第10章 第3节 直线与平面之间的垂直关系-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

面MNG 又：M为AB的中点，∴.MWN为△ABD的中位线，BD ∥MN. 又.BD4平面MNG,MNC平面MNG,:.BD∥平 面MNG. 又.·DEC平面BDE,BDC平面BDE,DE∩BD=D, ..平面BDE∥平面MNG 5.设F为PA的中点，连接EF,FB. :E,F分别为Pm,PA的中点，E/AD且EP=D 又：BC∥AD,BC=子AD,EF∥BC且EF=BC,即四边 形BCEF为平行四边形，.CE∥BF.又CE￠平面PAB, BFC平面PAB,因此CE∥平面PAB. 第三节直线与平面之间的垂直关系 典例精析 例连接AM. AB=AC,故BC⊥AM.① 又：PA⊥平面PBC,且BCC平面PBC, ∴.PA⊥BC.②（线面垂直的性质定理） 又PA∩AM=A, 故由①②有BC⊥平面APM.(线面垂直的判定定理) 又，PMC平面APM, ∴.BC⊥PM.(线面垂直的性质定理) 巩固练习 1.略提示：通过证AC⊥BD,AC⊥BB,可得. 2.略提示：通过证BC⊥AB,BC⊥SA可得BC⊥平面 SAB,.BC⊥AE,又依题意，SC⊥AE,故AE⊥平面SBC, 因此AE⊥SB. 3.略提示：(1)通过证BC⊥AC,BC⊥PA可得. (2)由(1)的结论可知，BC⊥AF,又：AF⊥PC,.AF1 平面PBC,从而AF⊥PB,又AE⊥PB,故PB⊥平面AEF 4.略提示：设H为DC的中点，连接MH,NH,易得MH ∥SD. 由题设易证AB⊥AD,AB⊥SA,∴.AB⊥平面ASD,从 而AB⊥SD,又MH∥SD,∴.AB⊥MH,又易证AB⊥NH, ,.AB⊥平面MNH,从而MN⊥AB. 5.(1)设AC∩BE=0,连接OF,EC, :E为AD的中点，AB=BC= AD,AD∥BC, .AE∥BC,AE=AB=BC 因此四边形ABCE为菱形，.O为AC的中点. 又F为PC的中点， 因此在△PAC中，可得AP∥OF 又：OFC平面BEF,AP￠平面BEF,所以AP∥平 面BEF. (2)由题意知，ED∥BC,ED=BC, .四边形BCDE为平行四边形， 因此BE∥CD.又.AP⊥平面PCD,∴.AP⊥CD. 因此AP⊥BE. 四边形ABCE为菱形，.BE⊥AC. 又AP∩AC=A,AP,ACC平面PAC,.BE⊥平面PAC. 第四节平面与平面之间的垂直关系 典例精析 例1PA⊥平面ABCD,且CDC平面ABCD, ∴.PA⊥CD.①（线面垂直的性质定理） 又依题意，CD⊥AD,且PA∩AD=A.② 由①②可得CD⊥平面PAD.(线面垂直的判定定理) 又CDC平面PCD, ∴.平面PCD⊥平面PAD.（面面垂直的判定定理) 例2，平面PAB⊥平面ABC,且∠ABC=90°， .CB⊥平面PAB.(面面垂直的性质定理) 又PAC平面PAB, 故CB⊥PA.①（线面垂直的性质定理） 由已知，PA⊥PB,PB∩CB=B, 因此，PA⊥平面PBC.②（线面垂直的判定定理） 又PAC平面PAC, 于是由①②可得平面PAC⊥平面PBC.(面面垂直的判定 定理) 巩固练习 1.略提示：·平面PAC⊥平面ABC,过P作AC的垂线 交AC于O即可（面面垂直的性质定理）. 2.略提示：因为PA⊥平面ABC,∴.PA⊥BC.又PC⊥BC, BC⊥平面APC.又BCC平面BPC,故平面BPC⊥平 面APC. 3.略提示：由题设，AC⊥BD,AC⊥PB,故AC⊥平 面PBD,又ACC平面PAC,.平面PAC⊥平面PBD. 4.略提示：连接AC,交BD于O,连接E0,则E0是 △PAC的中位线，∴.EO∥PC,从而EO⊥平面ABCD,又 EOC平面BDE,∴.平面BDE⊥平面ABCD. 5.略提示：由题设易知，∠BCD=135°，∠BCA=45°，故 ∠ACD=90°，所以AC⊥CD,又依题意有CD⊥PA,故CD⊥ 平面APC,又CDC平面PCD,所以平面APCL平面PCD. 6.(1)D,E为PC,AC的中点，∴.DE∥PA PA平面DEF,DEC平面DEF,.PA∥平面DEF. (2)D,E为PC,4AC的中点DE=PA=3, E,F为AC,AB的中点，EF=BC=4, ∴.DE2+EF2=DF2,∴.∠DEF=90°，.DE⊥EF. .DE∥PA,PA⊥AC,∴.DE⊥AC AC∩EF=E,∴.DE⊥平面ABC. DEC平面BDE,.平面BDE⊥平面ABC.第十章立体几何 4.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M,N,G分别是AB,AD,EF的 中点.求证： (1)BE∥平面DMF; (2)平面BDE∥平面MNG 5.如图，已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， BC∥AD,AD=2BC,E为PD的中点.证明：CE∥平面PAB. 第三节直线与平面之间的垂直关系 知识梳理 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形表示 符号表示 l⊥a 条直线与一个平面内的两条 l⊥b 判定定理 相交直线都垂直，则该直线与 anb=0→lLax a b-0 此平面垂直 aCa bCa 153 ● 高考零起点·数学 续表 定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一条直线垂直于一个平 a 面，那么此直线垂直于该平面 s⊥a 0 →a⊥s 内所有直线 性质定理 6 两直线垂直于同一个平面，那 a⊥a →a∥b 么这两条直线平行 b⊥a 典例精析 例如图，PA⊥平面PBC,AB=AC,M是BC的中点.求证：BC⊥PM 巩固练习 1.如图，在正方体ABCD-A1BC,D中，求证：AC⊥平面BB1D,D. A少 C 154 第十章立体几何 2.如图，四边形ABCD为正方形.SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别相交SB, SC,SD于E,F,G.求证：AE⊥SB. 3.如图，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC,AE⊥PB于E,AF⊥PC 于F (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求证：PB⊥平面AEF. 4.如图，已知四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD,M,N分别是SC,AB的中点.求 证：MN⊥AB. M 155 高考零起点·数学 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，AP1平面PCD,AD∥BC,AB=BC=)AD,E,F分别为 21 线段AD,PC的中点， (1)求证：AP∥平面BEF; (2)求证：BE⊥平面PAC. 第四节平面与平面之间的垂直关系 知识梳理 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一个平面内某条直线垂直于 判定定理 另外一个平面，则这两个平面互 Ila →a⊥B ICB) 相垂直 ⊥B 如果两个平面互相垂直，则在其 性质定理 中一个平面内垂直于两平面交线 anB=a →l⊥a l⊥a 的直线也垂直于另外一个平面 ICB 典例精析 例1如图所示，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA1平 面ABCD.求证：平面PCD⊥平面PAD. 156