2.7 导数的应用 练习-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

第二章 导数及其应用 考查范围：导数的应用 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共48分. 1.已知圆柱的高为h，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，h的值为( ) A. B. C. D. 2.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y（单位：万元）与莲藕种植量x（单位：万斤）满足关系式（a为常数）.若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕( ) A.7万斤 B.8万斤 C.9万斤 D.10万斤 3.现有一块边长为2米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为( ) A.米 B.米 C.米 D.米 4.某厂生产x万件某产品的总成本为万元，且.已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为( ) A.23万件 B.25万件 C.50万件 D.75万件 5.长征五号B运载火箭是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号B运载火箭的整流罩外形是冯·卡门曲线外形，可以更好地减小空气阻力，减轻载荷所受影响.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高之比为，则该模型体积的最大值为( ) A. B. C. D. 6.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户的面积为S，为使窗户的周长最小，用料最省，则圆的半径应为( ) A. B. C. D. 7.现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为( ) A. B. C. D. 8.在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁，如图.已知矩形的宽为b，高为h，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度W最大时，矩形的宽b的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9.若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法中正确的是( ) A.当时，方盒的容积最大 B.当时，方盒的容积最小 C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为 10.国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为r米､高为h米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面､底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是( ) A. B.h的最大值为 C.当时， D.当时，y有最小值，最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 11.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用也不断增加.已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为，那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是___________元/t. 12.现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为____________m/s. 13.某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投______千元. 四、解答题：本题共1小题，每小题16分，共16分. 15.某工厂计划投资一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本x（单位：万元）满足（a，b为常数，），乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本x（单位：万元）满足.已知投资甲产品1万元、10万元时，获得的利润分别为5万元、16.515万元.（平均成本利润） （1）求a，b的值. （2）若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？ （参考数据：，） 1.答案：D参考答案 解析：作经过球心的截面，如图所示， 设O为球心，矩形ABCD为圆柱的轴截面，AB为圆柱底面圆的直径，OA为球的半径，且.设，则，则圆柱的体积，所以，令，得，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以当该圆柱的体积取最大值时，x的值为，所以.故选D. 2.答案：B 解析：由题意，利润函数，即，则，解得.故，则. 令，则有，令，则有，所以的极大值点即最大值点，为，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.故选B. 3.答案：C 解析：设截去的小正方形边长为x米，由题意容器底边长为米，高为米， 故体积，则. 故当时，单调递增；当时，单调递减. 故为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为米. 故选：C. 4.答案：B 解析：设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以，（其中k为非零常数），又生产100件这样的产品单价为50元，所以，故，所以，记生产x件产品时，总利润为，所以，，则，令有，且在上单调递减，故由，得；由，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，因此当时，取最大值，即产量定为25万件时，总利润最大.故选：B 5.答案：C 解析：设圆锥的高为，则圆柱的高为3h，底面圆半径为，则该模型的体积.令，则，由，得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.所以当时，取到最大值，模型的体积V取到最大值，故选C. 6.答案：C 解析：设窗户的凮长为L，圆的半径为x，矩形的高为h，则窗户的面积，所以，所以窗户的周长，所以.令，得，所以当时，；当时，.所以当时，L取得最小值. 7.答案：D 解析：设单位面积铁的价格为a， 则造价， 故.令，解得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. 故当时，造价最小，此时.故选D. 8.答案：D 解析：由题意，得，故，故当时，，当时，，故当时，W取最大值.故选D. 9.答案：AC 解析：方盒的容积为，则，令，则或，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以.故选AC. 10.答案：BCD 解析：由题意可得，所以，由，得，解得，所以，故A项不正确. 易知h随r的增大而减小，所以当时，h取得最大值，且最大值，故B项正确. 圆锥的母线长，故圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积，圆柱的底面积， 所以总费用 . 当时，，C项正确. ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，y取得最小值，最小值为，D项正确. 故选：BCD 11.答案：40.15 解析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为，所以.又因为，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元/t. 12.答案： 解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，则，即.因为水的体积为，即，，所以当时，，即水面上升的速度为. 13.答案：5 解析：依题意可设每月土地占用费，每月库存货物的运费，其中x是仓库到车站的距离．于是，由，得；由，得.因此两项费用之和为..令，得(舍去)，且当时，；当时，，故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 14.答案： 解析：设投入m千元销售B商品，则投入千元销售A商品，所获得的总收益为千元，则，可得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，函数取得最大值，即总收益最大. 15.答案：（1） （2）当甲、乙两种产品各投资25万元时，该工厂获得最大利润，最大利润为31.09万元 解析：（1）由题意知 整理得解得 （2）设甲产品投资x万元，乙产品投资万元，且， 则该工厂获得的利润 ，， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， 当甲、乙两种产品各投资25万元时，该工厂获得最大利润，最大利润为31.09万元. $