专项提升训练03：比例解决问题（知识点梳理+题型分类训练共37题）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

专项提升训练03：比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、比例的认识与基本性质 1.组成比例的四个数，两端的两项叫做比例的（______），中间的两项叫做比例的（______）。 2.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积（______）两个内项的积。 3.如果 （b、d均不为0），那么 （______）。 4.如果两个内项分别是 5 和 8，根据比例的基本性质，两个外项的积是（______）。 二、解比例与正比例应用 1.解比例是根据比例的基本性质，把比例转化成方程来求未知数的值。 2.判断两个量是否成正比例：如果两个量的（______）一定，这两个量就成正比例。 3.在工作总量、工作时间和工作效率中，当（______）一定时，（______）和（______）成正比例。 4.在速度、时间和路程中，当速度一定时，（______）和（______）成正比例。 三、比例尺 1.比例尺 = （______）∶（______）。 2.已知比例尺和实际距离，求图上距离的公式：图上距离 = （______） × （______）。 3.已知比例尺和图上距离，求实际距离的公式：实际距离 = （______） ÷ （）。 4.比例尺 1∶30 表示图上的 1 厘米代表实际的（______）厘米。 四、图形的放大与缩小 1.把一个图形按 2∶1 的比放大，就是把图形各边的长放大到原来的（______）倍。 2.把一个图形按 1∶3 的比缩小，就是把图形各边的长缩小到原来的（______）。 3.图形放大或缩小后，（）变了，但（）没有变。 4.一个长方形按 3∶1 放大后，面积是原来的（______）倍。 题型分类训练 【题型1】比例的认识 1．如果8a＝7b，那么a∶b＝( )，如果a＝14，那么b＝( )。（a、b均不为0） 2．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 3∶( )＝8∶40       2.5∶0.5＝( )∶0.4       9∶6＝∶( ) ( )∶100＝∶25     3.6∶( )＝∶       ∶＝( )∶ 3．在一个比例里，如果两个内项分别是5和8，那么两个外项的积是( )。 4．在比例4∶9=20∶45中，( )和( )是外项，( )和( )是内项。 5．在比例5∶30＝7∶42中，将前一个比的后项减20，后一个比的前项加上( )，比例仍然成立。 6．根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 7．（几何直观）在线段AF中，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，下面的四组比中，第几组能组成比例？ ①AB∶BC和AC∶DE ②AE∶CD和BF∶BE ③AC∶BC和EF∶DF ④AD∶BC和CF∶EF 8．已知A∶B＝C∶D，现在将A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，C不变，D要怎样变化才能使比例仍然成立？ 9．海海3分走了180m，乐乐1小时走了3.6km。你认为谁说得对？请说明理由。 10．用下图中的4个数据组成不同的比例。（写出所有能组成的比例，单位：cm） 【题型2】比例的应用 11．荆州市某工厂要加工1320个零件，前5天已经加工了240个。照这样计算，余下的还需要多少天才能完成？ 12．经过几代人的竭力奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，长征五号系列运载火箭研制成功，是中国由航天大国迈向航天强国的关键一步。长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，某科技馆收藏该型号的火箭模型，模型高度与实际高度的比是1∶30，此模型的高度是多少厘米？ 13．如图，小孔成像现象证实了光是沿直线传播的。已知树的实际高度与像的高度比等于它们到孔的距离比，请根据图中信息写出一个比例，并求出未知数的值。 14．乐乐用240mL的酸梅原汁加500mL水调制了酸梅汤。为了使调制的酸梅汤口感最佳，乐乐应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水？加多少？ 15．水车是一种历史悠久的灌溉工具。园园爸爸对照兰州水车园内的水车制作了一架水车模型，模型的高度与水车实际高度的比是1∶50。已知园中一架水车的实际高度是12m，则水车模型的高度是多少厘米？ 16．KT板宣传以低成本、高适配性和快速部署的优势，实现多场景、短周期的精准信息传播与品牌曝光。某手机商店门口放着一个模型长度与实际长度按12∶1的比例制作的新款手机KT板模型。已知一款手机模型的长度是180厘米。这款手机的实际长度是多少厘米？（列比例解答） 17．酸梅汤是中国传统的消暑饮料。劳动课上，老师向同学们分享了制作配方（如下图）。乐乐准备用4升水，按配方制作最佳口味的酸梅汤，其中需要冰糖多少克？（用比例的知识解答） 酸梅汤配方 （该配方用6L水口味最佳） 乌梅30g    甘草10g 山楂30g    玫瑰茄5g 桂花5g    枸杞子10g 陈皮8g    冰糖240g 18．某汽车生产厂设计制作了一个赛车模型，模型的长与赛车实际长度的比是1∶50。赛车的实际长度是500厘米，模型的长度是多少厘米？ 19．同学们想知道科技馆大楼有多高，身高140厘米的宁宁测量自己的影子长100厘米，同时又测出科技馆大楼的影长是15米，这座大楼高几米？ 20．一辆货车从甲地送货到乙地，前2小时行了130千米。照这样的速度，这辆货车从甲地到乙地一共要用5小时，甲乙两地的公路相距多少千米？（用比例方法解答） 21．手机积分是通过消费话费金额获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费活动，1500积分可兑换30元话费，李老师换了50元话费，她花了多少积分？（用比例解答） 22．食品店用奶糖和巧克力配制一种礼品糖，每盒中奶糖与巧克力的质量比是5∶3，现有奶糖和巧克力各60千克。 （1）奶糖用完时，巧克力还剩多少千克？ （2）再有多少千克奶糖，就可以把巧克力全部用完？ 【题型3】比例尺 23．如图是小美家的扫地机器人在客厅进行清理工作时的路线示意图，请你认真观察并回答问题。 （1）电视柜在起点的_____方向；起点在电视柜的_____方向。 （2）在绿植的西偏北30°方向3m处有一个书报架，请你在图中标出书报架的位置。（比例尺1∶150） （3）在一次清理工作中，扫地机器人从起点出发，先行进到茶几处，再行进到绿植处，最后行进到书报架处。请你描述扫地机器人的行进路线。 24．填一填，画一画。 （1）量一量，笑笑家到学校的图上距离是（    ）cm，已知实际距离是500m，此图的比例尺为（    ）。 （2）学校到体育馆的图上距离是（    ）cm，实际距离是（    ）m。如果明明每分走50m，那么他从学校到体育馆要走（    ）分。 （3）文化馆在学校的北偏东45°方向300m处。在图中标出它的位置。（用“△”表示） 25．按要求画一画、算一算。 （1）实际850米在图上画（      ）厘米。 （2）图上2.3厘米表示实际的（      ）千米。 （3）图书馆在学校的北偏东30°，距离学校1800米。画出图书馆的位置。 （4）先量一量，再算一算，电影院距离学校的实际距离是多少千米？（测量精确到0.1厘米） 26．李洋开车从A地出发，向东行驶50千米到达B地，再由B地向东偏北30°方向行驶75千米到达C地。根据比例尺画出李洋的行驶路线图，并写出你思考的过程。 27．光明小学的音乐室的形状是一个长16米，宽10米的长方形，请你用1∶500的比例尺通过计算，在方框中画出它的平面图。 28．在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得A城到B城的距离是3.6厘米。一辆车每小时行72千米，从A城到B城需要多长时间？ 29．能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 30．（1）荆州现存明清重建城墙东西长约3.75km，在比例尺是1∶20000的地图上约多少厘米？ （2）在这幅地图上量得该城墙南北相距约6cm，那么该城墙南北实际相距约多少千米？ 31．在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 32．李白诗中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的大致意思是乘舟从白帝城到江陵一天就到了。华华为了验证李白是否“撒谎”，找到了一幅比例尺为1∶4000000的地图，量得从白帝城到江陵的距离约是15cm。假设船的速度为30千米/时，那么李白“撒谎”了吗？请通过计算说明。（一天记为24时） 【题型4】图形的放大和缩小 33．下面的每个小方格表示1cm2。先按要求将图形放大或缩小，再填一填。 将下面的长方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 缩小后的图形与原图形的周长比是（    ）。 34．（1）按1∶2的比例画出长方形缩小后的图形，按2∶1的比例画出三角形放大后的图形。（图中一格为1cm） （2）上图原长方形是学校操场按照的比例尺画出的平面图，那么操场的实际面积是多少m2？（图中一格为1cm） 35．将如图的图形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，请画出缩小后的图形。 36．将图形A缩小，使缩小后的图形与原图形的边长比是1∶3。 37．（1）将方格中的长方形甲按3∶1放大后得到长方形乙。请你画出长方形乙。 （2）长方形乙的面积是长方形甲的面积的（    ）倍。 （3）如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的（    ）倍。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练03：比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、比例的认识与基本性质 1.组成比例的四个数，两端的两项叫做比例的（______），中间的两项叫做比例的（______）。 2.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积（______）两个内项的积。 3.如果 （b、d均不为0），那么 （______）。 4.如果两个内项分别是 5 和 8，根据比例的基本性质，两个外项的积是（______）。 二、解比例与正比例应用 1.解比例是根据比例的基本性质，把比例转化成方程来求未知数的值。 2.判断两个量是否成正比例：如果两个量的（______）一定，这两个量就成正比例。 3.在工作总量、工作时间和工作效率中，当（______）一定时，（______）和（______）成正比例。 4.在速度、时间和路程中，当速度一定时，（______）和（______）成正比例。 三、比例尺 1.比例尺 = （______）∶（______）。 2.已知比例尺和实际距离，求图上距离的公式：图上距离 = （______） × （______）。 3.已知比例尺和图上距离，求实际距离的公式：实际距离 = （______） ÷ （）。 4.比例尺 1∶30 表示图上的 1 厘米代表实际的（______）厘米。 四、图形的放大与缩小 1.把一个图形按 2∶1 的比放大，就是把图形各边的长放大到原来的（______）倍。 2.把一个图形按 1∶3 的比缩小，就是把图形各边的长缩小到原来的（______）。 3.图形放大或缩小后，（）变了，但（）没有变。 4.一个长方形按 3∶1 放大后，面积是原来的（______）倍。 参考答案 一、比例的认识与基本性质 1.外项；内项 2.等于 3. 4.40 二、解比例与正比例应用 1.（此部分为概念理解，无填空） 2.比值（或商） 3.工作效率；工作总量；工作时间 4.路程；时间 三、比例尺 1.图上距离；实际距离 2.实际距离；比例尺 3.图上距离；比例尺 4.30 四、图形的放大与缩小 1.2 2. 3.大小；形状 4.9 题型分类训练 【题型1】比例的认识 1．如果8a＝7b，那么a∶b＝( )，如果a＝14，那么b＝( )。（a、b均不为0） 【答案】 7∶8 16 【分析】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质，将a和8看作比例的外项，b和7看作比例的内项，据此写出a∶b。将a＝14代入8a＝7b可求b。 【详解】因为8a＝7b，将a和8看作比例的外项，b和7看作比例的内项，所以a∶b＝7∶8。 当a＝14时， b＝8×14÷7 ＝112÷7 ＝16 2．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 3∶( )＝8∶40      2.5∶0.5＝( )∶0.4      9∶6＝∶( ) ( )∶100＝∶25   3.6∶( )＝∶       ∶＝( )∶ 【答案】 15 2 5.4 【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，据此解答。 【详解】（1）外项积等于内项积：，所以①：； （2）外项积等于内项积：，所以②：； （3）外项积等于内项积：，所以③：； （4）外项积等于内项积：，所以④：； （5）外项积等于内项积：，所以⑤：； （6）外项积等于内项积：，所以⑥：。 3．在一个比例里，如果两个内项分别是5和8，那么两个外项的积是( )。 【答案】40 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，因此只需计算两个内项的乘积即可。已知两个内项分别是5和8，所以两个外项的积等于这两个内项的积。 【详解】 所以，在一个比例里，如果两个内项分别是5和8，那么两个外项的积是40。 4．在比例4∶9=20∶45中，( )和( )是外项，( )和( )是内项。 【答案】4；45；9；20 【分析】组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 【详解】比例中，两端的两项分别是4与45，是这个比例的外项；中间的两项分别是9与20，是这个比例的内项。 在比例中，4和45是外项，9和20是内项。 5．在比例5∶30＝7∶42中，将前一个比的后项减20，后一个比的前项加上( )，比例仍然成立。 【答案】14 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，，如果将前一个比的后项减20，也就是将30变为（），根据比例的基本性质，用即可求出后一个比的前项变成新的数，进而求出后一个比的前项增加了多少。 【详解】 在比例中，将前一个比的后项减20，后一个比的前项加上14，比例仍然成立。 6．根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 【答案】（1）18 （2）3 【分析】（1）在比例a∶b＝c∶d（b≠0，d≠0）中，根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，即ad＝bc。这是判断四个数能否组成比例的重要依据。根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第四项应该是多少，再用第四项变化后的数减去18即为所求； （2）根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第二项应该是多少，用9减去第二项变化后的数即为所求。 【详解】（1）（9＋9）×6÷3 ＝18×6÷3 ＝108÷3 ＝36 36－18＝18 故第四项加上18后式子仍然能组成比例，3∶18＝6∶36。 （2）（18－6）×3÷6 ＝12×3÷6 ＝36÷6 ＝6 9－6＝3 故内项9减去3后比例仍然成立，3∶6＝6∶12。 7．（几何直观）在线段AF中，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，下面的四组比中，第几组能组成比例？ ①AB∶BC和AC∶DE ②AE∶CD和BF∶BE ③AC∶BC和EF∶DF ④AD∶BC和CF∶EF 【答案】第④组 【分析】根据线段图表示出各个线段长度的比，用比的前项除以后项求出比的比值。若这两个比的比值相等，则能组成比例，反之则不能。据此判断能否组成比例。 【详解】①AB∶BC＝1∶1比值是1，AC∶DE＝2∶1比值是2，1≠2，所以AB∶BC和AC∶DE不能组成比例。 ②AE∶CD＝4∶1比值是4，BF∶BE＝4∶3比值是，4≠，所以AE∶CD和BF∶BE不能组成比例。 ③AC∶BC＝2∶1比值是2，EF∶DF＝1∶2比值是，2≠，所以AC∶BC和EF∶DF不能组成比例。 ④AD∶BC＝3∶1比值是3，CF∶EF＝3∶1比值是3，3＝3，所以AD∶BC和CF∶EF能组成比例。 答：第④组能组成比例。 8．已知A∶B＝C∶D，现在将A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，C不变，D要怎样变化才能使比例仍然成立？ 【答案】D缩小到原来的 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，已知A∶B＝C∶D，可得AD＝BC。根据A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，写出变化后A和B的比2A∶B，化简得变化后A和B的比是4A∶B，C不变，假设变化后的D为D1，新的比例是4A∶B＝C∶D1，再根据比例的基本性质，得出4AD1＝BC，即4AD1＝AD，因为4A×D＝AD，所以D1＝D，即D缩小到原来的。 【详解】已知A∶B＝C∶D，根据比例的基本性质可得AD＝BC。 A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的， 即2A∶B＝（2A×2）∶（B×2）＝4A∶B， C不变，假设变化后的D为D1，4A∶B＝C∶D1，根据比例的基本性质可得4AD1＝BC， 即4AD1＝AD，因为4A×D＝AD，所以D1＝D。 答：D要缩小到原来的才能使比例仍然成立。 【点睛】关键是掌握并灵活运用比例的基本性质。 9．海海3分走了180m，乐乐1小时走了3.6km。你认为谁说得对？请说明理由。 【答案】海海说得对；理由见详解 【分析】根据题意可知：海海利用两人各自的所走路程和所用时间的比，判断是否可以组成比例，在分析过程中注意先统一单位，再写成比，求出比值，进行判断，据此解答。 【详解】答：海海说得对。 理由如下： 比值相等，可以组成比例。 10．用下图中的4个数据组成不同的比例。（写出所有能组成的比例，单位：cm） 【答案】一共可以组成8个比例。 、、、 、、、 【分析】依据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积，一一列举出所有比例。 【详解】6与4作为外项：、、、； 8与3作为外项：、、、。 答：一共可以组成8个比例： 、、、、 、、、。 【题型2】比例的应用 11．荆州市某工厂要加工1320个零件，前5天已经加工了240个。照这样计算，余下的还需要多少天才能完成？ 【答案】22.5天 【分析】根据题意可知，工作总量∶工作时间＝工作效率（一定），相对应的工作总量和工作时间成正比例关系。因此可以设余下的还需要的天数为x，列比例解答。 【详解】解：设余下的还需要x天才能完成。                               答：余下的还需要22.5天才能完成。 12．经过几代人的竭力奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，长征五号系列运载火箭研制成功，是中国由航天大国迈向航天强国的关键一步。长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，某科技馆收藏该型号的火箭模型，模型高度与实际高度的比是1∶30，此模型的高度是多少厘米？ 【答案】190厘米 【分析】根据题意可知，长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，模型高度∶实际高度＝1∶30，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设模型高度为x米。 x∶57＝1∶30 30x＝57×1 30x＝57 x＝57÷30 x＝1.9 1.9米＝190厘米 答：此模型的高度是190厘米。 13．如图，小孔成像现象证实了光是沿直线传播的。已知树的实际高度与像的高度比等于它们到孔的距离比，请根据图中信息写出一个比例，并求出未知数的值。 【答案】 【分析】已知树的实际高度为x米，树到孔的距离是6米，像的高度是4.8米，像到孔的距离是4米，因为树的实际高度与像的高度比等于它们到孔的距离比，所以可列出比例；然后根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得4x＝4.8×6，先计算出4.8×6，再根据等式的性质，两边同时除以4，求解出x，即树的实际高度。 【详解】 解： 因此，x的值是7.2，即树的实际高度是7.2米。 14．乐乐用240mL的酸梅原汁加500mL水调制了酸梅汤。为了使调制的酸梅汤口感最佳，乐乐应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水？加多少？ 【答案】60毫升 【分析】把240mL：500mL化简，再与3：7比较即可确定需要加水还是加酸梅原汁。加水、不是加酸梅原汁。设乐乐应该再往酸梅汤中加水x毫升，则这时的水是毫升，所以就等于，由此列出比例解答即可。 【详解】因为，，所以应往酸梅汤中加水。 解：设应往酸梅汤中加水x毫升。                                                                答：应往酸梅汤中加水，加60毫升。 15．水车是一种历史悠久的灌溉工具。园园爸爸对照兰州水车园内的水车制作了一架水车模型，模型的高度与水车实际高度的比是1∶50。已知园中一架水车的实际高度是12m，则水车模型的高度是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】先将水车的实际高度12米转换为厘米，然后根据水车模型的高度水车的实际高度，列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。 【详解】解： 设水车模型的高度是xcm。                   答：水车模型的高度是24厘米。 16．KT板宣传以低成本、高适配性和快速部署的优势，实现多场景、短周期的精准信息传播与品牌曝光。某手机商店门口放着一个模型长度与实际长度按12∶1的比例制作的新款手机KT板模型。已知一款手机模型的长度是180厘米。这款手机的实际长度是多少厘米？（列比例解答） 【答案】15厘米 【分析】设这款手机的实际长度是x厘米，根据模型长度与实际长度是12∶1，列出比例式，再解比例即可。 【详解】解：设这款手机的实际长度是x厘米。 180∶x＝12∶1 12x＝180 12x÷12＝180÷12 x＝15 答：这款手机的实际长度是15厘米。 17．酸梅汤是中国传统的消暑饮料。劳动课上，老师向同学们分享了制作配方（如下图）。乐乐准备用4升水，按配方制作最佳口味的酸梅汤，其中需要冰糖多少克？（用比例的知识解答） 酸梅汤配方 （该配方用6L水口味最佳） 乌梅30g    甘草10g 山楂30g    玫瑰茄5g 桂花5g    枸杞子10g 陈皮8g    冰糖240g 【答案】160克 【分析】根据图示，可知用6升水对应240克冰糖，且水与冰糖的比例是不变的。可以设4升水时需要冰糖x克，通过比例解题。 【详解】解：设需要冰糖x克。 6∶240＝4∶x 6x＝240×4 6x＝960 x＝960÷6 x＝160 答：需要冰糖160克。 18．某汽车生产厂设计制作了一个赛车模型，模型的长与赛车实际长度的比是1∶50。赛车的实际长度是500厘米，模型的长度是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】设模型的长度是x厘米，因为模型的长与赛车实际长度的比是1∶50，所以可以列出比例：x∶500＝1∶50，根据比例的基本性质解出比例，即可求出模型的长度是多少厘米。 比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 【详解】解：设模型的长度是x厘米。 x∶500＝1∶50 50x＝500×1 50x＝500 x＝500÷50 x＝10 答：模型的长度是10厘米。 19．同学们想知道科技馆大楼有多高，身高140厘米的宁宁测量自己的影子长100厘米，同时又测出科技馆大楼的影长是15米，这座大楼高几米？ 【答案】21米 【分析】先根据1米＝100厘米把厘米换算成米，再根据宁宁的影长∶宁宁的实际身高＝大楼的影长∶大楼的实际高度列出方程1∶1.4＝15∶x，再进一步解出方程即可。 【详解】100厘米＝1米 140厘米＝1.4米 解：设这座大楼高x米。 1∶1.4＝15∶x x＝1.4×15 x＝21 答：这座大楼高21米。 20．一辆货车从甲地送货到乙地，前2小时行了130千米。照这样的速度，这辆货车从甲地到乙地一共要用5小时，甲乙两地的公路相距多少千米？（用比例方法解答） 【答案】325千米 【分析】根据题意，速度一定，路程与时间成正比，则设甲乙两地相距千米，列出方程130∶2＝∶5，根据比例的性质，内项乘积等于外项乘积，可得2x＝130×5，即可求出。 【详解】解：设甲乙两地相距千米。 130∶2＝∶5 ＝130×5 ＝325 答：甲乙两地的公路相距325千米。 21．手机积分是通过消费话费金额获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费活动，1500积分可兑换30元话费，李老师换了50元话费，她花了多少积分？（用比例解答） 【答案】2500积分 【分析】根据题意，已知1500积分兑换30元，设兑换50元需要积分，可列比例式，根据比例性质解比例即可求出的值。 【详解】解：设兑换50元话费需要积分。 答：她花了2500积分。 22．食品店用奶糖和巧克力配制一种礼品糖，每盒中奶糖与巧克力的质量比是5∶3，现有奶糖和巧克力各60千克。 （1）奶糖用完时，巧克力还剩多少千克？ （2）再有多少千克奶糖，就可以把巧克力全部用完？ 【答案】（1）24千克 （2）40千克 【分析】（1）根据奶糖与巧克力的质量比为5∶3，当奶糖用完60千克时，设用去的巧克力为x千克，建立比例方程求解，剩余巧克力即为60千克减去用去的量。 （2）剩下的巧克力需要全部用完，设需要再添加y千克奶糖，根据比例关系求出所需奶糖量；根据剩余巧克力24千克和比例5∶3，列比例方程为：y∶24＝5∶3，解比例即可解答。 【详解】（1）解：设奶糖用完时，巧克力还剩x千克。 60∶（60－x）＝5∶3 （60－x）×5＝60×3 （60－x）×5＝180 （60－x）×5÷5＝180÷5 60－x＝36 60－x＋x＝36＋x 36＋x＝60 36＋x－36＝60－36 x＝24 答：巧克力还剩24千克。 （2）解：设再有y千克奶糖，就可以把巧克力全部用完。 y∶24＝5∶3 3y＝24×5 3y＝120 3y÷3＝120÷3 y＝40 答：再有40千克奶糖，就可以把巧克力全部用完。 【题型3】比例尺 23．如图是小美家的扫地机器人在客厅进行清理工作时的路线示意图，请你认真观察并回答问题。 （1）电视柜在起点的_____方向；起点在电视柜的_____方向。 （2）在绿植的西偏北30°方向3m处有一个书报架，请你在图中标出书报架的位置。（比例尺1∶150） （3）在一次清理工作中，扫地机器人从起点出发，先行进到茶几处，再行进到绿植处，最后行进到书报架处。请你描述扫地机器人的行进路线。 【答案】（1）西偏北45°或北偏西45°；东偏南45°或南偏东45° （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）以起点为观测点，电视柜在起点的以西方向为主方向，在西方向的基础上向北偏转45°的方向上。根据方向的相对性，以电视柜为观测点，起点在电视柜的东偏南45°方向。 （2）因为比例尺是1∶150＝，1m＝100cm，3m为3×100＝300cm，根据图上距离＝实际距离×比例尺，所以书报架与绿植的图上距离为300×＝2cm。以绿植为观测点，在绿植的西偏北30°方向量取2cm的位置，标出书报架。 （3）扫地机器人从起点出发，茶几在起点以东方向为主方向，在东方向的基础上向北偏转30°方向处，由图可知，1段表示1.5m，从起点到茶几有3段，距离是1.5×3＝4.5m；绿植在茶几正北方向，有2段，距离为1.5×2＝3m；书报架在绿植以西方向为主方向，在西方向的基础上向北偏转30°方向，有2段，距离为1.5×2＝3m。 【详解】（1）电视柜在起点的以西方向为主方向，在西方向的基础上向北偏转45°的方向上。以电视柜为观测点，起点在电视柜的东偏南45°方向。 电视柜在起点的西偏北45°（或北偏西45°）方向；起点在电视柜的东偏南45°（或南偏东45°）方向。 （2）1m＝100cm 300×＝2（cm） 如图： （3）茶几在起点以东方向为主方向，在东方向的基础上向北偏转30°方向处，有3段；绿植在茶几正北方向，有2段；书报架在绿植以西方向为主方向，在西方向的基础上向北偏转30°方向，有2段。 1.5×3＝4.5（m） 1.5×2＝3（m） 扫地机器人的行进路线是从起点出发，先向东偏北30°方向行进4.5m到茶几处，再向北行进3m到绿植处，最后向西偏北30°方向行进3m到书报架处。 24．填一填，画一画。 （1）量一量，笑笑家到学校的图上距离是（    ）cm，已知实际距离是500m，此图的比例尺为（    ）。 （2）学校到体育馆的图上距离是（    ）cm，实际距离是（    ）m。如果明明每分走50m，那么他从学校到体育馆要走（    ）分。 （3）文化馆在学校的北偏东45°方向300m处。在图中标出它的位置。（用“△”表示） 【答案】（1）5；1∶10000 （2）3；300；6 （3）见详解 【分析】（1）用尺子量出笑笑家到学校的图上距离为5cm。因为实际距离是500m，1m＝100cm，500m为500×100＝50000cm。根据比例尺公式“比例尺＝图上距离∶实际距离”，可得比例尺为5∶50000＝1∶10000。 （2）量出学校到体育馆的图上距离为3cm。根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，比例尺是1∶10000，所以实际距离为3÷＝3×10000＝30000cm，30000÷100＝300m。已知明明每分钟走50m，根据“时间＝路程÷速度”，可得他从学校到体育馆要走300÷50＝6分钟。 （3）根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，实际距离是300m：300×100＝30000cm，比例尺是1∶10000，所以图上距离为30000×＝3cm。以学校为观测点，画出北偏东45°的方向，然后在这个方向上量出3cm的长度，标上“△”表示文化馆的位置。 【详解】（1）用尺子量出笑笑家到学校的图上距离为5cm。 1m＝100cm 500×100＝50000（cm） 图上距离∶实际距离＝5∶50000 5∶50000 ＝（5÷5）∶（50000÷5） ＝1∶10000 笑笑家到学校的图上距离是5cm，已知实际距离是500m，此图的比例尺为1∶10000。 （2）量出学校到体育馆的图上距离为3cm。 1∶10000＝ 3÷ ＝3×10000 ＝30000（cm） 30000÷100＝300（m） 300÷50＝6（分钟） 学校到体育馆的图上距离是3cm，实际距离是300m。如果明明每分走50m，那么他从学校到体育馆要走6分。 （3）如图： 25．按要求画一画、算一算。 （1）实际850米在图上画（      ）厘米。 （2）图上2.3厘米表示实际的（      ）千米。 （3）图书馆在学校的北偏东30°，距离学校1800米。画出图书馆的位置。 （4）先量一量，再算一算，电影院距离学校的实际距离是多少千米？（测量精确到0.1厘米） 【答案】（1）0.85 （2）2.3 （3）图见详解 （4）2.5千米 【分析】（1）已知比例尺和实际距离850米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺” 以及进率“1米＝100厘米”，求出图上距离。 （2）已知比例尺和图上距离2.3厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出实际距离。 （3）已知图书馆距离学校1800米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出图书馆与学校的图上距离； 以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，结合方向、角度和距离在图中画出图书馆的位置。 （4）先从图上量出电影院与学校的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出电影院距离学校的实际距离。 【详解】（1）850米＝85000厘米 85000×＝0.85（厘米） 实际850米在图上画（0.85）厘米。 （2）2.3÷ ＝2.3×100000 ＝230000（厘米） 230000厘米＝2.3千米 图上2.3厘米表示实际的（2.3）千米。 （3）1800米＝180000厘米 180000×＝1.8（厘米） 图书馆的位置如下图： （4）量得电影院距离学校的图上距离是2.5厘米。（以实际测量为准） 2.5÷ ＝2.5×100000 ＝250000（厘米） 250000厘米＝2.5千米 答：电影院距离学校的实际距离是2.5千米。 26．李洋开车从A地出发，向东行驶50千米到达B地，再由B地向东偏北30°方向行驶75千米到达C地。根据比例尺画出李洋的行驶路线图，并写出你思考的过程。 【答案】见详解 【分析】比例尺1∶2500000表示图上1厘米代表实际距离2500000厘米，因为2500000厘米＝25千米，即图上1厘米对应实际25千米。 已知A到B实际距离50千米，50÷25＝2厘米，所以A到B在图上要画2厘米，方向为东（向右）； 已知B到C实际距离75千米，75÷25＝3厘米，所以B到C在图上要画3厘米，方向是东偏北30°； 据此画出李洋的行驶路线图。 【详解】2500000厘米＝25千米 已知A到B实际距离50千米，50÷25＝2厘米，以A地为起点，朝东（右）画2厘米长的线段，端点处标B地； 已知B到C实际距离75千米，75÷25＝3厘米，以B地为顶点，用量角器画出东偏北30°的方向，沿此方向画3厘米长的线段，端点处标C地。 作图如下： 27．光明小学的音乐室的形状是一个长16米，宽10米的长方形，请你用1∶500的比例尺通过计算，在方框中画出它的平面图。 【答案】见详解 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据分别求出音乐教室平面图上的长与宽，再根据长与宽的值画图即可。 【详解】16米＝1600厘米 1600×＝3.2（厘米） 10米＝1000厘米 1000×＝2（厘米） 画图如下： 28．在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得A城到B城的距离是3.6厘米。一辆车每小时行72千米，从A城到B城需要多长时间？ 【答案】2.5小时 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，图上距离是3.6厘米，比例尺是，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，厘米与千米进率是100000，把厘米换算为千米，用18000000除以进率，再根据时间＝路程÷速度，把数据代入公式计算即可。 【详解】实际距离： ＝3.6×5000000 ＝18000000（厘米） 18000000÷100000＝180（千米） 时间： 180÷72＝2.5（小时） 答：从A城到B城需2.5小时。 29．能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 【答案】110千米/时 【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比，即图上1厘米代表实际距离20000000厘米。已知图上距离是3.3厘米，要求实际距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算。由于计算结果的单位是厘米，而问题要求的单位是千米，计算后根据进行单位换算，最后根据路程÷时间－甲车的速度即可求出乙车的速度。 【详解】（厘米） （千米/时） 答：乙车的平均速度是110千米/时。 30．（1）荆州现存明清重建城墙东西长约3.75km，在比例尺是1∶20000的地图上约多少厘米？ （2）在这幅地图上量得该城墙南北相距约6cm，那么该城墙南北实际相距约多少千米？ 【答案】 （1）18.75厘米 （2）1.2千米 【分析】（1）根据比例尺的意义，图上距离÷实际距离＝比例尺，可求出图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式解答； （2）根据比例尺的意义，图上距离÷实际距离＝比例尺，可求出实际距离＝图上距离÷比例尺，据此列式解答； 【详解】（1） 答：在地图上约是18.75厘米。 （2） 答：城墙南北实际相距约1.2千米。 31．在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 【答案】1210km 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出两地实际距离，再根据总路程÷相遇时间＝速度和，因为速度比＝路程比，用速度和÷总份数，求出一份数，一份数×甲车对应份数即可。 【详解】（厘米） （千米/时） （千米） 答：甲车行驶了1210千米。 【点睛】本题综合考察相遇问题，按比分配问题，比例的应用，需要对各知识点非常熟悉，灵活运用。 32．李白诗中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的大致意思是乘舟从白帝城到江陵一天就到了。华华为了验证李白是否“撒谎”，找到了一幅比例尺为1∶4000000的地图，量得从白帝城到江陵的距离约是15cm。假设船的速度为30千米/时，那么李白“撒谎”了吗？请通过计算说明。（一天记为24时） 【答案】李白没有“撒谎”。 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，即可计算出白帝城到江陵的实际距离，再根据路程=速度×时间，计算出李白从白帝城到江陵坐船一天行的路程，最后与白帝城到江陵的实际距离比较即可。 【详解】       答：李白没有“撒谎”。 【题型4】图形的放大和缩小 33．下面的每个小方格表示1cm2。先按要求将图形放大或缩小，再填一填。 将下面的长方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 缩小后的图形与原图形的周长比是（    ）。 【答案】图见详解；1∶2 【分析】长方形的长和宽分别是4cm、2cm，按1：2的比进行缩小，则长为（cm），宽为（cm），据此画出缩小的长方形； 根据长方形的周长公式，求出缩小后图形与原图形周长，进而求出它们的比，据此解答。 【详解】作图如下： 缩小后图形的周长：（cm） 原图形的周长：（cm） 6：12＝1：2 因此，缩小后的图形与原图形的周长比是1：2 34．（1）按1∶2的比例画出长方形缩小后的图形，按2∶1的比例画出三角形放大后的图形。（图中一格为1cm） （2）上图原长方形是学校操场按照的比例尺画出的平面图，那么操场的实际面积是多少m2？（图中一格为1cm） 【答案】（1）见详解 （2）9600m2 【分析】①图中一格为1cm，由图可知长方形的长是6cm，宽是4cm。按1∶2的比例缩小，即长和宽都除以2，即缩小后的长为6÷2＝3cm，宽为4÷2＝2cm。所以画一个长3cm（3格），宽2cm（2格）的长方形。三角形的底为2cm，高为4cm，按2∶1的比例放大，即三角形的底和高都乘2，放大后三角形的底为2×2＝4cm，高为4×2＝8cm，画一个底4cm（4格），高8cm（8格）的三角形。 ②比例尺表示图上1cm代表实际2000cm，图上原长方形的长为6cm，宽为4cm。根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用6除以得出操场的实际长，用4除以得出操场的实际宽，然后根据长方形面积公式：面积＝长×宽，把数据代入计算即可（最后注意单位的转化）。 【详解】①6÷2÷1＝3（格） 4÷2÷1＝2（格） 画一个长3格，宽2格的长方形。 2×2÷1＝4（格） 4×2÷1＝8（格） 画一个底4格，高8格的三角形。 ②6÷ ＝6×2000 ＝12000（cm） 4÷ ＝4×2000 ＝8000（cm） 1m＝100cm 12000÷100×（8000÷100） ＝12000÷100×80 ＝120×80 ＝9600（m2） 操场的实际面积是9600m2。 35．将如图的图形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，请画出缩小后的图形。 【答案】图见详解 【分析】按1∶2的比例画出长方形和三角形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽以及三角形的三边都缩小到原来的，据此作图即可。 【详解】如下图所示： 36．将图形A缩小，使缩小后的图形与原图形的边长比是1∶3。 【答案】图见详解 【分析】图形按1∶3缩小，即各边长度变为原来的。缩小后长为6×＝2格，宽为6×＝2格，据此画图。 【详解】 37．（1）将方格中的长方形甲按3∶1放大后得到长方形乙。请你画出长方形乙。 （2）长方形乙的面积是长方形甲的面积的（    ）倍。 （3）如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的（    ）倍。 【答案】（1）见详解 （2）9 （3）64 【分析】（1）先数长方形甲的长和宽，假设每个方格边长为1，通过数方格可知长方形甲的长是3格，宽是2格。按3：1放大后，长方形乙的长为3×3＝9格，宽为2×3＝6格。然后在方格图中画出长9格、宽6格的长方形乙。 （2）根据，分别算出甲和乙的面积，再求倍数关系。 （3）设原来长方形长为，宽为，放大后长为，宽为，分别计算面积再求倍数。 【详解】（1）3×3＝9（格） 2×3＝6（格） （2）3×2＝6 9×6＝54 54÷6＝9 长方形乙的面积是长方形甲的面积的9倍。 （3）设原来长方形的长为，宽为。 如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的64倍。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $