第4章 第1节 多项式的导数与极值-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

-2 02 第十三节函数与方程 典例精析 例1令x+2-3=0,则有2-3x+2=0,解得x=1 或x=2,所以零点为1,2. 例2原方程的解即为lnx+x-4=0的解.令f(x)= In x+x-4. 则f(2)=n2-2<0,f(3)=ln3-1>0..原方程在区 间(2,3)上有解. 又由了()+>0可知，)为增函数，函数 的图象在区间(2,3)上与x轴只有一个交点，故原方程在 区间(2,3)上只有一个解. 巩固练习 1.B解方程x2+x-2=0曰x=-2或x=1.故选B. 2.B方程x2+2x+a=0无解，故4=4-4a<0→a>1.故 选B. 3B-)0=(}3x1<0,故选B 4.C构造函数f(x)=gx+x-3,:f(2)·f(3)=(1g 2-1)·lg3<0,故选C. 5.B由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3在R上 单调递减，y=√x在[0，+o)上单调递增，∴f(x)=0.3- √在定义域上单调递减.显然f(0)=1>0,f(0.3)= 0.33-0.35>0f(0.5)=0.35-0.55<0,.根据零点存 在性定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5). 6.Ay=log2x在区间[1,2]内的值域为[0,1].z=2-3 在区间[1,2]内的值域为[-1,1]，且都单调递增，所以 y+z在区间[1,2]内单调，值域为[-1,2]，故y+z=0只 有一个根，故选A 7B构造函数)=-（分），f)·2) -2 (-1)×(8-1)<0,由零点存在定理知，选B. fe2)=e2-lne2-2=e2-4>0, 又f1)<0,f(2)<0, 所以选AD. 第四章导数 第一节多项式的导数与极值 典例精析 例1f'(x)=(5x4-6x3+x2-7x+3)'=(5x4)'-(6x3)'+ (x2)'-(7x)'+3'=20x3-18x2+2x-7. 例2f'(x)=6x2+2x,将点A的横坐标1代人导函数 得f'(1)=8,所以原函数在点A处的切线斜率为8.由直 线的点斜式方程可知此切线方程为y-4=8(x-1),整理 得8x-y-4=0. 例3f'(x)=x2-2x-3,由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,所 以该函数的单调递增区间为(-∞，-1)和(3，+∞)；单调 递减区间为(-1,3). 例4由f'(x)=x2+4x+3=0解得x1=-1,x2=-3.令导函 数f'(x)>0得函数的单调递增区间为(-∞，-3)和 (-1,+∞)，于是函数的单调递减区间为(-3，-1).所 以x1=-1为函数的极小值点，x2=-3为函数的极大值点. 13 故函数的极小值为-)=-了，极大值为-3)=-1函 数草图如图所示. 例5令f'(x)=3x2-3=0得两根x1=1和x2=-1,即该 函数在[-2，-1)和(1,3]上为增函数，在(-1,1)上为减 函数，由f代1)=-2，f(-1)=2,f-2)=-2,f3)=18可得 该函数在区间[-2,3]上的最小值为-2，最大值为18. 巩固练习 一、计算题 1.(1)f'(x)=4x3+6x2-2x-1（2)f'(x)=15x2-4x 2.3x-y-1=0 3递增区间为(。，号）和(1，+)，通诚区间为（行，） 4f'(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a) (1)当a>1时，递增区间为(-o,1)和(a,+∞)，递减 区间为(1，a); (2)当a<1时，递增区间为(-∞，a)和(1，+0)，递减 区间为(a,1); (3)当a=1时，在R上为增函数. 5.令f'(x)=3x2+12x-15>0,得x2+4x-5>0,解得x<-5 或x>1, 所以f(x)的递增区间为(1，+∞)和(-∞，-5)，递减区 间为(-5,1).所以原函数的极小值为f1)=-5,极大值 为f-5)=103. 二、选择题 1.D∫'(x)=3x2+2ax+3,由条件知：f'(-3)=3× （-3)2+2a·(-3)+3=0,所以a=5. 2.D令f'(x)=3x2-12=0→x1=-2,x2=2,于是易 知x2=2为极小值点..a=2. 3.Da>0,b>0,f'(x）=12x2-2ax-2b,f'(1)=0,.a+ b=6.∴.ab≤9，当且仅当a=b=3时等号成立，ab取最 大值9. 4.C由f'(x)=3x2-3>0得x<-1或x>1,所以函数递增 区间为[-3，-1)，递减区间为(-1,0]，于是函数的极大 值为f(-1)=3,在[-3,0]内无极小值，又f(-3)= -17f(0)=1,故函数最大值为3，最小值为-17，故选C 5BCD直线)=+6的斜率为分A项了'（到=宁女 2,所以A不符合题意：B项x)=f"(x)=4=2 可以成立，符合题意；C项，f(x)=sinx,f'(x)=cosx= 子可以成立，符合题意：D项到=心"()=e=号 可以成立，符合题意放直线y=+6能作为BCD项 函数图象的切线，故选BCD, 6.Bf(x)=x3+ax+2,则f(x)=3x2+a, 若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极 小值，则a<0, 令国=3+a0得号或√写， 根据三次多项式的草图，画出该函数的图象如下： 依题意有， -a +2>0, 即 a 3√3+√3 +2<0, 解得a<-3,故选B. 7.ABD 结合号数与函数单调性的关系可知，当≤：<0 时，∫'(x)<0,则函数∫(x)单调递减，当0≤x≤4 时f'(x)≥0，此时函数f(x)单调递增，故当x=0时，函 数取得极小值，没有极大值，故选ABD. 8.ACD对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)= 2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),易知当x∈ (1,3)时，f'(x)<0,当xe(-0,1)或x∈(3，+o)时， f'(x)>0,函数f(x)在(-o0,1)上单调递增，在(1,3)上 单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x) 的极小值点，正确；对B,当0<x<1时，x-x2= x(1-x)>0,所以1>x>x2>0,而由上可知，函数f(x)在 (0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2),错误；对C, 当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 (1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4< f(2x-1)<0,正确；对D,当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)= (1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),正确. 第二节非多项式函数的导数 典例精析 例1f'(x)= (sinx）=(sinx)'cosx-sinx(cosx)'」 cos'x第四章导 数 第四章导数 第一节多项式的导数与极值 知识梳理 1.多项式求导公式（以下n∈Q) (1)若f(x)=c(c为常数)，则f'(x)=0. (2)若f(x)=x,则f'(x)=nx-1,当n=1时，f'(x)=1. (3)(ax")'=a(x)'=anx-(a为常数). (4)(ao+a1x+a2x2+…tanx）'=(ao）'+(ax)'+(a2x2）'+…+(anx）'=a1+2a2x+…+nanx (a:为常数，其中i=0,1,2,…,n) 2.函数y=f(x)在点(a,f(a))处的导数f'(a)等于该函数图象上过该点切线的斜率， 3.如果在某区间上有f'(x)>0,则y=f(x)在此区间上为增函数；反之，如果在某区 间上f'(x)<0,则y=f(x)在此区间上为减函数 4.函数的极值点和极值的概念 如图所示为函数y=(x)的图象，我们把一个光滑函数图 象上类似P这样的局部最高点叫做波峰，把类似Q这样的局 部最低点叫做波谷.把波峰和波谷的横坐标分别叫做极大值 点和极小值点（如图中a为极大值点，b为极小值点），极大 值点和极小值点统称为极值点.其中极大值点对应的函数值f(α)叫做该函数的极大值， 极小值点对应的函数值(b)叫做该函数的极小值，极大值和极小值统称为极值.若x为 函数y=f(x)的极值点，则一定有f'(xo)=0. 5.函数y=f(x)(x∈R),方程f'(x)=0有两个根，且两个根为a,b(a<b),如果a, b为该函数的两个极值点，进一步判断二者哪个为极大值点哪个为极小值点的方法如下： (1)解不等式∫'(x)>0,求出函数y=f(x)的两个递增区间（不失一般性，设为 (-0,a)和(b,+o),则(a,b)为该函数的递减区间 (2)由增函数和减函数的图形特征画出该函数的草图 =f(x) (如图所示)，由图可知，a为该函数的极大值点，b为该 函数的极小值点. 高考零起点·数学 6.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上最值的方法 先求出该函数在闭区间[α，b]上的极值，再将所求得的极值与函数在端点处的函数 值f代α)，f(b)放在一起，从中选取一个最大值即为所求的最大值，选取一个最小值即为 所求的最小值. 注意极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值： 7.如果函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在两个极值点（由y'=3ax2+2bx+c,此 时△=462-12ac>0),则当a>0时，函数在直角坐标系中的图象形状大致为 x→-o时，y→-0；x→+o时，y→+0 当a<0时，函数在直角坐标系中的图象形状大致为 K x→-0o时，y→+o0;x→+oo时，y→-00 8.求函数y=f(x)在非闭区间上最值的方法 求出函数的单调区间即可作出判断. 典例精析 例1求函数f(x)=5x4-6x3+x2-7x+3的导数， 例2求函数f(x)=2x3+x2+1(x>0)在其图象上点A(1,4)处的切线斜率及此切线的 方程 3 第四章导 数 例3 求两教)=菁-3+1的单调区同 例4 求函数f(x)= 3+2x+3x-1的极大值点和极小值点、极大值和极小值并画出函 数的草图， 例5求函数f(x)=x3-3x在区间[-2,3]上的最大值和最小值. 巩固练习 一、计算题 1.求下列函数的导函数： (1)f(x)=x4+2x3-x2-x-1; (2)f(x)=5x3-2x2-4. 2.求曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程. 43 高考零起点·数学 3.求函数f(x)=x3-2x2+x+1的单调区间. 4.求函数f(x)= 3-a)2+ax+1的单调区间 5.求函数f(x)=x3+6x2-15x+3的极大值和极小值. 二、选择题 1.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a= () A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a= A.-4 B.-2 C.4 D.2 3.若a>0,b>0,且函数f代x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则ab的最大值等于 ( A.2 B.3 C.6 D.9 4.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 44 第四章导 数 5.（多选)下列函数图象中直线y=2+b能作为其切线的有 ( A.R(a)=1 B.f(x)=x C.f(x)=sinx D.f(x)=e* 6.(2023全国乙卷)函数fx)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 A.（-0,-2) B.(-0,-3) C.(-4,-1) D.（-3,0) 7.（多选)定义在区间 分，4的函数)的导面数()的图象如图所示，则下列结 论正确的是 A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B.函数)在区间(，0)上单润递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 8.(2024新高考I卷)（多选）设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<fx2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 第二节 非多项式函数的导数 1.导数基本公式 (1)若f(x)=e,则f'(x)=e (2)若f)=n,则f'()= (3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx. (4)若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx. (5)若f(x)=a,则f'(x)=alna(a>0且a≠1). (6若=，则r到ao>0且a1) 2.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). (2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x): (3)[cf(x)]'=gf'(x). 41Hgr四0. [g(x)]2 (5)由(4)得：