第六章 平行四边形 单元回顾与思考 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 单元回顾与思考 新版北师大数学八年级数学下册 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.掌握平行四边形的定义、性质与判定定理,能精准辨析性质与判定的适用条件,厘清二者的互逆关系； 2.理解三角形中位线定理,掌握梯形、直角三角形与平行四边形的综合转化方法,能解决图形边长、面积计算问题； 3.掌握平行四边形折叠、拼接、平移变换中的不变量规律,能综合运用本章知识完成几何推理与方案设计. 1.能规范完成平行四边形相关的几何证明,提升逻辑推理与严谨的书写表达能力； 2.能结合直角三角形、等边三角形、等腰三角形知识，解决平行四边形综合计算问题,强化数形结合能力； 3.能从实际问题中抽象出平行四边形几何模型,完成方案设计与验证,提升建模能力与创新应用能力. 1.通过几何推理证明,发展逻辑推理核心素养； 2.通过图形分析、变换与建模，发展几何直观与空间观念； 3.通过实际项目的解决,发展模型观念与应用意识,体会数学与生活的深度关联. 教学设计的基本环节 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 知识网格 1.平行四边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？此外，平行四边形还有哪些性质？ 2.一个四边形满足什么条件时是平行四边形？这些结论与平行四边形的性质之间有什么样的关系？ 3.回顾平行四边形的研究过程,你积累了哪些经验？与同伴进行交流. 4.你是怎样得到三角形中位线定理的？ 5.梳理本章内容,用适当的方式呈现全章知识结构,并与同伴进行交流. 4 知识网格 平行四边形 中心对称 性质 边：对边相等 角：对角相等 对角线：互相平分 判定条件 边：两组对边分别平行 边：两组对边分别相等 边：一组对边平行且相等 对角线：互相平分 三角形中位线定理 梯形 典例精选 核心主线:校园文创角升级改造项目 任务一:方案合规性核验——平行四边形判定与性质基础证明 例题1【题目来源】教材第175页第5题（改编） 【题目内容】文创角主体展示区为平行四边形ABCD,点E在BC的延长线上,且CE=BC,计划搭建四边形ACED作为配套作品陈列区,求证:四边形ACED是平行四边形. 【考查知识点】平行四边形的定义与性质、平行四边形判定定理. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC且AD=BC（平行四边形对边平行且相等）∵CE=BC,点E在BC的延长线上 ∴AD=CE,且AD∥CE ∴ 四边形ACED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 解题技巧:证明平行四边形时,优先从已知图形中提取对边的平行/相等关系,简化证明步骤. 典例精选 例题2【题目来源】教材第176页第10题（改编） 【题目内容】平行四边形ABCD展示框架中,对角线BD为承重龙骨,P、Q是龙骨 BD上的两个固定点,且BP=DQ,需验证支撑杆AP与QC的位置与数量关系，求证：AP∥QC且AP=QC. 【考查知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD,AB=CD ∴ ∠ABP=∠CDQ 在△ABP和△CDQ中 AB=CD,∠ABP=∠CDQ,BP=DQ​ ∴ △ABP≌△CDQ（SAS） ∴ AP=QC,∠APB=∠CQD ∴ ∠APQ=∠CQP ∴ AP∥QC 即AP∥QC且AP=QC. 解题技巧：平行四边形对角线相关问题，常结合全等三角形解决，重点关注对角线形成的内错角相等的隐含条件. 典例精选 例题3【题目来源】教材第177页第14题（改编） 【题目内容】文创角四边形ABCD置物架设计中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为 E、F,已知DE=BF,且∠ADB=∠CBD,求证：四边形ABCD是平行四边形 【考查知识点】平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质 证明:∵∠ADB=∠CBD ∴AD∥BC ∴∠DAE=∠BCF ∵ DE⊥AC,BF⊥AC ∴ ∠DEA=∠BFC=90° 在△ADE和△CBF 中∠DEA=∠BFC,∠DAE=∠BCF,DE=BF ​∴△ADE≌△CBF（AAS） ∴ AD=BC 又∵AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 解题技巧：遇到垂直条件时，优先找直角三角形全等，快速提取线段和角的等量关系 典例精选 例题4【题目来源】教材第176页第11题（改编） 【题目内容】平行四边形ABCD展示面板设计中,∠ABC 的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F,求证：AF=DE 【考查知识点】平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC,AB=CD ∴∠AEB=∠EBC,∠DFC=∠FCB ∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD ∴∠ABE=∠EBC,∠DCF=∠FCB ∴∠AEB=∠ABE,∠DFC=∠DCF ∴AE=AB,DF=CD ∴AE=DF ∵AE-EF=DF-EF ∴AF=DE 解题技巧：平行四边形 + 角平分线的组合，必出现等腰三角形，是本章高频考点的固定模型 典例精选 任务二：材料与尺寸测算——平行四边形相关计算问题 例题1【题目来源】教材第175页第6题（改编） 【题目内容】文创角直角梯形ABCD置物台设计中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2m（上层宽度）,BC=5m（下层宽度）,∠C=60°,求置物台侧边 CD 的长度. 【考查知识点】直角梯形的性质、直角三角形 30°角的性质、平行四边形的判定与性质 解:过点D作DH⊥BC于点H ∵AD∥BC,∠B=90°,DH⊥BC ∴四边形ABHD是矩形 ∴BH=AD=2m ∴HC=BC-BH=5-2=3m 在Rt△DHC中,∠C=60° ∴∠HDC=30° ∴CD=2HC=6m 答:CD的长度为6m. 解题技巧：梯形问题的核心转化思路是「化梯为形」，通过作高、平移腰转化为平行四边形和三角形 典例精选 例题2【题目来源】教材第176页第8题（改编） 【题目内容】文创角平行四边形展示牌ABCD设计中,已知AB=40cm,BC=90cm，∠B=30°,求这个展示牌的面积 【考查知识点】平行四边形的面积计算、直角三角形 30°角的性质 解:过点A作AH⊥BC于点H 在Rt△ABH中,∠B=30°,AB=40cm ∴AH=AB=20cm ∴平行四边形ABCD的面积= BC×AH=90×20=1800cm² 答:展示牌的面积为1800平方厘米. 解题技巧：含30°、45°、60° 角的平行四边形面积计算,优先通过直角三角形求高,是本章高频计算考点. 课下挑战类题目：【题目来源】教材第178页第19题 典例精选 任务三：空间结构优化——平行四边形与三角形中位线、图形拼接综合应用 例题1【题目来源】教材第176页第12题（改编） 【题目内容】文创角三角形装饰框架△ABC,三边长分别为a、b、c,以它的三边中点为顶点组成一个新三角形,再以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，求这个小三角形的周长 【考查知识点】三角形中位线定理 解：根据三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半 ∴以△ABC三边中点组成的新三角形,三边长分别为​a、 ​b、 ​c,周长为​(a+b+c) 同理,再以新三角形三边中点组成的小三角形,三边长分别为​a、 ​b、 ​c ∴小三角形的周长= ​(a+b+c) 答:这个小三角形的周长为​(a+b+c). 三角形中点连线形成的新三角形,周长是原三角形的（n为中点连线的次数）,面积是原三角形的​. 典例精选 例题2【题目来源】教材第177页第15题（改编） 【题目内容】文创角三角形支撑结构△ABC中,DE是△ABC的中位线,过点E作 AB的平行线交BC于点F,过点A作BC的平行线交直线EF于点G.探究线段DE、BF、FC之间的数量关系,并证明你的结论 【考查知识点】三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质 证明:∵DE是△ABC的中位线 ∴DE∥BC,DE=BC,且E是AC的中点 ∵AG∥BC,AB∥GF ∴四边形ABFG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴AG=BF ∵DE∥BC,AG∥BC ∴四边形ADEG是平行四边形 ∴AG=DE ∵DE=​BC,BC=BF+FC∴DE=BF=FC 解题技巧:中位线+平行线的组合,必出现平行四边形,是解决此类线段关系问题的核心方法 13 典例精选 例题3【题目来源】教材第177页第16题（改编） 【题目内容】文创角地面装饰用六个全等的正三角形拼成正六边形图案,请找出其中所有的平行四边形,并选择其中一个加以证明. 【考查知识点】平行四边形的判定、等边三角形的性质 解:图中的平行四边形有:四边形ABCO、四边形BCDO、四边形CDEO、四边形DEFO、四边形EFAO、四边形FABO,共6个. 选择四边形ABCO证明. 证明:∵△ABO、△BCO都是全等的正三角形 ∴AB=AO=BO=BC=CO ∴AB=CO,AO=BC ∴四边形ABCO是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 解题技巧：正六边形中,以中心和相邻两个顶点组成的四边形,均为平行四边形,是正六边形的基本特征. 巩固拓展 任务四:创意方案拓展——平行四边形综合探究与实际应用 例题1【题目来源】教材第178页第18题（改编） 【题目内容】制作文创角平行四边形木框,现有七根木条,长度分别为：①3cm，②5cm，③3cm，④6cm，⑤5cm，⑥8cm，⑦9cm.请选择合适的四根木条,组成平行四边形木框,并说明理由. 【考查知识点】平行四边形的判定 解:选择①3cm、②5cm、③3cm、⑤5cm这四根木条,可组成平行四边形木框. 理由:根据平行四边形的判定定理,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.选择的木条中,3cm=3cm,5cm=5cm,可作为两组对边，满足两组对边分别相等的条件,因此可以组成平行四边形木框. 解题技巧：制作平行四边形木框的核心是「两组对边分别相等」,是实际应用中最常用的判定方法. 巩固拓展 例题2【题目来源】教材第178页第20题（改编） 【题目内容】文创角周边有一个四边形池塘,四个顶点A、B、C、D处各有一棵大树,需将池塘面积扩大一倍,同时保持大树在池塘边不动,且扩建后的池塘为平行四边形.请问能否实现这一设想？若能,请设计出方案；若不能,请说明理由 【考查知识点】平行四边形的性质、三角形中线的面积性质、图形方案设计 解:能实现该设想,设计方案如下:连接四边形ABCD的对角线AC、BD,交于点O；过点A、C 分别作BD的平行线,过点B、D分别作AC的平行线；四条平行线两两相交,交于点E、F、G、H,四边形EFGH即为所求的平行四边形. 解题技巧:任意四边形都可通过此方法,构造出面积扩大一倍的平行四边形,核心是对角线与平行线的组合. 16 思想方法 1.转化与化归思想核心应用： 将梯形问题转化为平行四边形和直角三角形问题;将平行四边形证明问题转化为三角形全等问题；将复杂折叠问题转化为等腰三角形、直角三角形的计算问题，把未知转化为已知，把复杂转化为简单. 2.数形结合思想核心应用： 结合平行四边形的图形性质,将几何图形的位置关系转化为数量关系,通过代数计算解决几何问题. 3.模型思想核心应用： 从木框制作、池塘扩建、置物台设计等实际问题中,抽象出平行四边形、三角形中位线等几何模型，利用模型的固定性质解决实际应用问题，提升数学应用能力. 4.演绎推理思想核心应用： 以平行四边形的定义、定理为依据,通过严谨的演绎推理,完成几何证明,规范推理步骤，形成有理有据的逻辑思维习惯. 当堂检测 1.如图，在中， ，，， 则下列结论：的周长是 ；是直角三角形； ； 的面积是 .其中正确有( ) B 第1题图 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 当堂检测 2.[综合实践] 课上，老师让同学们开展了 的折纸活动，是边 上 的一动点，是边 上的一动点， 将沿直线折叠，使点 （1）【观察发现】如图1，若 ， ， ，则 _____. 落在边上的点处，点的对应点为点，连接 . 当堂检测 （2）【操作探究】如图2，当点落在 的延长线上时，求证：四边 形 为平行四边形. 证明：由折叠知 ， . 由，得 ， ， . . . . 当堂检测 . ，点在 的延长线上， . . ， . 又 ， 四边形 是平行四边形. 反思总结 1.请你梳理平行四边形的性质与判定定理,说一说性质和判定之间有什么区别与联系？在解题时,如何根据已知条件选择合适的判定定理？ 2.在解决平行四边形相关的计算和证明问题时,我们常用的辅助线作法有哪些？分别适用于什么场景？请你结合本章例题总结. 3.本章我们学习了平行四边形的相关知识,它在我们的生活中有哪些广泛应用？请你结合生活实例,说一说平行四边形的性质给这些应用带来了什么核心优势. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第175页 第3题 课本第176页 第9题 课本第177页 第15题 二、素养类作业 课本第179页 第21题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $