第3章 第9节 幂函数-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

第三章函 数 第九节 幂函数 知识梳理 1.幂函数的概念 一般地，形如y=x(a∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，a为常数， 2.五种常见幂函数的图象与性质 函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x号 y=x1 图象 定义域 R R R {xx≥0} {xx≠0} 值域 R {yly≥0} 及 {yy≥0 {yly≠0} 奇偶性 莎 偶 奇 非奇非偶 奇 （-0,0) （-∞，0)和 单调性 (0,+∞) (0,+∞)y 公共点 (1,1) 典例精析 例1已知幂函数f(x)=(2n2-n)x+1，若在其定义域上单调递增，则n等于() A.1,-2 B.1 c D-1, 例2幂函数y=f(x)的图象经过点(3,3)，则f(x)是 A.偶函数，且在(0，+∞)上单调递增 B.偶函数，且在(0，+∞)上单调递减 C.奇函数，且在(0，+∞)上单调递增 D.非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减 巩固练习 1.下列所给出的函数中，属于幂函数的是 A.y=-x3 B.y=x-3 C.y=2x3 D.y=x3-1 31 高考零起点·数学 2.(2024新高考I卷)已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= ( A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 3.若函数)是释函数。且满足)3，则/(？)的值等于 ( f(2) A写 . C.3 D.2 4.若a>b,则 A.In(a-b)>0 B.3“<3 C.a3-b3>0 D.ax6 5.(2021全国甲卷)下列函数中是增函数的为 A.f(x)=-x B)=(号广 C.f(x)=x2 D.fx)=3风 6.(多选)若幂函数y=f(x)的图象经过点(3,27)，则幂函数f(x)是 ( A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 第十节 指数函数、对数函数综合练习 一、选择题 1.函数fx)=n(x+) +√4-x2的定义域为 A.[-2,0)U(0,2] B.(-1,0)U(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2] 2.函数y= 的定义域为 /1og0.5(4x-3) A(经，) C.（1,+∞) D.(经，1u1,+a) 3已知全集为R,集合A=s(兮)广≤1，B=x2-6x+8≤0，则AnB= () A.{xx≤0 B.{x2≤x≤4} C.{x0≤x<2或x>4} D.{x0<x≤2或x≥4} 4.设集合M={xx2=x,N={xlgx≤0}，则MUW= A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞，1] 32例2（1)构造函数y=log2x,这是一个增函数，∴.y随x 的增大而增大.于是log21.5<og23<1og24.1. (2)构造函数y=log1x,这是一个减函数，∴.y随x的增大 而减小于是log2.7<log1.1<log0.8, (3)构造函数y=1ogx(如图1)，则1og,4是该函数当x=4 时的函数值，由图易知，该函数值大于0，故1og4>0. 图1 图2 (4)构造函数y=logx(如图2)，则1og2是该函数 当x=2时的函数值，由图易知，该函数值小于0，故 1og2<0. 对于(3)(4)还可用以下方法求解：按对数函数中给底 数a分类的标准，构造两个区间(0,1)，(1，+∞).如果一 个对数的底数和真数位于这两个区间中的同一区间，则 该对数的值大于0；如果一个对数的底数和真数位于这 两个区间中的不同区间，则该对数的值小于0.在(3)中， :5和4同位于区间(1，+∞)，.log4>0:在(4)中，：3 和2位于两个不同区间，∴.log12<0. 巩固练习 1.(1)函数y=log5x在区间(0，+∞)上为增函数，.不 等式的解集为{xlx>3}。 (2).函数y=log5x在区间(0，+∞)上为增函数，所以 不等式的解集为{x10<x<4}. (3):函数y=1g2x在区间(0，+∞)上为增函数， ∴.x>2=8,.不等式的解集为{xlx>8} (4):函数y=1og1x在区间(0，+∞)上为减函数， (5):函数y=log头x在区间(0，+∞)上为减函数， 0x<() ,即0<x<1,∴.不等式的解集为{xI 0<x<1}. (6)函数y=lnx在区间(0，+∞)上为增函数，∴.0<x< N,不等式的解集为{xI0<x<E}. 2.(1)函数y=log2x在区间[4，+∞)上为增函数，∴.函 数的值域为{yly≥log24},即{yly≥2}. (2):函数y=logx在[1,9]上为增函数，.函数的值 域为{yllog1≤y≤log9},即{y0≤y≤2： (3)函数y=lg1x在区间(9，+∞)上为减函数，.函 数的值域为{yly<log9,即{yly<-2}. (4):函数y=logx在区间[1,4]上为减函数，·.函数 的值域为{yllog14≤y≤log1},即{yl-2≤y≤0. 3.(1)函数应满足2x-3>0,即定义城为a12} (2)函数应满足x-x2>0,即x2-x<0,.x∈(0,1). 4.(1)方法一：函数l1og21x在区间(0，+∞)上是增函数， 而0<0.8<1，.1og210.8<log211=0.方法二：0.8与2.1 分别位于区间(0,1)，(1，+∞)上，故log210.8<0. (2)方法一：函数1og2x在区间(0，+∞)上是减函数， 而0<0.3<1，∴.1og.20.3>log021=0.方法二：0.2与0.3 同位于区间(0,1)上，故1oga20.3>0. 第九节幂函数 典例精析 例1由幂函数的定义可得22-A=1,解得n=号或1 n=1时，f(x)=x2,在定义域内不是单调递增，所 以a=2敬选C 例2设f(x)=x,将点(3,3)代入f(x)=x,解得a= 子，所以()=，可知系数f()是奇函数，且在区 间(0，+∞)上是增函数，故选C. 巩固练习 1.B形如y=x的函数才是幂函数.故选B. 2.A因为A={x-5<x<5},B={-3,-1,0,2,3},且注 意到1<5<2，从而AnB={-1,0. 3A设f)=x,又3-念-生=2，故（分）= f(2)24 (份号故选入 4.C本题可采用特殊值法求解.取a=2,b=1,满足a>b, n(a-b)=0,知A错误，排除A;因为9=3>3=3，知B 错误，排除B;取a=1,b=-2,满足a>b,1=|a<b=2, 知D错误，排除D;因为幂函数y=x3是增函数，a>b,所 以a3>b3,故选C. 5.D对于A,f(x)=-x为R上的减函数，不合题意，舍 去；对于Bx)=(3 为R上的减函数，不合题意， 舍去；对于Cf(x)=x2在区间(-∞，0)上为减函数，不 合题意，舍去；对于D,fx)=为R上的增函数，符合 题意，故选D. 6.AC设幂函数为y=x,:其图象经过点(3,27)，所 以27=3，解得a=3,.幂函数为y=x3.定义域为 R,且f代-x)=（-x)3=-x3=-f(x),fx)是奇函数.又 a=3>0,.f(x)在R上是增函数.故选AC. 第十节指数函数、对数函数综合练习 一、选择题 1.B由n(x+1)≠0得x≠0；又x+1>0得x>-1,4-x2≥0 得x∈[-2,2]，∴.x∈(-1,0)U(0,2]. 2Alg（4-3)>0,14-3>0,解得}1. 30A=l(分)广≤1，B=2-6+8≤0,4 {xx≥0}，B={x2≤x≤4}，CB={xx<2或x>4},An CB={x0≤x<2或x>4}.故选C. 4.AM={0,1},N={x|0<x≤1}，故MUN=[0,1]. 5.A21-2>-2恒成立，.可知a>1,于是由f(a)=- log2(a+1)=-3得a=7,∴f(6-a)=f-1)=21-1- 2、7 41 6.A3+1>1,所以值域为y>0,故选A. 7.C根据指数函数及对数函数的性质可得：0<a= 0.32=0.09<1,b=log20.3<1og21=0,c=203>2°=1，所以 b<a<c,故选C. 8.Ba=log20.2<log21=0,b=202>2°=1,0<c=0.23< 0.2°<1，所以a<c<b.故选B. 9.A0<c=0.302<0.3°=1，a=log27>log24=2,1=log33< b=log38<log9=2,c<b<a.故选A. 7 10.D由题意可知1og3<log,2<log9,即1<a<2,0< (日）（日°，即0<1e日-s5>%子 1 7 即c>a,综上可得c>a>b.故选D. 11.B由lgb=c→b=10,5=10→d=log510,.a= log5b=log510°=clog510=cd,故选B. 12.C a-log.2clogy/5-lo 2l3bae b,故选C 13C2=5,6=lb3=3g3,即2=34 4_(2)252_25 4(2)232=)故选C 14.ACDA项，lg5+lg2=lg10=1,为有理数；B项，lg5- g2=g25,为无理数：C项，g斤=lg.m时=分，为 有理数：D项，e=(e)=31号，为有理数放 选ACD. 15.BDy=2在定义域{xx≤1}上为增函数，而2>0， 所以值域为y|0<y≤2}，故A选项不正确.函数y= log2x的值域是{yly≤2}，则由log2x≤2得0<x≤4， 函数的定义域是{x0<x≤4}，故B选项正确.函数y= (兮厂为减数，它的值应该为0<y≤}，故 C选项不正确.函数y=x3是增函数，当它的值域是 {y-8≤y≤8}时，它的定义域是{xl-2≤x≤2}，故D 选项正确.故选BD. 16.BCD由题设，a=ln2,b=ln5.0=ln1<n2< lne=1,∴0<a<1,于是0<a2<1,又n5>lne=l,于是 b>a2,A不成立.2a=2ln2=ln22=ln4<ln5=b,B 成立.b+a=ln5+ln2=ln10>lne2=2,C成立.b-a= ln5-ln2=ln2.5<lne=1,D成立.故选BCD. 7.D由题意得2，N3,15,则2nN In N 3.15lnW2,即2nW,=3lnN2,∴.N2=. 二、填空题 1.-2f-2)=102>0,∴ff-2)=lg102=-2. 2.2 .1=f(ab)=Ig ab,.".f(a2)+f(b2)=Ig a2+1g b2= Ig a2b2=1g (ab)2=21g ab=2. 3.(0,+∞）由题意得>0， (+10,0. 4.490由条件得a+2b=log10+2log37=1og3(10×72)= log490,由对数恒等式a。=N得3*2b=390=490. 5当w1时)=心在区间[-1,2]上单调递增，此 时有。t=m,心2=4，a>1→a=2,m=分当0<a<1 时，f(x)=a在区间[-1,2]上单调递减，此时有 g1=4,心2=m,0<a<1→a=子，m= 6又函数 g(x)=(1-4m)x在区间[0，+∞)上单调递增，则 1 1 有1-4m>0→m<4,.a=4 第十一节基本不等式 典例精析 例1曲装本不等式2品22子-子 24 当且仅当2x=品即=号时等号成立（即最小值号 在=了时取得)故选D. 例2()配凑法a>2,a-2>0,a+,2三(a-2)+