21.2.2 第二课时：平行四边形的判定课件2025-2026学年人教版数学八年级下学期

第二十一章 四边形 21.2.2 第二课时：平行四边形的判定 学习目标 1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定方法. 2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用. 重点：平行四边形判定定理 难点：平行四边形的性质与判定的综合 复习导入 平行四边形的判定 （1）两组对边　 　的四边形是平行四边形； （2）两组对边　 　的四边形是平行四边形； （3）两组对角　 　的四边形是平行四边形； （4）对角线　 　的四边形是平行四边形． 分别平行 分别相等 分别相等 互相平分 探究新知 知识点1 判定平行四边形 已知：在四边形ABCD中,AB=DC,AB∥DC,求证：四边形ABCD 为平行四边形. A B C D 证明：连接AC， ∵ AB∥DC， ∴∠BAC=∠DCA, ∵ AB=DC，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA(SAS), ∴BC=AD， ∴四边形ABCD 为平行四边形. 探究新知 知识点1 判定平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 判定方法四： A B C D ∵ AB=CD, AB∥CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 典例解析 题型1 判定平行四边形 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD． 又∵ EB = AB ，FD = CD， ∴ EB FD ． ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形． ∴ DE BF. A B C D E F 例1 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证 DE BF . 针对训练 1.已知:如图,在□ABCD中,BF=DE.求证:四边形AECF是平行四边形. E F D C B A 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∵ AB∥ DC，AB=DC， ∵ BF=DE， ∴EC=AF, ∵ EC∥ AF ， ∴四边形AECF 为平行四边形. 针对训练 2. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，AE = DF，∠A = ∠D， AB = DC. 求证：四边形 BFCE 是平行四边形． 证明：∵ AB = CD， ∴ AB + BC = CD + BC，即 AC = BD. 在△ACE 和△DBF 中， AC＝BD ，∠A＝∠D， AE＝DF， ∴ △ACE≌△DBF(SAS). ∴ CE＝BF，∠ACE＝∠DBF. ∴ CE∥BF. ∴ 四边形 BFCE 是平行四边形． 典例解析 题型1 判定平行四边形 例2：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？ 解：BF＝CE．理由如下： ∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE， ∴FD=CE. ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD=∠EBD， ∴∠FBD=∠FDB. ∴BF=FD. ∴BF＝CE. 针对训练 3.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值． 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE=AF. 又∵AB=AC=10， ∴∠B=∠C. ∵DF∥AB， ∴∠CDF=∠B， ∴∠CDF=∠C， ∴DF=CF， ∴DE+DF=AF+FC=AC=10． 针对训练 4.如图，在等边△ABC中，D，F分别为CB，BA上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE．求证： （1）△ACD≌△CBF； （2）四边形CDEF为平行四边形． 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°． 在△ACD和△CBF中， ∴△ACD≌△CBF（SAS）． （2）∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，∠CAD=∠BCF． ∵△AED为等边三角形，∴∠ADE=60°，且AD=DE．∴CF=DE． ∵∠EDB＋60°=∠BDA=∠CAD＋∠ACD=∠BCF＋60°， ∴∠EDB=∠BCF．∴ED∥FC． ∴四边形CDEF为平行四边形． 典例解析 题型2 性质与判定的综合 例3：如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，连接BE，DF。 求证：四边形DEBF是平行四边形。 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AD=CB，∴ ∠DAE=∠BCF。 ∵ DE⊥AC，BF⊥AC， ∴ DE∥BF，∠DEA=∠BFC=90∘。 在 △DAE 和 △BCF 中， ​…… ∴ △DAE≅△BCF (AAS)，∴ DE=BF。 ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形。 针对训练 5.如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN。求证： (1) △AEM≅△CFN；(2) 四边形BMDN是平行四边形。 证明:(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠DAB=∠BCD，AD∥BC。 ∴ ∠EAM=∠FCN，∠E=∠F。又∵ AE=CF， ∴ △AEM≅△CFN (ASA)。 (2) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD，BM∥DN。 由 (1) 知 △AEM≅△CFN，∴ AM=CN。 ∴ BM=DN。∴ 四边形 BMDN 是平行四边形。 针对训练 6.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点． 求证：OE=OF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC．又∵AM=CN， ∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM， ∴∠OAE=∠OCF． 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF． 针对训练 7.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED=30°，过点A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：△ADF为等边三角形； （2）求证：四边形BECF为平行四边形； （1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高， ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=30°．∵∠AED=30°， ∴∠ADF=∠BAD＋∠AED=30°＋30°=60°， ∵AF⊥AB，∴∠EAF=90°， ∴∠AFD=90°－∠AEF=90°－30°=60°， ∴∠AFD=∠ADF=∠DAF=60°， ∴△ADF为等边三角形． 针对训练 7.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED=30°，过点A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：△ADF为等边三角形； （2）求证：四边形BECF为平行四边形； （2）证明：由（1）知∠AED=∠BAD=30°， △ADF为等边三角形，BD=CD， ∴AD=ED，AD=DF，∴ED=DF， ∴四边形BECF为平行四边形． 典例解析 题型2 性质与判定的综合 例4：如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形. 证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′， ∴∠DEA=∠EAD′， ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA， ∴∠DAD′=∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE=AD′. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC， ∴CE∥D′B，CE=D′B， ∴四边形BCED′是平行四边形. 针对训练 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)． （1）用含t的代数式表示： AP=_____； DP=________； BQ=________；CQ=________； tcm (12-t)cm (15-2t)cm 2tcm 针对训练 （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ AP=_____； DP=________； BQ=________；CQ=________； tcm (12-t)cm (15-2t)cm 2tcm 解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm， PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm． ∵AD∥BC， ∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t=15-2t， 解得t=5． ∴t=5s时四边形APQB是平行四边形； 针对训练 AP=_____； DP=________； BQ=________；CQ=________； tcm (12-t)cm (15-2t)cm 2tcm （3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？ 解：由AP=tcm，CQ=2tcm， ∵AD=12cm，BC=15cm， ∴PD=AD-AP=12-t， ∵AD∥BC， ∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即12-t=2t， 解得t=4s， ∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形． 归纳总结 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 判定方法四： A B C D ∵ AB=CD, AB∥CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 作业布置 课堂作业:P65习题21.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $