章末检测（四） 三角恒等变换(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

章末检测（四）　三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知sin α＝，则cos（π－2α）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 2.若α为第三象限角，则＋＝（　　） A.3　　　B.－3　　　C.1　　　D.－1 3.已知α∈（0，），cos（α＋）＝－，则cos α等于（　　） A.－ B. C. D.± 4.在△ABC中，已知tan ＝sin C，则△ABC的形状为（　　） A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.已知sin 2α＝，tan（α－β）＝，则tan（α＋β）＝（　　） A.－2 B.－1 C.－ D. 6.已知α，β都是锐角，sin（α－）＝，cos（α＋β）＝－，则cos（β＋）等于（　　） A. B. C. D. 7.若α，β∈（，π），且（1－cos 2α）（1＋sin β）＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是（　　） A.2α＋β＝ B.2α－β＝ C.α＋β＝ D.α－β＝ 8.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足asin C＋acos C＝b＋c，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列化简正确的是（　　） A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝ B.sin 15°sin 30°sin 75°＝ C.＝1 D.cos215°－sin215°＝ 10.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与f（x）＝cos x“互为生成函数”的有（　　） A.f1（x）＝sin x B.f2（x）＝sin x＋cos x C.f3（x）＝2sin2 D.f4（x）＝sincos 11.已知4cos（α＋）＝cos 2α，则（　　） A.sin α＋cos α＝ B.α＝kπ＋（k∈Z） C.tan 4α＝0 D.tan α＝1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知sin（θ＋π）＝，且θ为第四象限角，则tan（θ－π）＝　　　　. 13.已知2sin α＋cos β＝，2cos α＋sin β＝－，则sin（α＋β）＝　　　　. 14.已知函数f（x）＝cos4x＋sin2x，给出下列结论：①f（x）是偶函数；②函数f（x）的最小值为；③是函数f（x）的一个周期；④函数f（x）在内单调递减，其中正确结论的序号是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知角θ满足tan＝－，求下列各式的值： （1）； （2）cos 2θ＋sin 2θ. 16.（本小题满分15分）已知＜α＜π，＜β＜π，cos α＝－，tan β＝－. （1）求sin的值； （2）求α＋β的值. 17.（本小题满分15分）在①x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴；②是函数f（x）的一个零点；③函数f（x）在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知函数f（x）＝2sin ωxcos－（0＜ω＜2），　　　　　，求f（x）在上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝4cos xsin （ x＋）＋1在区间上的值域为[－2，1]. （1）求实数a的取值范围； （2）若f（x0）＝－，x0∈，求cos 2x0的值. 19.（本小题满分17分）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠DAB＝∠CDB＝θ，0＜θ＜，∠ADB＝，BE⊥CD于点E. （1）求四边形ABCD面积的最大值； （2）求DA＋DB＋DE的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（四）　三角恒等变换 1.B　2.B　3.B　4.C　5.A 6.B　由于α，β都是锐角，则－＜α－＜，0＜α＋β＜π.因为sin（α－）＝＞0，cos（α＋β）＝－＜0，所以0＜α－＜，＜α＋β＜π，所以cos（α－）＝，sin（α＋β）＝，所以cos（β＋）＝cos［（α＋β）－（α－）］＝cos（α＋β）·cos（α－）＋sin（α＋β）sin（α－）＝－×＋×＝. 7.A　因为α，β∈（，π），所以sin α≠0.由（1－cos 2α）（1＋sin β）＝sin 2αcos β，可得2sin2α（1＋sin β）＝2sin αcos αcos β，即sin α（1＋sin β）＝cos αcos β.所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos（α＋β），所以cos（α＋β）＝cos（－α）.因为α，β∈（，π），所以π＜α＋β＜2π，且－＜－α＜0，根据函数y＝cos x的性质易知α＋β＝－α＋2π，即2α＋β＝. 8.B　由正弦定理知sin Asin C＋sin Acos C＝sin B＋sin C，又sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋sin Ccos A，所以sin Asin C＝sin Ccos A＋sin C，所以sin C（sin A－cos A－1）＝0，又C∈（0，π），所以sin C＞0，所以sin A－cos A－1＝0，所以sin（A－）＝，又A∈（0，π），所以A－＝，故A＝，即A为直角.故△ABC是直角三角形. 9.CD　A中，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin（52°－82°）＝sin（－30°）＝－sin 30°＝－，故A错误；B中，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误；C中，＝tan（21°＋24°）＝tan 45°＝1，故C正确；D中，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故D正确. 10.AC　f（x）＝cos x＝sin（x＋），由f1（x）＝sin x，则将f1（x）的图象向左平移个单位长度后，即可与f（x）的图象重合；由f2（x）＝sin x＋cos x＝sin（x＋），则f2（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合；由f3（x）＝2sin2＝1－cos x＝1＋sin（x－），则将f3（x）的图象向左平移π个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，即可与f（x）的图象重合；由f4（x）＝sincos＝sin x，则f4（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合.故A、C中的函数与f（x）“互为生成函数”.故选A、C. 11.BCD　因为4cos（α＋）＝cos 2α，所以4（cos αcos －sin αsin ）＝cos2α－sin2α，整理可得2（cos α－sin α）＝cos2α－sin2α，即（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－2（cos α－sin α）＝0.因此（cos α＋sin α－2）（cos α－sin α）＝0，所以cos α＋sin α－2＝0或cos α－sin α＝0，即sin（α＋）＝2或sin α＝cos α，解得sin（α＋）＝2（舍去）或tan α＝1，所以α＝kπ＋（k∈Z）.由于4α＝4kπ＋π（k∈Z），tan 4α＝tan（4kπ＋π）＝tan π＝0.所以A选项错误，B、C、D选项正确. 12.－　解析：由sin（θ＋π）＝可知－sin θ＝，所以sin θ＝－，而θ为第四象限角，所以cos θ＝，于是tan（θ－π）＝tan θ＝＝－. 13.－　解析：由2sin α＋cos β＝两边平方可得4sin2α＋4sin αcos β＋cos2β＝①，由2cos α＋sin β＝－两边平方可得4cos2α＋4cos αsin β＋sin2β＝②，①＋②，可得5＋4sin αcos β＋4cos αsin β＝3，即4sin（α＋β）＝－2，即sin（α＋β）＝－. 14.①②③　解析：易知f（x）的定义域为R，其定义域关于原点对称，又f（－x）＝cos4（－x）＋sin2（－x）＝cos4x＋sin2x＝f（x），故函数f（x）是偶函数，故①正确；由于f（x）＝＋sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝＋，且sin2x∈[0，1]，所以当sin2x＝时，f（x）min＝，所以②正确；f＝sin4－sin2（ x＋）＋1＝cos4x＋1－cos2x＝cos4x＋sin2x，则f（x）＝f，故③正确；因为f＝，f＝1，所以f＜f，所以④错误. 15.解：由题意知tan＝＝－，得tan θ＝－3. （1）＝＝＝tan θ＝－3. （2）易知cos θ≠0，则cos 2θ＋sin 2θ＝＋＝＋＝＋＝－. 16.解：（1）因为＜α＜π，cos α＝－，所以sin α＝＝，所以sin（α－π）＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝. （2）因为＜α＜π，＜β＜π，所以π＜α＋β＜2π. 由（1）可得tan α＝＝－.又因为tan β＝－， 所以tan（α＋β）＝＝＝－1， 故α＋β＝. 17.解：f（x）＝2sin ωxcos－＝2sin ωx（cos ωxcos ＋sin ωxsin ）－＝sin ωxcos ωx＋sin2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin（2ωx－）. 选择①x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴， 则－－＝kπ＋，k∈Z，即－＝kπ＋，k∈Z， 得ω＝－3k－2，k∈Z， 又0＜ω＜2，所以当k＝－1时，ω＝1， f（x）＝sin. 选择②是函数f（x）的一个零点， 则×2ω－＝kπ，k∈Z，即ω＝kπ＋，k∈Z， 得ω＝6k＋1，k∈Z. 又0＜ω＜2，所以当k＝0时，ω＝1，所以f（x）＝sin. 选择③f（x）在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为. 则T＝π＝，故ω＝1，所以f（x）＝sin. 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0，得≤x≤，令k＝－1，得－≤x≤－， 又－≤x≤，所以f（x）在［－，］上的单调递减区间为［－，－］，. 18.解：（1）f（x）＝4cos xsin＋1＝－4cos xsin＋1 ＝－4cos x＋1＝－2sin xcos x－2cos2x＋1 ＝－sin 2x－cos 2x＝－2sin（ 2x＋）. 由题意得，当x∈时，－≤sin（ 2x＋）≤1， 令u＝2x＋，则u∈， 所以≤2a＋≤，所以≤a≤. （2）由题意得0＜sin＝＜，x0∈， 则＜2x0＋＜π，所以cos（ 2x0＋）＝－. 所以cos 2x0＝cos＝cos（ 2x0＋）cos＋sin（ 2x0＋）·sin＝. 19.解：（1）因为∠ADB＝，AB＝2，∠DAB＝θ， 所以DA＝2cos θ，DB＝2sin θ. 又因为∠CDB＝θ，所以BE＝DBsin θ＝2sin2θ， 则S四边形 ABCD＝S△DAB＋S△DCB ＝DA·DB＋DC·BE ＝2sin θcos θ＋2sin2θ ＝sin 2θ＋（1－cos 2θ） ＝2sin（2θ－）＋. 因为0＜θ＜，－＜2θ－＜， 所以－＜sin（2θ－）≤1， 当2θ－＝，即θ＝时，S四边形ABCD 取得最大值，最大值为2＋. （2）由（1）得，DE＝DBcos θ＝2sin θcos θ， 所以DA＋DB＋DE＝2cos θ＋2sin θ＋2sin θcos θ. 设t＝cos θ＋sin θ，则t2＝cos2θ＋sin2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ， 所以2sin θcos θ＝t2－1， 则DA＋DB＋DE＝2t＋t2－1＝（t＋1）2－2. 因为t＝sin（θ＋），0＜θ＜， 所以t∈（1，]. 而y＝（t＋1）2－2在（1，]上单调递增， 所以DA＋DB＋DE的取值范围是（2，1＋2]. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $