专题 21.22 四边形与图形变换（考点梳理+题型精析+专项练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 21.22 四边形与图形变换（考点梳理+题型精析+专项练习） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【考点一】平行四边形与图形变换 2 ★★【题型 1】平行四边形与平移问题 2 ★★【题型 2】平行四边形与折叠问题 5 ★★【题型 3】平行四边形与旋转问题 10 【考点二】矩形与图形变换 16 ★★【题型 4】矩形与平移问题 16 ★★【题型 5】矩形与折叠问题 21 ★★【题型 6】矩形与旋转问题 27 【考点三】菱形与图形变换 33 ★★【题型 7】菱形与平移问题 33 ★★【题型 8】菱形与折叠问题 39 ★★【题型 9】菱形与旋转问题 41 【考点四】正方形与图形变换 50 ★★【题型 10】正方形与平移问题 50 ★★【题型 11】正方形与折叠问题 56 ★★【题型 12】正方形与旋转问题 62 二.专项练习 70 （一）单选题（6题） 70 （二）填空题（6题） 75 （三）解答题（4题） 83 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【考点一】平行四边形与图形变换 ★★【题型 1】平行四边形与平移问题 【解题要点】解决平行四边形中的平移问题，关键是抓住平移前后对应线段平行且相等这一本质，利用这一性质直接判定或构造平行四边形；坐标系中通过横、纵坐标的变化量相等确定对应点，动点问题则设出变量，根据一组对边平行且相等列方程求解，即可快速得出结论。 【例题1】（2026·江西·模拟预测）如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据平移的性质得出，四边形是平行四边形，然后得出，最后利用全等三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据平移的性质得出四边形是平行四边形，再根据条件得出，得出，然后可得出结论． 解：（1）证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵F，G分别是的中点， ∴， ∴. （2）证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形.     ∵， ∴. 又∵F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，     ∴平行四边形是矩形． 【变式1】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形变化—平移，根据平行四边形对角线中点坐标相同可求出点B的坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 解：∵四边形是平行四边形，顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， ∴将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，平移后点的对应点的坐标是，即， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． （1）连接，，求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴． ★★【题型 2】平行四边形与折叠问题 【解题要点】解决平行四边形与折叠问题，要先抓住折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的核心性质，再结合平行四边形对边平行且相等、对角相等、内错角相等的特征，通过平行线与折叠产生的相等角推导等腰三角形，利用勾股定理或方程思想设未知数表示线段长度，建立等式求解边长、角度或位置关系。 【例题2】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 解：证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 解：如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点． （1）请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质； （2）在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离． 【答案】（1）作图见分析；平行四边形；（不唯一）；（2） 【分析】（1）由于点D是边上的中点，所以旋转后点B与点C对应，点C与点B对应，所以只需画出点A的对应点即可，作射线，在射线上截取点，使，连接，，即可根据平行四边形的判定证明新组合图形的形状； （2）根据勾股定理求出，即可得到答案． 解：（1）解：如图，就是所求作的图形； 绕点D旋转后得到， ，， 新组合图形是平行四边形； 该平行四边形的一条性质：； （2）解：， ， ， ， ， ， 即点A与其旋转后的对应点之间的距离是． 【点拨】本题考查了图形旋转的尺规作图，图形旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握图形旋转的性质及正确作出图形是关键． ★★【题型 3】平行四边形与旋转问题 【解题要点】解决平行四边形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的特征，通过旋转构造全等三角形，找到相等线段与相等角，再利用平行线性质、等腰三角形或勾股定理进行推理与计算，从而解决角度、线段长度及位置关系问题。 【例题3】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，的对角线、相交于点，直线过点且与、分别相交于点、． （1）求证：； （2）直线绕点旋转一定的角度与直线、相交于点、．请探索与的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）； 【分析】（1）根据平行四边形的性质利用证明，即可得证； （2）同（1）的方法即可得出，则可证得结论． 解：（1）证明：∵的对角线交于点O， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴； （2），证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴．    【点拨】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质,熟练平行四边形的性质，证明是三角形全等，是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线的性质，三角形三边的不等关系，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；取的中点E，连接，则，，当三点共线时，最大，即可求得最大值． 解：如图，取的中点E，连接， ∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，，再证明得到，过点A作，交于点H，则，可得，再证明，则． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，． （1）请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______． （2）①证明； ②证明四边形是平行四边形． （3）当，时，直接写出的度数． 【答案】（1）补全图形见分析；相等；；（2）①见分析；②见分析；（3） 【分析】（1）过点E作的垂线并延长，取，则点G是点E关于的对称点，可补全图形，可得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解． （2）①根据是等边三角形得，根据三角形的外角关系 可得，利用即可求证结论；②利用全等三角形的性质及平行线的判定可得可得，且，进而可求证结论． （3）连接，利用等边三角形的判定可得是等边三角形，在利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，进而可求得，在根据即可求解． 解：（1）解：过点E作的垂线并延长，取，则点G是点A关于的对称点， 补全图形如图所示：   点E和点G关于对称， 是线段的垂直平分线， ，， ∴， 是边等三角形， ， ， 故答案为：相等，． （2）①，， ， 是边等三角形， ， 在和中， ， ． ②， ，， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （3）连接，如图所示：   ，， 等边三角形， ， 是边等三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ． 【点拨】本题考查了几何变换——轴对称、全等三角形的判定及性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌握基础知识，根据轴对称的性质作出图形是解题的关键． 【考点二】矩形与图形变换 ★★【题型 4】矩形与平移问题 【解题要点】解决矩形与平移问题，要抓住平移只改变位置、不改变形状和大小的特点，利用矩形对边平行且相等、四个角都是直角、对角线相等且互相平分的性质，结合平移后对应线段平行且相等的规律，在图形中构造平行四边形或直角三角形，通过坐标变化、线段相等关系列方程，进而求解动点、长度、坐标等问题。 【例题4】（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知：如图，在矩形中，，垂足是，点是点关于的对称点，连接． （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）当点分别平移到线段上时，求出相应的的值． 【答案】（1），；（2）当点落在上时，；当点落在上时， 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、矩形、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值； 解：（1）解：在中，， 由勾股定理得： ， 在中，， 由勾股定理得： （2）解：设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，． 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， 又易知， 为等腰三角形， ， ，即． 【变式1】（25-26八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质和勾股定理，根据矩形的性质和平移的性质，可以得到的长，然后即可求得四边形的周长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着射线的方向平移得到， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为：， 故选：A． 【变式2】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．．将矩形沿射线方向平移3个单位长度，则点平移后的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，根据矩形的性质得到，则由勾股定理可得，则可求出，故可得到将矩形沿射线方向平移3个单位长度相当于将矩形向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，据此可得答案． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴将矩形沿射线方向平移3个单位长度相当于将矩形向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点平移后的对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，中，点D是AB的中点，将BD沿射线BC方向平移得到线段CE，连接，若，，． （1）求证：四边形是矩形；（2）求的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据平移的性质可得，且，则四边形是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，根据矩形的性质得，进而即可求解． 解：（1）证明：∵沿射线方向平移得到线段 ∴，且                         ∴四边形是平行四边形                     ∴， ∵是的中点 ∴，                 ∴四边形是平行四边形                     ∵ ∴ ∴四边形是矩形．    （2）解：在中，，，根据勾股定理可得                      ∵四边形是矩形 ∴ ∴                     又∵                             ∴的周长． 【点拨】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明． ★★【题型 5】矩形与折叠问题 【解题要点】解决矩形与折叠问题，要抓住折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的核心性质，结合矩形四个角为直角、对边平行且相等、对角线相等的特征，利用折叠产生的相等角与平行线推导角的关系，再通过勾股定理设未知数表示线段长度，建立方程求解边长、角度或线段位置等问题。 【例题5】（25-26八年级下·河北雄安·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． 【猜想】． 【验证】（1）请将下列证明过程补充完整． ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ． ∵四边形是矩形， ， ． ， ． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． ①猜想与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 【答案】（1）；；；；（2）①，理由见分析；② 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）①根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； ②根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 解：（1）∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ． ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：；；；． （2）①． 理由：∵由四边形折叠得到四边形， ． ∵四边形是矩形， ， ， ， ． ， ． ②∵矩形沿所在的直线折叠， ，，． 设， ． 在中，， ， ， 解得， ． 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期中）将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查长方形折叠．熟练掌握长方形性质，折叠性质，平行线的性质，是解题的关键．由长方形对边平行性质，得，由折叠的性质可得，根据平角的定义可求出的度数． 解：∵长方形纸片中，， ∴． 由折叠知，， ∴． ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在矩形中，，将矩形分别沿，折叠，点与点恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，，，，， ，从而得出， ，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 解：如图， 由折叠的性质可知，，，，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴折叠后的图案（阴影部分）面积为． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展《矩形的折叠》实验，甲、乙两同学各分到一张相同大小的矩形纸张，，，并对该纸张的折叠进行如下实验探究： 甲同学： 如图1，连接，把沿折叠，使点与点重合，与交于点． 乙同学： 步骤1：如图2，点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得 与重合； 步骤2：点为边上的动点（与点、不重合），沿折叠得到． 结合两个同学的实验，探究下列问题：    （1）对于甲同学的实验，求证：； （2）对于乙同学的实验，若点在线段上，试探索：当为何值时，、、三点在同一直线上？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）当时，、、三点在同一直线上，见分析 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质得出，从而得到，结合折叠的性质得出，即可得证； （2）由图形折叠的特征可得，四边形是矩形，从而得出，由题意得出，，由勾股定理得出，求出，即可得出答案． 解：（1）解：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由图形折叠的特征可得：， ∴， ∴； （2）解：如图2，当经过点时，    由图形折叠的特征可得：， ∵点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得与重合， ∴四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， 当时，、、三点在同一直线上． ★★【题型 6】矩形与旋转问题 【解题要点】解决矩形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合矩形四个角为直角、对边平行且相等、对角线相等且互相平分的特征，通过旋转构造全等三角形与等腰三角形，再利用直角三角形性质、勾股定理或角度推导进行计算与证明，从而求解线段长度、角度大小及图形位置关系。 【例题6】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，在中，，，将一个含角的直角三角尺的直角顶点放在的中点上（直角三角尺的短直角边为，长直角边为），将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转． （1）在图中，交于，交于，求证：； （2）继续旋转至如图的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）仍成立，理由见分析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，同角的余（补）角相等，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，由，，是斜边的中点， 得，，，，又，， 则有，然后证明，再由全等三角形性质即可求证； （）连接，由（）得，，，又， 则， 然后证明，再由全等三角形性质即可求解． 解：（1）证明：如图，连接， ∵，，是斜边的中点， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， 如图， 由（）得，，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·广西梧州·期末）矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的值是，那么，，在中根据勾股定理即可列出关于的方程，解方程就可以求出． 解：设的值是， ∵矩形中，，，且， 那么，， 在中，， ， ， 即． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形中，，，点O为矩形对角线交点，，当矩形绕点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】当矩形绕点O旋转，矩形四个顶点在上时，求出此时d的最小值，当矩形的边或的中点在上时，求出此时d的最大值，即可求解． 解：连接对角线， ∵矩形， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵点O为矩形对角线交点， ∴， ∵矩形绕点O旋转， ∴当矩形四个顶点在上时，此时d值最小，若点A在上，如图1， ∴， 当矩形的边或的中点在上时，此时d值最大，如的中点E在上，如图2， 连接，， ∵矩形，点O为矩形对角线交点， ∴， ∵E为边的中点， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，由题意得出当矩形四个顶点在上时，此时d的值最小，当矩形的边或的中点在上时，此时d的值最大是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： （1） （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“”得到是解题关键． （1）由平行线的性质可得，再证明，然后根据“”可得； （2）由全等三角形的性质得，等量代换可证． 解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【考点三】菱形与图形变换 ★★【题型 7】菱形与平移问题 【解题要点】解决菱形与平移问题，要抓住平移前后对应线段平行且相等、图形形状大小不变的特点，结合菱形四边相等、对边平行、对角线互相垂直平分的性质，通过平移构造平行四边形，利用边与对角线的关系进行推理计算，在动点或坐标系问题中根据平行且相等的条件列方程求解。 【例题7】（2024·山西晋中·三模）如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． （1）若，，求的度数．． （2）请再添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】（1）；（2），（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定； （1）由三角形内角和定理求得∠，根据平移的性质征得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论；求得答案； （2）根据菱形的判定定理即可得到答案． 解：（1）解：根据平移的性质，可得，， 四边形是平行四边形． ． 在中，，， ． ． （2）答案不唯一，如， 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【变式1】（2024·山东临沂·三模）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，．将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、 直角坐标系中点的平移规律，作轴于，先求出点的坐标，再由平移规律即可得出答案． 解：如图，作轴于， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴点的坐标为， ∵将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形， ∴点的坐标为，即， 故选：A． 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则_____； （2）的最小值为 _______． 【答案】 4 12 【分析】（1）连接交于点，如图所示，由菱形性质，结合含角的直角三角形的三边关系即可得到及长，从而得到； （2）连接，延长到，使，如图所示，根据平移性质、菱形性质得到，从而确定当、、三点共线时，有最小值为，由含直角三角形的三边关系求解即可得到答案． 解：（1）连接交于点，如图所示： ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， 在中，，则， ∵将向右平移得到（点在线段上）， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴， ， 在中，， ， ∴， 故答案为：4； （2）连接，延长到，使，如图所示： ∵将向右平移得到（点在线段上）， ∴，， ∴是平行四边形， ∴， ∵在菱形中，由菱形对称性得到， ∴， ∴，则当、、三点共线时，有最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵由于是的一个外角， ∴， ∴， 在中，，，则， ， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了平移的性质，菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，求线段长，添加辅助线构造平行四边形，使得求最小值转化求的最小值． 【变式3】（2025·江苏宿迁·二模）实践与探究： （1）如图（甲），正方形纸片的边长为2，沿对角线剪开，然后固定纸片．把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；（与不重合） ②在平移过程中，求的最小值； （2）如图（乙），菱形纸片的边长为2，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【答案】（1）①四边形是平行四边形；②的最小值为；（2） 【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； ②作点关于的对称点，连接，，当共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． （2）同理可得是等边三角形，且共线，进而利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：①四边形是平行四边形．理由如下： ∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值为． （2）解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等边三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值为． 【点拨】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点，是解题的关键． ★★【题型 8】菱形与折叠问题 【解题要点】解决菱形与折叠问题，要紧扣折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的性质，结合菱形四边相等、对边平行、对角线互相垂直平分且平分对角的特点，利用平行线与折叠产生的相等角推导出等腰三角形，再借助勾股定理设未知数表示线段长度，建立方程求解边长、角度及线段位置关系。 【例题8】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【答案】（1）3，10（2） 【分析】本题主要考查了矩形和翻折的结合，利用勾股定理解决几何问题，菱形的判定和性质，利用菱形的面积求对角线的长度等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据翻折的性质得出相等的边长，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可得出结果； （2）连接，根据条件证明四边形为菱形，利用菱形的面积即可求出对角线的长度． 解：（1）由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ,； ∴； 故答案为：3,10； （2）如图，连接， 由翻折的性质可得，，， ， ∴， ∴, ∴， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴为菱形， ∴，， 又， ∴点在同一条直线上， 同（1）可得，， ， 由够定理得， ， 解得． 【变式1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质、菱形的性质、矩形的性质，证出，即可求的度数． 解：由折叠的性质得， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键． 根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果． 解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知，， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东清远·期中）综合与实践课上，老师让同学们以一张矩形纸“如何折出菱形”为主题开展数学活动．小明做法：沿折叠使得点A落在上，沿折叠使得点C落在上，当时，得到的四边形为菱形； 小华做法：沿折叠使得与重合，再折出，当时，得到的四边形为菱形； （1）以上哪种方法能够折叠出菱形？请结合数学知识进行说明 （2）如果，请求出菱形的面积 【答案】（1）小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形；理由见分析；（2） 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据菱形的判定和性质、折叠的性质进行证明即可； （2）求出，得到，根据菱形的面积进行解答即可． 解：（1）小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形；理由如下： ∵四边形是矩形 ∴     ∴， 由折叠知：， ∴    ∴∥, ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 故时，四边形为菱形，甲成立， 而由小华折叠方法可知， 当时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 所以，故四边形不可能为菱形． 综上所述：小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形； （2）求菱形的面积如下： 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积为． ★★【题型 9】菱形与旋转问题 【解题要点】解决菱形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合菱形四边相等、对角线互相垂直平分且平分对角的特征，利用相等边与旋转角构造全等三角形和等腰三角形，再结合直角三角形性质、勾股定理与角度推导，求解线段长度、角度大小及图形位置关系。 【例题9】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． （1）如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）成立，证明见分析； 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法是解题关键. （1）根据菱形性质，可得，结合已知，可证，可得； （2）连接，由菱形的性质可得，，可证是等边三角形，是等边三角形，可得，，证明，可得. 解：（1）解：四边形是菱形， ， 在和中， （）， . （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，，固定边，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时边旋转度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正方形多边形的性质求出正五边形变形前度数，再在变形后的图形中，连接．证明是等边三角形，四边形是菱形，利用等边三角形和菱形的性质求出变形后的度数，然后用变形后度数变形前的度数求解． 解：在图1中， ∵正五边形 ∴ 在图2中，连接． ∵正五边形， ， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查正多边的性质，多边形内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形判定与性质，菱的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为______，，则______． 【答案】 【分析】本题考查中心对称及旋转的性质，菱形的性质．给出菱形的面积，结合的长即可解决问题． 解：∵四边形是菱形， ∴． 令菱形的面积为， 又∵， ∴， ∴． 又∵由绕点D旋转得到， ∴，， ∴． 在中，． 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，此时直线、所夹锐角的度数为30度，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形；（2） 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据含的直角三角形的性质可得，结合菱形的性质可得，根据即可求解． 解：（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵的度数为30度， ∴， ∵平行四边形是菱形； ∴， ∴． 【考点四】正方形与图形变换 ★★【题型 10】正方形与平移问题 【解题要点】解决正方形与平移问题，要抓住平移前后对应线段平行且相等、图形形状大小不变的特点，结合正方形四边相等、四个角都是直角、对边平行、对角线相等且互相垂直平分的性质，通过平移构造平行四边形或特殊直角三角形，利用坐标变化或线段相等关系列方程，求解动点、长度、坐标等问题。 【例题10】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC沿射线AC向下平移得△，边交BC于D点． （1）在平移过程中，的长度=________________． （2）若连接BB’，判断四边形的形状，并说明理由． （3）若四边形为正方形，则平移的距离为________． 【答案】（1）10；（2）四边形是矩形，理由见详解；（3）6 【分析】（1）先利用勾股定理计算出，然后根据平移的性质求解； （2）先根据平移的性质得到BC//B′C′，，则可判断四边形是平行四边形，然后利用判断四边形是矩形； （3）根据正方形的判断方法，当时，四边形是正方形，从而得到平移的距离． 解：（1）解：，，， ， 沿射线向下平移得△， ； 故答案为：10 （2）解：四边形是矩形．理由如下： 沿射线向下平移得△， ∴BC//B′C′， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （3）解：四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 此时平移的距离为6． 故答案为：6． 【点拨】本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了正方形的性质． 【变式1】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使A的对应点，满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．由正方形边长为3，可求，则，由平移可得重叠部分是正方形，设重叠部分正方形的边长为，利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积． 解：∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得重叠部分是正方形， 设重叠部分正方形的边长为，则， 解得：（负值舍去）， ∴重叠部分的正方形的边长为， ∴重叠部分的面积是． 故选：A． 【变式2】（2025·河南周口·二模）如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，先求出得到，则，进而得到，则是等腰直角三角形，则，，由正方形的性质可得，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形，，可得，同理可得，，……，据此可得答案． 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由正方形的性质可得， ∴， 如图所示，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，……， 以此类推可得，， 故答案为：． 【变式3】（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务． 平移的巧妙运用 平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程： 结论：如图①，在正方形中，点E，F，G分别在边上，且．则 该结论的一种证明过程如下： 如图①，过点A作交于点H，交于点P， ∵四边形是正方形， ,， （依据）， … 任务： （1）请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容： ； （2）请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整； （3）如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，且线段AB与CD交于点O，请根据材料中的思路，求的度数． 【答案】（1）；（2）见详解；（3） 【分析】（1）上述证明过程中括号内“依据”的内容为：； （2）根据全等三角形的性质得到，可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证； （3）将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，由平移可得，则，由勾股定理得，，故，则是等腰直角三角形，则，故． 解：（1）解：上述证明过程中括号内“依据”的内容为：， 故答案为：； （2）解：证明过程补充如下： ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （3）解：将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，如图： 由平移可得， ∴， ∵正方形网格中每个小正方形的边长均为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，平移的性质等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． ★★【题型 11】正方形与折叠问题 【解题要点】解决正方形与折叠问题，要抓住折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的性质，结合正方形四边相等、四角为直角、对角线互相垂直平分且相等的特点，利用直角条件和勾股定理设未知数列方程，同时借助折叠与正方形的对称性推导角度与线段关系，从而求解边长、角度及线段位置等问题。 【例题11】（25-26九年级上·广东佛山·月考）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上． 求证：四边形是正方形．（请完成以下填空） 证明：四边形是矩形， ， 折叠，， 四边形是矩形（）． 折叠，， 四边形是正方形（） （2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上． ①求证：四边形是菱形． ②连结，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）①见详解；②25 【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得：，则四边形是矩形，然后由，即可得出结论； （2）①由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； ②由菱形面积公式得，即可得出答案． 解：（1）解：∵四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形为矩形）， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； ②解：如图2，∵四边形是菱形，， ∴， 故答案为：25．    【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】（2025·广西桂林·二模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得出，再由折叠的性质及勾股定理得出，再由第二次折叠得出，，利用三角形等面积法确定，即可得出结果． 解：∵矩形， ∴， 第一次将边折叠到边上得到， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形纸片的长宽比的值为， 故选：D． 【点拨】题目主要考查矩形的折叠问题，勾股定理解三角形，理解题意，准确掌握运用折叠的性质是解题关键． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，． （2）求证：． （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解； （2）由线段垂直平分线性质可得，再由等腰三角形性质可得，推出，即是等腰直角三角形，得出，利用勾股定理可得，即可证得结论； （3）过点P作的平行线分别交、于点M、N，可证得，得，再证明是等腰直角三角形即可得出结论． 解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得：，， ∴ ， 故的度数为．   （2）证明：如图，由（1）知， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴．     （3）解：如图3，过点P作的平行线分别交、于点M、N，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴平分． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． ★★【题型 12】正方形与旋转问题 【解题要点】解决正方形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合正方形四边相等、四角都是直角、对角线相等且互相垂直平分的特征，利用相等的边与直角构造全等三角形、等腰直角三角形，再通过角度转化、勾股定理与线段关系进行推理计算，从而解决长度、角度及图形位置等问题。 【例题12】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系； 【创新拓展】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析，；（2），理由见分析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，进而可得，利用等式的性质可得，证得，进而可得，于是可得； （2）利用方形的性质可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，利用三角形的中位线定理可证得且，利用平行线的性质可得，进而可得，证得，进而可得，于是可得． 解：（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 如图3，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中，， ， ． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质以及添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CE、AC，根据正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，可以求出AC的长，又因为CE≥AC-AE，所以当A、E、C三点共线时取等号，即可求值； 解：如图，连接CE、AC， 已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1， ∴ AB=BC=4，AE=1， 由勾股定理得： ， ∴ ∵ CE≥AC-AE， ∴CE≥， ∴CE的最小值为， 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·河南商丘·三模）如图，正方形与等边三角形的顶点A重合，，，M是的中点，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，点M到点C的距离为______．      【答案】或 【分析】连接，先根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，再分①在正方形内部和②在正方形外部两种情况，根据定理证出，根据全等三角形的性质可得的度数，从而可得点在同一条直线上，由此即可得． 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ， ∵是等边三角形，，是的中点， ， ， ①如图，当在正方形内部时，    在和中，， ， ， ， 点在同一条直线上， ∴点到点的距离； ②如图，当在正方形外部时，    同理可证：， ， ， 点在同一条直线上， ∴点到点的距离， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1）；45（2）①的度数是定值，；②证明见分析． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； （2）①设，先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； ②连接，先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证出，，然后根据勾股定理和等量代换即可得证． 解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；45． （2）①解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 所以的度数是一个定值，这个定值为． ②证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 二.专项练习 （一）单选题（6题） 1．（24-25九年级上·重庆北碚·月考）如图，等腰直角，，，将沿射线平移个单位，得到，连接，则的面积是（     ） A．6 B．2 C．12 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握相关知识是解题关键．过作于点，由勾股定理求得的长，由平移的性质可得的长，由直角三角形的性质得的长，进而可求出的面积． 解：如图，过作于点， ， 由平移得，， ∴． ∵ ∴ ∴的面积． 故选：． 2．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、平移等知识点，确定的坐标是解题的关键． 先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出点的坐标，最后利用平移的性质求解即可． 解：∵A，的坐标分别为，， ∴， ∵菱形， ∴， 又∵轴， ∴点的坐标为， ∵将菱形平移，使点A与原点重合， ∴菱形向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为，即． 故选∶A． 3．（17-18九年级上·全国·单元测试）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键．由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，当时，解得：或，所以或． 解：设，与相交于点， 是正方形剪开得到的， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ， 整理得，，解得， 即移动的距离为或． 故选：D． 4．（24-25九年级下·河北邢台·期中）将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，设，先根据平行四边形的性质得到，然后根据等要三角形的性质得到，求出的度数，然后根据列方程解答即可． 解：设， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：A． 5．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 6．（2024·安徽合肥·三模）一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线定理，含30 度角的直角三角形，勾股定理，取的中点，连接，勾股定理求出的长，三角形的中位线定理，求出的长，根据，进行求解即可． 解：∵，，， ∴， 取的中点，连接，则：， ∴， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴的最大值为； 故选A． （2） 填空题（6题） 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推…    若经过若干次平移后，图n的面积为，则______． 【答案】15 【分析】根据平移的性质探索规律，利用规律解决问题即可． 解：由题意得：图2面积为， 图3的面积为， 图4的面积为， 图n的面积为， 当时， 解得：． 故答案为：15． 【点拨】本题考查了图形的平移，规律型图形的变化等知识，解题关键是学会探究规律的方法，学会利用参数构建方程解决问题． 8．（2024·广西南宁·二模）如图，将边长，的矩形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移，得到，连接，当时，平移距离的长为____________． 【答案】1.4 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据平移的性质得到，过B作于 H，根据勾股定理即可得到结论． 解：四边形是矩形， 将沿射线方向平移，得到， ，， 过B作于H，如图， ，， ， ， ； 故答案为：． 9．（2024·新疆昌吉·模拟预测）有一边长为2的正方形纸片，将纸片沿对角线剪开，再将沿射线的方向平移得到，当△是等腰三角形时，平移的距离为______． 【答案】 【分析】如图所示，连接交于点O，连接，，，根据勾股定理求出，得到，设平移的距离为x，表示出，，然后根据△是等腰三角形得到，代数求解即可． 解：如图所示，连接交于点O，连接，， ∵有一边长为2的正方形纸片， ∴， ∴ ∴ 设平移的距离为x ∴ ∴ ∵△是等腰三角形，即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴平移的距离为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理， 等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为______． 【答案】 【分析】过作于，则，根据矩形的性质和平行线的性质可证得，进而可得，再根据折叠的性质得到，即，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定即可得出四边形为菱形，根据菱形的面积公式可求得的长，再利用菱形的性质和勾股定理求得，则有，再由勾股定理即可求得的长 解：方法1：如图，过E作于K，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵图形翻折后点G与点C重合，为折线， ∴， ∴， ∴， ∵图形翻折后与完全重合， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，． 方法2：由方法1得四边形是菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，∴， ∴． ∵四边形的面积是20， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等角对等边证明边相等、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 11．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质．连接、，作于点M，，推出，再证明，推出，据此求解即可． 解：如图，连接、，作于点M． ∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∴的值为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当点E在上方时，过点A作于T， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在下方时，过点A作于T， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为7或17； 故答案为：7或17． （3） 解答题（4题） 13．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，平行线的判定与性质． 由平行四边形的性质得，，则，由折叠得，，则，所以，而，则四边形是平行四边形． 解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． （1）如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： （2）如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； （3）如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 解：（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 15．（24-25九年级上·广东湛江·月考）综合与实践 问题情境：在中，，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是矩形，证明见分析；（2）；（3）． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由勾股定理列式可求解； （3）延长到点G，使得，推出，得到，设，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 解：（1）解：四边形是矩形， 理由：∵点D是的中点，点M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图2，过点N作于G， ∵，，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 由勾股定理得，即， 解得， ∴； （3）解：延长到点G，使得，连接，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点拨】本题考查了矩形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握其性质是解题的关键． 16．（24-25八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的和重叠在一起，其中．固定不动，将沿直线向左平移，当点与点重合时，停止移动． 【猜想证明】 （1）如图，在平移过程中，当为的中点时，连接，请你猜想四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图，在平移过程中，连接，四边形的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积． 【探索发现】 （3）在平移过程中，四边形有什么共同特征？（写出两个即可） 【答案】（1）菱形，证明见分析；（2）四边形的形状在不断改变，但它的面积不变化，；（3）在平移过程中，四边形共同特征为 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，结合，由菱形的判定定理即可得证； （2）由含直角三角形性质、勾股定理及平移性质得到相关线段长度，进而确定，数形结合，由即可求出面积； （3）由平移性质及前面问题的求解过程中即可得证． 解：（1）四边形是菱形． 证明如下： ∵是直角三角形，为的中点， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）四边形的形状在不断改变，但它的面积不变化． 由平移的性质，得． 在中，， 则． 在中，由勾股定理可得． 由平移性质可得， ∴， ∴． （3）在平移过程中，四边形共同特征为①；②． 【点拨】本题考查几何综合，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、平移性质、含直角三角形性质、勾股定理等知识．熟记相关几何判定与性质，并灵活运用是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 21.22 四边形与图形变换（考点梳理+题型精析+专项练习） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【考点一】平行四边形与图形变换 2 ★★【题型 1】平行四边形与平移问题 2 ★★【题型 2】平行四边形与折叠问题 3 ★★【题型 3】平行四边形与旋转问题 4 【考点二】矩形与图形变换 6 ★★【题型 4】矩形与平移问题 6 ★★【题型 5】矩形与折叠问题 7 ★★【题型 6】矩形与旋转问题 9 【考点三】菱形与图形变换 11 ★★【题型 7】菱形与平移问题 11 ★★【题型 8】菱形与折叠问题 12 ★★【题型 9】菱形与旋转问题 13 【考点四】正方形与图形变换 15 ★★【题型 10】正方形与平移问题 15 ★★【题型 11】正方形与折叠问题 18 ★★【题型 12】正方形与旋转问题 20 二.专项练习 22 （一）单选题（6题） 22 （二）填空题（6题） 24 （三）解答题（4题） 25 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【考点一】平行四边形与图形变换 ★★【题型 1】平行四边形与平移问题 【解题要点】解决平行四边形中的平移问题，关键是抓住平移前后对应线段平行且相等这一本质，利用这一性质直接判定或构造平行四边形；坐标系中通过横、纵坐标的变化量相等确定对应点，动点问题则设出变量，根据一组对边平行且相等列方程求解，即可快速得出结论。 【例题1】（2026·江西·模拟预测）如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：四边形是矩形． 【变式1】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． （1）连接，，求证：； （2）若，求的度数． ★★【题型 2】平行四边形与折叠问题 【解题要点】解决平行四边形与折叠问题，要先抓住折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的核心性质，再结合平行四边形对边平行且相等、对角相等、内错角相等的特征，通过平行线与折叠产生的相等角推导等腰三角形，利用勾股定理或方程思想设未知数表示线段长度，建立等式求解边长、角度或位置关系。 【例题2】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【变式3】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点． （1）请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质； （2）在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离． ★★【题型 3】平行四边形与旋转问题 【解题要点】解决平行四边形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的特征，通过旋转构造全等三角形，找到相等线段与相等角，再利用平行线性质、等腰三角形或勾股定理进行推理与计算，从而解决角度、线段长度及位置关系问题。 【例题3】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，的对角线、相交于点，直线过点且与、分别相交于点、． （1）求证：； （2）直线绕点旋转一定的角度与直线、相交于点、．请探索与的数量关系． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是________． 【变式3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，． （1）请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______． （2）①证明；②证明四边形是平行四边形． （3）当，时，直接写出的度数． 【考点二】矩形与图形变换 ★★【题型 4】矩形与平移问题 【解题要点】解决矩形与平移问题，要抓住平移只改变位置、不改变形状和大小的特点，利用矩形对边平行且相等、四个角都是直角、对角线相等且互相平分的性质，结合平移后对应线段平行且相等的规律，在图形中构造平行四边形或直角三角形，通过坐标变化、线段相等关系列方程，进而求解动点、长度、坐标等问题。 【例题4】（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知：如图，在矩形中，，垂足是，点是点关于的对称点，连接． （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）当点分别平移到线段上时，求出相应的的值． 【变式1】（25-26八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【变式2】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．．将矩形沿射线方向平移3个单位长度，则点平移后的对应点的坐标为______． 【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，中，点D是AB的中点，将BD沿射线BC方向平移得到线段CE，连接，若，，． （1）求证：四边形是矩形；（2）求的周长． ★★【题型 5】矩形与折叠问题 【解题要点】解决矩形与折叠问题，要抓住折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的核心性质，结合矩形四个角为直角、对边平行且相等、对角线相等的特征，利用折叠产生的相等角与平行线推导角的关系，再通过勾股定理设未知数表示线段长度，建立方程求解边长、角度或线段位置等问题。 【例题5】（25-26八年级下·河北雄安·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． 【猜想】． 【验证】（1）请将下列证明过程补充完整． ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ． ∵四边形是矩形， ， ． ， ． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． ①猜想与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期中）将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在矩形中，，将矩形分别沿，折叠，点与点恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展《矩形的折叠》实验，甲、乙两同学各分到一张相同大小的矩形纸张，，，并对该纸张的折叠进行如下实验探究： 甲同学： 如图1，连接，把沿折叠，使点与点重合，与交于点． 乙同学： 步骤1：如图2，点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得 与重合； 步骤2：点为边上的动点（与点、不重合），沿折叠得到． 结合两个同学的实验，探究下列问题：    （1）对于甲同学的实验，求证：； （2）对于乙同学的实验，若点在线段上，试探索：当为何值时，、、三点在同一直线上？请说明理由． ★★【题型 6】矩形与旋转问题 【解题要点】解决矩形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合矩形四个角为直角、对边平行且相等、对角线相等且互相平分的特征，通过旋转构造全等三角形与等腰三角形，再利用直角三角形性质、勾股定理或角度推导进行计算与证明，从而求解线段长度、角度大小及图形位置关系。 【例题6】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，在中，，，将一个含角的直角三角尺的直角顶点放在的中点上（直角三角尺的短直角边为，长直角边为），将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转． （1）在图中，交于，交于，求证：； （2）继续旋转至如图的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·广西梧州·期末）矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形中，，，点O为矩形对角线交点，，当矩形绕点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围是______． 【变式3】（25-26九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： （1） （2）． 【考点三】菱形与图形变换 ★★【题型 7】菱形与平移问题 【解题要点】解决菱形与平移问题，要抓住平移前后对应线段平行且相等、图形形状大小不变的特点，结合菱形四边相等、对边平行、对角线互相垂直平分的性质，通过平移构造平行四边形，利用边与对角线的关系进行推理计算，在动点或坐标系问题中根据平行且相等的条件列方程求解。 【例题7】（2024·山西晋中·三模）如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． （1）若，，求的度数．． （2）请再添加一个条件，使四边形为菱形． 【变式1】（2024·山东临沂·三模）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，．将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则_____； （2）的最小值为 _______． 【变式3】（2025·江苏宿迁·二模）实践与探究： （1）如图（甲），正方形纸片的边长为2，沿对角线剪开，然后固定纸片．把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；（与不重合） ②在平移过程中，求的最小值； （2）如图（乙），菱形纸片的边长为2，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． ★★【题型 8】菱形与折叠问题 【解题要点】解决菱形与折叠问题，要紧扣折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的性质，结合菱形四边相等、对边平行、对角线互相垂直平分且平分对角的特点，利用平行线与折叠产生的相等角推导出等腰三角形，再借助勾股定理设未知数表示线段长度，建立方程求解边长、角度及线段位置关系。 【例题8】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【变式1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为_______． 【变式3】（24-25九年级上·广东清远·期中）综合与实践课上，老师让同学们以一张矩形纸“如何折出菱形”为主题开展数学活动．小明做法：沿折叠使得点A落在上，沿折叠使得点C落在上，当时，得到的四边形为菱形； 小华做法：沿折叠使得与重合，再折出，当时，得到的四边形为菱形； （1）以上哪种方法能够折叠出菱形？请结合数学知识进行说明 （2）如果，请求出菱形的面积 ★★【题型 9】菱形与旋转问题 【解题要点】解决菱形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合菱形四边相等、对角线互相垂直平分且平分对角的特征，利用相等边与旋转角构造全等三角形和等腰三角形，再结合直角三角形性质、勾股定理与角度推导，求解线段长度、角度大小及图形位置关系。 【例题9】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． （1）如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，，固定边，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时边旋转度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为______，，则______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，此时直线、所夹锐角的度数为30度，求四边形的面积． 【考点四】正方形与图形变换 ★★【题型 10】正方形与平移问题 【解题要点】解决正方形与平移问题，要抓住平移前后对应线段平行且相等、图形形状大小不变的特点，结合正方形四边相等、四个角都是直角、对边平行、对角线相等且互相垂直平分的性质，通过平移构造平行四边形或特殊直角三角形，利用坐标变化或线段相等关系列方程，求解动点、长度、坐标等问题。 【例题10】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC沿射线AC向下平移得△，边交BC于D点． （1）在平移过程中，的长度=________________． （2）若连接BB’，判断四边形的形状，并说明理由． （3）若四边形为正方形，则平移的距离为________． 【变式1】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使A的对应点，满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式2】（2025·河南周口·二模）如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为___________． 【变式3】（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务． 平移的巧妙运用 平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程： 结论：如图①，在正方形中，点E，F，G分别在边上，且．则 该结论的一种证明过程如下： 如图①，过点A作交于点H，交于点P， ∵四边形是正方形， ,， （依据）， … 任务： （1）请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容： ； （2）请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整； （3）如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，且线段AB与CD交于点O，请根据材料中的思路，求的度数． ★★【题型 11】正方形与折叠问题 【解题要点】解决正方形与折叠问题，要抓住折叠前后图形全等、对应边相等、对应角相等的性质，结合正方形四边相等、四角为直角、对角线互相垂直平分且相等的特点，利用直角条件和勾股定理设未知数列方程，同时借助折叠与正方形的对称性推导角度与线段关系，从而求解边长、角度及线段位置等问题。 【例题11】（25-26九年级上·广东佛山·月考）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上． 求证：四边形是正方形．（请完成以下填空） 证明：四边形是矩形， ， 折叠，， 四边形是矩形（）． 折叠，， 四边形是正方形（） （2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上． ①求证：四边形是菱形． ②连结，若，，求菱形的面积． 【变式1】（2025·广西桂林·二模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【变式3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，． （2）求证：． （3）求证：平分． ★★【题型 12】正方形与旋转问题 【解题要点】解决正方形与旋转问题，要抓住旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等、旋转角相等的核心性质，结合正方形四边相等、四角都是直角、对角线相等且互相垂直平分的特征，利用相等的边与直角构造全等三角形、等腰直角三角形，再通过角度转化、勾股定理与线段关系进行推理计算，从而解决长度、角度及图形位置等问题。 【例题12】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系； 【创新拓展】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （    ） A．3 B． C． D． 【变式2】（2025·河南商丘·三模）如图，正方形与等边三角形的顶点A重合，，，M是的中点，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，点M到点C的距离为______．      【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 二.专项练习 （一）单选题（6题） 1．（24-25九年级上·重庆北碚·月考）如图，等腰直角，，，将沿射线平移个单位，得到，连接，则的面积是（     ） A．6 B．2 C．12 D．1 2．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 3．（17-18九年级上·全国·单元测试）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离等于（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25九年级下·河北邢台·期中）将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（2024·安徽合肥·三模）一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． （2） 填空题（6题） 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推…    若经过若干次平移后，图n的面积为，则______． 8．（2024·广西南宁·二模）如图，将边长，的矩形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移，得到，连接，当时，平移距离的长为____________． 9．（2024·新疆昌吉·模拟预测）有一边长为2的正方形纸片，将纸片沿对角线剪开，再将沿射线的方向平移得到，当△是等腰三角形时，平移的距离为______． 10．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为______． 11．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 12．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． （3） 解答题（4题） 13．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． （1）如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： （2）如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； （3）如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 15．（24-25九年级上·广东湛江·月考）综合与实践 问题情境：在中，，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 16．（24-25八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的和重叠在一起，其中．固定不动，将沿直线向左平移，当点与点重合时，停止移动． 【猜想证明】 （1）如图，在平移过程中，当为的中点时，连接，请你猜想四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图，在平移过程中，连接，四边形的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积． 【探索发现】 （3）在平移过程中，四边形有什么共同特征？（写出两个即可） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $