专题01 三角函数的概念及诱导公式（期中复习专项训练，十大题型）高一数学下学期人教B版

专题01 三角函数的概念及诱导公式 题型一 终边相同的角与象限角（重点） 题型六 正弦、余弦齐次式计算 题型二 根据图形写出角的范围 题型七 同角三角函数的基本关系（重点） 题型三 扇形弧长与面积公式（常考点） 题型八 sina·cosa、sina±cosa关系 题型四 三角函数的定义及符号判断（重点） 题型九 利用诱导公式化简求值问题 题型五 三角函数线的应用 题型十 利用互余互补关系求值（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 终边相同的角与象限角 1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 2．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 3．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 【答案】 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 4．如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是 ______________   【答案】 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 题型二 根据图形写出角的范围 5．圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】转化为弧度制为，则弧长．C正确. 6．已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形面积为，所以，即； 周长为，因为，当且仅当时，取到最小值， 所以当其周长最小时，圆心角的弧度数为. 故选：D 7．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长，分别以点A、B、C为圆心， 圆弧AB、BC、AC所对的扇形面积均为，等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故选：C 8．已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为________弧度． 【答案】4 【详解】由题意，扇形的弧长cm， 则该扇形的圆心角为弧度. 9．某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 【答案】(1)且； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意，则， 所以且； （2）由 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值. 题型三 扇形弧长与面积公式 10．如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 如图所示，在单位圆中，， 易知，则，故. 11．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段. 12．利用三角函数线比较：，，的大小． 【答案】 【详解】如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线和的余弦线，正切线． 由知，又，易知，故． 题型四 三角函数的定义及符号判断 13．下列与2025°终边相同的角是（   ） A．205° B．215° C．225° D．235° 【答案】C 【详解】因为，所以角的终边与角的终边相同. 14．下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知， 对于，集合表达式中混合使用了角度制与弧度制，表示错误，故错误； 对于D，当时，不成立，故D错误； 与的终边相同的角的集合为： ，故C正确. 故选：C. 15．角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【答案】D 【详解】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角， 故选：D. 16．已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 【答案】 【详解】终边落在直线上，则或， 所以， 故答案为：. 17．若，则的终边在第___________象限． 【答案】二 【详解】由，所以，所以的终边在第二象限. 故答案为：二. 18．（多选）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的值可能为（   ） A．270° B．360° C．450° D．810° 【答案】CD 【详解】因为角与角的终边相同，所以，其中． 同理，得，其中． 故，其中． 结合选项，知选CD． 题型五 三角函数线的应用 19．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式． 故选：A. 20．已知，则 （1）______． （2）______． 【答案】 1 1 【详解】（1）； （2） . 21．若，则的值为________. 【答案】2 【详解】， 则的值为2. 故答案为：2. 22．已知，_____. 【答案】 【详解】由题意得， 又因为，所以， 分子分母同时除以得，原式. 故答案为： 题型六 正弦、余弦齐次式计算 23．使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】A 【详解】要使函数有意义，则，即需或， 当时，是第一象限角；当时，是第二象限角， 所以是第一或第二象限角. 24．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 【答案】A 【详解】当角的终边在第一象限时，， 又， ，故，不符合题意； 当角的终边在第二象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第三象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第四象限时，， 又， ，故，不符合题意； 综上，角的终边在第二象限或第三象限． 故选：A． 25．（多选）若角的终边在直线上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】利用三角函数定义求解即可. 由角的终边在直线上， 当角的终边在第二象限时，在的终边上任取一点， 则， 所以； 当角的终边在第四象限时，在的终边上任取一点， 则， 所以． 26．（多选）已知角的终边经过点，且与的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．为钝角 C． D．点在第一象限 【答案】ACD 【详解】角的终边经过点，，所以，A正确； 与的终边关于轴对称，由题意得α的终边经过点， 为第二象限角，不一定为钝角， B错误， ，C正确； 因为， ，所以点在第一象限，D正确. 故选：ACD 27．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若角与角关于轴对称，则__________. 【答案】/ 【详解】因为角终边过点，又角与角关于轴对称， 所以角终边过点， 所以， 故答案为： 题型七 同角三角函数的基本关系 28．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 【详解】若，则， 所以，即充分性成立； 若，则，即， 所以不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 29．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，又， 所以， 则. 故选：C 30．已知，，则______． 【答案】 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 31．已知，，其中，则的值为______. 【答案】 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 32．已知，则_____. 【答案】/ 【详解】由，得. 由，得 所以. 故答案为：. 33．函数（a，b均为正数）的最小值为_____． 【答案】 【详解】由题意，又， ∴ ，当且仅当，即时等号成立， 所以所求最小值为． 故答案为： 题型八 sina·cosa、sina±cosa关系 34．已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】将等式，① 两边平方，得到， 整理得，即， 所以，则得，② 联立①和②，解得，， 故． 故选：A. 35．已知，是关于的一元二次方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故选：D． 36．（多选）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 【答案】BD 【详解】由条件可知，，则θ为第三象限角， 即， 则，故选项A错误； 因为θ为第三象限角，则， ，所以，故选项B正确； 因为，所以，故选项C错误； ，联立方程， 解得或 则或，故选项D正确． 故选：BD． 37．已知，，求的值． 【答案】答案见解析 【详解】， ， ． ， ， ，且， ， ， 由，得， 所以， 综上，，，，. 题型九 利用诱导公式化简求值问题 38．已知为锐角，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，，， 代入原方程： ① ② 联立求解： 由①得：，两边乘得， 代入②：， 利用同角关系求： 已知，则， 代入：（为锐角，取正）， 因此. 故选：C 39．已知，则 ____. 【答案】 【详解】因为，所以，解得： 由 . 40．能说明“若，则”为假命题的一组的值可以是______． 【答案】 【详解】由，可得， 所以或， 即或， 取， 当时，，不妨令，则， 此时， 此时满足，但不满足， 所以“若，则”为假命题的一组的值可以是. 41．已知，则的值为__________． 【答案】 【详解】由，得， 所以． 故答案为： 42．化简并求值：（其中）． 【答案】 【详解】 . 43．已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值（注：）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）． （2），． 又是第三象限角，， ． （3）， . 44．已知函数，其中，. (1)化简； (2)若，分别求和的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）. （2）由题知， 所以； . 题型十 利用互余互补关系求值 45．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 46．化简的结果为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 故选：B. 47．已知，则______．______． 【答案】 / / 【详解】． ． 故答案为：①；②. 48．已知，则_____. 【答案】 【详解】因为， 则 . 故答案为：. $专题01 三角函数的概念及诱导公式 题型一 终边相同的角与象限角（重点） 题型六 正弦、余弦齐次式计算 题型二 根据图形写出角的范围 题型七 同角三角函数的基本关系（重点） 题型三 扇形弧长与面积公式（常考点） 题型八 sina·cosa、sina±cosa关系 题型四 三角函数的定义及符号判断（重点） 题型九 利用诱导公式化简求值问题 题型五 三角函数线的应用 题型十 利用互余互补关系求值（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 终边相同的角与象限角 1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 2．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 3．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 4．如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是 ______________   题型二 根据图形写出角的范围 5．圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ） A． B． C． D． 6．已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 7．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 8．已知扇形的半径为1cm，它的周长为6cm，那么该扇形的圆心角为________弧度． 9．某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 题型三 扇形弧长与面积公式 10．如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 12．利用三角函数线比较：，，的大小． 题型四 三角函数的定义及符号判断 13．下列与2025°终边相同的角是（   ） A．205° B．215° C．225° D．235° 14．下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 16．已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 17．若，则的终边在第___________象限． 18．（多选）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的值可能为（   ） A．270° B．360° C．450° D．810° 题型五 三角函数线的应用 19．已知，则（   ） A． B． C． D． 20．已知，则 （1）______． （2）______． 21．若，则的值为________. 22．已知，_____. 题型六 正弦、余弦齐次式计算 23．使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 24．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 25．（多选）若角的终边在直线上，则等于（   ） A． B． C． D． 26．（多选）已知角的终边经过点，且与的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．为钝角 C． D．点在第一象限 27．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若角与角关于轴对称，则__________. 题型七 同角三角函数的基本关系 28．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．若，则（    ） A． B． C． D． 30．已知，，则______． 31．已知，，其中，则的值为______. 32．已知，则_____. 33．函数（a，b均为正数）的最小值为_____． 题型八 sina·cosa、sina±cosa关系 34．已知，则（   ） A． B． C． D．1 35．已知，是关于的一元二次方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 36．（多选）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 37．已知，，求的值． 题型九 利用诱导公式化简求值问题 38．已知为锐角，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 39．已知，则 ____. 40．能说明“若，则”为假命题的一组的值可以是______． 41．已知，则的值为__________． 42．化简并求值：（其中）． 43．已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值（注：）； (3)若，求的值． 44．已知函数，其中，. (1)化简； (2)若，分别求和的值. 题型十 利用互余互补关系求值 45．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 46．化简的结果为（   ） A．1 B． C．2 D． 47．已知，则______．______． 48．已知，则_____. $