单元培优讲义：正比例与反比例（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

该小学数学“正比例与反比例”单元培优讲义通过知识梳理构建系统知识体系，运用对比表格呈现正反比例的变化方向、不变量等核心差异，通过核心公式汇总表梳理关键关系，涵盖变量常量认知、定义判断、图像特征及易错点，清晰展现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于“例题-跟踪训练-培优练习”的递进设计，如用方砖铺地问题引导学生用反比例关系解决实际问题，培养模型意识，通过树高影长表格分析发展数据意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用数学思维解决问题的能力。

单元培优讲义：正比例与反比例 知识梳理+例题讲解+培优练习 知识梳理 一、变量与常量的基础认知 1.变量的定义 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量。例如：行驶的时间、购买的数量、工作总量等。 核心特征：一个量变化，另一个量随之变化，二者存在依存关系。 2.常量的定义 在变化过程中始终保持不变的量叫做常量。例如：圆周率π、单价（固定时）、工作效率（固定时）等。 关键作用：正比例与反比例的判断，本质是寻找两个变量之间的“不变量”（比值或积）。 二、正比例的意义与判断 1.正比例的核心定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 字母表达式：若用x和y表示两个相关联的量，k表示比值（一定），则关系式为 （一定）。 2.判断方法 一看：是否是两种相关联的量（一个量变化，另一个量随之变化）； 二算：计算对应数值的比值是否相等（或比值是否一定）； 三判断：若比值一定，则成正比例；否则不成正比例。 3.典型实例 速度一定时，路程与时间成正比例： （一定）； 单价一定时，总价与数量成正比例： （一定）； 圆的周长与直径成正比例： （一定）。 4.正比例图像 以一个量为横坐标，另一个量为纵坐标，描点连线后得到一条经过原点的直线。 应用：通过图像可直观判断两个量是否成正比例，并可进行简单的数值预测。 三、反比例的意义与判断 1.反比例的核心定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 字母表达式：若用x和y表示两个相关联的量，k表示积（一定），则关系式为 （一定）。 2.判断方法 一看：是否是两种相关联的量； 二算：计算对应数值的乘积是否相等（或积是否一定）； 三判断：若积一定，则成反比例；否则不成反比例。 3.典型实例 路程一定时，速度与时间成反比例： （一定）； 总价一定时，单价与数量成反比例： （一定）； 长方形面积一定时，长与宽成反比例： （一定）。 4.反比例图像 描点连线后得到一条光滑的曲线（双曲线的一支），不经过原点。 特征：随着一个量的增大，另一个量减小，且曲线无限接近坐标轴但永不相交。 四、正比例与反比例的对比 对比维度 正比例 反比例 变化方向 同向变化（同增或同减） 反向变化（一增一减） 不变量 比值（商）一定 积一定 关系式 （一定） （一定） 图像特征 过原点的直线 光滑曲线（双曲线） 典型例子 速度一定，路程与时间 路程一定，速度与时间 五、易错点与注意事项 相关联的量≠成比例的量：有些量虽然相关联，但既不满足比值一定，也不满足积一定，就不成比例。例如：人的身高与体重、正方形的面积与边长。 比值一定与积一定的混淆：判断时需明确是“商”不变还是“积”不变。例如：圆的面积与半径的平方成正比例（ ），但与半径不成比例。 单位统一：涉及实际问题时，需先统一单位再判断比例关系。例如：路程单位“千米”与时间单位“小时”需对应速度单位“千米/时”。 k≠0的隐含条件：正比例中分母x≠0，反比例中x、y均不能为0（实际问题中通常取正值）。 六、实际应用与解题策略 1.比例分配问题 利用正比例关系解决按比例分配的实际问题。例如：按药粉与水的质量比配制药水，已知药粉质量求水的质量。 2.工程与行程问题 工程问题：工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例；工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例。 行程问题：速度一定，路程与时间成正比例；时间一定，路程与速度成正比例；路程一定，速度与时间成反比例。 3.图表分析 表格数据：通过计算表格中对应数值的比值或积，判断比例关系； 图像识别：根据图像形状（直线或曲线）初步判断正比例或反比例。 七、核心公式与关系式汇总 类别 关系式 文字描述 正比例 （一定） 两个量的比值保持不变 反比例 （一定） 两个量的乘积保持不变 速度、路程、时间 （一定）→正比例 路程与时间同向变化 （一定）→反比例 速度与时间反向变化 总价、单价、数量 （一定）→正比例 总价与数量同向变化 （一定）→反比例 单价与数量反向变化 例题讲解 【典型例题1】 在一般情况下，人的脚长与身高的比约是1：7。小张的脚长约是25厘米。则他的身高约是　 　米。 【答案】1.75 【解析】【解答】设他的身高约是x厘米 175厘米=1.75米 故答案为：1.75。 【分析】 因为脚长与身高的比值是固定的，所以可列出比例式，根据比例的基本性质 “两内项之积等于两外项之积”，可求得他的身高，最后注意变换单位。 【跟踪训练】 六年级同学为了计算旗杆的高度，先测量了旗杆影子的长度为6.4米，再把1.5米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.2米，最后通过计算得出旗杆高　 　米。 【典型例题2】 一间房子要用方砖铺地，用边长3分米的方砖，需要96块。如果改用边长是2分米的方砖，需要多少块？(用比例解) 【答案】解：设需要x块。 2×2×x=3×3×96 4x=9×96 4x=864 x=864÷4 x=216 答：需要216块。 【解析】【分析】根据题意，房子的地板总面积一定，因为方砖的面积×块数=总面积，所以方砖的面积与块数成反比例关系，据此设需要x块；列出比例，解比例即可。 【跟踪训练】 一个正方形的游泳池，用边长是0.6米的方砖铺池底，正好需要500块。如果改用边长0.5米的方砖来铺，需要多少块？（用比例解答） 【典型例题3】 成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。用数学的眼光看，是应用了比例的关系。小兰在同一时间、同一地点测量一排树的高度和影长(如下表)。 树高/m 20 15 12 4.5 影长/m 8 6 4.8 1.8 （1）树高和影长两种量成　 　比例关系。 （2）当小兰测得一棵树的影长是3.2m时，这棵树高多少米？(用比例解) 【答案】（1）正 （2）解：设这棵树高 xm。 20：8=x：3.2 解得：x=8 答：这棵树高8m。 【解析】【解答】解：（1）树高和影长两种量成正比例关系。 故答案为：正 【分析】（1）因为====0.4，即树高和影长的比值一定，两种量成正比例关系。 （2）由于树高和影长的比值一定，所以表中的树高：对应的表中的影长= 小兰测的树的高度：小兰测的树的影长。 【跟踪训练】 某银行一年定期存款的年利率为1.1%，下图表示存款一年时，本金与利息的情况。 本金/万元 1 2 3 4 … 利息/元 110 　 　 440 … （1）先根据图象补全上表，再判断本金和利息成什么比例。为什么？ （2）如果本金为5000元，那么利息是多少元？(用比例解)。 培优练习 一、选择题 1．表示和成反比例的式子是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面几组相关联的量中，成反比例的是（    ）。 ①平行四边形的面积一定，它的底和高 ②实际距离一定，图上距离和比例尺 ③长方形的面积一定，长和宽 ④总路程一定，已行路程和剩下路程 ⑤给一个房间地面铺砖，每块砖的边长与铺砖的块数 ⑥圆柱的体积一定，底面积和高 A．①③⑥ B．①③⑤⑥ C．①②③⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 3．下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快 B．斑马的奔跑速度快 C．一样快 D．不确定谁的奔跑速度快 4．三角形的内角和是180°，若其中一个内角一定，则这个三角形的另外两个内角（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都有可能 5．下面两个量成反比例的是（    ）。 A．一个非零数与它的倒数 B．高一定，圆柱的体积和底面积 C．正方形的边长与周长 D．小丽同学的身高和体重 6．下面成语中，蕴含反比例知识的是（    ）。 A．水涨船高 B．日积月累 C．此消彼长 D．立竿见影 二、填空题 7．一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成( )比例，照这样计算，6时行驶( )千米，要行驶720千米需要( )时。 8．已知a、b均不为0，若ab＝7，则a和b成( )比例；若，则a和b成( )比例。（填“正”或“反”） 9．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 10．先根据规律判断x与y成什么比例，再填表。 （1）x与y成（    ）比例。 x 4 8 3.2 20 y 10 4 3.5 （2）x与y成（    ）比例。 x 6 16 32 y 8 3 5 9.6 11．时间一定，速度和路程成( )比例关系，总价一定，单价和数量成( )比例关系。 12．在圆锥体积公式中，当( )一定时，V和h成( )比例；当V一定时，( )和( )成反比例。 三、判断题 13．单价一定时，购买故事书的本数与付的总钱数成正比例。( ) 14．、不为，与成正比例。( ) 15．买苹果的总钱数一定，苹果的单价与数量成反比例。( ) 16．苹果的单价一定（不为0），购买苹果的质量和总价成正比例。( ) 17．x＝15y，x和y成正比例关系。( ) 四、解答题 18．打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 19．某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 …… （1）请将表格填写完整。 （2）把油耗与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升？ 20．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 21．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，2400积分可换40元话费，3000积分可换50元话费，以此类推。王阿姨共有3900积分，可兑换多少元话费？（用比例解） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：正比例与反比例 知识梳理+例题讲解+培优练习 知识梳理 一、变量与常量的基础认知 1.变量的定义 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量。例如：行驶的时间、购买的数量、工作总量等。 核心特征：一个量变化，另一个量随之变化，二者存在依存关系。 2.常量的定义 在变化过程中始终保持不变的量叫做常量。例如：圆周率π、单价（固定时）、工作效率（固定时）等。 关键作用：正比例与反比例的判断，本质是寻找两个变量之间的“不变量”（比值或积）。 二、正比例的意义与判断 1.正比例的核心定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 字母表达式：若用x和y表示两个相关联的量，k表示比值（一定），则关系式为 （一定）。 2.判断方法 一看：是否是两种相关联的量（一个量变化，另一个量随之变化）； 二算：计算对应数值的比值是否相等（或比值是否一定）； 三判断：若比值一定，则成正比例；否则不成正比例。 3.典型实例 速度一定时，路程与时间成正比例： （一定）； 单价一定时，总价与数量成正比例： （一定）； 圆的周长与直径成正比例： （一定）。 4.正比例图像 以一个量为横坐标，另一个量为纵坐标，描点连线后得到一条经过原点的直线。 应用：通过图像可直观判断两个量是否成正比例，并可进行简单的数值预测。 三、反比例的意义与判断 1.反比例的核心定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 字母表达式：若用x和y表示两个相关联的量，k表示积（一定），则关系式为 （一定）。 2.判断方法 一看：是否是两种相关联的量； 二算：计算对应数值的乘积是否相等（或积是否一定）； 三判断：若积一定，则成反比例；否则不成反比例。 3.典型实例 路程一定时，速度与时间成反比例： （一定）； 总价一定时，单价与数量成反比例： （一定）； 长方形面积一定时，长与宽成反比例： （一定）。 4.反比例图像 描点连线后得到一条光滑的曲线（双曲线的一支），不经过原点。 特征：随着一个量的增大，另一个量减小，且曲线无限接近坐标轴但永不相交。 四、正比例与反比例的对比 对比维度 正比例 反比例 变化方向 同向变化（同增或同减） 反向变化（一增一减） 不变量 比值（商）一定 积一定 关系式 （一定） （一定） 图像特征 过原点的直线 光滑曲线（双曲线） 典型例子 速度一定，路程与时间 路程一定，速度与时间 五、易错点与注意事项 相关联的量≠成比例的量：有些量虽然相关联，但既不满足比值一定，也不满足积一定，就不成比例。例如：人的身高与体重、正方形的面积与边长。 比值一定与积一定的混淆：判断时需明确是“商”不变还是“积”不变。例如：圆的面积与半径的平方成正比例（ ），但与半径不成比例。 单位统一：涉及实际问题时，需先统一单位再判断比例关系。例如：路程单位“千米”与时间单位“小时”需对应速度单位“千米/时”。 k≠0的隐含条件：正比例中分母x≠0，反比例中x、y均不能为0（实际问题中通常取正值）。 六、实际应用与解题策略 1.比例分配问题 利用正比例关系解决按比例分配的实际问题。例如：按药粉与水的质量比配制药水，已知药粉质量求水的质量。 2.工程与行程问题 工程问题：工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例；工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例。 行程问题：速度一定，路程与时间成正比例；时间一定，路程与速度成正比例；路程一定，速度与时间成反比例。 3.图表分析 表格数据：通过计算表格中对应数值的比值或积，判断比例关系； 图像识别：根据图像形状（直线或曲线）初步判断正比例或反比例。 七、核心公式与关系式汇总 类别 关系式 文字描述 正比例 （一定） 两个量的比值保持不变 反比例 （一定） 两个量的乘积保持不变 速度、路程、时间 （一定）→正比例 路程与时间同向变化 （一定）→反比例 速度与时间反向变化 总价、单价、数量 （一定）→正比例 总价与数量同向变化 （一定）→反比例 单价与数量反向变化 例题讲解 【典型例题1】 在一般情况下，人的脚长与身高的比约是1：7。小张的脚长约是25厘米。则他的身高约是　 　米。 【答案】1.75 【解析】【解答】设他的身高约是x厘米 175厘米=1.75米 故答案为：1.75。 【分析】 因为脚长与身高的比值是固定的，所以可列出比例式，根据比例的基本性质 “两内项之积等于两外项之积”，可求得他的身高，最后注意变换单位。 【跟踪训练】 六年级同学为了计算旗杆的高度，先测量了旗杆影子的长度为6.4米，再把1.5米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.2米，最后通过计算得出旗杆高　 　米。 【答案】8 【解析】【解答】解：设旗杆高x米，根据题意，可得 x∶6.4＝1.5∶1.2 1.2x＝6.4×1.5 1.2x＝9.6 x＝9.6÷1.2 x＝8 答：最后通过计算得出旗杆高8米。 故答案为：8 【分析】设旗杆高x米，用旗杆的高度：旗杆的影子=竹竿的长度：竹竿的影子，即可求解。 【典型例题2】 一间房子要用方砖铺地，用边长3分米的方砖，需要96块。如果改用边长是2分米的方砖，需要多少块？(用比例解) 【答案】解：设需要x块。 2×2×x=3×3×96 4x=9×96 4x=864 x=864÷4 x=216 答：需要216块。 【解析】【分析】根据题意，房子的地板总面积一定，因为方砖的面积×块数=总面积，所以方砖的面积与块数成反比例关系，据此设需要x块；列出比例，解比例即可。 【跟踪训练】 一个正方形的游泳池，用边长是0.6米的方砖铺池底，正好需要500块。如果改用边长0.5米的方砖来铺，需要多少块？（用比例解答） 【答案】解：设改用边长0.5米的方砖，需要x块 0.5×0.5×x=0.6×0.6×500 0.25x=0.36×500 0.25x=180 x=720 答：改用边长0.5米的方砖，需要720块。 【解析】【分析】方砖面积×方砖块数=游泳池底面积，游泳池底面积一定，方砖面积×方砖块数成反比例关系。分析题干，已知两种方砖的边长，根据正方形面积=边长×边长，计算得出两种方砖的面积，再根据前后使用的方砖面积与方砖块数的乘积相等，列出比例求解。 【典型例题3】 成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。用数学的眼光看，是应用了比例的关系。小兰在同一时间、同一地点测量一排树的高度和影长(如下表)。 树高/m 20 15 12 4.5 影长/m 8 6 4.8 1.8 （1）树高和影长两种量成　 　比例关系。 （2）当小兰测得一棵树的影长是3.2m时，这棵树高多少米？(用比例解) 【答案】（1）正 （2）解：设这棵树高 xm。 20：8=x：3.2 解得：x=8 答：这棵树高8m。 【解析】【解答】解：（1）树高和影长两种量成正比例关系。 故答案为：正 【分析】（1）因为====0.4，即树高和影长的比值一定，两种量成正比例关系。 （2）由于树高和影长的比值一定，所以表中的树高：对应的表中的影长= 小兰测的树的高度：小兰测的树的影长。 【跟踪训练】 某银行一年定期存款的年利率为1.1%，下图表示存款一年时，本金与利息的情况。 本金/万元 1 2 3 4 … 利息/元 110 　 　 440 … （1）先根据图象补全上表，再判断本金和利息成什么比例。为什么？ （2）如果本金为5000元，那么利息是多少元？(用比例解) 【答案】（1）解： 本金/万元 1 2 3 4 … 利息/元 110 220 330 440 … 1万元=10000元 2万元=20000元 3万元=30000元 …… 110÷10000 = 220÷20000 =330÷30000=…=0.011 答：本金和利息成正比例，因为利息随着本金的变化而变化，并且利息和本金的比值一定。 （2）解：设利息是x元。 10000：110=5000：x 10000x=5000×110 10000x=550000 x=55 答：利息是55元。 【解析】【分析】（1）观察图像，利息与本金的比值一定，即110：1=110，也就是利息：本金=110，据此得到利息=本金×110，代入2和3计算即可填表；表中利息与本金的比值均相等，所以根据正比例是指两种相关联的量，一种量变化时，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值（或商）一定，那么它们的关系称为正比例关系‌‌；判断可以得出答案； （2）由（1）可知，利息和本金成正比例，故利息与本金的比值一定，所以可以假设利息是x元，据此建立方程10000：110=5000：x，根据比例的基本性质解出x的值即可。 培优练习 一、选择题 1．表示和成反比例的式子是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此逐项分析判断即可。 【详解】A．a＋b＝4是和一定，所以a和b不成反比例； B．b＝a×，，a和b的比值一定，是正比例； C．，，a和b的乘积一定，是反比例； D．，，a和b的比值一定，是正比例； 2．下面几组相关联的量中，成反比例的是（    ）。 ①平行四边形的面积一定，它的底和高 ②实际距离一定，图上距离和比例尺 ③长方形的面积一定，长和宽 ④总路程一定，已行路程和剩下路程 ⑤给一个房间地面铺砖，每块砖的边长与铺砖的块数 ⑥圆柱的体积一定，底面积和高 A．①③⑥ B．①③⑤⑥ C．①②③⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】①底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例； ②图上距离÷比例尺＝实际距离（一定），比值一定，所以实际距离一定，图上距离和比例尺成正比例； ③长×宽＝长方形的面积（一定），乘积一定，所以长方形的面积一定，长和宽成反比例； ④已行路程＋剩下路程＝总路程（一定），和一定，已行路程和剩下路程不成比例； ⑤边长×边长×块数＝房间的面积，即边长的平方×块数＝房间的面积（一定），所以每块砖的边长的平方与铺砖的块数成反比例，但每块砖的边长与铺砖的块数不成比例； ⑥底面积×高＝圆柱的体积（一定），乘积一定，所以圆柱的体积一定，底面积和高成反比例。 所以成反比例的有①③⑥。 故答案为：A 3．下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快 B．斑马的奔跑速度快 C．一样快 D．不确定谁的奔跑速度快 【答案】B 【分析】看图可知，长颈鹿10分钟跑了8千米，斑马10分钟跑了16千米。速度＝路程÷时间，据此分别求出长颈鹿和斑马的速度，再比较得出谁的奔跑速度更快即可。 【详解】长颈鹿速度：8÷10＝0.8（千米/分） 斑马速度：16÷10＝1.6（千米/分） 1.6＞0.8，所以斑马的奔跑速度快。 故答案为：B 4．三角形的内角和是180°，若其中一个内角一定，则这个三角形的另外两个内角（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】两个相关联的量，如果比值一定，则这两个量成正比例；如果乘积一定，则这两个量成反比例。 【详解】三角形的内角和是180°，若其中一个内角一定，则另外两个内角的和是定值，既不符合比值一定的正比例条件，也不符合乘积一定的反比例条件，所以这个三角形的另外两个内角不成比例。 5．下面两个量成反比例的是（    ）。 A．一个非零数与它的倒数 B．高一定，圆柱的体积和底面积 C．正方形的边长与周长 D．小丽同学的身高和体重 【答案】A 【分析】根据反比例的意义，要判断两个量是否成反比例，核心依据是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数乘积一定，则成反比例关系。 【详解】A．设这个非零数为a，它的倒数为，可得，乘积是固定值1，符合反比例的意义，一个数与它的倒数成反比例。该选项正确。 B．圆柱体积V＝Sh，高一定时，圆柱的体积和底面积的比值一定，成正比例，不是反比例。该选项错误。 C．正方形周长C＝4，正方形的周长与边长的比值一定，成正比例，不是反比例。该选项错误。 D．身高和体重没有固定的乘积或比值关系，不成比例。该选项错误。 6．下面成语中，蕴含反比例知识的是（    ）。 A．水涨船高 B．日积月累 C．此消彼长 D．立竿见影 【答案】C 【分析】反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量增加，另一种量减少，或是一种量减少，另一种量增加，由此即可判断。 【详解】A．水涨船高是指水位升高，船也跟着升高，两个量同向变化，不符合； B．日积月累是指形容不断累积，都是量同向增加，不符合； C．此消彼长是指一方消退减少、另一方增长增加，两个量变化方向相反，蕴含反比例知识，符合要求； D．立竿见影是指杆子越长影子越长，两个量同向变化，不符合。 二、填空题 7．一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成( )比例，照这样计算，6时行驶( )千米，要行驶720千米需要( )时。 【答案】 正 540 8 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，计算可知，行驶的路程和时间的比值是90，所以行驶的路程和时间成正比例关系，再根据“路程＝速度×时间”求出6时行驶的路程，最后根据“时间＝路程÷速度”求出行驶720千米需要的时间，据此解答。 【详解】由图可知，（一定），所以行驶的路程和时间成正比例。 90×6＝540（千米） 720÷90＝8（时） 所以，6时行驶540千米，要行驶720千米需要8时。 8．已知a、b均不为0，若ab＝7，则a和b成( )比例；若，则a和b成( )比例。（填“正”或“反”） 【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个数的比值一定，则两种量成正比例；如果相对应的两个数的积一定，则两种量成反比例，据此分析。 【详解】已知a、b均不为0，若ab＝7，即a和b的积一定，则a和b成反比例；若，即a和b的比值一定，则a和b成正比例。 9．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 【答案】(1)树高与影长的比值 (2)正 (3)147 【分析】（1）分别计算出树高与影长的比值，可以发现树高与影长的比值均为，没有变。据此解答。 （2）因为树高与影长的比值一定，根据正比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，所以树高和影长成正比例。 （3）由前面可知树高与影长的比值为，已知塔的影长是88.2米，设这座塔的高为x米，根据正比例关系可列比例为＝；根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得3x＝5×88.2，先计算出5×88.2＝441，然后根据等式的性质，两边同时除以3求解出x，即为塔的高度。 【详解】（1）4÷2.4＝＝＝ 5÷3＝ 6÷3.6＝＝＝ 7÷4.2＝＝＝ 因此可以发现树高与影长的比值没有变。 （2）因为树高与影长的比值一定，所以树高和影长成正比例。 （3）解：设这座塔的高是xm。 ＝ 3x＝5×88.2 3x＝441 3x÷3＝441÷3 x＝147 因此，这座塔的高是147m。 10．先根据规律判断x与y成什么比例，再填表。 （1）x与y成（    ）比例。 x 4 8 3.2 20 y 10 4 3.5 （2）x与y成（    ）比例。 x 6 16 32 y 8 3 5 9.6 【答案】（1）正，5，2.8,25；（2）反，9.6,1.5,5 【分析】要想判定x与y成什么比例，必须根据表中提供的数据，进行计算，看两个变量是对应的比值一定还是乘积一定，然后根据正、反比例的意义，从而判定成什么比例即可。进而根据x与y成正、反比例关系，求得表中的未知数，从而完成表格。 （1）（一定），是x与y对应的比值一定，符合正比例的意义，所以成正比例。第一空为5，第二空，第三空，由此可解。 （2）（一定），是x与y对应的乘积一定，符合反比例的意义，所以成反比例。第一空，第二空，第三空，由此可解。 【详解】（1）由分析可知，x与y成正比例。 填表如下： （2）由分析可知，x与y成反比例。 填表如下： 11．时间一定，速度和路程成( )比例关系，总价一定，单价和数量成( )比例关系。 【答案】 正 反 【分析】时间＝路程÷速度，总价＝单价×数量。两个相关联的量，若比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。 【详解】路程÷速度＝时间（一定），即路程与速度的比值为定值，所以时间一定，速度和路程成正比例关系； 单价×数量＝总价（一定），即单价与数量的乘积为定值，所以总价一定，单价和数量成反比例关系。 12．在圆锥体积公式中，当( )一定时，V和h成( )比例；当V一定时，( )和( )成反比例。 【答案】 S 正 S h 【分析】可得，，当S一定时，V和h有相除的关系，当V一定时，S和h有相乘的关系。 【详解】因为，所以当S一定时，V和h成正比例关系。 因为，所以当V一定时，S和h成反比例关系。 当S一定时，V和h成正比例；当V一定时，S和h成反比例。 三、判断题 13．单价一定时，购买故事书的本数与付的总钱数成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 【详解】本数与总价是两种相关联的量，且，所以本数与总价成正比例。 故答案为：√ 14．、不为，与成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。此题可先利用等式的性质1将等式变形，再运用比例的基本性质将等积式转化为比例式，进而判断成什么比例。 【详解】因为，则，所以（一定），是比值一定，与成正比例。 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 15．买苹果的总钱数一定，苹果的单价与数量成反比例。( ) 【答案】√ 【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定就成正比例，如果是乘积一定就成反比例；如果不是乘积或比值一定，就不成比例，据此解答。 【详解】苹果的单价×数量＝苹果的总钱数（一定），苹果的单价与数量成反比例。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】根据正比例意义和辨识、反比例意义和辨识进行解答。 16．苹果的单价一定（不为0），购买苹果的质量和总价成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】总价÷购买苹果的质量＝单价（一定），所以购买苹果的质量和总价成正比例。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】根据正比例意义和辨别，反比例意义和辨别进行解答。 17．x＝15y，x和y成正比例关系。( ) 【答案】√ 【分析】两个相关联的量，若其比值相等，则两个量成正比例关系；若其乘积相等，则两个量成反比例关系。 【详解】x＝15y，则＝15，比值一定，x和y成正比例关系。 故答案为：√。 【点睛】本题属于辨识成正、反比例关系的量，就看两个量是比值一定，还是乘积一定。 四、解答题 18．打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】 （1）40，50 （2）反 （3）20分 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。通过计算已知数据可知成反比例关系，总字数固定为每分钟打字个数与所需时间的乘积，计算空白处的值。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （3）利用总字数除以每分钟打字个数，求出所需时间。 【详解】（1）120×25＝3000（个） 100×300＝3000（个） 3000÷75＝40（分） 3000÷60＝50（分） 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）每分钟打字个数和所需时间的乘积为3000（一定），因此每分钟打字个数和所需时间成反比例关系。 （3）3000÷150＝20（分） 答：打完这篇稿子需要20分。 19．某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 …… （1）请将表格填写完整。 （2）把油耗与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升？ 【答案】（1）13.5 （2）见详解 （3）正；7升 【分析】（1）观察表格中已有的数据，2.7÷1＝5.4÷2＝8.1÷3＝10.8÷4＝2.7，发现二氧化碳排放量与油耗的比值始终为2.7，用5乘2.7，即可求出当油耗为5升时，二氧化碳排放量是多少，再将表格补充完整。 （2）根据表格中的数据，在给定的图中，分别找到油耗对应的横坐标和二氧化碳排放量对应的纵坐标的交点，依次描出这些点，然后用直线将这些点连接起来，形成一条反映两者关系的直线。 （3）二氧化碳排放量和油耗数是两种相关联的量，二氧化碳排放量÷耗油量＝2.7（一定），所以小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成正比例。其比值为2.7，即每消耗1升油产生2.7千克二氧化碳，现在已知产生二氧化碳的量为18.9千克，要求耗油量，根据正比例关系，耗油量＝二氧化碳排放量÷每升油对应的二氧化碳排放量，即18.9÷2.7，即可求出汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升。 【详解】（1）5×2.7＝13.5（千克） 将表格补充完整，如下： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 13.5 …… （2）如图： （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成正比例。 18.9÷2.7＝7（升） 答：如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油7升。 20．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【答案】（1）成反比例关系；理由见详解 （2）12天 【分析】（1）反比例关系的定义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积一定，那么它们就成反比例关系。根据表格中的数据计算每天装配数量和时间相对应的乘积，看是否相等。 （2）由于每天装配数量和时间成反比例关系，它们的乘积始终是这批童车的总数（3600辆）。已知每天装配300辆，根据“时间＝总数÷每天装配数量”来计算天数。 【详解】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 180×20＝3600（辆） 答：每天装配的数量与时间成反比例关系，原因是两种相关联的量乘积一定。 （2）3600÷300＝12（天） 答：如果该童车厂每天装配300辆，那么需要12天。 21．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，2400积分可换40元话费，3000积分可换50元话费，以此类推。王阿姨共有3900积分，可兑换多少元话费？（用比例解） 【答案】 65元 【分析】因为积分兑换话费时，积分与话费的比值是固定的（即每元话费所需积分一定），所以积分和话费成正比例关系。设3900积分可兑换x元话费，依据“每元话费所需的积分相等”，即2400积分对应40元话费，3900积分对应x元话费，它们的比值（每元话费的积分）相同，据此可列出比例2400∶40＝3900∶x；根据比例的基本性质 “两内项之积等于两外项之积”得2400x＝40×3900，先计算出40×3900，然后根据等式的性质，方程两边同时除以2400，求解出x，即为可兑换的话费钱数。 【详解】解：设可兑换x元话费。 2400∶40＝3900∶x 2400x＝40×3900 2400x＝156000 2400x÷2400＝156000÷2400 x＝65 答：可兑换65元话费。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $