第四章 1 因式分解&2 提公因式法 高效同步练习-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习 知识点①因式分解的概念 1.(3分)下列从左到右的变形是因式分解的 是() A.(x-4)(x+4)=x2-16 B.x2-y2+2=(x+y)(x-y)+2 C.x2+1=x(x+二) D.a2b+ab2=ab(a+b) 知识点②因式分解与整式乘法的关系及简单 应用 2.（3分)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x 1)=x2+2x-3,从左到右的变形，表述正确的 是() A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分獬，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 3.(3分)把多项式x2+ax+b因式分解得(x+1) (x-3),则a,b的值分别是( A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=2,b=-3 D.a=2,b=3 4.[教材习题变式](9分)数形结合是解决数学 问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时， 我们可以借助直观、形象的几何模型来求解。 下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正 方形，B型卡片是长为y,宽为x的长方形，C 型卡片是边长为y的正方形。请用1张A型 卡片，2张B型卡片和1张C型卡片拼成一个 大正方形，在图2虚线框中画出正方形的示意 图，再据此写出一个多项式的因式分解。 A 图1 图2 15分钟同步练习，精炼高效抓 1因式分解 5.数学思想·数形结合(3分)如图，四边形AB- CD是一个长方形，利用不同的方法可以计算 出长方形的面积，通过分析图形中标线段 的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其 结果正确的是( A.(m+2n)2 B.(m+2n)(m+n) C.(2m+n)(m+n) m D.(m+2n)(m-n) 6.学科素养·应用意识(10分)仔细阅读下面的 例题，仿照例题解答问题。 【例题】已知二次三项式x2-4x+m有一个因式 是(x+3),求另一个因式以及m的值。 解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+ 3)(x+n), 化简得x2-4x+m=x2+nx+3x+3n, 整理得x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, 丁有备得 m=-21 (n=-7 因此另一个因式是x-7,m的值为-21。 第四 【问题】已知二次三项式3x2+5x-k有一个因 式是(3x-1),求另一个因式以及k的值。 考点ZBB八年级数学下册 41 高效同步练习 知识点①确定公因式 1.(3分)8x”my-1与-12x5my的公因式是( A.x"y" B.xmy-1 C.4x"y" D.4xmy-1 2.(3分)下列多项式的各项中，公因式是a的 是() A.ax+ay+5 B.3ma-3ma2 C.4a2+10ab D.a2-2a+ma 知识点②利用提公因式法分解因式 3.（3分)下列多项式中，能用提公因式法进行因 式分解的是( A.x2-y B.x2-2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2 4.(3分)将多项式ax+ay-a2x2y因式分解时， 应提取的公因式是() A.a B.a2 C.a2x D.a2x2 5.(3分)多项式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b)提 第 公因式后，另一个因式为() 章 A.x2-x+1 B.x2+x+1 C.x2-x-1 D.x2+x-1 6.（10分)用提公因式法将下列各式因式分解： (1)-9m2n+27mn2-18mn; (2)2x2+4xy+2xy2。 42 15分钟同步练习，精炼高效切 2 提公因式法 易错点)因式分解时弄错符号 7.(3分)因式分解：-16a2b+16a3- 4ab2= 0 8.(3分)小明准备设计一个长方形的手工作品。 已知长方形的长和宽分别为a,b(a>b),周长 为20，面积为16，请计算a2b-ab2的值 为() A.96 B.480 C.320 D.160 9.(3分)(-8)226+(-8)25能被下列哪个数整 除() A.3 B.5 C.7 D.9 10.（3分)根据下面的拼图过程，写出一个多项 式的因式分解： 44 一 11.学习情境·墨迹污染(3分)多项式“3m3-5m +▲”分解因式的结果为m(3m2-5m-2),则原 多项式中▲处所缺的项为 12.（3分)若一次函数y=-x+5的图象经过点A (a,b)和B(c,d),则a(c+d)+b(c+d)的值 为 13.学科内融合(9分)△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a+2ab=c+2bc,请判断△ABC的形 状，并说明理由。 考点ZBB八年级数学下册6.B【解析】由题意，得∠BAC=∠DAE=55°，∠BAD=∠CAE= 40°，.∠DAC=55°-40°=15°。AB=AD,∠B=∠ADB=2× (180°-40°)=70°，∠C=∠E=70°-15°=55°，∴.∠AFE=180°- 55°-40°=85°。故选B。 7.B 8.解：(1)由题意，得∠BAC=180°-∠B-∠ACB=130°，即∠BAD =130° ,.△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，.旋 转中心为点A,旋转的度数为130°； (2)由题意，得∠EAD=∠CAB=130°，AE=AC,AD=AB=2cm, .∠BAE=360°-130°-130°=100°。.点C恰好成为AD的中 点，∴.AC= 2AD=1cm,.AE=1cm。 第2课时旋转作图与中心对称 1.A2.D 3.解：如图所示四边形AB,CD,即为所求。 C D. 4.C5.D 6.A【解析】点(a-3,4)关于原点的对称点为(5，-b),.a-3 5,-b= -4,即a=-2,b=4 ,.ab=-8,故选A 7.解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求，A(3,-3),B,(4,-1); (2)如图所示，△A,B2C2即为所求； (3)旋转中心的坐标为(5,0)。 43 高效同步练习3简单的图案设计 1.C2.C 3.解：轴对称轴对称旋转中心旋转90 4解： (答案不唯一) 5.D 6.解：(1)都是轴对称图形都是中心对称图形 (2) (答案不唯一) ☆问题解决活动：最短距离 1.A2.12 3.解：如图，D'D,EE即为两座桥的位置。 DF M CD'M E 4.解：(1)如图1，路径AMNB即为所求；方法：作AJ⊥直线a,且 AJ的长等于ab间的距离，连接JB交直线b于点N,作NM1 直线b交直线a于点M,连接AM,BN,路径AMNB即为所求； (2)如图2，路径AFENMB即为所求。 A F 八Ma b d N.B M 图1 图2 追梦第三章章末复习图形的平移与旋转 1.B2.B3.D 4.C【解析】将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB'C', ∠C=64°，∴.AC=AC',∠C=∠AC'B′=64°，∴.∠C=∠ACC 74 同步练习，精炼高效抓考 64°，.∠B'C'B=180°-∠ACB'-∠ACC=52°。故选C。 5.B 6.C【解析】连接BF,由旋转可得，CE=FC,∠ECF=60°，： △ABC是等边三角形，.AC=BC,LACB=60°，.∠ACE= ∠BCF,.△ACE≌△BCF(SAS),.∠CBF=∠CAE,.·边长为 8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点， ∠CAE=30°，BD=4,∴.∠CBF=30°，即，点F的运动轨迹为直线 BF,当DF⊥BF时，DF最短，此时，DF= 2BD= 2×4=2, DF的最小值是2。故选C。 7.30°8.(2,1) 9.2√10或6√10【解析】·∠C=90°，AC=8,BC=6,∴.AB= √AC+BC2=√8+62=10，由旋转得∠AED=∠C=90°，DE= BC=6,AE=AC=8,如图1，点E在边AB上，则∠DEB=180° ∠AED=90°。BE=AB-AE=10-8=2,.BD=√DE+BE= √62+22=2√10；如图2，点E在边BA的延长线上。.∠DEB =90°，BE=AB+AE=10+8=18,.BD=√DE+BE=√6+18 =6√10，综上所述，线段BD的长为2√/10或6√/10。 图1 图2 10.解：(1)(4，-1)(2)2 (3)如图所示，△A,B,C,即为所求； (4)如图所示，△A2B2C2即为所求。 11.(1)证明：△ABC沿BC平移到△A'B'C',.AC∥A'C,AC= A'C,.∠ACD=∠C'A'D,又.∠ADC=∠C'DA',.△ACD≌ △C'A'D(AAS),∴.A'D=CD; (2)解：由题意，得SABc=SACG=36。A'D=CD,∴.SAcc= Sac4m=7×36=18。 12.解：(1)将△CDF绕点D顺时针旋转180°得到△BDG,连接 EG,如图所示。则△CDF≌△BDG,∴.BG =CF,DG=DF。.DE⊥DF,∴.EG=EF 在△BEG中，BE+BG>EG,即BE+CF >EF。 (2)若∠A=90°，EF2=BE2+CF2.证明如 B 下：.·∠A=90°..∠EBC+∠FCB=90° D 由(1)知EF=EG,∠FCD=∠DBG,∴. ∠DBG+∠EBC=90°，即∠EBG=90°，. 在Rt△EBG中，EG2=BE2+BG2,即EF2= BE2+CF2。 高效同步练习1因式分解 1.D2.C3.A 4.解：拼图如图所示，x2+2xy+y2=(x+y)2。 B B 5.B 6.解：设另一个因式为(x+n),得3x2+5x-k=(3x-1)(x+n),化简 得3x2+5x-k=3x2+3nx-x-n,整理得3x2+5x-k=3x2+(3n-1)x 2于是有5，解得{子，因此另-个因式是+2.k的 值为2。 ZBB八年级数学下册 高效同步练习2提公因式法 1.D2.D3.B4.A 5.B【解析】原式=y(a-b)(x2+x+1),公因式是y(a-b),另一个 因式为x2+x+1。故选B。 6.解：(1)原式=-9mn(m-3n+2); (2)原式=2x(x+2y+y2)。 7.-4a(4ab-4a2+b2)） 【归纳总结】提公因式的注意事项：如果多项式的首项系数是负 数，通常要提出“-”号。可按照下列口诀分解因式：首项有 “负”先提“负”，各项有“公”要提“公” 某项提出莫漏“1”，括 号里面分到底。 8.A【解析】.·长方形的长和宽分别为a,b,周长为20，面积为 16,∴.2(a+b)=20,ab=16,∴.a+b=10,∴.(a-b)2=(a+b)2-4ad =102-4×16=36。a>b,∴.a-b=6,.原式=ab(a-b)=16×6 =96。故选A。 9.C10.x2+6x+8=(x+2)(x+4)11.-2m 12.25【解析】.一次函数y=-x+5的图象经过点A(a,b)和B （c,d),∴.b=-a+5,d=-c+5,即a+b=5,c+d=5,∴.a(c+d)+b (c+d)=(a+b)(c+d)=5×5=25。 13.解：△ABC是等腰三角形。理由如下：.：a+2ab=c+2bc,.（1+ 2b)(a-c)=0。:1+2b≠0，∴.a=c。.△ABC为等腰三角形。 高效同步练习3公式法 第1课时用平方差公式分解因式 1.C2.-1(答案不唯一)3.B 4.解：（1)原式=x(x2-5-4)=x(x2-9)=x(x+3)(x-3); (2)原式=x2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x2-1)=(x-1)(x+1)(x 1)=(x+1)(x-1)2。 5.(x-2) 6.A【解析】原式=(3x+5)2-42=(3x+5+4)(3x+5-4)=(3x+ 9)(3x+1)=3(x+3)(3x+1),即多项式(3x+5)2-16一定能被 3整除，故选A。 7.B【解桥】：2-16y2=(x+4y)(x-4y)=16,x+4y=2①，x 4y=322,联立①2解得：x=6 63 4y=16x-y= 6。故选B。 32 8.D 9.C【解析】原式=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a- b),由题可知，x+y对应“我”，x-y对应“爱”，a+b对应“河” a-b对应“南”，则结果呈现的密码信息可能是“我爱河南”，故 选C 10.解：依题意得8.62π-0.72π×4=(8.62-1.4)m=(8.6+1.4)× (8.6-1.4)T=72π=226.08(cm2)。答：剩余钢板面积为 226.08cm。 第2课时用完全平方公式因式分解 1.A2.C3.C 4解：(1)原式=+2a·之(=(a+7； (2)原式=(2x)2-2·2x·5y+(5y)2=(2x-5y)2。 5.B 6.解：(1)原式=-(4ab+4a2+b2)=-[(2a)2+2·2a·b+b2] =-(2a+b)2; (2)原式=2a(-4ab+a2+4b2)=2a[a2-2·a·(2b)+(2b)2]= 2a(a-2b)2。 7.8m(答案不唯一)8.C 9.B【解析】：M=x2+y2,N=2xy,.M-V=x2+y2-2xy=(x-y)2。 (x-y)2≥0，.M≥N。故选B。 10.D【解析】小.多项式“4x2+▲+9y2”能用完全平方公式分解因 式，.“▲”处的一项是：±2(2x·3y)=±12xy。故选D。 11.解：选取①④⑦，多项式为4m2+4n2-8mn,4m2+4n-8mn= 4(m2+n2-2mn)=4(m-n)。（答案不唯一) 追梦第四章章末复习因式分解 1.B2.D 3.C【解析】原式=[(4n+5)+3][(4n+5)-3]=8(n+2)(2n+ 1),.对于任意整数n,多项式(4n+5)2-9都能被8整除。故 选C。 4.C 5.C【解析】由题意，得b-a=b+空白面积-(a+空白面积)=大 正方形面积-小正方形面积=42-32=7。∴.2a(a-1)-2(a2-b) =2b-2a=2(b-a)=14。故选C。 同步练习，精炼高效抓考 6.D【解析】(b-a)(b+c2)=ba2-a3=a2(b-a),则(b-a)（b2+ c2)-a2(b-a)=0,(b-a)(b2+c2-a2)=0,则b-a=0或b2+c2-a1 =0,则b=a或b2+c2=a2,故△ABC是等腰三角形或直角三角 形，故选D。 7.D【解析】设这两个连续的奇数是2n+1,2n-1.:(2n+1)2- (2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n,.“和谐 数”是8的倍数。D.48是8的6倍，故48是“和谐数”。故 选D。 8.2x9.7或-3 10.123【解析】.'a4+b4=47,a+b=3,∴.（a4+b4)(a+b)=47×3= 141,∴a3+ab4+ba4+b3=141,.a3+b=141-ab-ba=141- ab(a3+b3)=141-1×18=123。 11.解：(1)原式=n2(m-2)-(m-2)=(m-2)(n2-1)=(m-2)(n +1)(n-1); （2)原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2。 12.解：(1)2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b) (2):图2中甲型、乙型卡片的面积和为136，大长方形卡片 的周长为60，.2a2+2b2=136,即a2+b2=68,2[(2a+b)+(a+ 2b)]=60,即a+b=10。(a+b)2=a2+b2+2ab,.102=68+ 2ab,.ab=16,∴.2a2+5ab+2b2=136+5×16=216,.∴.大长方形 卡片的面积为216。 13.解：(1)2323 (2)一次项为：(-3)+(-5)=-8，则常数项为(-3)×(-5)= 15,则x2-8x+15=(x-3)(x-5); (3)若x2+ax-8可分解为两个一次因式的积，则整数a的所 有可能的值是：-8+1=-7：-1+8=7：-2+4=2：-4+2=-2，即 整数a的所有可能的值是：±7，±2。 14.解：(1)36=10-82（答案不唯一） (2)设两个连续的偶数为2n,2(n+1),n为自然数， [2(n+1)]2-(2n)2=[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n]=4(2n+ 1),:n为自然数，2n+1为正整数，.4(2n+1)能被4整 除，即任意一个完美数都能够被4整除； (3)根据题意，得：42-22+82-62+…402-382=（4-2)×(4+2)+ (8-6)×(8+6)+…+(40+38)×(40-38)=2×(4+2)+2×(8+6) +…+2×(40+38)=2×(2+4+6+8+…+38+40)=840。 高效同步练习1分式及其基本性质 第1课时认识分式 1.C2.D 3.x= 1 ,【解析】根据分式无意义的条件得2x-1=0,解得x 2 1 20 4.B5.C 6.m元钱购买单价为(n+2)元的笔记本的本数（答案不唯一） 7.B【解析】由题意得：x2-4=0且x+2≠0，解得x=2。故选B。 【易错提醒】分式的值是在分式有意义的前提下考虑的，所以使 分式A的值为0的条件是A=0且B≠0，二者缺一不可。 8.y（答案不唯一） x2+1 95【解析】当-1时，分式无意义，即-1+a=0,解得a 1;当x=4时，分式b的值为0，即4-6=0且4+≠0，解得6 "xta 4,所以a+b=1+4=5。 10. a-2x 11.解：(1)由题意得2-3x=0,解得x= 2 39 （2)由题意得1=0且2-3x0,解得x=1,x≠号，所以x=1 (3)当x=2时，-1=2-1.1 时2-3x2-3x24;当x=6时，23=，6 (4)由题意可分两种情况：①侣380无解，②台20，解 得2 <x<1.若分式的值是正数，则x的取值范围是 3下 <1。 ZBB八年级数学下册 75