第3章 第11节 基本不等式-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

高考零起点·数学 7.(2024多京卷)生物丰宿度指数d-是河流水质的-个评价指标，其中5，N分别 表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果 某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N,变为N,,生物丰富度 指数由2.1提高到3.15，则 ( A.3N2=2N B.2N2=3N C.N2=N D.N=N 二、填空题 1.设fx)= gx,20,则ff-2)归 10,x≤0， 2.已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= 3.(2020北京春)两数x)=中nx的定义域是 4.设a=log310,b=log37,则3+26= 5.若函数f(x)=a*(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4，最小值为m,且函数g(x)= (1-4m)√x在区间[0，+0)上单调递增，则a= 第十一节基本不等式 知识梳理 1.不等式a+b≥2√ab(a>0,b>0)叫做基本不等式.该不等式及其变式ab≤ a+b)2 ( 在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具 用基本不等式及其变式求最值时要注意以下条件（一正二定三相等）： (1)a,b均为正数； (2)求a+b的最小值时，ab一定要为常数；求ab的最大值时，a+b一定要为常数； (3)等号当且仅当a=b时成立，所以a,b一定要有相等的可能性才能用该不等式来 求最值， 2.配凑法和常数代换法是用基本不等式求最值时常用到的方法」 典例精析 2 例1若x>0,则2x+二的最小值是 9x A.4 9 b.9 C.22 3 D 1 3 34 第三章函数 例2用基本不等式解下列各题 (1)已知>2，则a+a-2 的最小值为 (2)已知0<2， 则函数y=4x(3-2x)的最大值为 (3)已知>0，y>0,且x+2y=1,则上+的最小值为 x V 巩固练习 一、 填空题 1.若x>0, 则y=2x+1的最小值为 此时x的值是 2若61，则y=+的最小值为 此时x的值是 3已知0cm<行，则am(1-3m)的最大值为 此时m的值是 4已知0,6均为正数且a+26=2,则4+2的最小值为 此时a= a b b= 二、选择题 1.下列结论正确的是 A.x+1的最小值为2 B.+的最小值为2 x 4 C.当x≥。时，x+的最小值是4 D.2+2*的最小值不能确定 2.下列结论正确的是 A.当x>0且x≠1时，1gx+ 1z2 1 B.当x>0时，√元+二≥2 lg x √x C.当x≥2时，x+二的最小值为2 D.当x>0时，2x+ 在号时取得最小值 3.(2021全国乙卷)下列函数中最小值为4的是 ( 4 A.y=x2+2x+4 B.y=sin x+ sin x C.y=2*+22-x 4 D.y=In x+ Inx 35 高考零起点·数学 4.若1ga+1g6=0且a≠6，则2+的取值范围为 a b A.[22,+0) B.(2,+0) C.[2,3)U(3,+) D.(2,3)U(3,+0) 5.设x>0,y>0,且x+y=18,则y的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 11 6.(多选)已知实数x,y满足x+2y=1,则二+可能的值为 x Y A.0 B.3 C.6 D.9 7.（多选)下列说法不正确的是 A.若x>0,y>0,x+y=2,则2*+2'的最大值为4 B.若<2，则函数y=2x+2x-的最大值为-1 C.若x>0,y>0,x+y+xy=3,则y的最小值为1 D.函数y=+6的最小值为4 √x+2 第十二节 函数图象的变换 知识梳理 1.y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称（分别把y=f(x)和y=f(-x)中的点看成(x, y)和(-x,y),因为这两个点关于y轴对称，所以整个图象关于y轴对称) 2.y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称(：（(x,y)与(x,-y)关于x轴对称). 3.y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称(：（x,y)与(-x,-y)关于原点对称) 4.y=f(x)的图象向上平移a个单位长度得到y=f(x)+a的图象，向下平移a个单位长 度得到y=f(x)-a的图象(a>0)(即通常所说的“上加下减”). 5.y=f(x)的图象向右平移a个单位长度得到y=f(x-a)的图象，向左平移a个单位长 度得到y=f(x+a)的图象(a>0)(即通常所说的“左加右减”). 6.将y=f(x)位于x轴下方的图象沿x轴翻转上去，其余部分不变，得到y=代x)的 图象 7.函数y=f(x)是偶函数，画该函数的图象时先画y=f(x)在x≥0内的图象，再作 该部分图象关于y轴的对称图形，两部分图形一起构成y=f(|x)的图象 366.AC设幂函数为y=x,:其图象经过点(3,27)，所 以27=3，解得a=3,.幂函数为y=x3.定义域为 R,且f代-x)=（-x)3=-x3=-f(x),fx)是奇函数.又 a=3>0,.f(x)在R上是增函数.故选AC. 第十节指数函数、对数函数综合练习 一、选择题 1.B由n(x+1)≠0得x≠0；又x+1>0得x>-1,4-x2≥0 得x∈[-2,2]，∴.x∈(-1,0)U(0,2]. 2Alg（4-3)>0,14-3>0,解得}1. 30A=l(分)广≤1，B=2-6+8≤0,4 {xx≥0}，B={x2≤x≤4}，CB={xx<2或x>4},An CB={x0≤x<2或x>4}.故选C. 4.AM={0,1},N={x|0<x≤1}，故MUN=[0,1]. 5.A21-2>-2恒成立，.可知a>1,于是由f(a)=- log2(a+1)=-3得a=7,∴f(6-a)=f-1)=21-1- 2、7 41 6.A3+1>1,所以值域为y>0,故选A. 7.C根据指数函数及对数函数的性质可得：0<a= 0.32=0.09<1,b=log20.3<1og21=0,c=203>2°=1，所以 b<a<c,故选C. 8.Ba=log20.2<log21=0,b=202>2°=1,0<c=0.23< 0.2°<1，所以a<c<b.故选B. 9.A0<c=0.302<0.3°=1，a=log27>log24=2,1=log33< b=log38<log9=2,c<b<a.故选A. 7 10.D由题意可知1og3<log,2<log9,即1<a<2,0< (日）（日°，即0<1e日-s5>%子 1 7 即c>a,综上可得c>a>b.故选D. 11.B由lgb=c→b=10,5=10→d=log510,.a= log5b=log510°=clog510=cd,故选B. 12.C a-log.2clogy/5-lo 2l3bae b,故选C 13C2=5,6=lb3=3g3,即2=34 4_(2)252_25 4(2)232=)故选C 14.ACDA项，lg5+lg2=lg10=1,为有理数；B项，lg5- g2=g25,为无理数：C项，g斤=lg.m时=分，为 有理数：D项，e=(e)=31号，为有理数放 选ACD. 15.BDy=2在定义域{xx≤1}上为增函数，而2>0， 所以值域为y|0<y≤2}，故A选项不正确.函数y= log2x的值域是{yly≤2}，则由log2x≤2得0<x≤4， 函数的定义域是{x0<x≤4}，故B选项正确.函数y= (兮厂为减数，它的值应该为0<y≤}，故 C选项不正确.函数y=x3是增函数，当它的值域是 {y-8≤y≤8}时，它的定义域是{xl-2≤x≤2}，故D 选项正确.故选BD. 16.BCD由题设，a=ln2,b=ln5.0=ln1<n2< lne=1,∴0<a<1,于是0<a2<1,又n5>lne=l,于是 b>a2,A不成立.2a=2ln2=ln22=ln4<ln5=b,B 成立.b+a=ln5+ln2=ln10>lne2=2,C成立.b-a= ln5-ln2=ln2.5<lne=1,D成立.故选BCD. 7.D由题意得2，N3,15,则2nN In N 3.15lnW2,即2nW,=3lnN2,∴.N2=. 二、填空题 1.-2f-2)=102>0,∴ff-2)=lg102=-2. 2.2 .1=f(ab)=Ig ab,.".f(a2)+f(b2)=Ig a2+1g b2= Ig a2b2=1g (ab)2=21g ab=2. 3.(0,+∞）由题意得>0， (+10,0. 4.490由条件得a+2b=log10+2log37=1og3(10×72)= log490,由对数恒等式a。=N得3*2b=390=490. 5当w1时)=心在区间[-1,2]上单调递增，此 时有。t=m,心2=4，a>1→a=2,m=分当0<a<1 时，f(x)=a在区间[-1,2]上单调递减，此时有 g1=4,心2=m,0<a<1→a=子，m= 6又函数 g(x)=(1-4m)x在区间[0，+∞)上单调递增，则 1 1 有1-4m>0→m<4,.a=4 第十一节基本不等式 典例精析 例1曲装本不等式2品22子-子 24 当且仅当2x=品即=号时等号成立（即最小值号 在=了时取得)故选D. 例2()配凑法a>2,a-2>0,a+,2三(a-2)+ a-2+2≥2J(a-2).3 3 +2=2W5+2,当且仅当a-2= a-2 。是2即a=25时取等号.a。的最小值为5+2 3 （2)配凑法：0r<23-2>0,于是y=4(3-2出)= 223-21522]=?当且仅当 2x=3-2x,即x= 子时，等号成立函数y=4红(3-2) 9 (0<x<)的最大值为？ (3)常数代换法.：x>0,y>0,且+2y=1,云+7 1.1 +2+2=1+2+2y+≥3+2，.-3+22.当且 x y x y Vx y 仅当2=且x+2y=1,即x=2-1,y=1-时，取得等 2 号.1+1的最小值为3+22. x y 巩固练习 一、填空题 122竖y=2+≥22=2，当且仅 当2x=1,即x= 2时取等号. 2 232y=+=(x-)++1= 2/(x-1). ·1=3,当组仅当x1即=2时 取等号. 311 ·126 m(1-3m）=子·3m(1-3m)≤} 1 T3m+(1-3m)12_1 m+2m=2当且仅当3m=1-3m,即m=6 时取等号. a813432Lat26）at2b 4b.0+2≥ =2+ a b /他·Q+4=8,当且仅当物-分，即0=2b=1,b正 之时取等号。 二、选择题 1.BA项，需要x>0才能用基本不等式，取特殊值x=-1 可很快排除；C项，当且仅当x=4,即x=2时取等号， 而2e[月+，排除C:D项，：2>0,2+2≥ 2√2·2=2，当且仅当2=2*，即x=0时取等号，能 确定其最小值.故选B. 2.BA项，条件并不能使gx>0,所以不能用基本不等式 求最值（取x=0.5便知），故A错误.C项，用基本不等 式求最小值需要=士即x=1时取等号，而1不在定 义域≥2内，放C错误D项，在2x,即x=时取 得最小值，故D错误 3.CA项，y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，当且仅当x=-1 时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；B项，y= |sim到+n产2,4=4，当且仅当|sm到=2时取等 号，而0≤|sinx≤1，所以其最小值不为4，B不符合题 意；C项，因为函数定义域为R,而2>0，y=2+ 22=2+4≥24=4，当且仅当2=2，即x=1时取等 2￥ 4 号，所以其最小值为4，C符合题意；D项，y=血x+nx 函数定义域为(0,1)U(1,+o),当0<x<1时，nx<0, y=nx+<0,D不符合题意故选C. 4.A依题意，ab=1, 2+L_2ab+b=2b+a≥2√2ad= a'b a b 22,等号在26-a,即a=2,6-号时取得 5.Cy≤()=81，当且仅当x=y=9时等号成立，故 选C. 6.ACD 对于式子士面言，取-1，y=1,则 31 =0,故A符合题意当，y为正实数时，1+1 y x Y +2☒++2y=3+2+ ≥3+22 y y (当且仅当2=时取等号，即x=2y时，取等号），显 然6>3+22,9>3+22，故选项C、D符合题意.因为x, y都不能为军，所以}空，=3白 ”yxy ≠3，故选项B不符合题意.故选ACD. 7.ACA项，x,y>0,x+y=2,则2*+2'≥2√2=4，当且 仅当2=2'，即x=y时取等号，即2+2”的最小值 为4，A说法错误； B项，<分则函数y=2+21=-(-272+ 1s-2-20可2+1=-1，当且仅当1-2x 云即=0时取等号B说法正确： C项，x,y>0,x+y+y=3,则y+2√≤3，即0< y≤1，即0<xy≤1，则y的最大值为1，C说法错误； D项，函数y=+6 4 ≥ √x2+2 =+2+ √x2+2 242·4=4,当且仅当v2 4 √e2+2 √x2+2 即x=±√2时取等号，D说法正确.即不正确的是选 项A,C.故选AC. 第十二节函数图象的变换 典例精析 例1(1)由知识梳理5，在原解析式里将y保持不变， 将x换成(x-1)即可y=g[2-(x-1)]=lg(3-x),∴.原函 数图象往右平移1个单位长度得到的图象的解析式是 y=lg(3-x). (2)由知识梳理2，在原解析式里将x保持不变，将y换 成(-y)即可.-y=lg(2-x),∴.原函数图象关于x轴对称 的图象的解析式是y=-lg(2-x). (3)由知识梳理3，在原解析式里将x换成(-x),y换 成(-y)即可.-y=lg(2+x), 所以原函数关于原点对称的图象的解析式是y= -lg(x+2). 例2（1)该函数属于y=f(x)|型.先画出y=x2-4x+3 的图象，再将此图象位于x轴下方的部分沿x轴翻转上 去，与原图象位于x轴上方的部分一起构成所求函数图 象（如图1实线部分所示）. 图2 (2)该函数属于y=(|x)型.先画出y= 在x≥0 内的图象，再作该部分图象关于y轴的对称图形，两部分 图形一起构成y=(兮） 的函数图象（如图2所示）. 例3方法一：x>0时，-x<0,于是f八-x)=2.又：f(x) 是R上的奇函数，∴f(-x)=f(x).故当x>0时， -f(x)=2,即fx)=-2,故选C. 方法二：因为奇函数的图象关于原点对称，所以x<0时， y=2关于原点对称的图象解析式即为所求， 根据知识梳理3，将y=2中的y换成(-y),x换成(-x) 即可，y=2,整理可得f(x)=-2,故选C. 巩固练习 一、选择题 1.By=2x-2=2(x-1),∴.只需将函数y=2x的图象上 所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y=2 (x-1)=2x-2的图象.故选B. 2A以(-)代替，以(-y)代替，-y-2即y= 2故选A 3.C要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象，需 要先将y=f(x)的图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图 象，然后向左平移1个单位长度得到y=-f(x+1)的图 象，根据上述步骤可知C正确.故选C. 4.B先作出函数y=e在y轴右侧的图象，然后作出关于 y轴对称的图形，即得函数y=e的图象.故选B. 5.B图甲中有f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,对应到图 乙中： 2 0 0 故选B. 6.BC当a>1时，函数在y=a的基础上向下平移1个多 单位，但平移后必经过点(1,0)，A不符合题意， 当0<a<1时，函数在y=a的基础上向下平移a个单 位，同样经过点(1,0)，故D不符合题意，选BC. 7.Ay=9=32,∴.将函数y=3的图象上所有点的横 坐标变成原来的)倍，纵坐标不变，即可得到函数 y=9的图象 二、画出下列函数的图象