专题 21.20 平行四边形二级结论专题（结论梳理+题型精析+专项练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 21.20 平行四边形二级结论专题（结论梳理+题型精析+专项练习） 目录 一.二级结论梳理 1 【结论一】平行四边形+角平分线 2 【结论二】平行四边形+面积 2 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 2 【结论四】平行四边形周长与对角线构成的三角形周长关系 3 【结论五】平行四边形边的对称性等分面积 3 【结论六】平行四边形四个顶点坐标关系 3 二.二级结论题型精析 3 【题型 1】平行四边形+单角平分线 3 【题型 2】平行四边形+双角（邻角）平分线 8 【题型 3】平行四边形+双角（对角）平分线 13 【题型 3】平行四边形+等面积 19 【题型 4】平行四边形+面积一半 23 【题型 5】平行四边形+平行于边的面积问题 27 【题型 6】平行四边形边与对角线平方和关系 29 【题型 7】平行四边形边周长与对角线构成三角形周长关系 36 【题型 8】平行四边形边与等分面积关系 39 【题型 9】平行四边形边顶点坐标关系 45 三.专项练习 51 （一）单选题（6题） 51 （二）填空题（6题） 55 （三）解答题（4题） 60 一.二级结论梳理 【结论一】平行四边形+角平分线 条件 基本图形1 结论 基本图形2 结论 单角平分线 双角平分线 EF=AB-AF AB=CD=DF=AF AB=CD=AE=DF BC=2AB+EF 四边形BEDF是平行四边形 四边形BHDG 是平行四边形 【结论二】平行四边形+面积 条件 基本图形 结论 条件 基本图形 结论 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 条件 基本图形 结论 备注 利用勾股定理证明即可 【结论四】平行四边形周长与对角线构成的三角形周长关系 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形对边相等及对角线互相平分 【结论五】平行四边形边的对称性等分面积 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形是中心对称图形即可得出结论 【结论六】平行四边形四个顶点坐标关系 条件 基本图形 结论 备注 利用中点坐标公式即可得出结论 二.二级结论题型精析 【题型 1】平行四边形+单角平分线 【例题1】（23-24九年级下·重庆开州·月考）如图，四边形是平行四边形，是的角平分线． (1)尺规作图：过点D作的垂线交与点F，交于点G；(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证： 解：（2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，角平分线定义和平行四边形的性质等知识： （1）以点D为圆，适当长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧有交点，过点D和交点作直线即可； （2）根据证明步骤填写出所缺少部分即可 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；；；． 【变式1】（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可知，则，即可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交相交于点E，连接．若，则的面积为______．    【答案】32 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，先证明，得出，求出，根据勾股定理得出，求出． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵的角平分线交相交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·周测）在学习平行四边形的过程中，小明发现当纸片满足时，将其剪一刀，得到的两部分可拼接为一个等腰三角形．小明想对此结论进行证明，思路是：作的角平分线交射线于点E，再将其转化为证明三角形全等，根据全等三角形的性质使问题得到解决，请根据小明的思路完成下面的作图与填空． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作的角平分线交射线于点E（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中作图，设交于点F，求证：． 证明：四边形为平行四边形， ①________ 平分 ②________ ③________ 四边形为平行四边形， ________ 于是将剪下后放置在的位置，使得点A，D，F分别与点E，C，F对应，即可得到等腰． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等角对等边，角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由平行四边形的性质得到，则由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此可证明，再由平行四边形对边相等得到，据此可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 于是将剪下后放置在的位置，使得点A，D，F分别与点E，C，F对应，即可得到等腰． 【题型 2】平行四边形+双角（邻角）平分线 【例题2】（22-23八年级下·广西贺州·期末）如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．    (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)18 【分析】（1）根据平行四边形对边平行得，证出，结合平分从而证出得出结论即可； （2）根据平行四边形性质得出，结合（1）中结论求出，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， ； （2）解：∵由（1）可知，，且四边形是平行四边形， ， 又若点是的中点， ， 周长． 【点睛】本题考查了平行四边形性质、角平分线的定义、等腰三角形判定，熟记性质与判定是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 【变式2】（2023·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为　　． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义可证，进而得到，利用等腰三角形的性质与判定可得，即可得证； （2）先求，然后证明，，最后利用线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点E是中点； （2）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，分别求出点P恰好在线段上和直线恰好经过点C时m的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点P恰好在线段上时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，当直线恰好经过点C时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是， 故答案为：． 【题型 3】平行四边形+双角（对角）平分线 【例题2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）如图，是中的角平分线，交于点E．    (1)作的角平分线，交于点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图方法，作图即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）．解：如图所示，射线即为所作．    （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，． ∵BE平分，DF平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的作图，平行四边形的性质．熟练掌握角平分线的作图方法，平行四边形的对边相等，对角相等，是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·重庆北碚·期末）在学习完平行四边形后，喜欢思考的小明想进一步探究平行四边形对角的角平分线的位置关系，他的思路是：在中，先作出和的角平分线，通过角的等量关系得到同位角相等，从而发现它们的位置关系． 请根据小明的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中，平分． (1)用直尺和圆规完成基本作图，作的角平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： ． 证明：四边形是平行四边形， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 通过探究，小明发现平行四边形均有此特征，请依照题意完成下面的命题：平行四边形一组对角的角平分线 ． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；互相平行 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 通过探究，小明发现平行四边形均有此特征，请依照题意完成下面的命题： 平行四边形一组对角的角平分线互相平行， 故答案为：，，，，互相平行． 【变式2】（23-24九年级上·重庆·期中）在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）． 已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴______， ∵平分， ∴______， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴______， ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴． 【答案】作图见解析； 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的作图方法是解题的关键．根据题意及角平分线的作法作图即可；根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的得到，求得，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图所示； 证明：∵四边形是平行四边形， 平分 ， ， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·月考）四边形是平行四边形，是上一点，，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)小明在（1）所作的图形中，去证明四边形 为平行四边形，并且他还发现有一组邻边相等的平行四边形的对角线存在特殊的关系，下面是小明的证明过程，请完善步骤． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ① ． ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴ ② ． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴、互相平分． ∵，， ∴ ④ ． 通过探究，请你猜想有一组邻边相等的平行四边形对角线互相 ⑤ ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的作法、平行四边形的性质及判定、等腰三角形的判定： （1）以点为圆心，以适当长度为半径作圆弧，交、于两点，以这两点为圆心，以大于这两点之间线段长度为半径作圆弧，两条弧交于一点，连接点和该点并延长，于交于一点，该点即为点，连接； （2）可先证得，得到，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明结论． 【详解】（1） （2）∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴、互相平分． ∵，， ∴． 通过探究，请你猜想有一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直． 【题型 3】平行四边形+等面积 【例题3】（23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)和之间的距离，和之间的距离 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握以下知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高． （1）根据平行线间的距离求解即可； （2）已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求出BC＝8，根据平行四边形的面积＝底乘以高可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴和之间的距离，和之间的距离； （2）∵的周长为， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，正方形网格中，ABC的顶点A，B，C都在格点上，对于点P，Q，M，N分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【答案】B 【分析】利用平行线的性质，以及三角形同底等高面积相等的性质进行判定即可解答． 【详解】因为正方形网格中，P，Q，M，N都在网格格点上，如图， 过A点作BC的平行线，则这条平行线经过N， 根据两平行线之间距离相等的特点，可得， N与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故D选项不符合题意； 过M点作BC的平行线，恰好经过M点、P点，根据三边对应相等可得, M、P分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故A、C选项不符合题意； 与 中，底边BC相等，但是高不相等，所以 与面积不相等， Q分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等，故B选项符合题意； 故正确选项为:B． 【点睛】题目主要考查了两平行线间距离相等，两个三角形同底等高则面积相等的性质． 【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 【详解】如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 【题型 4】平行四边形+面积一半 【例题4】（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，在四边形中，，点在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的面积是，则三角形的面积________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先由内错角相等得到，即可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （2）此时与平行四边形共高，根据平行四边形和三角形的面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于，如图： ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，根据平行四边形的性质可得，，由此可得，从而可得结论．解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为______． 【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式底高．过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h，根据同底等高的三角形的面积相等得到，，进而可求解． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴阴影部分面积为3． 故答案为：3． 【变式3】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 【题型 5】平行四边形+平行于边的面积问题 【例题5】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，和相交于点，四边形的面积是6，，则四边形的面积是________．    【答案】3 【分析】本题考查了平行线四边形的判定与性质，先说明四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，再根据，等高即可求解． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形 ∵ ∴ ∵，等高，四边形的面积是6， ∴四边形的面积是3 故答案为：3． 【变式1】（2025八年级下·山西·专题练习）如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全能三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键.根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证明，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 【题型 6】平行四边形边与对角线平方和关系 【例题6】（1）尺规作图：求作平行四边形，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请利用（1）中的图形，解决下列问题： ①若，请用含和的式子表示平行四边形的面积； ②求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 【答案】（1）见解析；（2）① ；②见解析 【分析】（1）任意作一个角∠MAN，在AM上截取AB=a，在AN上截取AD=b，以D为圆心，以a为半径画弧，以B为圆心，以b为半径画弧，二弧交于点C，则四边形ABCD即为所求． （2）①过点D作DE⊥AB，垂足为E，计算出高DE的长度，根据公式底乘高计算面积即可． ②过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，设DE=CF=h，AE=BF=x，根据勾股定理计算，计算证明即可． 【详解】（1）任意作一个角∠MAN，在AM上截取AB=a，在AN上截取AD=b，以D为圆心，以a为半径画弧，以B为圆心，以b为半径画弧，二弧交于点C， 则四边形ABCD即为所求． （2）①过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD=b，∠BAD=60°， ∴AE=，DE=， ∴平行四边形的面积为：． ②过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，DE=CF，∠AED=∠BFC=90°， ∴△ADE≌△BCF， ∴AE=BF， 设DE=CF=h，AE=BF=x， 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的基本作图，平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·四川德阳·月考）如图，平行四边形，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是______． 【答案】50 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．可证≌，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作直线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 又∵， ， ，， ，，， ， 即：． ，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 【答案】【任务一】：见解析；【任务二】：见解析 【分析】任务一：作适当辅助线，利用勾股定理补充证明即可； 任务二：延长至点，使得，连接，，构造平行四边形，由（1）的结论代入求值即可． 【详解】任务一： 解：补充证明过程如下： 原式 ， ． 任务二： 证明：如答图，延长至点，使得，连接，． 是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． 由（1），得， ， ， ． 9．（2023·山东青岛·一模）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究． 探究一：如图1，在矩形中，，，则，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和． 探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？ 证明：如图2，在中，过A作于M，过D作，交延长线于N．设，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴，． 请你接着完成上面的证明过程． 结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，，求该平行四边形的四条边长． 【答案】探究二：证明见解析；结论应用：平行四边形的四条边长为4，6，4，6． 【分析】探究二：由勾股定理得出，，两式相加可得出结论； 结论应用：设平行四边形的两边长为m，n，得出，解方程组可得出答案． 【详解】（1）探究二：证明：如图2，在中，过A作于M，过D作，交延长线于N． 设，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 在中，由勾股定理可得， ∴①， 在中，由勾股定理可得， ∴②， ①②可得， ， ∴； 结论应用： 解：设平行四边形的两边长为m，n， ∵平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，， ∴， 解得或， ∴平行四边形的四条边长为4，6，4，6． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键． 【变式3】【归纳猜想】 在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形中，由勾股定理，得，，因为，，所以． 小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 【探究发现】 求证：平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和，请结合图2，写出已知、求证、并写出证明过程． 【答案】见解析 【分析】作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，首先根据勾股定理得到AC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=AE2+（BC+BE）2，然后根据线段之间的转化即可证明． 【详解】解：已知平行四边形ABCD， 求证∶平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 证明：如图3，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F， 则∠AEB=∠DFC=90°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，ABCD， ∴∠ABE=∠DCF， ∴△ABE≌△DCF， ∴AE=DF，BE=CF． 在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理得， AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2， BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2， ∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2． 又∵AE2+BE2=AB2， 故AC2+BD2=2（AB2+BC2）． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理的运用． 【题型 7】平行四边形边周长与对角线构成三角形周长关系 【例题7】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，平行四边形的周长为，，相交于点，的周长比的周长小，求，的长． 【答案】 【分析】由四边形是平行四边形，即可得，然后由平行四边形的周长为的周长比的周长多，可得，继而可求得、的长． 此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形对边相等与对角线互相平分的定理的应用，注意数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 的周长比的周长多， ， 即 平行四边形的周长为， 由得到：． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，的周长是，其对角线和交于点，，和的周长差是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的周长，根据平行四边形的性质得，，，，，根据的周长是及和的周长差是，得①，②，可得结论．解题的关键是掌握：平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其对角线和交于点，， ∴，，，， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴①， ∵和的周长差是，， ∴， ∴②， ①②，得：， ∴， 即的长是． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【答案】 【详解】解：的对角线、相交于点，其周长为， ，，，， ①； 的周长比的周长大， ， ②， ①②得：， ， ． 【变式3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)连接，若，，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）依据平行四边形的性质，即可得出，依据全等三角形的性质，可得，即可得到； （2）依据垂直平分，即可得出，再根据的周长为，即可得到，则，进而得到的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ； （2）解：连接， ，， 垂直平分， ， 的周长为， ，即， ， 的周长为． 【题型 8】平行四边形边与等分面积关系 【例题8】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【答案】(1)无数 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点作交的延长线于点，连接．由和的公共边上的高也相等，可得，进而可得，面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【详解】（1）解：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． 故答案为无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图： （3）四边形的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点作交的延长线于点，连接． ∵，∴和的公共边上的高也相等， ∴． ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，对角线、交于点，过点的直线与、交于点、，若的面积是3，的面积是5，则四边形的面积是（    ） A．13 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】先根据证明，得，则，再由，得，进而可求四边形的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·山西运城·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，过O的两条直线分别交边,，于点E、F，G，H．且，，当______，使直线把四边形的面积四等分． 【答案】 【分析】过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，则，由平行四边形的面积求出，再证，然后由三角形面积得，即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质以及三角形、四边形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 【详解】解：如图，过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P， 由平行四边形是中心对称图形可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，直线，把四边形的面积四等分， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 (1)小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； (2)王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，，，分别证明，，即可得出结论； （2）分别连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形 ，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 直线平分的面积； （2）解：连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求，如图： 【题型 9】平行四边形边顶点坐标关系 【例题9】（23-24八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)5； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查坐标系内中点坐标公式，勾股定理，平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由矩形的性质得出点M为的中点，利用中点公式可得点M的坐标； （2）由平行四边形的性质可知，两条对角线中点重合，分，，为对角线三种情况，根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：为坐标原点，， 的长为， 矩形的对角线相交于点， 点M为的中点， 点M的坐标为，即， 故答案为：5，； （2）解：设点D的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； ③当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 综上可知，点的坐标为或或． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标，即可得出答案． 【详解】解：设，分三种情况： ①为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ②为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ③为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标是或或， 则点的坐标不可能为． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，由于点Q的位置不确定（即对角线或边不确定），所以要分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，然后根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设， ①当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ②当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ③当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； 综上，Q的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)四边形是平行四边形．证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【详解】（1）解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 三.专项练习 （一）单选题（6题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，的角平分线交于点，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键． 根据根据平行线的性质得出，，角平分线定义求出，推出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出答案． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，、的角平分线交于边上一点E，且，线段的长为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，由角平分线的定义和平行线的性质可推出是等边三角形，进一步推出是直角三角形，再由勾股定理求解的长． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 3．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（  　）    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 【答案】C 【分析】由平行线间距离处处相等以及同底等高的两个三角形的面积相等即可得到答案． 【详解】解：由且平行线间距离处处相等，即可得到与的边上的高相等，同底等高的两个三角形的面积相等， 即与的面积相等， 故选：C 【点睛】此考查了平行线间的距离、三角形的面积等知识，熟练掌握平行线间距离处处相等是解题的关键． 4．（2013·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 5．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 由平行四边形的周长为，可得，再由的周长为，可得，则，根据平行四边形对角线互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平行四边形的对角线互相平分，则平行四边形两条对角线的中点坐标相同，据此根据中点坐标计算公式列式求解即可． 【详解】解：∵平行四边形两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故选：D． （二）填空题（6题） 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题． 根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 故答案为4． 8．（22-23八年级下·江苏无锡·月考）在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 【答案】4或7/7或4 【分析】本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；分当、相交时和当、不相交时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当、相交时，如下图， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当、不相交时，如下图， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4或7． 9．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平行四边形中， ， ，角平分线交于点，交的延长线于点，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 10．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：4． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）已知平行四边形的周长为80，对角线、相交于O，若的周长比的周长小8，则____． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形性质的应用，关键是能根据题意得出，， 根据平行四边形的性质得出，，，，由的周长为80和的周长比的周长小8，得，，然后解此方程组，即可求得答案. 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，，，， 平行四边形的周长为80， ①， 的周长比的周长小8， ， ②， 由①②解得：，， 故答案为：16。 12．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质．连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到线段必过G点，代入G点坐标运算求解即可．理解该直线必过点G是解题的关键． 【详解】解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∵点的坐标为，的坐标为， ∴，即． ∵线段平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为即， 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 14．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 15．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，直线直线BC，则______．（填“＞”、“＝”或“＜”） （2）如图2，在中，点D、E分别是、的中点，在线段上确定点F，使等分的面积（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图3，小明家有一块三角形种植地，按照建设规划，要将种植地移到长方形区域内，为了补偿小明家，划拨给小明家的新的种植地的面积是原来的两倍，并且还保留种植地为三角形的形状，请作出变动后的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等以及同底等高的两个三角形面积相等可得答案； （2）根据三角形的三条中线交于一点作出中线，根据三角形的中线平分三角形的面积可知等分的面积； （3）作，可得，延长至点D，使可得，然后在上且在长方形的内部取一点E，连接，，可得的面积是面积的两倍． 【详解】解：（1）∵平行线间的距离处处相等， ∴和同底等高， ∴， 故答案为：； （2）如图2，设与交于点O，连接并延长交于F，点F即为所求；    证明：由题意得与是的中线， ∴是的中线， ∴等分的面积； （3）如图3，作，延长至点D，使，然后在上且在长方形的内部取一点E，连接，，则即为所求；    证明：由作图知：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的面积公式，三角形中线的性质，尺规作图等知识，熟练掌握基本几何图形的性质，能够将复杂作图转化为一般作图是解题的关键． 16．（21-22八年级下·河南安阳·月考）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 【答案】(1) (2)或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； (3)1 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴， 由运动知，，， ∵，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形， 只要， 当点N在边上时，， ∴， ∴， 当点N在边的延长线上时，， ∴， ∴， ∴或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； （3）如图， 连接交于O，    ∵线段将平行四边形面积二等分， ∴必过的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形面积二等分． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 21.20 平行四边形二级专题（结论梳理+题型精析+专项练习） 目录 一.二级结论梳理 1 【结论一】平行四边形+角平分线 2 【结论二】平行四边形+面积 2 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 2 【结论四】平行四边形周长与对角线构成的三角形周长关系 3 【结论五】平行四边形边的对称性等分面积 3 【结论六】平行四边形四个顶点坐标关系 3 二.二级结论题型精析 3 【题型 1】平行四边形+单角平分线 3 【题型 2】平行四边形+双角（邻角）平分线 8 【题型 3】平行四边形+双角（对角）平分线 13 【题型 3】平行四边形+等面积 19 【题型 4】平行四边形+面积一半 23 【题型 5】平行四边形+平行于边的面积问题 27 【题型 6】平行四边形边与对角线平方和关系 29 【题型 7】平行四边形边周长与对角线构成三角形周长关系 36 【题型 8】平行四边形边与等分面积关系 39 【题型 9】平行四边形边顶点坐标关系 45 三.专项练习 51 （一）单选题（6题） 51 （二）填空题（6题） 55 （三）解答题（4题） 60 一.二级结论梳理 【结论一】平行四边形+角平分线 条件 基本图形1 结论 基本图形2 结论 单角平分线 双角平分线 EF=AB-AF AB=CD=DF=AF AB=CD=AE=DF BC=2AB+EF 四边形BEDF是平行四边形 四边形BHDG 是平行四边形 【结论二】平行四边形+面积 条件 基本图形 结论 条件 基本图形 结论 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 条件 基本图形 结论 备注 利用勾股定理证明即可 【结论四】平行四边形周长与对角线构成的三角形周长关系 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形对边相等及对角线互相平分 【结论五】平行四边形边的对称性等分面积 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形是中心对称图形即可得出结论 【结论六】平行四边形四个顶点坐标关系 条件 基本图形 结论 备注 利用中点坐标公式即可得出结论 二.二级结论题型精析 【题型 1】平行四边形+单角平分线 【例题1】（23-24九年级下·重庆开州·月考）如图，四边形是平行四边形，是的角平分线． (1)尺规作图：过点D作的垂线交与点F，交于点G；(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证： 解：（2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交相交于点E，连接．若，则的面积为______．    【变式3】（25-26八年级上·重庆·周测）在学习平行四边形的过程中，小明发现当纸片满足时，将其剪一刀，得到的两部分可拼接为一个等腰三角形．小明想对此结论进行证明，思路是：作的角平分线交射线于点E，再将其转化为证明三角形全等，根据全等三角形的性质使问题得到解决，请根据小明的思路完成下面的作图与填空． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作的角平分线交射线于点E（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中作图，设交于点F，求证：． 证明：四边形为平行四边形， ①________ 平分 ②________ ③________ 四边形为平行四边形， ________ 于是将剪下后放置在的位置，使得点A，D，F分别与点E，C，F对应，即可得到等腰． 【题型 2】平行四边形+双角（邻角）平分线 【例题2】（22-23八年级下·广西贺州·期末）如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．    (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的周长． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（2023·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为　　． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是_____． 【题型 3】平行四边形+双角（对角）平分线 【例题2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）如图，是中的角平分线，交于点E．    (1)作的角平分线，交于点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)证明：． 【变式1】（23-24八年级下·重庆北碚·期末）在学习完平行四边形后，喜欢思考的小明想进一步探究平行四边形对角的角平分线的位置关系，他的思路是：在中，先作出和的角平分线，通过角的等量关系得到同位角相等，从而发现它们的位置关系． 请根据小明的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中，平分． (1)用直尺和圆规完成基本作图，作的角平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： ． 证明：四边形是平行四边形， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 通过探究，小明发现平行四边形均有此特征，请依照题意完成下面的命题：平行四边形一组对角的角平分线 ． 【变式2】（23-24九年级上·重庆·期中）在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）． 已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴______， ∵平分， ∴______， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴______， ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴． 【变式3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·月考）四边形是平行四边形，是上一点，，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)小明在（1）所作的图形中，去证明四边形 为平行四边形，并且他还发现有一组邻边相等的平行四边形的对角线存在特殊的关系，下面是小明的证明过程，请完善步骤． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ① ． ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴ ② ． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴、互相平分． ∵，， ∴ ④ ． 通过探究，请你猜想有一组邻边相等的平行四边形对角线互相 ⑤ ． 【题型 3】平行四边形+等面积 【例题3】（23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，正方形网格中，ABC的顶点A，B，C都在格点上，对于点P，Q，M，N分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是_____． 【变式3】（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【题型 4】平行四边形+面积一半 【例题4】（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，在四边形中，，点在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的面积是，则三角形的面积________． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为______． 【变式3】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【题型 5】平行四边形+平行于边的面积问题 【例题5】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，和相交于点，四边形的面积是6，，则四边形的面积是________．    【变式1】（2025八年级下·山西·专题练习）如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【题型 6】平行四边形边与对角线平方和关系 【例题6】（1）尺规作图：求作平行四边形，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请利用（1）中的图形，解决下列问题： ①若，请用含和的式子表示平行四边形的面积； ②求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 【变式1】（23-24八年级下·四川德阳·月考）如图，平行四边形，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是______． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 【变式3】【归纳猜想】 在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形中，由勾股定理，得，，因为，，所以． 小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 【探究发现】 求证：平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和，请结合图2，写出已知、求证、并写出证明过程． 【题型 7】平行四边形边周长与对角线构成三角形周长关系 【例题7】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，平行四边形的周长为，，相交于点，的周长比的周长小，求，的长． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，的周长是，其对角线和交于点，，和的周长差是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【变式3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)连接，若，，的周长为，求的周长． 【题型 8】平行四边形边与等分面积关系 【例题8】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，对角线、交于点，过点的直线与、交于点、，若的面积是3，的面积是5，则四边形的面积是（    ） A．13 B．16 C．24 D．32 【变式2】（23-24九年级上·山西运城·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，过O的两条直线分别交边,，于点E、F，G，H．且，，当______，使直线把四边形的面积四等分． 【变式3】（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 (1)小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； (2)王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型 9】平行四边形边顶点坐标关系 【例题9】（23-24八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【变式1】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为_________． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 三.专项练习 （一）单选题（6题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，的角平分线交于点，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，、的角平分线交于边上一点E，且，线段的长为（　　） A． B． C．3 D． 3．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（  　）    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 4．（2013·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 5．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    8．（22-23八年级下·江苏无锡·月考）在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 9．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平行四边形中， ， ，角平分线交于点，交的延长线于点，则____________． 10．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    11．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）已知平行四边形的周长为80，对角线、相交于O，若的周长比的周长小8，则____． 12．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为___________． （三）解答题（4题） 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 14．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 15．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，直线直线BC，则______．（填“＞”、“＝”或“＜”） （2）如图2，在中，点D、E分别是、的中点，在线段上确定点F，使等分的面积（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图3，小明家有一块三角形种植地，按照建设规划，要将种植地移到长方形区域内，为了补偿小明家，划拨给小明家的新的种植地的面积是原来的两倍，并且还保留种植地为三角形的形状，请作出变动后的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    16．（21-22八年级下·河南安阳·月考）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $