第3章 第8节 对数函数-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

高考零起点·数学 3.解下列方程： (1)2*=7; (2)lnx=-1; (3)lgx=2; (4)1g(1nx)=1. 第八节 对数函数 知识梳理 1.对数函数的概念 函数y=log。x(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，由于对数的真数都大 于0，所以对数函数的定义域为(0，+0). 2.对数函数及其性质 底数 a>1 0<a<1 x=1 y=logx y个 x=1 图象 (1,0) 0/71,0)x y=log.x 定义域 (0,+0) 值域 R 恒过点(1,0) 性质 增函数 减函数 28 第三章函 数 典例精析 例1求函数y=log(x2-x-2)的定义域 例2比较下列各组数的大小： (1)log21.5,1og23,1og24.1; (2)log2.7,log0.8,log1.1; (3)log54,0; (4)1og2,0. 巩固练习 1.解下列对数不等式： (1)1og5x>log53; (2)1og5x<log,4; (3)l0g2x>3; 29 ● ● 高考零起点·数学 (4)log;x>2; (5)1ogx>0; (6)lnx<2 2.求下列函数的值域： (1)y=log2x,x∈[4，+0)； (2)y=log3x,x∈[1,9]； (3)y=logx,x∈(9，+∞)； (4)y=l1gx,x∈[1,4]. 3.求下列函数的定义域： (1)y=log(2x-3); (2)y=logs(x-x2) 4.判断下列对数值的正负： (1)log210.8; (2)log020.3. 308.Bf-x)=-x2+(e*-e)sin(-x)=-x2+(e*-e*)· sinx=f(x),又函数定义域为[-2.8,2.8]，故该函数为 偶函数可排除A,c又f1)=-1+(e-）·血 -(日)血分10，可排 2e42e1 除D. 第六节指数和指数函数 典例精析 例1原式=82× 1 64x 1002 /3 4 1、64128 1027135 例2(1)构造函数y=3,这是一个底数大于1的指数函 数，单调递增，所以当x分别取值1.6,1.8,2.1时，y的值 也依次增大，于是36<38<321 (2)方法一：构造函数y=2,其函数图象如下图所示， 则23即为该函数当x=0.3时的函数值，不难知道 1<20.3 y=2 00.3 方法二：：1=2°，构造函数y=2,这是一个底数大于1的 指数函数，在定义域上单调递增，.1<23 例3由f(x-2)>0得22-4>0，即2-2>4=2， 有x-2>2,解得x>4..解集为{xx>4}. 巩固练习 1.(1)a 原式=a2片=a. 3 (2)va 原式=a号：a=6 (39 原式= 116 (4)y6原式=(x3)3(y2)3=y (5)a号原式=a23.a号=a号=. 2.(1)x>2(2)x<3(3)x<3(4)x>2(5)x>0 (6)x>0(7)x>-2 3份）)“份) (2)0.9a4<1 4.(1)[16,+∞) (2)[g,*） (3)[3,27] (4(分g] 第七节对数 典例精析 1 (1)logaxy=logax+logay; (2)log=logy-log.=log.*+log.y-log. log.-og=og.+log.0og (3)1log。z 11 1 1 2log.*+log.y log.=2l0g*+log.y-log. 例221g2+g3=g2+1g3 1+624-g81s24-g8 g4+1g3=g12s12-1 1+lg2.4-lg2lg10+lg1.2lg12 巩固练习 1.(1)41og81=log334=4. 1 (2)-41g216-log24=-4. (3)01og12s1=log12s125°=0. 2.(1)1og26-log23=log22=1. (2浆式=gV反-2=受g号 (3)2log510+log,0.25=log(102×0.25)=10g525=2. （4)2log525+31og264=2log352+31og226=4+3×6=22. 3.(1)x=log27 1 (2)x= e (3)x=100 (4)x=e10 第八节对数函数 典例精析 例1：对数函数y=logx(a>0且a≠1)的定义域 为(0，+∞)，∴.把x2-x-2看成一个整体，则x2-x-2>0,解 得x>2或x<-1,∴.该函数的定义域为(-∞，-1)U(2,+ o). 例2（1)构造函数y=log2x,这是一个增函数，∴.y随x 的增大而增大.于是log21.5<og23<1og24.1. (2)构造函数y=log1x,这是一个减函数，∴.y随x的增大 而减小于是log2.7<log1.1<log0.8, (3)构造函数y=1ogx(如图1)，则1og,4是该函数当x=4 时的函数值，由图易知，该函数值大于0，故1og4>0. 图1 图2 (4)构造函数y=logx(如图2)，则1og2是该函数 当x=2时的函数值，由图易知，该函数值小于0，故 1og2<0. 对于(3)(4)还可用以下方法求解：按对数函数中给底 数a分类的标准，构造两个区间(0,1)，(1，+∞).如果一 个对数的底数和真数位于这两个区间中的同一区间，则 该对数的值大于0；如果一个对数的底数和真数位于这 两个区间中的不同区间，则该对数的值小于0.在(3)中， :5和4同位于区间(1，+∞)，.log4>0:在(4)中，：3 和2位于两个不同区间，∴.log12<0. 巩固练习 1.(1)函数y=log5x在区间(0，+∞)上为增函数，.不 等式的解集为{xlx>3}。 (2).函数y=log5x在区间(0，+∞)上为增函数，所以 不等式的解集为{x10<x<4}. (3):函数y=1g2x在区间(0，+∞)上为增函数， ∴.x>2=8,.不等式的解集为{xlx>8} (4):函数y=1og1x在区间(0，+∞)上为减函数， (5):函数y=log头x在区间(0，+∞)上为减函数， 0x<() ,即0<x<1,∴.不等式的解集为{xI 0<x<1}. (6)函数y=lnx在区间(0，+∞)上为增函数，∴.0<x< N,不等式的解集为{xI0<x<E}. 2.(1)函数y=log2x在区间[4，+∞)上为增函数，∴.函 数的值域为{yly≥log24},即{yly≥2}. (2):函数y=logx在[1,9]上为增函数，.函数的值 域为{yllog1≤y≤log9},即{y0≤y≤2： (3)函数y=lg1x在区间(9，+∞)上为减函数，.函 数的值域为{yly<log9,即{yly<-2}. (4):函数y=logx在区间[1,4]上为减函数，·.函数 的值域为{yllog14≤y≤log1},即{yl-2≤y≤0. 3.(1)函数应满足2x-3>0,即定义城为a12} (2)函数应满足x-x2>0,即x2-x<0,.x∈(0,1). 4.(1)方法一：函数l1og21x在区间(0，+∞)上是增函数， 而0<0.8<1，.1og210.8<log211=0.方法二：0.8与2.1 分别位于区间(0,1)，(1，+∞)上，故log210.8<0. (2)方法一：函数1og2x在区间(0，+∞)上是减函数， 而0<0.3<1，∴.1og.20.3>log021=0.方法二：0.2与0.3 同位于区间(0,1)上，故1oga20.3>0. 第九节幂函数 典例精析 例1由幂函数的定义可得22-A=1,解得n=号或1 n=1时，f(x)=x2,在定义域内不是单调递增，所 以a=2敬选C 例2设f(x)=x,将点(3,3)代入f(x)=x,解得a= 子，所以()=，可知系数f()是奇函数，且在区 间(0，+∞)上是增函数，故选C. 巩固练习 1.B形如y=x的函数才是幂函数.故选B. 2.A因为A={x-5<x<5},B={-3,-1,0,2,3},且注 意到1<5<2，从而AnB={-1,0. 3A设f)=x,又3-念-生=2，故（分）= f(2)24 (份号故选入 4.C本题可采用特殊值法求解.取a=2,b=1,满足a>b, n(a-b)=0,知A错误，排除A;因为9=3>3=3，知B 错误，排除B;取a=1,b=-2,满足a>b,1=|a<b=2, 知D错误，排除D;因为幂函数y=x3是增函数，a>b,所 以a3>b3,故选C. 5.D对于A,f(x)=-x为R上的减函数，不合题意，舍 去；对于Bx)=(3 为R上的减函数，不合题意， 舍去；对于Cf(x)=x2在区间(-∞，0)上为减函数，不 合题意，舍去；对于D,fx)=为R上的增函数，符合 题意，故选D.