专题02 三角函数的图象性质及伸缩变换（期中复习专项训练，十大题型）高一数学下学期人教B版

专题02 三角函数的图象性质及伸缩变换 题型一 五点作图法画三角函数的图象 题型六 三角函数求参数（难点） 题型二 求三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性 题型七 交点与根的问题（难点） 题型三 三角函数的最值问题 题型八 含绝对值的三角函数（难点） 题型四 由函数图象求解析式及性质（重点） 题型九 三角函数的应用（重点） 题型五 函数的伸缩变换问题（重点） 题型十 恒成立与有解问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 五点作图法画三角函数的图象 1．已知函数．    (1)已知，，求的值； (2)用五点作图法，画出函数在上的图象（画在答题卡给定的坐标网格中），并写出它在该区间上的单调区间． 【答案】(1)； (2)作图见解析，递增区间为，递减区间为. 【分析】 【详解】（1）函数，则， 解得，而，所以. （2）列出表格： 0 2 0 0 描点并用平滑的曲线连接画出图象：    函数的递增区间为，递减区间为. 2．已知函数. （1）先列表，用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象； （2）求方程在区间内的所有实数根之和. 【答案】（1）表格见解析，图象见解析；（2）. 【分析】 【详解】（1），，列表如下： 0 1 2 0 0 1 (2)由图象可知方程有两根，且关于直线对称，所以. 3．， (1)运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． (2)写出函数的振幅，最小正周期，初相． 【答案】(1)答案见解析 (2)振幅为2，最小正周期为8，初相为 【分析】 【详解】（1）列表如下： 1 3 5 7 0 0 2 0 0 在图中描出这五个点，并连线得到图象，如下图： （2）由可知，振幅为2，最小正周期为，初相为. 题型二 求三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性 4．函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 【详解】，．在上为增函数， ，． 即函数在上的最大值为，最小值为. 故答案为：；. 5．已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 6．在平面直角坐标系中，角以为始边，把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，若，则（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值1 【答案】B 【详解】根据题意，角是将角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度得到的，故， 所以， 因为在上单调递减，而， 所以当时，有最大值为， 当时，有最小值为， 即，所以， 故，所以有最小值，有最大值. 7．已知函数. (1)求出函数图象的对称中心和对称轴; (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)对称中心为，；对称轴为， (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以图象的对称中心为，； 由，得， 所以图象的对称轴为，. （2）由，得，故， 所以在的取值范围是. 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以，所以， 即函数的值域为. 故选：D. 9．函数的最小值为________. 【答案】 【详解】令，则， 原函数转化为二次函数： ， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此函数在上单调递增， 当时，取得最小值，代入得： ， 即当时，取得最小值. 题型三 三角函数的最值问题 10．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为___________． 【答案】②④ 【详解】对于函数，取，则， 若周期为，则， 因为，所以该函数的最小正周期不为，①错误； 可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，最小正周期为，②正确； 因为，所以的最小正周期为③错误； 的最小正周期为，④正确； 故答案为：②④ 11．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，最小正周期为，由，得，则单调递减，故A错误； 对于B，最小正周期为，由，得，则单调递减，故B错误； 对于C，最小正周期为，当时，单调递减，故C错误； 对于D，最小正周期为，当时，单调递增，故D正确； 故选：D 12．函数的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正弦型函数的对称轴满足， 解得， 当时，，故D正确 故选：D． 13．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 【答案】ABC 【详解】对于A，的最小正周期，故A正确; 对于B，对于函数，令，解得 当时， 的图象关于对称，故B正确; 对于C，对于函数，令，解得， 当时，，即的单调递增区间为 又区间是的子区间，在区间上单调递增，故C正确; 对于D，函数图象向右平移个单位，得到，故D错误; 14．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的函数有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对A：当，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A不满足条件； 对B：因为在上单调递增，所以在上单调递减，故B满足条件； 对C：当时，，在上单调递减，所以C满足条件； 对D：当时，，所以，因为在单调递减，所以在上单调递增，即在上单调递增，故D不满足条件. 故选：BC 15．（多选）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A，因为，所以，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以，且其定义域为， 故为偶函数，所以选项B错误， 对于选项C，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项C正确， 对于选项D，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项D正确， 故选：CD. 16．关于，有下列命题： ①由可得是的整数倍； ②图象关于对称； ③图象关于对称． 其中正确命题的序号为_____________． 【答案】② 【详解】解析：对于①，由，可得， ，是的整数倍，∴①错； 对于②，的对称中心满足，，，． 是函数的一个对称中心，∴②对； 对于③，函数的对称轴满足，，，． 取不到，∴③错． 故答案为：② 题型四 由函数图象求解析式及性质 17．已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图像可知，当时，，代入得： ，又因为，因此， 又由图像可知，当时，，且该点是函数下降段的零点， 则代入得： ，， 又由图像可知周期满足，， 所以只能取，得，因此函数解析式为：, 再由正弦函数的对称轴满足： ， 令，得. 18．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．是的一个周期 C． D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由图可知，所以， 又，所以或， 从图象看，处函数处于上升阶段，即， 又，所以， 因为，所以，故，故A正确； 对于B，，处函数处于下降阶段， 所以，解得， 又，所以，所以，又， 故，得， 所以，所以，故B正确； 对于C， ，C错误； 对于D，当时，， 所以，所以， 所以的最小值为，故D正确. 19．若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【详解】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，所以，， 由，得，则， 解得， 即关于的不等式的解集为. 20．函数的部分图象如图，，则_____. 【答案】 【详解】结合题意， ，，所以， 过点，， 即，则， 所以， 因为，所以之间的对称轴为， 由图象可知，该对称轴与零点之间的距离为， 又因为，所以， 解得 . 21．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 【答案】 【详解】由可得或， 两个相邻交点的横坐标的差为：， 因为，所以，即. 函数为，由图象过点，且该点在递增区间， 所以，解得，故. . 22．函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由，可得，解得，所以， 则， 由图象，可得，即，所以，即， 又由，可得，解得， 所以，所以， 因为恒成立， 若，则有，即，可得， 解得或，所以或，即； 若，则有，显然成立； 若，则有，即，即， 所以，所以. 综上可得，实数的取值范围. 题型五 函数的伸缩变换问题 23．将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 将其横坐标缩短到原来的，可得，即， 令，解得， 即图象的对称中心的坐标为. 24．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】首先分析函数图象变换过程： 1.横坐标伸长：将的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)， 根据横坐标伸缩变换规则)，得到函数. 2.向左平移：将上述函数向左平移个单位(左移个单位时)， 得：. 接下来求正切函数的对称中心： 正切函数的对称中心满足， 对于满足：； 解此方程得：. 因此，所得函数图象的对称中心为. 25．已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________． 【答案】1 【详解】函数的图象向右平移后得到函数的图象， 则，所以. 26．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移个单位得到： ， 所以， 故选：A. 27．为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 28．画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数的图象经过怎样的变换得到. 【答案】答案见解析 【详解】列表： 在平面直角坐标系中作图如下： 先将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 接着将所有点的横坐标缩小得到函数的图象， 然后将所有点的纵坐标扩大倍得到函数的图象， 最后关于轴对称得到函数的图象. 题型六 三角函数求参数 29．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，令， 由，得，则在上单调递减， 又在上单调递减，所以，即． 综上，的取值范围为． 30．已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为. 故选：C． 31．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 故选：A. 32．已知函数：；有一个零点是，对应的图象有一条对称轴是，且在有且仅有一个零点，则的最大值是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【详解】因为有一个零点是，对应的图象有一条对称轴是， 所以，解得， 因为，所以为非负整数， 又因为在有且仅有一个零点，所以，解得， 当时，， 由的图象有一条对称轴是可得，结合解得， 此时，当时，有两个零点，不符合题意； 当时，， 同理可得，结合解得， 此时，当时，有一个零点，符合题意； 所以的最大值是， 故选：C 33．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】，则， 因为在区间上恰有3个最小值点， 所以结合余弦函数的性质可得，，得， 则实数的取值范围为. 34．已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 当时，， 当时，， 当时，，单调递增， 且函数不单调，结合, ，， 故选：D 35．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 题型七 交点与根的问题 36．函数的图像与直线（为常数）的交点个数不可能为（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】令，则， 由题意，可转化为图像与直线交点个数问题， 在同一平面直角坐标系内，作出为与直线图像， 由图像可知，交点个数可能为， 故选：A 37．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个. 故选：B. 38．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 39．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（    ） A．9 B． C． D．7 【答案】B 【详解】函数是定义域为的偶函数，当时，，则当时，， 又，则函数的周期是3，显然， 即直线是图象的一条对称轴，因此直线是图象的对称轴， 函数的最小正周期是，直线是图象的对称轴， 函数与在当时取得相同最大值， 在同一坐标平面内作出函数与的图象，如图， 观察图象知，函数与在上有7个公共点，对应横坐标依次为， 由对称性知，，于是， 所以关于的方程在上所有实数解之和为. 故选：B 40．已知函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）由图知，函数的周期，所以， 所以，又， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以； （2）由题设，则， 由，则，故或或或， 所以或或或，则所有解的和为. 41．已知函数，，，，则__________；方程的所有实数解的和为__________. 【答案】 0 16 【详解】， 而， ，故的对称中心为， 在平面直角坐标系中，画出和在上的图像， 由图象可得的图象在上共有4个不同的交点， 它们的横坐标的和为， 故答案为：. 题型八 含绝对值的三角函数 42．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．与的最小正周期相同 B．与有相同的最大值 C．与的图象有相同的对称轴 D．曲线与在上有4个交点 【答案】ABD 【详解】对于A，因为的周期为，所以的最小正周期为，又函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，的最大值为1，的最大值为1，故B正确； 对于C，的对称轴为，， 令，解得，，所以的对称轴为，， 所以与的对称轴不同，故C错误； 对于D，如图作出与的图象，与在上有4个交点，故D正确. 故选：ABD. 43．（多选）已知函数，则（    ） A．函数的最大值为3 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【详解】B选项，由于为偶函数， 故， 由于， 所以的最小正周期不为，B错误； A选项，当时，， 当时，， 又， 所以函数的一个周期为，可得的最大值为3，A正确； C选项，， 故函数的图象关于直线对称，C正确； D选项，由A选项得，时，不单调，故D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 44．（多选）已知集合，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【详解】分别作出的图象如图， 由图可知， 由于，所以A对， 时，，所以B错 取，但，所以C错， ，故D对． 故选：AD 45．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位的导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴是 C．函数在上单调递增 D．函数在上有4个零点 【答案】C 【分析】 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确； 对于C，因为时，，而在单调递减，故C不正确； 对于D，函数的零点即方程的根，时，，由图象可知方程有4个根，    故D正确． 故选：C． 46．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 47．设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由，得的图象关于y轴对称，由，得的图象关于直线对称， 令，得，函数是周期为1的偶函数，当时，， 在同一坐标系内作出函数在上的图象，函数在上的图象，如图，    观察图象知，函数与的图象在上的交点有7个， 所以函数在区间上零点的个数为7. 故选：D 48．已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】由，得函数的最小正周期，解得， 由图象得，且，则，， 当时，，，则， 当时，，，则， 由函数在不单调，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型九 三角函数的应用 49．（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标满足，则（ ） A． B． C．当时， D．当时，点P到水面的距离的最大值为 【答案】ABD 【详解】由题意，，且，则， 由于从出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，10秒后水斗第一次旋转到最高点位置， 此时转过的角度为，因此转动一周需要30秒，所以 则，将代入中 可得，故，则， 故，因此，AB正确， 因为，则，所以，则.C错误. 当时，，，则， 点P到x轴的距离的最大值为1，则点P到水面的距离的最大值为.D正确. 50．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 51．某药物研究所发现，病人在服用某种药物1g后，血液中药物的含量y（单位：g）在0-6小时内随时间x（单位：h）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数来近似地刻画y随x变化的规律：当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画y随x变化的规律. (1)当时，求这段曲线的函数解析式； (2)如果该药物在病人血液中的含量保持在0.4g以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物1g，持续有疗效时长约为多少小时？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)3.5 【分析】 【详解】（1）由题意知，当时，函数的最大值为，最小值为0 所以函数的周期为2，所以， 当时，函数过点，代入得. 所求曲线的函数解析式为 （2）当时，令，解得. 当时，令，两边同时取常用对数得：， ，由于，故， 综上可得当服药时间满足时，该药物在病人血液中的含量保持在0.4g以上，故， 故病人一次性服用药物1g，持续有疗效时长约为3.50小时. 52．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃． (1)求出该地区该时段的温度函数的表达式； (2)2月28日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 【答案】(1) (2)学校后勤应该开空调． 【分析】 【详解】（1）由题意知，解得； 易知，所以，所以， 易知，即， 故，又，得， 所以． （2）当时， 所以届时学校后勤应该开空调． 53．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【答案】(1)； (2)4s 【分析】 【详解】（1）根据意义可知，即，解得； 因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以； 由点P的起始位置在最低点处，即可知时，， 即，可得，又，所以. （2）由（1）可知； 令，可得，即， 因此可得 由题意可得，所以， 因此或， 解得，所以； 即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米. 题型十 恒成立与有解问题 54．将函数图象上所有点的横坐标拉伸到原来的3倍，纵坐标不变，可得到函数的图象．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知． 当时，． 故选：D 55．已知函数.若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，当时，，，，则； 设在内的值域为，则， 当时，，， 则. 又， 设在内的值域为， 对任意的，总存在，使得成立，， ①当时，，则， ，，， ，，； ②当时，，则 ，，， ，，. 综上所述，. 故选：D. 56．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 即或， 又因为，所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 57．若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【详解】当时，函数的零点为和， 当时，；当时，；当时，， 不等式对恒成立， 则函数满足，有， 解得，所以.     故答案为： 58．已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】因为对任意实数，不等式恒成立，， 所以对任意恒成立． 令，，则在上恒成立． 令，此为二次函数的动轴定区间问题，分类讨论如下． ①当时，，得，所以； ②当时，，得，所以； ③当时，，得，不符合，舍去． 综上，． 故答案为： 59．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间和对称中心； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1); (2)单调增区间,对称中心; (3). 【分析】 【详解】（1）由图可得，即，又，解得. 函数过点， 所以，则， 解得，又，则， 所以； （2）令， 得， 从而函数的单调递增区间为， 令，得， 从而函数的对称中心为. （3）因为，可得， 从而，令则， 则，恒成立 等价于，恒成立， 由于是关于的二次函数，函数图象开口向上，恒过定点， 由二次函数的图象性质可知，要使，恒成立， 只需，解得， 故的取值范围为. 60．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】 【详解】（1）由图可得，，则，结合，解得． 由，得，，即，. 因为，所以， 所以． （2）因为，所以． 不妨设，由题意可得，， 解得，， 所以， ．故的取值范围为． （3）因为，， ，， ，， 所以，． 由题意可得，即，解得． 故的取值范围为． $专题02 三角函数的图象性质及伸缩变换 题型一 五点作图法画三角函数的图象 题型六 三角函数求参数（难点） 题型二 求三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性 题型七 交点与根的问题（难点） 题型三 三角函数的最值问题 题型八 含绝对值的三角函数（难点） 题型四 由函数图象求解析式及性质（重点） 题型九 三角函数的应用（重点） 题型五 函数的伸缩变换问题（重点） 题型十 恒成立与有解问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 五点作图法画三角函数的图象 1．已知函数．    (1)已知，，求的值； (2)用五点作图法，画出函数在上的图象（画在答题卡给定的坐标网格中），并写出它在该区间上的单调区间． 2．已知函数. （1）先列表，用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象； （2）求方程在区间内的所有实数根之和. 3．， (1)运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． (2)写出函数的振幅，最小正周期，初相． 题型二 求三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性 4．函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 5．已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．在平面直角坐标系中，角以为始边，把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，若，则（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值1 7．已知函数. (1)求出函数图象的对称中心和对称轴; (2)若，求的取值范围. 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．函数的最小值为________. 题型三 三角函数的最值问题 10．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为___________． 11．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 12．函数的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 14．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的函数有（   ） A． B． C． D． 15．（多选）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 16．关于，有下列命题： ①由可得是的整数倍； ②图象关于对称； ③图象关于对称． 其中正确命题的序号为_____________． 题型四 由函数图象求解析式及性质 17．已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（   ）    A． B． C． D． 18．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．是的一个周期 C． D．当时，的最小值为 19．若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 20．函数的部分图象如图，，则_____. 21．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 22．函数的图象如图所示，已知，若恒成立，则的取值范围是__________. 题型五 函数的伸缩变换问题 23．将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 25．已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________． 26．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 27．为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 28．画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数的图象经过怎样的变换得到. 题型六 三角函数求参数 29．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 31．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 32．已知函数：；有一个零点是，对应的图象有一条对称轴是，且在有且仅有一个零点，则的最大值是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 33．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 34．已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 35．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 题型七 交点与根的问题 36．函数的图像与直线（为常数）的交点个数不可能为（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 37．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 38．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 39．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（    ） A．9 B． C． D．7 40．已知函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 41．已知函数，，，，则__________；方程的所有实数解的和为__________. 题型八 含绝对值的三角函数 42．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．与的最小正周期相同 B．与有相同的最大值 C．与的图象有相同的对称轴 D．曲线与在上有4个交点 43．（多选）已知函数，则（    ） A．函数的最大值为3 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 44．（多选）已知集合，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 45．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位的导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴是 C．函数在上单调递增 D．函数在上有4个零点 46．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 47．设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 48．已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 题型九 三角函数的应用 49．（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标满足，则（ ） A． B． C．当时， D．当时，点P到水面的距离的最大值为 50．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 51．某药物研究所发现，病人在服用某种药物1g后，血液中药物的含量y（单位：g）在0-6小时内随时间x（单位：h）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数来近似地刻画y随x变化的规律：当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画y随x变化的规律. (1)当时，求这段曲线的函数解析式； (2)如果该药物在病人血液中的含量保持在0.4g以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物1g，持续有疗效时长约为多少小时？ （参考数据：） 52．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃． (1)求出该地区该时段的温度函数的表达式； (2)2月28日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 53．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 题型十 恒成立与有解问题 54．将函数图象上所有点的横坐标拉伸到原来的3倍，纵坐标不变，可得到函数的图象．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 55．已知函数.若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 56．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 57．若不等式对恒成立，则______. 58．已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围__________. 59．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间和对称中心； (3)若恒成立，求的取值范围. 60．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得，求的取值范围． $