤受， 故sin 号≥0，c0s号≥0，周此V1十sima √im2+2simcos号+cos2号=sin号+cos号， 所以sim号十os号=3in号，即s号=2sin受，故 tan 2 ws号 6B[因为sn+）=-casa=，中os=一 3 且a是第三象限角，则sina=一√1-cosa= 所 4 2 ）=cos(a++1012x)= 7.c[由于sm(+)·sim(-）+sim 子cosg-子sn2+sim=是cos2+sim2g子，因 3 3 此c0s2a+号·c0sa=，即2osa-1+号c0sa= 必修第二册 异，解得c0s8=我c0s。=子（合去）又国为C (0,x,所以a=子] &.B[fx)=sin r+5 Os=2sin(ar+晋），令号 十2张x≤r+吾<2kx+经，k∈乙，当k=0时，磊<d 2 <石由于fx)在区间（后，受）上单调逅减，所以 6w (货)[高]即 661 元7 解得1<w<子，所 26 以。=1或如=2.当w=1时f(骨)十f(受）-3≠0， 不符合题意：当w=2时，满足f()十f()=0.故 w=2.] 9.BCD[因为tana,tanB是方程x2-kx十2=0的两 不等实根， 所以tana+tan3=k,tana·tanB=2, tan(a十3)= g合 由0<a<K受，得tana,lanB均为正数， 则tana十tan3=k≥2√tana·tanF=2√2，当且仅 当tana=tanB时取等号，等号不成立，k十tana=2tana +tanB≥2√2tana·tanF=4,当且仅当2tana= tanB时取等号，故选BCD.] 10.BCD ,[同为4o（-g-)-m(2a+）且 co(a晋)=oe+置)片 sim(2a+）=-os2a, 所以4cos(+开) =-cos 2a, p22(cos a-sin a)=-(cos a-sin a)(cos a+sin a), 所以(cosa-sina)(2√2+cosa十sina)=0. 又cosa+sina>-1-1=-2, 故2√2+cosa+sina>0 所以cosa-sina=0,tana=1,选项D正确，且a= 晋十a∈乙，选项B正确， 4a=π十4kπ，所以tan4a=tan(π+4kπ)=0，选项C 正确， 2 当a为锐角时，sina=cosa=号，sina十cosa=√2， 选项A错误.故选BCD.] 1.ABD[由题意得f()=号sin2x-1+c9s2 2 9m(2x晋)当ze(0管)时，2x-昏 (于，0小函数f)为增函教，故A说法正确；令2江 至-受十xk∈乙得x誓+经k∈Z,显然直线x 一誓是画数化)因象的一条对龄轴：故B说法正确：画 78