第5章 第13节 正弦定理、余弦定理-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

高考零起点·数学 第十三节」 正弦定理、余弦定理 知识梳理 如图，在△ABC(角A,B,C所对的边分别为a,b,c)中有： 1.正弦定理 a b sin A sin B sin C =2R(R为△ABC的外接圆半径)； 常用的变式有sinA_9,sinA_a sinB sin Bb’sin Cc’sinC c 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A. b2=a2+c2-2accos B. c2=a2+62-2abcos C. 常用的变式有cosA=6+c2-a2 2bc,cos B=a'+e?-62 2ac,cos C=a'+b2-c2 2ab 简言之，余弦定理是已知一个三角形的两边和这两边的夹角求第三边的运算；而余 弦定理的变式则告诉我们已知一个三角形的三边可以求出任意，个角的余弦。 3.三角形的面积公式 bsin C=esin A=csin B. 4.由于在△ABC中有A+B+C=T,所以由诱导公式不难有： sin(A+B)=sin C cos(A+B)=-cos C tan (A+B)=-tan C 5.边角互换 在△ABC中（角A,B,C所对的边分别为a,b,c),边角互换是指在一个关于a, b,c的齐次方程中，a,b,c分别可用sinA,sinB,sinC代替；反过来，如果把 sinA,sinB,sinC当成一个整体，则关于这三个整体的齐次方程中，sinA,sinB,sinC 也可用a,b,c去代替（在分式中，当分子、分母的每一项次数相等时也可采用类似的方 法替换) 90 第五章三角函数 典例精析 例1 在△ABC中，AC=2,BC=1,cosC=3 (1)求AB的值；(2)求sinA的值 例2设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2 bsin A. (1)求B的大小；(2)若a=33,c=5,求b. 例3 在△1BC中，已知amB=3,msC=行，4C=3,6,求△MBC的面积 例4 设a,b,c为△ABC的三边，则下列哪些等式能用边角互换变形？哪些 不能？ ①a2+b2=c2; ②a+b=c+1; ③a2+bc=c2; 42cos C(acos B+bcos A)=c. 91 高考零起点·数学 例5(1)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+ acos B=c2,则c= (2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 图2±c-的)，则 巩固练习 一、填空题 1在△A8C中，a=3,b=6,A-3,则月= 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°，b=6,c=3, 则A= 3.(2019全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0, 则B= 4.(2017全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2 bcos B=acos C+ ccos A,则B= 5.(2018浙江卷)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=√7，b= 2,A=60°，则sinB= 6.（2021全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3， B=60°，a2+c2=3ac,则b= 7在△BC中，A,a=3c,则8 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=√2，b=2,sinB+cosB=√2， 则角A的大小为 9.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列，且AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD 的长为 二、选择题 1.(2016全国I卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5，c= 24子则6 () A.√2 B.√3 C.2 D.3 2.在△ABC中，AB=3,BC=√13，AC=4,则边AC上的高为 号 B号 c D.3√3 92 第五章 三角函数 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2，B=π， 则△ABC的 面积为 () A.25+2 B.√3+1 C.25-2 D.3-1 4△18C的内角1，B,C的对边分别为a,。,c,若a=汽，4=2B,则cs日=() A.⑥ 3 B.⑤ D. 6 5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则C= () A号 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)= 0,a=2,c=√2，则C= () A2 B. 6 c D号 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=√3，则c=() A.23 B.2 C.√2 D.1 8.(2023全国乙卷)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B- beos A=c,且c=5,月 则∠B= () A1o 0.5 9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asinA,则△ABC的 形状为 ( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 10.(2024全国甲卷理)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B= 3 b2=号ac,则sinA+sinG= ( 2√39 A. B.3⑩ D.33 13 13 13 93有0)=±1，即血(g+e）=1,写+p=2km+ (kez)或写p=2km受(6ez). 3 结合1el<受可得e=石)=(2x+石)】 对于A,由于(0)=inπ=1 62,故正确； 对于B,当x=石时✉)取最大值，故正确： 对于C,当x=设时，2x+名=m,则)的图象关于点 (侣0)对称，故正确故选AC 10A0cDf)=m2x+in2+写）=m2x+7n2x+ .T 9w2a=5*】 对于A,由于f(x)的最小正周期T= ，故正确， 对于C,由于fx)mm=√3，故正确； 对于D,由于）=m2x。+）=5,故正确 故选ACD. 1.B根据正切函数的性质，y=2am(x-牙)的对称中 心的横坐标满足x号受，keZ,即y=2m(k-于）】 的对称中心是（停号0）ke2,于是a受+写 ∈乙，又a>0,则k=0时a最小，最小值是行 第十二节常用的两个小技巧 典例精析 例1：α是第二象限的角，∴.cosa≠0，方程两边同时除 以cos2a得tan2a-2tana-3=0, .∴.tana=3或tana=-1. 又a是第二象限的角，故tana=-l. 对于齐次分式，也可用类似方法处理. 例2分子、分母同时除以cos2α得 原式=21ana-4 tan2a-1 3 例3将原式两边同时平方得1+si血20=25 1 4 故sim28=-25 …① 又由题设，20∈(0,2π)，由上述结果，可进一步推断 20∈（π，2m),从而0∈ (受小② 令sin0-cos0=a,两边同时平方得1-sin20=a2, 所以a2=49 5 又由②知0∈ (7,a）,则im>0,s<0, > 故a=sin0-cos6>0,于是a= 巩固练习 1.10tana=-2,∴.cosa≠0.令分子、分母同时除以cosa, 4sin a-2cos a 则有 4sin a-2cos a cos a 4tan q-2 5cos a+3sin a 5cos a+3sin a 5+3tan o cos a 4x(-2)-210 5+3×(-2) 2.2由已知sin2a-2cos2a=sin acos a,等式两边同时除 以cos2a,则ima-2cosa_s如s,化简得an2a-2= cosa cos'a tana,即tan2a-tan-2=0,计算得tana=2或tan=-l, a是第三象限的角，所以tana>0,即tana=2 24 3.25 等式两边同时平方得1+2 sin xcos x= 25 24 故sin2x= 25 4由m(）=号将其用两角差的正弦公式展 开得停（血-侧）=-了再将其两边平方，得 21-血2）g,故n2x= 5-名由血0as0:将两边平方得（血6s8 (兮)广，化简得1+2ncs0=5即1+n20- 5血0=-总即w20=±石“子<0≤年 520≤7，放s20c0,即os20=名 6.C sin(1+sin 20)sin (sin+cos0+2sin Ocos sin 0+cos 0 sin 0+cos 0 sin 0(sin c)=sin sin +cs0tanOan sin20+cos20 1+tan20 好号故选c 第十三节正弦定理、余弦定理 典例精析 例1（1)如图，由余弦定理， AB2=AC2+BC2-2AC·BC·co8C=2+12-2x2×1×4=2, 3 故AB=√2 (2)由csC=3知C为锐角，易得nC= 4 由正弦定理，得AB=BC sin C sinA,解得sinA=4 8 例2(1)由正弦定理的变式有i血A-a sinB6,故由已知 有sinA=2 sin Bsin A,sinA≠0，∴.2sinB=l.于是sinB= 号放8=君 (2)由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B =(33)°+52-2x33x5x 27, 即b=√7. 2 例3依题意可得B=号且C为锐角，易得smC 3,由 mCn分解得B=8 正弦定理，得AB=AC 又.在△ABC中有A+B+C=T, .'sin A =sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C =5x1+Lx22.V3+2w2 F2×3+2×3=6 + 1 △ABC的面积S=2 -bcinA号 2x36x8x3+2w2 6 =6√2+85. 例4①③④可以，②不行.将a=2 Rsin A,b= 2 Rsin B,c=2 Rsin C代入上述等式后，①③④中的2R可 以约掉，②中的2R不能约掉.边角互换后三等式变形 如下： ①sin2A+sin2B=sin2C; 3sin2 A+sin Bsin C=sinC; 42cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 进-步有2 cos Csin(A+B)=sinC, 进一步有2 cos Csin C=sinC. 于是cosC= 2,C=60. 例5（1)由边角互换得 sin Bcos A+sin Acos B=c.sin C, 故sin(A+B)=csin C,于是sinC=csin. 又0<C<m,故sinC≠0，故c=1. (（②由余孩定理得amB=少，则o2-=2as 又：se(d4-)…号ainB=asB, 4 mB=5B(0,m)B=号 巩固练习 一、填空题 1子sB 6x3 a =3 之，得Bπ 2√ 2.75° .0=c,即sinB=0G、v6大3 合 b<c可得B=45°，则A=180°-B-C=75°. 3.3r由题得，sin A sin B+-sin A cos B=0,又sinA>0, 故sinB+cosB=0,anB=-1,B∈(0，T),B=3 4 由题得2 sin Bcos B=sin A cos C+sin Ccos A= (4C)=血B=omsB=号得B=牙 5.公3由正弦定理知7：2 7 sin 60=sin B'sin B= √2ī 了一，cos60°=，解得c=3,c=一1（舍） 6.22由题意，SA4Bc=2 ncsin-3n 1 4ac=3. .ac=4,a2+c2=12,.b2=a2+c2-2 accos B=12-2×4× 2=8,解得6=22（负值舍去）.故答案为22. 1 sin 3661 3 B=C,放△MBC为等腰三角形，即6=c,名=1 8.30°将题中等式两边平方得1+2 sin B cos B=2, 2 血2B=1,B∈(0，m）,B=45,Asm450,解得 sin A=- ,又a<b,故A<B=45,4=30 95A4G=2B,4+BC=m,故月=号AD为边C上的中 线，∴.BD=2, AD=√AB+BD-2AB·BD·c08B=√3. 二、选择题 1D由会饮定理得一4“，即的北5·号整 理得--1=(6-3)(+）=0，解得6=3故选D 2B由余弦定理知，c0sA=AB+AC2-BC2-1 2AB·AC 2,sin A= 2,hAB sin A=3sin A- √3 35 2 3.B e=bin C=2 sin B √2+W6 1 4AA0G=2bc sin A=3+1. 4.B sin B=2,4=28,sin 285 sinA_√5 sin B=2,cos B=5 1 5Bb+c=2a,5sinB=3sinA→56=3a,解得a=?b,c月 3,csC=+62-c2.1 7b 2分ce(0,,G= 6.B sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A. (sin C-cos C)=sin AcosC+cos Asin C+sin Asin C- sinA·cosC=sin Ccos A+sin Asin C=0,由题知sinC 3π 0,可得anA=-1,A∈(0，m),A=不由正弦定理得， sin A sin C,sin C=1 a 2,C=T 6 13.3.3 7.B sin A sin B sin 2A 2sin Acos Acos 43 2 .由余 弦定理知1=3+c2-3c,c=2,c=1(舍). 8.C由题意结合正弦定理可得sin Acos B- sin Bcos A sin C, 即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sinA· cos B sin Bcos A, 整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0，T),故 sin B>0. 据此可得csA=0,A=三， 则8=-4-C=m-号-号：8故选C 9.A由正弦定理知sin B cos C+sin C cos B=sin(B+ C)=sin A sin A,.inA=1,4∈(0，m),A=2,故为直 角三角形 10G ae =4ac,由正弦定理得sinA· mG=号nB=号由余弦定理可得=d+d-a0= 4ac,即a2+c2=13c 9 4ac,根据正弦定理得sin2A+sin2C= 13 4sin Asin C=13 1(sin A+sin C)2=sin'A+sin'C +2sin Asin C= 4,“A,C为三角形内角，sinA+ 7 sinC>0,∴.sinA+sinC= 2 第十四节三角函数计算题集锦 1.(1)A+B=3C, m-0=3c,即c=4 2sin(A -C)=sin B sin(A +C), .2sin Acos C-2cos Asin C sin Acos C+cos Asin C, .'sin Acos C=3cos Asin C, .'sinA 3cos A, 即tanA=3,.0<A<2, 3310 .∴.sinA= w1010 1 (2)由(1)知，cosA= √/10 √1010 sin B sin(A C)=sin Acos C+cos Asin C= 6+）-2 5 5x26 佃正弦定理，sin Cin,可得6了 b -=2√10， 2 .48 AC.sinA. h=6,sinA=210x30 10 -6 2.(1)由正弦定理可得BC2-AC2-AB2=AC·AB, 故有cosA=4C2+AB2-BC21 2AC·AB 2 Ae0,4号 (2)由余弦定理得BC=AC+AB2-2AC·ABcos A= AC2+AB2+AC·AB=9, 即(AC+AB)2-AC·AB=9. AC·AB≤ 2)(当且仅当4C=AB时取等号)， (AC+AB .9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2- 子acMB)2, 解得AC+AB≤2W3(当且仅当AC=AB时取等号)， ∴.△ABC周长L=AC+AB+BC≤3+25，.△ABC周长 的最大值为3+25. 3.(1)方法一：在△ABC中，，·D为BC中点，∠ADC= 3,AD=1, T