第10章 第9节 用向量法求线面角-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

高考零起点·数学 第九节 用向量法求线面角 知识梳理 如图所示，直线l与平面斜交，l的方向向量为，过直线l上一点P作一条直线 垂直于平面a,交点为M,则该直线的方向向量为平面的法向量，设为2，连接OM, 令∠POM=0,则0为直线1与平面α所成的角 由向量的数量积公式eos∠0PM=,, n1·n2 又由图可知，6与∠0PM互余，所以s血0=nm, n1·n2 由于我们在求法向量的时候，通常不会考虑法向量的方向，所 以斜线与法向量的夹角不一定是∠OPM,也有可能是它的补角，但 M 不管是哪一个角，都满足 sin 0= n1·n2l nn 所以这个公式便成为我们用空间向量求线面角的工具 典例精析 例1（2020北京卷)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为BB1的中点. (1)求证：BC1∥平面AD,E; (2)求直线AA1与平面AD,E所成角的正弦值， B C 174 第十章立体几何 例2(2019浙江卷)如图，已知三棱柱ABC-A1B,C1,平面A1ACC,⊥平面 ABC,∠ABC=90°，∠BAC=30°，AA=AC=AC,E,F分别是AC,AB1的中点 (1)证明：EF⊥BC; (2)求直线EF与平面A,BC所成角的余弦值： E C 巩固练习 1.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,P,Q分别为A1B1,BC的中点. (1)求异面直线BP与AC,所成角的余弦值； (2)求直线CC,与平面AQC,所成角的正弦值. 2.(2020山东卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC的交线为. (1)证明：I⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点，求直线PB与平面QCD所成角 的正弦值的最大值 1752 :所求体积为V=号×(4+1+V4x)× 2 76故答案为 6 6 6 2.2如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱 SMN -ABC. 设△ABC的外接圆圆心为O1,半径为r, 则2r= AB 3 sin LACB√3 =25,可得r=√3， 2 设三棱锥S-ABC的外接球球心为0，连接OA,O01, 1 则0A=2,00,=2SA. ·04=00+0,4=3+SM,解得SM=2 故答案为2. 三、解答题 (1)·∠DAB=60°，AB=2AD, 由余弦定理得BD=√3AD, 从而BD+AD2=AB2,故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD, .BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. A B (2)如图，作DE⊥PB,垂足为E, 已知PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC 由(1)知BD⊥AD, 又BC∥AD,∴.BC⊥BD. 故BC⊥平面PBD,BC⊥DE. 则DE⊥平面PBC. 由题设知PD=1,则BD=√3，PB=2, 根据DE·PB=PD·BD,得DE= 21 即三棱锥D-PBC的高为 第八节空间向量的基本概念 典例精析 例1各点坐标如下： Q0,2,2),P(0,1,0),T(2,2,1),D(4,2,0), c4.0,0,21,）4.1,2)月 例2以A为原点，分别以直线AB,AD,AP为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 P0,0,2),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,1,0), 则P7=(0,1,-2),P元=(3,6，-2). 设面PDC的法向量n=(x,y,z）, 由n·P币=0得y-2z=0,由n·P℃=0得3x+6y-2z=0, 10 取2=1得y=2,x=-3, 故所求法向量为(92，小，将各个分量化为整数可 得(-10,6,3) 又面PAB,PAD所在的平面为坐标平面，经观察，它们的 法向量分别为(0,1,0)，(1,0,0). 注意：由于用向量法解题时，我们绝大多数情况下只关注 法向量的方向，而不考虑其模长，所以可通过给x,y,:赋 特殊值求得其向量基于这种思想，在解题时我们也可直 接将一个向量的非零分量设为1，可使计算更简捷 巩固练习 1.以B为原点，以BC,BP分别为x轴，z轴建立直角坐标 系，A(2,23,0),C(4,0,0),D(6,25,0),E(1,3 √3)，F(3,√3,3)，平面PBC和平面ABCD的法向量分 别为(0,1,0)，(0,0,1) 2.分别以CA,CB,CP所在的直线为x轴，y轴和z轴建立 空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1). 于是AB=(-1,2,0),AM=(-1,1,1) 设平面ABM的法向量n=(,,),则+2y=0,令 (-x+y+z=0. y=1,则x=2,z=1,故n=(2,1,1). 故平面AM的法向量为(2,1,1). 第九节用向量法求线面角 典例精析 例1(1)如图所示： D C 在正方体ABCD-AB,C,D1中，AB∥A1B1且AB= A,B1,A1B1∥D1C1且A1B1=D1C1, ∴.AB∥DC1且AB=D,C1,四边形ABC,D1为平行四边 形，则BC1∥AD :BC平面AD1E,AD1C平面ADE, ∴.BC1∥平面ADE. (2)以点A为坐标原点，AD,AB,AA1所在直线分别为x, y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-yz, 设正方体ABCD-ABC1D1的棱长为2，则A(0,0,0), A1(0,0,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),AD=(2,0,2),A正= (0,2,1),A41=(0,0,2). 设平面AD1E的法向量n=(x,y,z), ·D=0得2+2=0， 由m寇0,2 2y+z=0. 令z=-2,则x=2,y=1,则n=(2,1,-2) cos <n,AA>=- n·A 42 n·1A13x23 因此，直线M,与平面AD,E所成角的正弦值为2 例2（1)连接AE,A1A=A1C,E是AC的中点， .A,E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC,A,EC平面A,ACC1, 平面A1ACC,∩平面ABC=AC,∴.A,E⊥平面ABC. 如图，以点E为原点，分别以射线EC,EA1为y轴，z轴的 正半轴，建立空间直角坐标系E-.不妨设AC=4, 则(0.025).8(5,1.0，a(5,3.2,F(停. 325）,c(02,0.因此，成=（之，25）， BC=(-3,1,0) 由E序.B武=0得EF⊥BC (2)设直线EF与平面A,BC所成角为0，由(1)可得 BC=(-3,1,0),A1C=(0,2,-23), 设平面A1BC的法向量n=(x,y,2), (B.n=0, -3x+y=0,令x=1,则y=5,z=1, 得 由A衣n=0,气y5:=0 则n=(1,3,1),故sin0=|cos〈E求，n〉|= E市·n=4 1E·m5 因此直线EF与平面A,BC所成角的余弦值为 -(-号 巩固练习 1.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，设AC,A1C,的中点 分别为0,01，则0B⊥0C,00,⊥0C,001⊥0B,以 0成，0心，00}为基底，建立空间直角坐标系0-yz. .AB=AA=2, .A(0,-1,0),B(5,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2), B1(3,0,2),C1(0,1,2). （0):P为48，的中点P(停，分2)， 丽(2）c-02,2. Icos(BP,AC=- B.AC1_-1+4_3√0 ·1ACi5x2220 ,异面直线BP与AC,所成角的余弦值为3Y0 20 ②Q为Bc韵中点Q(停20)片 0=(原2)G-(02,2.G=00,2 设平面AQC1的法向量为n=(x,y,z), 5,3 @.=0,即2+27=0， 则 aCn=0,2y+2z=0. 不妨取n=(5,-1,1), 设直线CC,与平面AQC1所成角为6， 则sin0=|cos(cC,n)l= cC·n-25 cC.nw5×25 :直线CC,与平面A0C,所成角的正弦值为 5 2.(1):在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， ∴.AD⊥DC,∴.I⊥DC,且PD⊥平面ABCD, ∴.AD⊥PD,l⊥PD. .CD∩PD=D, ∴.lL平面PDC. (2)如图所示，建立空间直角坐标系D-y2, o D PD=AD=1,.D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0), P(0,0,1),B(1,1,0), 设Q(m,0,1),则有D元=(0,1,0)，D0=(m,0,1), P=(1,1,-1), 设平面QCD的法向量n=(x,y,z), 2.n=0,即y=0, 则 Dd.n=0,(mx+z=0. 令x=1,则z=-m, .平面QCD的一个法向量n=(1,0,-m), cos(,Pi=_n·P店 1+0+m |n·|PBw√m2+1·5 3+2m+m_3+2m≤5 3m2+13V1+1sV6 /1+ 3Wm2+1 3,当且仅 当m=1时取等号. ∴.直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值 第十节用向量法求二面角 典例精析 例(1)：PA⊥面ABCD,CDC面ABCD,.PA⊥CD.又依 题意有CD⊥AD,.CD⊥AD,CD⊥PA,.CD⊥平面PAD. 又CDC平面PCD,∴.平面PAD⊥平面PCD. (2)依题意，AD,AB,AP两两互相垂直，以A为坐标原 点，AD,AB,AP分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空 间直角坐标系，则各点坐标分别为A(0,0,0),B(0,2,0), C1,10,10.0,P00.D.M01,） .A元=(1,1,0)，PB=(0,2,-1).设两向量所成的角为0， A花.成√0 .∴.c0s0= IACI PB 5 又0∈[0，）AC与Ps所成角的余弦值为 5 (3)由(2)有成-（1,02），花=(1,1,0)，成- (1,-1,0). 设平面AMC的法向量n1=(x,y,z), 由m·-0得-+号=0， 由n1·AC=0得x+y=0, 取x=1,得y=-1,z=2,从而n1=(1,-1,2). 同理，设平面BMC的法向量为n2, 由m2·C=0,m2·BC=0可得m2=(1,1,2). 设m,与n,所成的角为0，则os0m·m3 n1·n22 结合图形可知，所求二面角为钝角，.平面AMC与平面 BWC所成二百角的余弦值为子 巩固练习 1.(1)四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面AB- CD,∴.BC⊥DC,BC⊥SD .BC⊥平面SDC,∴.BC⊥SC (2)分别以DA,DC,DS所在的直线为x轴，y轴和z轴建 立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), C(0,1,0),S(0,0,1), .B=(-1,-1,1),BC=(-1,0,0). 设平面BSC的法向量n=(x,y,z),则 -x-y+z=0, (-x=0, 则x=0,令y=1,则z=1,故n1=(0,1,1). 又显然平面ASD的一个法向量n2=(0,1,0), n1·n2√2 os(n,n〉=m1n2' ∴.平面ASD与平面BSC所成二面角为45°. 2(0号 (2)分别以AD,AB,AS所在的直线为x轴，y轴和z轴 建立空间直角坐标系， 则A(0,00),s(0,01),B(0,1,0),D(20,0, c1,10-(分0,1元=(1,1,10. 设平面CSD的法向量m=(x,),则2+z=0, x+y-z=0, 令x=2,则y=-1,z=1,故n1=(2,-1,1). 又显然平面SBA的一个法向量n2=(1,0,0), n1·n2√6 c0s(n1,n2》=Tm4·1n,3