第10章 第4节 平面与平面之间的垂直关系-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

第五节线与面所成的角 典例精析 例1.B,B⊥平面ABCD,.BM为B,M在平面ABCD上 的射影..∠BMB,为BM与平面ABCD所成的角，选A. 例2PC⊥AC,PC⊥BC,∴.PC⊥平面ABC.故PM在平 面ABC上的射影为CM,从而∠PMC为PM与平面ABC 所成的角。 依题意，△ABC为等腰直角三角形，且AC=BC=5√万，由 平面几何知识不难得到CM=5.又PC⊥CM且PC=5, 所以an∠PWC=G-1,放LPwC=459 巩固练习 1.D设正方体ABCD-A1B1C,D1棱长为1，连接BD,根据 正方体的性质可知BD是BD,在底面ABCD的射影， ∠D,BD为对角线BD1与底面ABCD所成的角，在直角 三角形D,BD中，tan∠D,BD= 品-号故连n 2.(1).CC1⊥平面ABCD, ∴.∠C,BC为BC1与平面ABCD所成的角，等于45. (2)连接A1C1,与B1D1交于0，依题意，C10⊥平面 BB1D1D,∴.∠C1BO为BC1与平面BBD1D所成的角. 于是sin∠C,B0= 0=2C=2放∠CB0=30,即BC与 平面BB1DD所成的角为30°. 3.取AB中点E,连接CE,B,E,依题意，侧面与底面垂直 且底面为正三角形，.CE⊥AB且CE⊥平面ABB,A1,于 是∠CB,E为直线CB1与平面AA1B,B所成的角. 令6=1，则所有楼长为1，于是CE=,CB,=2, CE√6 .∴.sin∠CB,E= CB 4 第六节二面角 典例精析 例1依题意，AD⊥BD,AD⊥DC,由二面角的定义， ∠BDC为二面角B-AD-C. 由AD L BC,正三角形ABC,得BD=DC=)AB.又BC 2AB,BC=BD=DC,从而△BDC为正三角形， ∴.∠BDC=60°.选A. 例2（1)，PA⊥BC,AB⊥BC,∴.BC⊥平面PAB. 又BCC平面ABC,∴.平面PAB⊥平面ABC. (2)选取AB的中点D,连接PD,则PD⊥AB,过D作AC 的垂线相交AC于E,连接PE. .·平面PAB⊥平面ABC,PD⊥AB,.PD⊥平面ABC, 故PD⊥AC. 又AC⊥DE,∴.AC⊥平面PDE,故AC⊥PE,从而∠PED的 正切值为二面解P-AC-B的正切值， 依上分析，PD1DE,设△PAB的边长为1，则PD= 2 又∠BAC=45°，AC⊥DE,∴.△ADE为等腰直角三角形， DE- =4tan∠PED= D5x4=6. DE 22 巩固练习 1.B 2.C由题图可知CE=BE=√a+b2.当∠CEB=90°时， CB=√2(a+b2).∠CFB为所求平面角.由余弦定理 得c03∠CEB=26-2(a+b）=-2故选C. 2b2 3.90° 4.略提示：过O作BC的垂线相交BC于D,连接PD ∠PDO为二面角P-BC-A的平面角. 5略提示：过点A作BD的垂线交BD于点E,过点E作 CD的垂线交CD于点F,连接AF,∠AFE为二面角A- CD-B的平面角. 6.450 7.(1)依题意，P0⊥平面BCD,∴.P0⊥BC.又DC⊥BC,故 BC⊥平面PDC,从而PD⊥BC. 提示：过O作BD的垂线相交BD于B,连 (2)3 接PE,则cos∠PE0为二面角P-BD-C的余弦值， ,提示：过A点作CD的垂线相交CD于E,连接PE, 则∠AEP的正切值为二面角P-CD-A的正切值， 第七节空间几何体的表面积与体积 典例精析 例1(1)因为AB为底面圆的直径，所以∠ACB=90°，依 题意，PB⊥⊙0， ∴.∠PAB=45°，故Rt△PAB为等腰直角三角形，故AB=2. 1 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC=√5，V=棱箱P-c=3 5mpg=号××3x12-号 3 (2)显然母线PB是圆柱的高， .V鞋=So0·PB=π·12·2=2m (3)圆柱的侧面积S1=2π·0B·PB=2m×1×2=4T, 圆柱的两个底面面积之和S2=2m·OB2=2m, ∴.圆柱的全面积S=S1+S2=6π. 例2显然P0⊥底面，∴.P0=25,∠PB0=60°， 故OB=2,又∠P0B=90°，由勾股定理可知PB=4,底面面 积S1=T·B02=4m. 圆锥的侧面积S2=T·OB·PB=π×2×4=8π. .圆锥的全面积S=S+S2=12π. 圆锥的体积VS·P0=×4x2g=8可 3 3高考零起点·数学 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，AP1平面PCD,AD∥BC,AB=BC=)AD,E,F分别为 21 线段AD,PC的中点， (1)求证：AP∥平面BEF; (2)求证：BE⊥平面PAC. 第四节平面与平面之间的垂直关系 知识梳理 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一个平面内某条直线垂直于 判定定理 另外一个平面，则这两个平面互 Ila →a⊥B ICB) 相垂直 ⊥B 如果两个平面互相垂直，则在其 性质定理 中一个平面内垂直于两平面交线 anB=a →l⊥a l⊥a 的直线也垂直于另外一个平面 ICB 典例精析 例1如图所示，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA1平 面ABCD.求证：平面PCD⊥平面PAD. 156 第十章立体几何 例2如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,平面PAB⊥平面ABC.△ABC是直角三 角形，∠ABC=90°.求证：平面PAC⊥平面PBC. 巩固练习 1.作图：已知三棱锥P-ABC中（如图），平面PAC⊥平面ABC,过P求作直线PO垂直于 底面ABC,交平面ABC于O点. 2.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC,PC⊥BC.求证：平面BPC⊥平 面APC. 157 高考零起点·数学 3.如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AC⊥PB.求证：平面PAC⊥平面PBD. 0 BE-- 4.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PCL平面ABCD,E是PA的中点.求证： 平面BDE⊥平面ABCD. 5.如图，已知PA⊥直角梯形ABCD,AD∥BC,∠DAB=∠ABC=90°，AD=2,AB=BC=1. 求证：平面APC⊥平面PCD. 6.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥ AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证：(1)直线PA∥平面DEF; (2)平面BDE⊥平面ABC. 158