2.7.1-2.7.2 实际问题中导数的意义 实际问题中的最值问题-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 解析　由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 答案　C 2．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　) A． cm2　　　　　 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析　设一个三角形的边长为x cm， 则另一个三角形的边长为(4－x)cm， 两个三角形的面积和为 S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4. 令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2. 答案　D 3．(2025·惠州实验中学高二月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元．销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万斤)满足关系式y＝－x3＋ax2＋x(a为常数).若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　) A．7万斤 B．8万斤 C．9万斤 D．10万斤 解析　由题意，利润函数 g(x)＝－x3＋ax2＋x－(2＋x)(0≤x≤10)， 即g＝－x3＋ax2－2，则＝－×33＋9a－2，解得a＝2. 故g＝－x3＋2x2－2，则g′＝－x2＋4x＝－x. 令g′>0，则有0<x<8，令g′(x)<0，则有8<x≤10，所以g(x)的极大值点即最大值点，为x＝8， 故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤．故选B. 答案　B 4．(多选题)某港口一天24 h内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)＝3sin ，则下列说法正确的有(　　) A．S(t)在[0，2]上的平均变化率为 m/h B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24 h C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D．18时潮水起落的速度为 m/h 解析　由题意，对于选项A，S(0)＝3sin ＝，S(2)＝3·sin ＝0， 所以S(t)在[0，2]上的平均变化率为＝＝－ m/h，故A选项错误； 对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而T＝＝24 h，故B选项正确； 对于选项C，当t＝6时，S(6)＝3sin ＝－≠－3，所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，故C选项错误； 对于选项D，S′(t)＝3cos ·＝ cos ，所以S′(18)＝cos ＝，故D选项正确． 答案　BD 5．(2025·江苏镇江实验高级中学期中)做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是27π，则当圆柱底面圆的半径r＝ 时，用料最省． 解析　设圆柱的高为h，则πr2h＝27π，所以h＝，所以水桶的表面积S＝πr2＋2πrh＝πr2＋2πr·＝πr2＋. 令f＝S，则f′＝2πr－＝， 令f′>0，得r>3，令f′<0，得0<r<3， ∴f(r)在(0，3)上单调递减，在上单调递增，故f(r)在r＝3时取得极小值，也是最小值， 故当r＝3时，无盖的圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省． 答案　3 6．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定到某商场对某商品进行市场销售量调研，通过调研得知，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：百元/千克)近似满足关系式y＝＋2(x－7)2，其中4＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6百元/千克时，每日可售出3千克该商品．若该商品的成本为4百元/千克，则该商场每日销售该商品所获最大利润为 元． 解析　由题意知3＝＋2，故a＝2，则y＝＋2(x－7)2，4＜x＜7. 设该商场每日销售该商品所获利润为f(x)百元， 则f(x)＝y(x－4)＝2＋2(x－7)2(x－4)， f′(x)＝2[(2x－14)(x－4)＋(x－7)2] ＝6(x－7)(x－5)， 则f(x)在(4，5)上单调递增，在(5，7)上单调递减，故f(x)max＝f(5)＝2＋2×4＝10，即最大利润为10百元． 答案　1 000 7．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中．当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为 ． 解析　设水深为h时，水面半径为r， 则＝，所以r＝h. 经过t s后，水的体积为20 t， 则20 t＝π·h， 即h(t)＝， 所以h′(t)＝×. 又h＝4时，r＝，V＝3π， 所以t＝，h′＝. 答案　 cm/s 8．(2025·山东德州一中高二期中)某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足60万箱时，p＝x3＋150x；当产量不小于60万箱时，p＝201x＋－1 860.若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部售完． (1)求销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得的利润最大？ 解析　(1)由题意可知，销售收入为200x万元， 当产量不足60万箱，即0<x<60时， y＝200x－p－400＝－x3＋50x－400. 当产量不小于60万箱，即x≥60时， y＝200x－p(x)－400＝1 460－. 综上，y＝ (2)设f(x)＝ 当0<x<60时，f′＝－， 则当0<x<50时，f′(x)>0，当50<x<60时，f′(x)<0，可知f(x)在(0，50)上单调递增，在(50，60)上单调递减， 则f≤f＝. 当x≥60时，由基本不等式可得1 460－≤1 460－2× ＝1 300，当且仅当x＝，即x＝80时等号成立． 又1 300>，所以当产量为80万箱时，所获利润最大，最大值为1 300万元． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)为满足人民对美好生活的向往，某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 下列四个结论中正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 解析　平均变化率－表示区间端点连线斜率的负数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，A正确；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，B正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，C正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的时间内，污水治理能力最强，D错误． 答案　ABC 10．一列火车的锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20 km时，每小时消耗煤的价值为40元，至于其他费用每小时要200元．要使火车从甲城开往乙城时的总费用最省，则火车行驶的速度应为(　　) A．10 km/h B． km/h C．100 km/h D．10 km/h 解析　设速度为x km/h，甲、乙之间的距离为a km， 则总费用为y＝f(x)＝(kx3＋200) ＝a(x＞0). 因为40＝k·203＝8 000k，所以k＝， 所以y＝f(x)＝a(x＞0)， f′(x)＝a＝， 令f′(x)＝0，则x＝10 . 当0＜x＜10时，f′(x)＜0， 当x＞10时，f′(x)＞0， 所以x＝10时，f(x)取得极小值，此时也是最小值． 所以当火车行驶速度为10 km/h时，费用最少． 答案　D 11．(2025·江苏南京六校高二联考)某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x≥0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝4ln (2x＋1)，如果该个体户准备投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元． 解析　设投入m千元(0≤m≤5)销售B商品，则投入(5－m)千元销售A商品，所获得的总收益为S(m)千元， 则S(m)＝2(5－m)＋4ln (2m＋1)＝4ln (2m＋1)－2m＋10(0≤m≤5)， 可得S′(m)＝4×－2＝. 当0≤m<时，S′(m)>0，函数S(m)单调递增； 当<m≤5时，S′(m)<0，函数S(m)单调递减． 所以当m＝时，函数S(m)取得最大值，即总收益最大． 答案　 12．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 ． 解析　连接OB，连接OD，交BC于点G，由题意得，OD⊥BC，OG＝BC， 设OG＝x则BC＝2x， DG＝5－x， 三棱锥的高h＝ ＝＝， S△ABC＝2x·3x·＝3x2， 则V＝S△ABC·h＝x2· ＝·， 令f(x)＝25x4－10x5，x∈， f′(x)＝100x3－50x4， 令f′(x)＞0，即x4－2x3＜0，x＜2； 令f′(x)＜0，即x4－2x3＞0，2＜x＜， 则f(x)≤f(2)＝80. 则V≤×＝4， 所以体积最大值为4 cm3. 答案　4 cm3 13．如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ将扇形AOP分成左右两部分，PQ左侧部分三角形POQ为观赏区，在PQ右侧部分种草．已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设∠AOP＝θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f(θ). (1)求f(θ)关于θ的函数关系式； (2)求当θ为何值时，总造价最小，并求出最小值． 解析　(1)种花区的造价为，种草区的造价为2a， 故总造价f(θ)＝＋2a ＝a，其中0＜θ＜. (2)f′(θ)＝a ＝a＝2a ＝2a. 令f′(θ)＝0，得θ＝∈，列表如下： θ f′(θ) － 0 ＋ f(θ) 单调递减 极小值 单调递增 当θ＝时，f(θ)取得极小值，也是最小值， 故当θ＝时总造价最小， 且总造价最小为a. [学科素养·探索创新] 14．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是 ． 解析　设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为， ∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0，2). 由f′(x)＝－x2＋1＝0， 得x＝－(舍)或x＝， ∴x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递增， ∴当x＝时，f(x)取极大值且为最大值. 答案　 15．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1 000万元(包含10万元和1 000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金f(x)(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%. (1)写出f(x)满足的条件； (2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求． 解析　(1)由题意，公司对奖励方案的基本要求是：当x∈[10，1 000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立． (2)对于函数模型f(x)＝＋2，当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，且f(x)≥f(10)＝＞1，即f(x)≥1恒成立，若使函数f(x)＝＋2≤在[10，1 000]上恒成立，则29x≥300在[10，1 000]上恒成立．又x＝10时，29x＝29×10＝290＜300，所以f(x)≤在[10，1 000]上不恒成立，故该函数模型不符合公司的要求．对于函数模型f(x)＝4lg x－2，当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2＞1，所以f(x)≥1在[10，1 000]上恒成立．令g(x)＝4lg x－2－，则g′(x)＝－，∵当x≥10时，g′(x)＝－≤＝＜0，∴g(x)在[10，1 000]上是减函数，∴g(x)≤g(10)＝4lg 10－2－2＝0，即4lg x－2－≤0，∴4lg x－2≤，∴f(x)≤恒成立，故该函数模型符合公司的要求．综上，函数模型f(x)＝4lg x－2符合公司的要求． 学科网（北京）股份有限公司 $