精品解析：山东高密市第一中学卓越学院2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

卓越学院 高一级部10月阶段性检测 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 设命题：函数在定义域上为减函数；命题，，当时，.则以下说法正确的是 A. 为真 B. 为真 C. 真假 D. ，均为假 3. 设函数则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是 A. (－∞，－1] B. (0，＋∞) C. (－1,0) D. (－∞，1) 4. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法错误的是（ ） A. 男生样本数据的分位数是86 B. 男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数 C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ） A. 10% B. 20% C. 35% D. 70% 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 在凸四边形中，，点P是四边形所在平面上一点，满足．设s，t分别为四边形与的面积，则___________． 13. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为__________；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为__________. 14. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则___________． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集是实数集，，． （1）当时，求和． （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知是平面上两个不共线的向量，且. （1）若，方向相反，求的值； （2）若，，三点共线，求的值. 17. 函数对任意的都有，并且当时，  （1）求的值并判断函数是否为奇函数（不须证明）； （2）证明：在上是增函数； （3）解不等式． 18. 在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 （1）从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； （2）利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； （3）估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 19. 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． （1）当时，求的所有可能取值； （2）当时，求满足的的个数； （3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由． （注：实数满足：，当且仅当时取“”号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越学院 高一级部10月阶段性检测 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合中的元素后，由交集定义求得交集后可得元素个数． 【详解】因为，，所以.元素个数是4． 故选：B． 2. 设命题：函数在定义域上为减函数；命题，，当时，.则以下说法正确的是 A. 为真 B. 为真 C. 真假 D. ，均为假 【答案】D 【解析】 【分析】函数的单调递减区间为，不能并起来；命题中把代入方程得，方程组无解． 【详解】函数的单调递减区间为，若写成定义域内单调递减，则可举出反例，即，但，不符合递减性质，故命题为假命题； 把代入方程得，方程组无解，命题为假命题； 故选D. 【点睛】本题考查反比例函数的单调区间与定义域的区别，全称命题真假性的判断，由于反比例函数为分段函数，所以单调区间一般是不能并起来，但有些特殊情况是可以把单调区间并起来的． 3. 设函数则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是 A. (－∞，－1] B. (0，＋∞) C. (－1,0) D. (－∞，1) 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象,利用函数图象判断函数的单调性,最后利用分类讨论思想求出x的取值范围. 【详解】函数的图象如下图所示： 由图象可知函数是整个定义域内的单调递减函数, 因为f(x＋1)<f(2x),所以有： ； 综上所述：x的取值范围是(－∞，1). 故选：D 【点睛】本题考查了利用分段函数的单调性求解不等式解集问题,考查了数形结合思想. 4. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确. 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确； 对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误； 对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误； 对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个. 故选：C． 5. 法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法错误的是（ ） A. 男生样本数据的分位数是86 B. 男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数 C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数、中位数、众数、平均数、方差的定义一一判断即可. 【详解】对于A：，所以男生样本数据的分位数是，故A正确； 对于B：男生样本数据的中位数为，男生样本数据的众数为，故B正确； 对于C：女生样本数据的平均数为， 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为，故C正确； 对于D：女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变， 但是极差变小，所以方差变小，故D错误. 故选：D 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B 7. 在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可. 【详解】 . 故选：D. 8. 某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ） A. 10% B. 20% C. 35% D. 70% 【答案】D 【解析】 【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可. 【详解】由题意知,当时,的图象是凹形曲线. 对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意； 对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意； 对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意； 对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意. 故选:BD. 10. 如图，在中，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量线性运算可得选项A正确；由与共线，可得，由三点共线，得，由平面向量基本定理解出的值，可判断选项C、D;由三点共线，得，通过转化求出得值，即可判断选项B错误. 【详解】由题意，，故选项A正确； 由与共线，可得 ， 由三点共线，得 ， 由平面向量基本定理，可得，解得， 所以，，，，即故选项C、D正确； 由三点共线，得， 即，化简为， 由选项C可得，， 再由平面向量基本定理得，，得， 所以，，即，故选项B错误. 故选：ACD. 11. 在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.计算出，设，结合，可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当为直线外一点时，、、三点共线，. 充分性：若、、三点共线，则存在，使得，即，所以，， 因为，则，充分性成立； 必要性：因为且， 所以，，即，所以，， 所以，、、三点共线. 本题中，取的中点，连接，如下图所示： 、分别为、的中点，则且， ，，即， ，即，，， ，， 、、三点共线，为直线外一点，则且. ，，则， 所以，，可得，由可得， 由基本不等式可得. 当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为，ABC选项均不满足. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）利用三点共线的结论：当为直线外一点时，、、三点共线，.利用该结论推出； （2）利用基本不等式求出的最小值. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 在凸四边形中，，点P是四边形所在平面上一点，满足．设s，t分别为四边形与的面积，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图像，不妨设出边长，将已知条件中的向量加法运算进行转化，运用面积公式进行求解结果. 【详解】解：不妨假设．记M，N，X，Y分别是的中点， 则M，X，Y，N顺次共线并且．由于 ，， 故结合条件可知．故点P在线段上且．设A到的距离为h，由面积公式可知 ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在对题干中向量加法运算的转化，考查了转化能力，需要有较高的综合解题能力. 13. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为__________；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】填空(1)：先确定后两队共发2次球就结束比赛，包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率； 填空(2)：先确定时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率. 【详解】后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥． 记事件“后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以． 即后两队共发2次球就结束比赛的概率为． 时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利． 记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”， “时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”， 因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以 ， ， ． 所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为. 故答案为：，. 14. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则___________． 【答案】248 【解析】 【分析】由抽象函数变形为和，再利用奇数项和偶数项的关系求和. 【详解】① 因为是偶函数，所以， 用替换x，得，条件化为②， 所以，①+②得，在②中用替换x，得③，则①-③得， 则，， 在①中令，可得，所以． 在中令，得， 又，所以，再由知． 所以． 故答案为：248 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集是实数集，，． （1）当时，求和． （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）推导出．当时，，由此能求出，． （2）先求出，由，得到，从而，由，求出，由，求出，由此能求出的取值范围． 【详解】解：（1）． 当时，， ， ． （2）或． 当时，， 即． ①当，即时，满足； ②当，即时，， 要使，需， 解得． 综上可得，的取值范围为． 【点睛】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意交集、补集、并集定义的合理运用，属于中档题． 16. 已知是平面上两个不共线的向量，且. （1）若，方向相反，求的值； （2）若，，三点共线，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，方向相反，则存在负数使得，再根据向量相等即可求出的值； （2）由三点共线，则存在存在，使得，再根据向量相等即可求出的值． 【小问1详解】 由题意知，，则存在，使得， 即， 整理，得. 由，是不共线的向量， 得 解得 或 又，方向相反，则，， 故的值为2. 【小问2详解】 由题意得,. 由，，三点共线得，存在，使得， 即，整理得. 由，是不共线的向量， 得 解得 或 综上，或. 17. 函数对任意的都有，并且当时，  （1）求的值并判断函数是否为奇函数（不须证明）； （2）证明：在上是增函数； （3）解不等式． 【答案】（1），不是奇函数 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令可求得，由知其不是奇函数； （2）设，由代入已知等式可证函数为增函数； （3）由（1）（2）结论可解不等式． 【详解】解：函数对任意的都有， （1）当时，解得，函数不是奇函数. （2）任取，， ， ， ， ， 在上是增函数. （3）由不等式， ， 由（2）得在上是增函数， ∴，解得：. 【点睛】本题考查抽象函数，赋值法是解决抽象函数问题的基本方法。 18. 在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 （1）从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； （2）利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； （3）估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 【答案】（1） （2）样本中男生的身高比较整齐； （3）52.1 【解析】 【分析】（1）身高在区间，的3名男生分别记为，，身高在，的三名男生分别记为，，利用列举法能求出至少有1人的身高大于的概率； （2）分别求出男生女生身高的平均数和方差，比较平均数和方差的大小，能求出结果； （3）利用分层抽样的平均数与方差公式即可得解. 【小问1详解】 身高在区间共有4名男生，其中2名男生身高位于分别记为，， 身高在，的三名男生分别记为，， 从身高在中的男生中抽取2人，基本事件总数6个，分别为： ，，，，， 其中至少有1人的身高大于包含的基本事件有5个，分别为： ，，，，， 至少有1人的身高大于的概率为. 【小问2详解】 男生身高的平均数为， 男生身高的方差为， 女生身高的平均数为， 女生身高的方差为， ，样本中男生的身高比较整齐； 【小问3详解】 把总体样本的平均数记为，方差记为， 则， ， 19. 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． （1）当时，求的所有可能取值； （2）当时，求满足的的个数； （3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由． （注：实数满足：，当且仅当时取“”号） 【答案】（1）0，2，4 （2）12 （3）不可能，理由见详解 【解析】 【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解； （2）分析可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解. 【小问1详解】 若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. 【小问2详解】 若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有，共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足，可得共有种可能； 所以的个数为. 【小问3详解】 不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 【点睛】方法点睛：1，对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论； 2，对于（3）：结合绝对值不等式分析证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $