精品解析：江苏南通市海门区东洲国际学校2026年初中毕业、升学模拟考试 数学 试题卷

南通市海门区东洲国际学校2026年初中毕业、升学模拟考试 数学·试题卷 试卷类型：B 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4． 作弊者，本卷按0分处理． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】解：万， 则， 故选：B． 2. 若中，，，那么（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先设，，利用勾股定理求得，然后利用正弦的定义得出结果． 【详解】解：在中，，， ∴设，， ∴， ∴． 3. 若实数，满足，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方差公式可得：，根据，可得：，设，可得：，利用完全平方公式可得：，所以可得方程，利用换元法解方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则有， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 设， 可得：， 两边同时乘以，可得：， 整理得：， 分解因式得， 或， 不能为负数， ， 解得：， 或． 4. 已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ） A. b=﹣1 B. b=2 C. b=﹣2 D. b=0 【答案】A 【解析】 【详解】解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式． 5. 如图，是一根空心方管，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形内部有两条竖向的虚线， 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握三视图的定义是解题的关键． 6. 如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】 A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设P的坐标是 ，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】∵点P在上， ∴设P的坐标是． ∵PA⊥x轴， ∴A的横坐标是p． ∵A在上， ∴A的坐标是． ∵PB⊥y轴， ∴B的纵坐标是． ∵B在上， ∴，解得：x=﹣2p． ∴B的坐标是（﹣2p，）． ∴． ∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴PA⊥PB． ∴△PAB的面积是：． 故选C． 7. 四边形为直角梯形，其中，腰，且P是的中点，，则四边形的面积的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于点F，设直角梯形的上底为、下底为，再根据多次勾股定理得到的表达式，再利用直角梯形的面积公式，结合完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：过点D作于点F， 设直角梯形的上底为、下底为， 是的中点，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则， 解得， 梯形的面积为：， 由于， 则， 即四边形的面积的最小值是4． 8. 下列图形中阴影部分面积相等的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【详解】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系． 解答：解：甲：直线y=-x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2； 乙：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积； 丙：该抛物线与坐标轴交于：（-1，0），（1，0），（0，-1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1； 丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×2=1； 因此③④的面积相等， 故选D． 点评：此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键． 9. 如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠CDE=∠ABC，再由圆周角定理得出∠DCE=∠BAC，根据ASA证明△ABC≌△CDE即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE=∠ABC， ∵ ∴∠DCE=∠BAC， 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE ∴AC=CE 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，-3）， ∴OB=3，OA=4， ∴， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°， ∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN， 又∵DE=AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN=AN，EN=NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON=NC=2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN=90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM=MN=， ∵MP⊥OP，∠COA=45°， ∴OP=MP=1， ∴AP=3， ∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP， 又∵∠AOB=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H到AB的最大距离为， ∴△HAB面积的最大值， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，求出MQ的长是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 12. 不等式，仅对一切均成立，则实数a，b应满足的条件是______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将不等式变形为标准形式，再根据解集为确定系数和常数项的条件，据此计算即可． 【详解】解：解不等式， 移项、合并同类项得， 不等式，仅对一切均成立， ， 解得， 不等式的解集为， ， 即， 解得， 实数a，b应满足的条件是，． 13. 对于实数a，b，定义运算“⊗”： ，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2=________． 【答案】±4 【解析】 【分析】先解得方程x2﹣6x+8=0的两个根，然后分情况进行新定义运算即可. 【详解】∵x2﹣6x+8=0， ∴（x-2）（x-4）=0， 解得：x=2，或x=4， 当x1＞x2时，则x1⊗x2=4×2﹣22=4； 当x1＜x2时，则x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4. 故答案为±4. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于利用因式分解法求得方程的解. 14. 如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠OBP=90°，从而得到∠BOA=60°，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OB， ∵PB是圆O的切线， ∴∠OBP=90°， ∵∠P=30°， ∴∠BOA=60°， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15. 平面上任给个不同的点，以这些点为端点的线段，有个不同的中点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将个点共线均匀排列，通过枚举找规律，得出个点的最少不同中点数量，代入计算得的最小值． 【详解】解：在平面内，将所有点排列在一条直线上，且间隔均匀时，中点的数量最少， 令个不同的点依次排列在数轴上，分别表示，，，，，， 当有，两个点，中点为，有个， 当有，，三个点，中点为，，，有个， 当有，，，四个点，中点为，，，，，，去掉重复值，有个， 据此可知，若有个点，则最少的中点数量为个， 故个不同的点，不同中点的最小值为个，即． 16. 已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_____． 【答案】． 【解析】 【详解】如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，则PM=，故DP=1﹣，则PD+PE+PF=2×+1﹣=．故答案为． 17. 如图，抛物线y＝﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1问左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：令y＝﹣2x2﹣8x﹣6＝0， 即x2+4x+3＝0， 解得x＝﹣1或﹣3， 则点A（﹣1，0），B（﹣3，0）， 由于将C1向左平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y＝﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3）， 当y＝﹣x+m1与C2相切时， 令y＝﹣x+m1＝y＝﹣2（x+4）2+2， 即2x2+15x+30+m1＝0， △＝﹣8m1﹣15＝0， 解得m1， 当y＝﹣x+m2过点B时， 即0＝3+m2， m2＝﹣3， 当﹣3＜m时直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故答案是： 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 18. 如图，菱形的边长是10，，交于点E，点P为直线上一点，点P与点关于对称，F为中点，连接，，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是能正确作出辅助线； 分别的中点为，连接，取点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴，取的中点为，则与F关于对称，连接， 取点A关于的对称点，连接， ， ， 在中，由三角形三边关系可得：， ， ，当P、、在同一直线上时，有最大值，连接交于点O， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点N，如图所示：则四边形为矩形，，， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中； （3）解不等式组：． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值以及特殊角的三角函数值等知识化简，再进行二次根式的加减运算即可求解； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可求解； （3）根据求不等式组的解集的方法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， 则原式； 【小问3详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 20. 在中，弦垂直于直径交于，弦平分半径交于，证明：弦平分弦． 【答案】 证明：如下图所示，连接， 是的直径， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， 弦平分弦． 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理可证，，可得：，根据三角形外角的性质可证，从而可证，根据圆周角定理可证，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形的性质可证，根据点是的中点，可证结论成立． 【详解】略 21. 课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度． 【答案】6.8米 【解析】 【分析】由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，进而即可求出树高DL． 【详解】解：连接EF，过点B作BM⊥DL，垂足为M，交EF于点N， 由题意可知，BN＝AG＝1.5，MN＝IC＝4.5， 由EF//DK,则△BEF∽△BKD得： ＝，即＝， 解得：KD＝4.8， ∵斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°， ∴CL＝HJ＝1.1， ∴DL＝DK+KC+CL＝4.8+0.9+1.1＝6.8（米）， 答：树项到地面的距离DL的长度为6.8米． 【点睛】本题考查解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应高的比是解决问题的关键． 22. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． 【小问2详解】 设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 23. 移动支付快捷高效，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种，移动支付支付方式，为此在某步行街，使用某ａｐｐ，软件对使用移动支付的行人进行随机抽样调查，设置了四个选项，支付宝，微信，银行卡，其他移动支付（每人只选一项)，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图. 请你根据下列统计图提供的信息,完成下列问题. (1)这次调查的样本容量是　 ; (2)请补全条形统计图; (3)求在此次调查中表示使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数. (4)若某天该步行街人流量为10万人，其中40%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息，估计一下当天使用银行卡支付的人数. 【答案】（1）200人； （2）补全条形统计图如下： （3）； （4）4000人. 【解析】 【分析】（1）利用条形统计图中使用支付宝支付的人数除以扇形统计图中使用支付宝支付的人数所占比例即可得； （2）利用题（1）中所求的样本容量减去条形统计图中使用支付宝、银行卡、其他这三种支付方式的人数，求出使用微信支付的人数，再补充条形统计图即可； （3）利用使用微信支付的人数除以样本容量求出使用微信支付的人数所占比例，再将该比例乘以即为所求； （4）先求出该天购物选择使用移动支付的总人数，再根据调查结果求出使用银行卡支付的人数所占比例，两者相乘即为所求. 【详解】（1）由条形统计图和扇形统计图得，这次调查的样本容量是：（人） 答：这次调查的样本容量是200人； （2）因样本容量为200人，结合条形统计图可得： 使用微信支付的人数为：（人） 补全条形统计图略； （3）由题（1）、（2）可知，使用微信支付的人数所占比例为： 则使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数为： 答：所求的圆心角的度数为； （4）由题意得，该天购物选择使用移动支付的总人数为：（人） 由题（1）和条形统计图可知，使用银行卡支付的人数所占比例为： 则估计该天使用银行卡支付的人数为：（人） 答：所求的该天使用银行卡支付的人数为4000人. 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，理解掌握这两个统计图是解题关键. 24. 如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 【答案】（1）证明：，E为AB的中点， ． 同理，． ， 易证， ． （2）证明：， ． ，，点E，点F分别是AB、CD的中点， ，，． ． 易证， ，即． 易证． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得GA=GB，GD=GC．由“SAS”可判定△AGD≌△BGC根据全等三角形的对应边相等即可得AD=BC； （2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定△AGB∽△DGC，再由相似三角形对应高的比等于相似比可得，再证得∠AGD=∠EGF，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△AGD∽△EGF； （3）如图1，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH．由△AGD≌△BGC可知∠GAD=∠GBC．在△GAM和△HBM中，由∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB可证得∠AGB=∠AHB=90°，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AGE =45°，即可得出，根据相似三角形对应边的比相等即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）方法1：如图所示，延长AD和BC，相交于点H，与BG相交于点M． AD，BC所在的直线互相垂直，． ． ． ． 在等腰直角三角形GAB中，． 由（2）的结论：，可得． 方法2：如图所示，连接对角线AC，取AC的中点H，连接EH，FH． F、H、E分别是CD，AC，AB中点， FH是的中位线，EH是的中位线， ∴HF//AD，，HE//BC，． AD、BC所在的直线互相垂直， ． ， ， 在等腰直角三角形HEF中，， ． 方法3 如图所示，过点A作AM//DC，使，连接MB，MC，过点E作EN//AM，交BM于点N，连接NC，则四边形AMCD为平行四边形． ∴AD//MC，，EN//AM//CD． E为AB中点， N为BM中点， ， 四边形ENCF为平行四边形， ． AD，BC所在的直线互相垂直， ， 是等腰直角三角形， ，即． 25. 综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 【答案】（1）①；②；（2），9；（3）①，② 【解析】 【分析】（1）①先求出，，再利用勾股定理求出，最后根据等边三角形的面积公式求解即可；②仿照①先求出，进而求出，再利用面积公式列关系式即可； （2）根据图象设二次函数为：，代入，即可得到函数关系式，再进一步求解即可； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，可得，结合以及对称性可得答案；②由的对称轴为直线：；可得，结合，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， 如图，过作于，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； （2）由图象可得：二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数为：，代入， ∴， 解得：， ∴二次函数为：；即； 当时，， 解得：，（舍去）， ∴； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等， ∴， ∵， ∴； ②∵的对称轴为直线：； ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是动态几何的函数图象，等边三角形的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解图象的含义是解本题的关键. 26. 我们不妨约定：如图①，若点D在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“完美点”. （1）如图①，若点D是的边的中点，，试判断点D是不是边上的“完美点”，并说明理由； （2）如图②，在中，为直径，且，若点D是边上的“完美点”，求的长； （3）如图③，平面直角坐标系中，已知点，，C为y轴正半轴上一点，且满足，D点为过A、B、C三点的抛物线上一点，且横坐标为3，试问在x轴上是否存在一点E，使点A，B，E中的某一点是以其余两点及点C构成的三角形中剩余两点所在边上的“完美点”.若存在，请求出点E的坐标及直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）点D是边上的“完美点”， 理由：∵D是中点，， ∴， ∵， 即， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴点D是边上的“完美点” （2）； （3）存在，点E坐标为时，解析式为；点E坐标为时，解析式为；点E坐标为时，解析式为 【解析】 【分析】（1）根据“完美点”的定义及相似三角形的性质判断即可； （2）根据完美点的定义可知有两种情况：或，分情况讨论，利用勾股定理及等面积法即可得出答案. （3）过点B作交的延长线于M，作轴于点N，用AAS证明，从而有，，利用，得出，求出点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，从而找到D的坐标，然后分①当A是“完美点”时，②当E是“完美点”时，③当B是“完美点”时三种情况，分别找到点E的坐标，再利用待定系数法即可求直线的解析式. 【详解】解：（1）略 （2） ∵为直径 ∴ ， 在中， ∵点D是边上的“完美点”， ∴或， ①当时， ∵， ∴， ∴，即， ②当时，同法证明：， 在中，∵，，， ∴， ∵， 即， ∴ （3）存在. 如解图②，过点B作交的延长线于M，作轴于点N， ∵，， ∴，∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， 设， ∵，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，解得或 （舍弃）， 经检验是原分式方程的解， ∴，， ∵，，， 设抛物线的解析式为 将A，B，C代入得 解得 ∴抛物线的解析式为， ∴； ①当A是“完美点”时， Ⅰ）当时，∵，， 又∴，，∴，∴，与矛盾， ∴此种情形不存在； Ⅱ）如解图③，当时，， ∴， 设直线的解析式为 将代入得 解得 ∴此时，直线的解析式为； ②当E是“完美点”时， Ⅰ）如解图④，当时， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，与矛盾， ∴此种情形不存在； Ⅱ）当时，同理可得，此种情形不存在. ③当B是“完美点”时， Ⅰ）当时，如解图⑤， 图⑤ ∴，∴， 设直线的解析式为 将代入得 解得 ∴此时，直线的解析式为； Ⅱ）当时，如解图⑥， 设， ∵，， ∴， ∴，∴， 则， 解得，∴， 设直线的解析式为 将代入得 解得 ∴此时，直线的解析式为. 综上，点E坐标为时，解析式为；点E坐标为时，解析式为；点E坐标为时，解析式为. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数的解析式，掌握“完美点”的意义及分情况讨论是解题的关键. 难点突破：本题难点在于第（3）问分情况讨论时，判断每种情形是否存在，分情况讨论时，根据定义依次判断两角是否可以相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区东洲国际学校2026年初中毕业、升学模拟考试 数学·试题卷 试卷类型：B 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4． 作弊者，本卷按0分处理． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 若中，，，那么（ ） A. B. C. D. 1 3. 若实数，满足，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ） A. b=﹣1 B. b=2 C. b=﹣2 D. b=0 5. 如图，是一根空心方管，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】 A. 3 B. 4 C. D. 5 7. 四边形为直角梯形，其中，腰，且P是的中点，，则四边形的面积的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 下列图形中阴影部分面积相等的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 9. 如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 函数的自变量的取值范围是_____． 12. 不等式，仅对一切均成立，则实数a，b应满足的条件是______． 13. 对于实数a，b，定义运算“⊗”： ，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2=________． 14. 如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则的长为______． 15. 平面上任给个不同的点，以这些点为端点的线段，有个不同的中点，则的最小值是_______． 16. 已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_____． 17. 如图，抛物线y＝﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1问左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是_____． 18. 如图，菱形的边长是10，，交于点E，点P为直线上一点，点P与点关于对称，F为中点，连接，，则的最大值是______________． 三、解答题（共8题，共96分） 19. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中； （3）解不等式组：． 20. 在中，弦垂直于直径交于，弦平分半径交于，证明：弦平分弦． 21. 课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度． 22. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 23. 移动支付快捷高效，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种，移动支付支付方式，为此在某步行街，使用某ａｐｐ，软件对使用移动支付的行人进行随机抽样调查，设置了四个选项，支付宝，微信，银行卡，其他移动支付（每人只选一项)，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图. 请你根据下列统计图提供的信息,完成下列问题. (1)这次调查的样本容量是　 ; (2)请补全条形统计图; (3)求在此次调查中表示使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数. (4)若某天该步行街人流量为10万人，其中40%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息，估计一下当天使用银行卡支付的人数. 24. 如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 25. 综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 26. 我们不妨约定：如图①，若点D在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“完美点”. （1）如图①，若点D是的边的中点，，试判断点D是不是边上的“完美点”，并说明理由； （2）如图②，在中，为直径，且，若点D是边上的“完美点”，求的长； （3）如图③，平面直角坐标系中，已知点，，C为y轴正半轴上一点，且满足，D点为过A、B、C三点的抛物线上一点，且横坐标为3，试问在x轴上是否存在一点E，使点A，B，E中的某一点是以其余两点及点C构成的三角形中剩余两点所在边上的“完美点”.若存在，请求出点E的坐标及直线的解析式；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $